2020年内蒙古赤峰市中考数学试卷（含答案）

1 2020年内蒙古赤峰市中考数学试卷 一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题的选项序号，在答题卡的对应位置 上按要求涂黑．每小题 3分，共 42分） 1．（3分）（2020•赤峰）实数 | 5 | ， 3 ，0， 4 中，最小的数是 ( ) A． | 5 | B． 3 C．0 D． 4 2．（3 分）（2020•赤峰）2020年 6月 23日 9时 43分，我国成功发射了北斗系统第 55颗导航卫星， 其授时精度为世界之最，不超过 0.0000000099秒．数据“0.0000000099”用科学记数法表示为 ( ) A． 1099 10 B． 109.9 10 C． 99.9 10 D． 80.99 10 3．（3分）（2020•赤峰）下列图形绕某一点旋转一定角度都能与原图形重合，其中旋转角度最小的是 ( ) 等边三角形 平行四边形 正八边形 圆及其一条弦 4．（3分）（2020•赤峰）学校朗诵比赛，共有 9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成 绩时，从 9个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到 7个有效评分．7个有效评分与 9个原 始评分相比，不变的数据特征是 ( ) A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 5．（3分）（2020•赤峰）下列计算正确的是 ( ) A． 2 3 5a a a  B．3 2 2 2 1  C． 2 3 5( )x x D． 5 3 2m m m  6．（3分）（2020•赤峰）不等式组 2 0 2 4 0 x x      的解集在数轴上表示正确的是 ( ) A B C D 7．（3分）（2020•赤峰）如图，Rt ABC 中， 90ACB  ， 5AB  ， 3AC  ，把Rt ABC 沿直线 BC 向右平移 3个单位长度得到△ A B C  ，则四边形 ABC A 的面积是 ( ) A．15 B．18 C．20 D．22 第 7题图 第 8题图 8．（3分）（2020•赤峰）如图，在 ABC 中，点 D，E分别是边 AB，AC的中点，点 F 是线段DE上 的一点．连接 AF ， BF ， 90AFB  ，且 8AB  ， 14BC  ，则 EF 的长是 ( ) A．2 B．3 C．4 D．5 9．（3分）（2020•赤峰）估计 1(2 3 3 2) 3   的值应在 ( ) A．4和 5之间 B．5和 6之间 C．6和 7之间 D．7和 8之间 2 10．（3分）（2020•赤峰）如图， ABC 中， AB AC ， AD是 BAC 的平分线， EF 是 AC的垂直平 分线，交 AD于点O．若 3OA  ，则 ABC 外接圆的面积为 ( ) A．3 B． 4 C． 6 D．9 第 10题图 第 11题图 第 12题图 第 13题图 11．（3 分）（2020•赤峰）如图， A 经过平面直角坐标系的原点O，交 x轴于点 ( 4,0)B  ，交 y轴于 点 (0,3)C ，点 D为第二象限内圆上一点．则 CDO 的正弦值是 ( ) A． 3 5 B． 3 4  C． 3 4 D． 4 5 12．（3分）（2020•赤峰）某几何体的三视图及相关数据（单位：cm）如图所示，则该几何体的侧面 积是 ( ) A． 265 2 cm B． 260 cm C． 265 cm D． 2130 cm 13．（3分）（2020•赤峰）如图，点B在反比例函数 6 ( 0)y x x   的图象上，点C在反比例函数 2 ( 0)y x x    的 图象上，且BC∥y轴，AC BC ，垂足为点C ，交 y轴于点A．则 ABC 的面积为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 14．（3分）（2020•赤峰）如图，在菱形 ABCD中， 60B  ， 2AB  ．动点 P从点 B出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿折线 BA AC 运动到点 C ，同时动点 Q从点 A出发，以相同速度沿折线 AC CD 运动到点 D，当一个点停止运动时，另一点也随之停止．