2021年内蒙古赤峰市中考数学试卷（含答案）

1 2021年内蒙古赤峰市中考数学试卷 一、选择题（每小题出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置 上按要求涂黑，每小题 3分，共 42分） 1．（3分）（2021•赤峰） 2021 的相反数是 ( ) A．2021 B． 2021 C． 1 2021 D． 1 2021  2．（3 分）（2021•赤峰）截至北京时间 2021年 1月 3日 6时，我国执行首次火星探测任务的“天问 一号”火星探测器已经在轨飞行约 163 天，飞行里程突破 4 亿公里，距离火星约 830万公里．数据 8300000用科学记数法表示为 ( ) A． 58.3 10 B． 68.3 10 C． 583 10 D． 70.83 10 3．（3分）（2021•赤峰）下列垃圾分类标识图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( ) A B C D 4．（3分）（2021•赤峰）下列说法正确的是 ( ) A．“清明时节雨纷纷”是必然事件 B．为了了解一批灯管的使用寿命，可以采用普查的方式进行 C．一组数据 2，5，4，5，6，7的众数、中位数和平均数都是 5 D．甲、乙两组队员身高数据的方差分别为 2 0.02S 甲 ， 2 0.01S 乙 ，那么乙组队员的身高比较整齐 5．（3分）（2021•赤峰）下列计算正确的是 ( ) A． ( )a b c a b c     B． 2 2 22a a a  C． 2 2( 1) 1x x   D． 2 2 2 4 42 ( 2 ) 16a ab a b    6．（3分）（2021•赤峰）如图， / /AB CD，点 E在线段 BC上，CD CE ．若 30ABC  ，则 D 的 度数为 ( ) A．85 B． 75 C． 65 D．30 第 6题图 第 7题图 第 8题图 7．（3分）（2021•赤峰）实数 a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示．如果 0a b  ，那么下列结 论正确的是 ( ) A． | | | |a c B． 0a c  C． 0abc  D． 1a b  8．（3分）（2021•赤峰）五一期间，某地相关部门对观光游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理 后绘制了两幅统计图（尚不完整），根据图中的信息，下列结论错误的是 ( ) 2 A．本次抽样调查的样本容量是 5000 B．扇形统计图中的m为10% C．若五一期间观光的游客有 50万人，则选择自驾方式出行的大约有 20万人 D．样本中选择公共交通出行的有 2400人 9．（3分）（2021•赤峰）一元二次方程 2 8 2 0x x   ，配方后可变形为 ( ) A． 2( 4) 18x   B． 2( 4) 14x   C． 2( 8) 64x   D． 2( 4) 1x   10．（3分）（2021•赤峰）如图，点C，D在以 AB为直径的半圆上，且 120ADC  ，点 E是AD上 任意一点，连接 BE 、CE ．则 BEC 的度数为 ( ) A． 20 B．30 C． 40 D． 60 第 10题图 第 13题图 第 14题图 11．（3分）（2021•赤峰）点 ( , )P a b 在函数 4 3y x  的图象上，则代数式8 2 1a b  的值等于 ( ) A．5 B． 5 C．7 D． 6 12．（3分）（2021•赤峰）已知抛物线 2y ax bx c   上的部分点的横坐标 x与纵坐标 y的对应值如表： x  1 0 1 2 3  y  3 0 1 m 3  以下结论正确的是 ( ) A．抛物线 2y ax bx c   的开口向下 B．当 3x  时， y随 x增大而增大 C．方程 2 0ax bx c   的根为 0和 2 D．当 0y  时， x的取值范围是 0 2x  13．（3分）（2021•赤峰）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的侧面积是 ( ) A． 224 cm B． 248 cm C． 296 cm D． 236 cm 14．（3分）（2021•赤峰）甲、乙两人在一条长 400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑 步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发 3秒，在跑步过程中，甲、乙两人间的距离 y（米 )与乙 出发的时间 x（秒 )之间的函数关系如图所示，则下列结论正确的个数是 ( ) ①乙的速度为 5米 /秒； ②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点 12米； ③甲、乙两人之间的距离超过 32米的时间范围是 44 89x  ； ④乙到达终点时，甲距离终点还有 68米． A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上，每小题 3分，共 12分） 15．