设 APQ 的面积为 y，运动时间 为 x秒．则下列图象能大致反映 y与 x之间函数关系的是 ( ) A B C D 第 14题图 第 16题图 二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上．每小题 3分，满分 12分） 15．（3分）（2020•赤峰）一个正 n边形的内角和是它外角和的 4倍，则 n  ． 16．（3分）（2020•赤峰）如图，航拍无人机从 A处测得一幢建筑物顶部C的仰角是 30，测得底部 B 的俯角是 60，此时无人机与该建筑物的水平距离 AD是 9米，那么该建筑物的高度 BC为 米（结 果保留根号）． 3 17．（3分）（2020•赤峰）某校为了解七年级学生的身体素质情况，从七年级各班随机抽取了数量相 同的男生和女生，组成一个容量为 60的样本，进行各项体育项目的测试．下表是通过整理样本数据， 得到的关于每个个体测试成绩的部分统计表： 某校 60名学生体育测试成绩频数分布表 成绩 划记 频数 百分比 优秀 a 30% 良好 30 b 合格 9 15% 不合格 3 5% 合计 60 60 100% 如果该校七年级共有300名学生，根据以上数据，估计该校七年级学生身体素质良好及以上的人数为 人． 18．（3分）（2020•赤峰）一个电子跳蚤在数轴上做跳跃运动．第一次从原点O起跳，落点为 1A，点 1A 表示的数为 1；第二次从点 1A起跳，落点为 1OA 的中点 2A ，第三次从 2A 点起跳，落点为 2OA 的中点 3A ； 如此跳跃下去最后落点为 2019OA 的中点 2020A ，则点 2020A 表示的数为 ． 第 18题图 三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤．共 8题，满分 96分） 19．（10分）（2020•赤峰） 先化简，再求值： 2 2 1 1 2 1 m mm m m m       ，其中m满足： 2 1 0m m   ． 4 20．（10分）（2020•赤峰）小琪同学和爸爸妈妈一起回老家给奶奶过生日，他们为奶奶准备了一个如 图所示的正方形蛋糕，蛋糕的每条边上均匀镶嵌着 4颗巧克力．爸爸要求小琪只切两刀把蛋糕平均分 成 4份，使每个人分得的蛋糕和巧克力数都相等． （1）请你在图 1中画出一种分法（无需尺规作图）； （2）如图 2，小琪同学过正方形的中心切了一刀，请你用尺规作图帮她作出第 2刀所在的直线．（不 写作法，保留作图痕迹） 5 21．（12分）如图 1，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面，并分别标有 1，2，3，4四个数字； 如图 2，等边三角形 ABC的三个顶点处各有一个圆圈．丫丫和甲甲想玩跳圈游戏，游戏的规则为：游 戏者从圈 A起跳，每投掷一次骰子，骰子着地的一面点数是几，就沿着三角形的边逆时针方向连续跳 跃几个边长．如：若第一次掷得点数为 2，就逆时针连续跳 2个边长，落到圈C；若第二次掷得点数 为 4，就从圈C继续逆时针连续跳 4个边长，落到圈 A． （1）丫丫随机掷一次骰子，她跳跃后落回到圈 A的概率为 ； （2）丫丫和甲甲一起玩跳圈游戏：丫丫随机投掷一次骰子，甲甲随机投掷两次骰子，都以最终落回 到圈 A为胜者．这个游戏规则公平吗？请说明理由． 6 22．（12分）（2020•赤峰）甲、乙两支工程队修建二级公路，已知甲队每天修路的长度是乙队的 2倍， 如果两队各自修建公路 500m，甲队比乙队少用 5天． （1）求甲，乙两支工程队每天各修路多少米？ （2）我市计划修建长度为3600m的二级公路，因工程需要，须由甲、乙两支工程队来完成．若甲队 每天所需费用为 1.2万元，乙队每天所需费用为 0.5万元，求在总费用不超过 40万元的情况下，至少 安排乙队施工多少天？ 7 23．（12 分）（2020•赤峰）如图， AB是 O 的直径， AC 是 O 的一条弦，点 P是 O 上一点，且 PA PC ， / /PD AC ，与 BA的延长线交于点D． （1）求证： PD是 O 的切线； （2）若 2tan 3 PAC  ， 12AC  ，求直径 AB的长． 8 24．（12分）（2020•赤峰）阅读理解： 材料一：若三个非零实数 x， y， z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称 这三个实数 x， y， z构成“和谐三数组”． 材料二：若关于 x的一元二次方程 2 0( 0)ax bx c a    的两根分别为 1x ， 2x ，则有 1 2 bx x a    ， 1 2 cx x a   ． 问题解决： （1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数 ； （2）若 1x ， 2x 是关于 x的方程 2 0(ax bx c a   ， b ， c 均不为 0) 的两根， 3x 是关于 x的方程 0(bx c b  ， c均不为 0)的解．求证： 1x ， 2x ， 3x 可以构成“和谐三数组”； （3）若 1( , )A m y ， 2( 1, )B m y ， 3( 3, )C m y 三个点均在反比例函数 4y x  的图象上，且三点的纵坐标 恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值． 9 25．（14分）（2020•赤峰）如图，已知二次函数 2 ( 0)y ax bx c a    的图象与 x轴交于 (1,0)A ， (4,0)B 两点，与 y轴交于点C，直线 1 2 2 y x   经过 B，C两点． （1）直接写出二次函数的解析式 ； （2）平移直线 BC，当直线 BC与抛物线有唯一公共点Q时，求此时点Q的坐标； （3）过（2）中的点Q作 / /QE y轴，交 x轴于点 E．若点M 是抛物线上一个动点，点 N是 x轴上一 个动点，是否存在以 E，M ，N三点为顶点的直角三角形（其中M 为直角顶点）与 BOC 相似？如 果存在，请直接写出满足条件的点M 的个数和其中一个符合条件的点M 的坐标；如果不存在，请说 明理由． 10 26．（14分）（2020•赤峰）如图，矩形 ABCD中，点 P为对角线 AC所在直线上的一个动点，连接 PD， 过点 P作 PE PD ，交直线 AB于点 E，过点 P作MN AB ，交直线CD于点M ，交直线 AB于点 N． 4 3AB  ， 4AD  ． （1）如图 1，①当点 P在线段 AC上时， PDM 和 EPN 的数量关系为： PDM EPN ； ② DP PE 的值是 ； （2）如图 2，当点 P在CA延长线上时，（1）中的结论②是否成立？若成立，请证明；若不成立，说 明理由； （3）如图 3，以线段 PD， PE 为邻边作矩形 PEFD．设 PM 的长为 x，矩形 PEFD的面积为 y．请 直接写出 y与 x之间的函数关系式及 y的最小值． 11 2020年内蒙古赤峰市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题的选项序号，在答题卡的对应位置 上按要求涂黑．每小题 3分，共 42分） 1．【解答】解： | 5 | 5  ， 4 2 ， 3 0 2 5    ， 3 是最小的数， 故选： B． 2．【解答】解： 90.0000000099 9.9 10  ， 故选：C． 3．【解答】解： A、最小旋转角度 360 120 3    ； B、最小旋转角度 360 180 2    ； C、最小旋转角度 360 45 8    ； D、不是旋转对称图形； 综上可得：旋转一定角度后，能与原图形完全重合，且旋转角度最小的是C． 故选：C． 4．【解答】解：根据题意，从 9个原始评分中去掉 1个最高分、1个最低分，得到 7个有效评分 7个 有效评分与 9个原始评分相比，不变的数字特征是中位数． 故选： B． 5．【解答】解： A、 2 3a a ，无法计算，故此选项错误； B、3 2 2 2 2  ，故此选项错误； C、 2 3 6( )x x ，故此选项错误； D、 5 3 2m m m  ，正确． 故选： D． 6．【解答】解：解不等式 2 0x   ，得： 2x   ， 解不等式 2 4 0x   ，得： 2x ， 则不等式组的解集为 2 2x   ， 故选：C． 7．【解答】解：把Rt ABC 沿直线 BC向右平移 3个单位长度得到△ A B C  ， 3A A CC     ， / /AA BC ， 在Rt ABC 中， 5AB  ， 3AC  ， 2 25 3 4BC    ， / /AA BC  ， 四边形 ABC A 是梯形， 四边形 ABC A 的面积 1 1( ) (3 4 3) 3 15 2 2 AA BC AC           ， 故选： A． 12 8．