（3分）（2021•赤峰）在函数 1 2 1 xy x    中，自变量 x的取值范围是 ． 16．（3 分）（2021•赤峰）某滑雪场用无人机测量雪道长度．如图，通过无人机的镜头C测一段水平 雪道一端 A处的俯角为50，另一端 B处的俯角为 45，若无人机镜头C处的高度CD为 238米，点 A， 3 D， B 在同一直线上，则雪道 AB 的长度为 米．（结果保留整数，参考数据 sin 50 0.77  ， cos50 0.64  ， tan50 1.19)  17．（3分）（2021•赤峰）如图，在拧开一个边长为 a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口 20b mm ， 则边长 a  mm． 18．（3分）（2021•赤峰）如图，正方形 ABCD的边长为 2 5，点 E是 BC的中点，连接 AE与对角线 BD交于点G ，连接CG并延长，交 AB于点 F ，连接 DE交CF 于点 H ，连接 AH ．以下结论：① CF DE ；② 2 3 CH HF  ；③ 2 5 3 GH  ；④ AD AH ，其中正确结论的序号是 ． 第 16题图 第 17题图 第 18题图 三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过或演算步 骤.共 8题，满分 96分） 19．（10分）（2021•赤峰） 先化简，再求值： 3 5( 2 ) 2 2 m m m m       ，其中 1 0 1( ) (2 ) 8 | 7 | 3 m       ． 4 20．（10分）（2021•赤峰）如图，在Rt ABC 中， 90ACB  ，点 D是斜边 AB上一点，且 AC AD ． （1）作 BAC 的平分线，交 BC于点 E；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接DE，求证： DE AB ． 5 21．（12分）（2021•赤峰）某学校九年级有 12个班，每班 50名学生，为了调查该校九年级学生平均 每天的睡眠时间，准备从 12个班里抽取 50名学生作为一个样本进行分析，并规定如下：设每个学生 平均每天的睡眠时间为 t（单位，小时），将收集到的学生平均每天睡眠时间按 6t 、6 8t  、 8t 分 为三类进行分析． （1）下列抽取方法具有代表性的是 ． A.随机抽取一个班的学生 B.从 12个班中，随机抽取 50名学生 C.随机抽取 50名男生 D.随机抽取 50名女生 （2）由上述具有代表性的抽取方法抽取 50名学生，平均每天的睡眠时间数据如表： 睡眠时间 t（小时） 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 人数（人 ) 1 1 2 10 15 9 10 2 ①这组数据的众数和中位数分别是 ， ； ②估计九年级学生平均每天睡眼时间 8t 的人数大约为多少； （3）从样本中学生平均每天眠时间 6t 的 4 个学生里，随机抽取 2 人，画树状图或列表，求抽得 2 人平均每天睡眠时间都是 6小时的概率． 6 22．（12分）（2021•赤峰）为传承优秀传统文化，某地青少年活动中心计划分批次购进四大名著：《西 游记》《水浒传》《三国演义》《红楼梦》．第一次购进《西游记》50本，《水浒传》60本，共花费 6600 元；第二次购进《西游记》40本，《水浒传》30本，共花费 4200元． （1）求《西游记》和《水浒传》每本的售价分别是多少元； （2）青少年活动中心决定再购买上述四种图书，总费用不超过 32000元．如果《西游记》比《三国 演义》每本售价多 10元，《水浒传》比《红楼梦》每本售价少 10元，要使先后购进的四大名著刚好 配套（四大名著各一本为一套），那么这次最多购买《西游记》多少本？ 7 23．（12分）（2021•赤峰）阅读理解： 在平面直角坐标系中，点M 的坐标为 1(x ， 1)y ，点 N的坐标为 2(x ， 2 )y ，且 1 2x x ， 1 2y y ，若M 、 N为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为M 、N的“相关矩形”．如 图 1中的矩形为点M 、 N的“相关矩形”． （1）已知点 A的坐标为 (2,0)． ①若点 B的坐标为 (4,4)，则点 A、 B的“相关矩形”的周长为 ； ②若点C在直线 4x  上，且点 A、C的“相关矩形”为正方形，求直线 AC的解析式； （2）已知点 P的坐标为 (3, 4) ，点Q的坐标为 (6, 2) 若使函数 ky x  的图象与点 P、Q的“相关矩形” 有两个公共点，直接写出 k的取值． 