【解答】解：点 D， E分别是边 AB， AC的中点， DE 是 ABC 的中位线， 14BC  ， 1 7 2 DE BC   ， 90AFB   ， 8AB  ， 1 4 2 DF AB   ， 7 4 3EF DE DF      ， 故选： B． 9．【解答】解：原式 2 6  ，  2 6 3  ，  4 2 6 5   ， 故选： A． 10．【解答】解： AB AC ， AD是 BAC 的平分线， BD CD  ， AD BC ， EF 是 AC的垂直平分线， 点O是 ABC 外接圆的圆心， 3OA  ， ABC 外接圆的面积 2 23 9r      ． 故选： D． 11．【解答】解：连接 BC，如图， ( 4,0)B  ， (0,3)C ， 4OB  ， 3OC  ， 2 23 4 5BC    ， 3sin 5 OCOBC BC     ， ODC OBC   ， 3sin sin 5 CDO OBC     ． 故选： A． 13 12．【解答】解：观察图形可知： 圆锥母线长为： 2 25 12 13  ， 所以圆锥侧面积为： 25 13 65 ( )rl cm      ． 答：该几何体的侧面积是 265 cm ． 故选：C． 13．【解答】解：过 B点作 BH y 轴于H 点， BC交 x轴于 D，如图， / /BC y 轴， AC BC ， 四边形 ACDO和四边形ODBH 都是矩形， 2 2OACDS   矩形 ， 6 6ODBHS  矩形 ， 2 6 8ACBHS   矩形 ， ABC 的面积 1 4 2 ACBH S 矩形 ． 故选： B． 14．【解答】解：当 0 2x  时，如图 1，过点Q作QH AB 于H ， 由题意可得 BP AQ x  ， 在菱形 ABCD中， 60B  ， 2AB  ， AB BC AD CD    ， 60B D    ， 14 ABC 和 ADC 都是等边三角形， 2AC AB   ， 60BAC ACD     ， sin HQBAC AQ   ， 3sin 60 2 HQ AQ x    ， APQ 的面积 21 3 3 3(2 ) ( 1) 2 2 4 4 y x x x        ； 当 2 4x  时，如图 2，过点Q作QN AC 于 N， 由题意可得 2AP CQ x   ， 3sin 2 NQACD CQ    ， 3 ( 2) 2 NQ x   ， APQ 的面积 21 3 3( 2) ( 2) ( 2) 2 2 4 y x x x       ， 该图象开口向上，对称轴为直线 2x  ， 在 2 4x  时， y随 x的增大而增大， 当 4x  时， y有最大值为 3， 故选： A． 二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上．每小题 3分，满分 12分） 15．【解答】解：多边形的外角和是 360，根据题意得： 180 ( 2) 360 4n     ， 解得 10n  ． 故答案为：10． 16．【解答】解：根据题意可知： 在Rt ADC 中， 30CAD  ， 9AD  米， 3tan30 9 3 3 3 CD AD       （米 )， 在Rt ADB 中， 60BAD  ， 9AD  米， tan 60 9 3BD AD     （米 )， 3 3 9 3 12 3BC CD BD      （米 )． 答；该建筑物的高度 BC为12 3米． 故答案为：12 3． 17．【解答】解：根据频数分布表可知： 15 9 15% 60  ， 60 30% 18a    ， 1 30% 15% 5% 50%b      ， 300 (30% 50%) 240    （人 )． 答：估计该校七年级学生身体素质良好及以上的人数为 240人． 故答案为：240． 18．【解答】解：第一次落点为 1A处，点 1A表示的数为 1； 第二次落点为 1OA 的中点 2A ，点 2A 表示的数为 1 2 ； 第三次落点为 2OA 的中点 3A ，点 3A 表示的数为 21( ) 2 ；  则点 2020A 表示的数为 20191( ) 2 ，即点 2020A 表示的数为 2019 1 2 ； 故答案为： 2019 1 2 ． 三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤．共 8题，满分 96分） 19．【解答】解：原式 2 ( 1)( 1) ( 1) 1 m m mm m m        1 mm m    2 1 m m   ， 2 1 0m m   ， 2 1m m   ， 原式 1 1 1 m m     ． 20．【解答】解：（1）如图，直线 a，直线b即为所求． （2）如图，直线 c即为所求． 21．【解答】解：（1）丫丫随机掷一次骰子，她跳跃后落回到圈 A的概率 1 4  ； （2）这个游戏规则不公平． 理由如下： 画树状图为： 16 共有 16种等可能的结果，其中甲甲随机投掷两次骰子，最终落回到圈 A的结果数为 5， 所以甲甲随机投掷两次骰子，最终落回到圈 A的概率 5 16  ， 因为 1 5 4 16  ， 所以这个游戏规则不公平． 22．【解答】解：（1）设乙工程队每天修路 x米，则甲工程队每天修路 2x米， 依题意，得： 500 500 5 2x x   ， 解得： 50x  ， 经检验， 50x  是原方程的解，且符合题意， 2 100x  ． 甲工程队每天修路 100米，乙工程队每天修路 50米． （2）设安排乙工程队施工m天，则安排甲工程队施工 3600 50 (36 0.5 ) 100 m m   天， 依题意，得： 0.5 1.2(36 0.5 ) 40m m   ， 解得： 32m ． 又 m 为整数， m 的最小值为 32． 答：（1）甲工程队每天修路 100米，乙工程队每天修路 50米；（2）至少安排乙工程队施工 32天． 23．【解答】解：（1）连接 PO，交 AC于H ， PA PC ， PAC PCA   ， PCA PBA   ， PAC PCA PBA     ， / /DP AC ， DPA PAC PCA PBA       ， OA OP ， PAO OPA   ， AB 是直径， 90APB  ， 90PAB ABP   ， 17 90OPA DPA   ， 90DPO  ， 又 OP 是半径， DP 是 O 的切线； （2） / /DP AC ， 90DPO  ， 90DPO AHO    ， 又 PA PC ， 1 6 2 AH HC AC    ， 2tan 3 PHPAC AH    ， 2 4 3 PH AH    ， 2 2 2AO AH OH  ， 2 236 ( 4)AO OA    ， 13 2 OA  ， 2 13AB OA   ． 24．【解答】解：（1）根据题意得，能构成“和谐三数组”的实数有， 1 2 ， 1 3 ， 1 5 ； 理由： 1 2 的倒数为 2， 1 3 的倒数为 3， 1 5 的倒数为 5，而 2 3 5  ，  1 1 1, , 2 3 5 能构成“和谐三数组”， 故答案为：如 1 1 1, , 2 3 5 ； （2）证明： 1x ， 2x 是关于 x的方程 2 0(ax bx c a   ， b， c均不为 0)的两根， 1 2 bx x a     ， 1 2 cx x a  ，  1 2 1 2 1 2 1 1 x x b x x x x c      ， 3x 是关于 x的方程 0(bx c b  ， c均不为 0)的解， 3 cx b    ，  3 1 b x c   ，  1 2 3 1 1 1 x x x   ， 1x ， 2x ， 3x 可以构成“和谐三数组”； （3） 1( , )A m y ， 2( 1, )B m y ， 3( 3, )C m y 三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”， 18 1( , )A m y ， 2( 1, )B m y ， 3( 3, )C m y 三个点均在反比例函数 4y x  的图象上， 1 4y m   ， 2 4 1 y m   ， 3 4 3 y m   ，  1 1 4 m y  ， 2 1 1 4 m y   ， 3 1 3 4 m y   ， 1( , )A m y ， 2( 1, )B m y ， 3( 3, )C m y 三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”， ① 1 2 3 1 1 1 y y y   ，  1 3 4 4 4 m m m    ， 2m  ， ② 2 3 1 1 1 1 y y y   ，  1 3 4 4 4 m m m    ， 4m   ， ③ 3 1 2 1 1 1 y y y   ，  3 1 4 4 4 m m m    ， 2m   ， 即满足条件的实数m的值为 2或 4 或 2 ． 25．