8 24．（12分）（2021•赤峰）如图，在菱形 ABCD中，对角线 AC 、BD相交于点M ， O 经过点 B，C ， 交对角线 BD于点 E，且 CE BE ，连接OE交 BC于点 F ． （1）试判断 AB与 O 的位置关系，并说明理由； （2）若 32 5 5 BD  ， 1tan 2 CBD  ，求 O 的半径． 9 25．（14分）（2021•赤峰）如图，抛物线 2y x bx c    与 x轴交于 ( 3,0)A  、 (1,0)B 两点，与 y轴交 于点C，对称轴 l与 x轴交于点 F ，定直线 / /m AC ，点 E是直线 AC上方抛物线上一动点，过点 E作 EH m ，垂足为H ，交 AC于点G，连接 AE、 EC、CH 、 AH ． （1）抛物线的解析式为 ； （2）当四边形 AHCE 面积最大时，求点 E的坐标； （3）在（2）的条件下，连接 EF ，点 P是 x轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以 F 、E、 P、Q为顶点，以 EF 为一边的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在， 说明理由． 10 26．（14分）（2021•赤峰）数学课上，有这样一道探究题． 如图，已知 ABC 中， AB AC m  ， BC n ， (0 180 )BAC        ，点 P为平面内不与点 A、 C重合的任意一点，连接CP，将线段CP绕点 P顺时针旋转 ，得线段 PD，连接CD、AP点 E、F 分别为 BC、CD的中点，设直线 AP与直线 EF 相交所成的较小角为  ，探究 EF AP 的值和  的度数与 m、 n、 的关系． 请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务： （1）填空： 【问题发现】 小明研究了 60  时，如图 1，求出了 EF PA 的值和  的度数分别为 EF PA  ，   ； 小红研究了 90  时，如图 2，求出了 EF PA 的值和  的度数分别为 EF PA  ，   ； 【类比探究】 他们又共同研究了 120  时，如图 3，也求出了 EF PA 的值和  的度数； 【归纳总结】 最后他们终于共同探究得出规律： EF PA  （用含m、n的式子表示）；  （用含 的式子表 示）． （2）求出 120  时 EF PA 的值和  的度数． 11 2021年内蒙古赤峰市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置 上按要求涂黑，每小题 3分，共 42分） 1．【解答】解： 2021 的相反数是 2021． 故选： A． 2．【解答】解： 68300000 8.3 10  ， 故选： B． 3．【解答】解： A、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； C、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：C． 4．【解答】解： A、“清明时节雨纷纷”是随机事件，本选项说法错误，不符合题意； B、为了了解一批灯管的使用寿命，应采用抽样调查的方式进行，本选项说法错误，不符合题意； C、一组数据 2，5，4，5，6，7的众数、中位数都是 5，平均数 1 29(2 5 4 5 6 7) 6 6        ，本选 项说法错误，不符合题意； D、甲、乙两组队员身高数据的方差分别为 2 0.02S 甲 ， 2 0.01S 乙 ， 2 2S S 乙甲 ， 乙组队员的身高比较整齐，本选项说法正确，符合题意； 故选： D． 5．【解答】解： A． ( )a b c a b c     ，故此选项不合题意； B． 2 2 22a a a  ，故此选项符合题意； C． 2 2( 1) 2 1x x x    ，故此选项不合题意； D． 2 2 2 4 42 ( 2 ) 8a ab a b   ，故此选项不合题意； 故选： B． 6．【解答】解： / /AB CD ， 30C ABC    ， 又 CD CE ， D CED   ， 180C D CED       ，即 30 2 180D    ， 75D  ． 故选： B． 7．【解答】解： 0a b  ， a 、 b互为相反数， a 到原点的距离小于 c到原点的距离， | | | |a c  ， A 选项错误， a c 取绝对值较大的数的符号， 12 0a c   ， B 选项错误， 0a b c   ， 0abc  ， 故C选项正确， 0a b  ， a 、 b互为相反数，  1a b   ， 故 D选项错误， 故选：C． 8．【解答】解： A．本次抽样调查的样本容量是 2000 40% 5000  ，此选项正确，不符合题意； B．扇形统计图中的m为1 (50% 40%) 10%   ，此选项正确，不符合题意； C．若五一期间观光的游客有 50万人，则选择自驾方式出行的有50 40% 20  （万人），此选项正确， 不符合题意； D．样本中选择公共交通出行的约有 5000 50% 2500  （人 )，此选项错误，符合题意； 故选： D． 9．【解答】解： 2 8 2 0x x   ， 2 8 2x x   ， 则 2 8 16 2 16x x    ，即 2( 4) 18x   ， 故选： A． 10．【解答】解：连接 AC ，如图， 四边形 ABCD为 O 的内接四边形， 180ADC ABC   ， 180 120 60ABC      ， AB 为直径， 90ACB  ， 90 60 30BAC      ， 30BEC BAC    ． 故选： B． 11．【解答】解：点 ( , )P a b 在一次函数 4 3y x  的图象上， 4 3b a   ， 8 2 1 8 2(4 3) 1 5a b a a         ， 13 即代数式8 2 1a b  的值等于 5 ． 故选： B． 12．【解答】解：将 ( 1,3) ， (0,0)， (1, 1) 代入 2y ax bx c   得： 3 0 1 a b c c a b c          ， 解得 1 2 0 a b c       ， 2 2y x x   ． A． 1a  ， 抛物线开口向上， 故 A错误，不符合题意． B．图象对称轴为直线 1x  ，且开口向上， 1x  时， y随 x增大而增大， 故 B错误，不符合题意． C． 2 2 ( 2)y x x x x    ， 当 0x  或 2x  时 0y  ， 故C正确，符合题意． D．抛物线开口向上，与 x轴交点坐标为 (0,0)， (2,0)， 0x  或 2x  时， 0y  ， 故 D错误，不符合题意． 故选：C． 13．【解答】解：观察三视图发现该几何体为圆锥，其底面直径为 6cm，母线长为8cm， 所以其侧面积为： 2 1 6 8 24 2 cm    ， 故选： A． 14．【解答】解：由函数图象，得：甲的速度为12 3 4  （米 /秒），乙的速度为 400 80 5  （米 /秒）， 故①正确； 设乙离开起点 x秒后，甲、乙两人第一次相遇，根据题意得： 5 12 4x x  ， 解得： 12x  ， 离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点为：12 5 60  （米 )， 故②错误； 当甲、乙两人之间的距离超过 32米时， (5 4) 12 32 4( 3) 400 32 x x        ， 可得 44 89x  ， 故③正确； 乙到达终点时，所用时间为 80秒，甲先出发 3秒， 此时甲行走的时间为 83秒， 14 甲走的路程为：83 4 332  （米 )， 乙到达终点时，甲、乙两人相距： 400 332 68  （米 )， 故④正确； 结论正确的个数为 3． 故选： B． 二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上，每小题 3分，共 12分） 15．【解答】解：根据题意得： 1 0 2 1 0 x x      ， 解得： 1x  且 1 2 x  ． 故答案为： 1x  且 1 2 x  ． 16．【解答】解：由题意得， 50CAD  ， 45CBD  ， 在Rt CBD 中， 45CBD  ， 238BD CD   米， 在Rt CAD 中， tan CDCAD AD   ， 则 200 tan50 CDAD    米， 则 438AB AD BD   米， 答： AB两点间的距离约为 438米． 故答案为：438． 17．【解答】解：如图，连接OC、OD，过O作OH CD 于H ． 360 60 6 COD     ，OC OD ， COD 是等边三角形， 90 60 30COH      ， OH CD ， 1 2 CH DH CD   ， 1 10( ) 2 OH b mm  ， 10 310 tan30 ( ) 3 CH mm     ， 20 32 ( ) 3 a CH mm   ， 故答案为： 20 3 3 ． 18．【解答】解：四边形 ABCD是边长为 2 5的正方形，点 E是 BC的中点， 2 5AB AD BC CD     ， 5BE CE  ， 90DCE ABE    ， 45ABD CBD    ， 15 ( )ABE DCE SAS   ， CDE BAE   ，DE AE ， AB BC ， ABG CBG   ， BG BG ， ( )ABG CBG SAS   ， BAE BCF   ， BCF CDE   ， 又 90CDE CED    ， 90BCF CED   ， 90CHE  ， CF DE  ，故①正确； 2 5CD  ， 5CE  ， 由勾股定理得， 2 2 20 5 5DE CD CE     ， 1 1 2 2DCE S CD CE DE CH     ， 2CH  ， CHE CBF   ， BCF ECH   ， ECH FCB ∽ ，  CH CE BC CF  ，  2 5 2 5 CF  ， 5CF  ， 3HF CF CH    ，  2 3 CH HF  ，故②正确； 如图，过点 A作 AM DE 于点M ， 2 5DC  ， 2CH  ， 由勾股定理得， 2 2 20 4 4DH DC CH     ， 90CDH ADM    ， 90DAM ADM   ， CDH DAM   ， 又 AD CD ， 90CHD AMD    ， ( )ADM DCH AAS   ， 2CH DM   ， 4AM DH  ， 2MH DM   ， 又 AM DH ， 16 AD AH  ，故④正确； 5DE  ， 4DH  ， 1HE  ， 3ME HE MH    ， AM DE ，CF DE ， AME GHE   ， HEG MEA   ， MEA HEG ∽ ，  GH HE AM ME  ，  1 4 3 GH  ， 4 3 HG  ，故③错误． 综上，正确的有：①②④． 故答案为：①②④． 三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过或演算步 骤.共 8题，满分 96分） 19．【解答】解：原式 23 4 5( ) 2 2 2 m m m m m         23 9 2 2 m m m m       3 2 2 ( 3)( 3) m m m m m        1 3m   ， 当 1 0 1( ) (2 ) 8 | 7 | 3 1 2 2 7 2 2 3 3 m             时， 原式 1 2 2 3 3    1 2 2  2 4  ． 20．【解答】（1）解：如图， AE为所作； （2）证明： AE 平分 BAC ， CAE DAE   ， 17 在 ACE 和 ADE 中， AC AD CAE DAE AE AE       ， ( )ACE ADE SAS   ， 90ADE C    ， DE AB  ． 21．【解答】解：（1） A 、C、D不具有全面性， 故答案为： B； （2）①这组数据的众数为 7小时，中位数为 7 7 7 2   （小时）， 故答案为：7，7； ②估计九年级学生平均每天睡眼时间 8t 的人数大约为： 10 212 50 144 50     （人 )； （3）把样本中学生平均每天眠时间为 5小时、5.5小时、6小时的 4个学生分别记为 A、B、C 、D， 画树状图如图： 共有 12种等可能的结果，抽得 2人平均每天睡眠时间都是 6小时的结果有 2种， 抽得 2人平均每天睡眠时间都是 6小时的概率为 2 1 12 6  ． 22．【解答】解：（1）设《西游记》每本的售价为 x元，《水浒传》每本的售价为 y元， 依题意得： 50 60 6600 40 30 4200 x y x y      ， 解得： 60 60 x y    ． 答：《西游记》每本的售价为 60元，《水浒传》每本的售价为 60元． （2）《三国演义》每本售价为 60 10 50  （元 )， 《红楼梦》每本售价为 60 10 70  （元 )． 设这次购买《西游记》 m 本，则购买《水浒传》 (50 40 60 30)m m     本，《三国演义》 (50 40 ) (90 )m m    本，《红楼梦》 (50 40 ) (90 )m m    本， 依题意得： 60 60 50(90 ) 70(90 ) 32000m m m m      ， 解得： 188 3 m ． 又 m 为整数， m 可以取的最大值为 88． 答：这次最多购买《西游记》88本． 23．【解答】解：（1）① (2,0)A ， (4,4)B ， 点 A、 B的“相关矩形”的周长为 (4 2 4) 2 12    ， 18 故答案为：12； ②若点C 在直线 4x  上，且点 A、C的“相关矩形”为正方形， (4,2)C 或 (4, 2) ， 设直线 AC的关系式为： y kx b  将 (2,0)、 (4,2)代入解得： 1k  ， 2b   ， 2y x   ， 将 (2,0)、 (4, 2) 代入解得： 1k   ， 2b  ， 2y x    ， 直线 AC的解析式为： 2y x  或 2y x   ； （2）点 P的坐标为 (3, 4) ，点Q的坐标为 (6, 2) ， 设点 P、Q的“相关矩形”为矩形MPNQ，则 (3, 2)M  ， (6, 4)N  ， 当函数 ky x  的图象过M 时， 6k   ， 当函数 ky x  的图象过 N时， 24k   ， 若使函数 ky x  的图象与点 P、Q的“相关矩形”有两个公共点，则 24 6k    ． 19 24．【解答】解：（1） AB是 O 的切线， 理由如下： 连接OB， OE OB ， OEB OBE   ， 四边形 ABCD是菱形， AC 、 BD是其对角线， ABD CBD   ，   CE BE ，OE是 O 的半径， OE BC  ， 90BFE  ， 90OEB CBE    ， 90ABD OBE    ， OB AB  ，即 AB是 O 的切线； （2）四边形 ABCD是菱形， AC、 BD是其对角线， 32 5 5 BD  ， 1 16 5 2 5 BM BD   ， AC BD ， 1tan 2 CBD  ， 1 8 5 2 5 CM BM   ， 2 2 8BC BM CM    ，   CE BE ，OE是 O 的半径， 1 4 2 BF BC   ， 20 1tan 2 CBD  ，OE BC ， 1 2 2 EF BF   ， 设 O 的半径为 r ，则OF 的长为 2r  ， 在Rt OFB 中， 2 2 2OF BF OB  ，即 2 2 2( 2) 4r r   ， 解得： 5r  ， O 的半径为 5． 25．【解答】解：（1） 2y x bx c    与 x轴交于 ( 3,0) 、 (1,0)B ，  9 3 0 1 0 b c b c         ， 解得 2 3 b c     ， 抛物线的解析式为 2 2 3y x x    ． 故答案为： 2 2 3y x x    ； （2）如图 1中，连接OE．设 2( , 2 3)E m m m   ． ( 3,0)A  ， (0,3)C ， 3OA OC   ， 3 2AC  ， / /AC 直线m， 当直线m的位置确定时， ACH 的面积是定值， AEC ACHAECHS S S   四边形 ， 当 AEC 的面积最大时，四边形 AECH的面积最大， 21 2 21 1 1 3 3 273 ( 2 3) 3 ( ) 3 3 ( ) 2 2 2 2 2 8AEC AEO ECO AOC S S S S m m m m                       ， 3 0 2   ， 3 2 m   时， AEC 的面积最大， 3( 2 E  ， 15) 4 ； （3）存在．如图 2中，因为点Q在抛物线上 EF 是平行四边形的边，观察图象可知，满足条件的点Q 的纵坐标为 15 4  ， 对于抛物线 2 2 3y x x    ，当 15 4 y  时， 2 152 3 4 x x    ，解得 3 2 x   （舍弃）或 1 2  ， 1 1( 2 Q  ， 15) 4 ． 当 15 4 y   时， 2 152 3 4 x x     ，解得 2 31 2 x   ， 22 2 2 31( 2 Q   ， 15) 4  ， 3 2 31( 2 Q   ， 15) 4  ． 综上所述，满足条件的点Q坐标为 1( 2  ， 15) 4 或 2 31( 2   ， 15) 4  或 2 31( 2   ， 15) 4  ． 26．【解答】解：（1）如图 1，连接 AE， PF ，延长 EF、 AP交于点Q， 当 60  时， ABC 和 PDC 都是等边三角形， 60PCD ACB    ， PC CD ， AC CB ， F 、 E分别是CD、 BC的中点，  1 2 CF PC  ， 1 2 CE AC  ，  CF CE PC AC  ， 又 ACP ECF   ， ACP ECF ∽ ，  1 2 EF AP  ， CEF CAP   ， 60Q ACB      ， 当 90  时， ABC 和 PDC 都是等腰直角三角形， 23 45PCD ACB    ， 1 2 PC CD ， 1 2 AC CB ， F 、 E分别是CD、 BC的中点，  1 2 CE AC  ， 1 2 CF PC  ，  CF CE PC AC  ， 又 ACP ECF   ， ACP ECF ∽ ，  1 2 22 EF AP   ， CEF CAP   ， 45Q ACB      ， 由此，可归纳出 2 2 n EF CE n AP AC m m    ， 180 2 ACB      ； （2）当 120  ，连接 AE， PF ，延长 EF 、 AP交于点Q， AB AC ， E为 BC的中点， AE BC  ， 60CAE   3sin 60 2 CE AC     ， 同理可得： 3 2 CF CP  ，  CE CF AC CP  ，  CE CA CF CP  ， 又 ECF ACP   ， PCA FCE ∽ ，  3 2 EF EC AP AC   ， CEF CAP   ， 30Q ACB     ． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期： 2024/4/18 9:59:57；用户：无法无天；邮箱：15202498799；学号： 48219556