【解答】解：（1）直线 1 2 2 y x   经过 B，C两点． 点 (0,2)C ， 二次函数 2 ( 0)y ax bx c a    的图象经过 (1,0)A ， (4,0)B ，点 (0,2)C ，  0 0 16 4 2 a b c a b c c          ， 解得： 1 2 5 2 2 a b c          ， 抛物线解析式为 2 1 5 2 2 2 y x x   ， 故答案为： 2 1 5 2 2 2 y x x   ； （2）直线 BC解析式为： 1 2 2 y x   ， 19 设平移后的解析式为： 1 2 2 y x m    ， 平移后直线 BC与抛物线有唯一公共点Q  2 1 5 12 2 2 2 2 x x x m      ， △ 14 4 ( ) 0 2 m      ， 2m   ， 设平移后的解析式为： 1 2 y x  ， 联立方程组得： 2 1 2 1 5 2 2 2 y x y x x          ，  2 1 x y     ， 点 (2, 1)Q  ； （3）设点M 的坐标为 21 5( , 2) 2 2 m m m  ， 以 E，M ， N三点为顶点的直角三角形（其中M 为直角顶点）与 BOC 相似， 当 MEN OBC ∽ 时， MEN OBC   ， 过点M 作MH x 轴于H ， 90EHM BOC     ， EHM BOC ∽ ，  EH OB MH OC  ， 21 5| 2 | 2 2 MH m m    ， | 2 |EH m  ， 4OB  ， 2OC  ．  2 | 2 | 2 1 5| 2 | 2 2 m m m     或 1 2 ， 3 3m   或 2 2m   或 9 33 2 m  或 1 17 2 m  ， 当 3 3m   时， 21 5 3 12 2 2 2 m m    ， (3 3M  ， 3 1) 2  ， 当 3 3m   时， 21 5 1 32 2 2 2 m m    ， (3 3M  ， 1 3 ) 2  ， 20 当 2 2m   时， 21 5 22 2 2 2 m m    ， (2 2M  ， 2 ) 2  ， 当 2 2m   时， 21 5 22 2 2 2 m m   ， (2 2M  ， 2 ) 2 ， 当 9 33 2 m  时， 21 5 2 5 33 2 2 m m    ， 9 33( 2 M  ， 5 33) ， 当 9 33 2 m  时， 21 5 2 33 5 2 2 m m    ， 9 33( 2 M  ， 33 5) ， 当 1 17 2 m  时， 21 5 2 3 17 2 2 m m    ， 1 17( 2 M  ，3 17) ， 当 1 17 2 m  时， 21 5 2 3 17 2 2 m m    ， 1 17( 2 M  ，3 17) ， 即满足条件的点M 共有 8个，其点的坐标为 (3 3 ， 3 1) 2  或 (3 3 ，1 3 ) 2  或 (2 2 ， 2 ) 2  或 (2 2 ， 2 ) 2 或 9 33( 2  ， 5 33) 或 9 33( 2  ， 33 5) 或 1 17( 2  ， 3 17) 或 1 17( 2  ， 3 17) ． 26．【解答】解：（1）①如图 1中， 21 四边形 ABCD是矩形， / /AB CD ， NM AB ， NM CD  ， DP PE ， 90PMD PNE DPE      ， 90PDM DPM   ， 90DPM EPN   ， PDM EPN   ． 故答案为 ． ②连接DE．四边形 ABCD是矩形， 90DAE B    ， 4AD BC  ． 3tan 3 BCCAB AB     ， 30CAB  ， 180DAE DPE    ， A ，D， P， E四点共圆， 30EDP PAB    ，  3tan30 3 PE PD    ，  3PD PE  ． （2）如图 2中，结论成立． 理由：连接DE． 90DPE DAE     ， A ，D， E， P四点共圆， 30PDE EAP CAB      ，  1 3 tan30 DP PE    ． 22 （3）如图 3中，由题意 PM x ， 4PN x  ， PDM EPN   ， 90DMP PNE    ， DMP PNE ∽ ，  3DM PM PD PN EN PE    ，  3 4 DM x x EN    ， 3(4 )DM x   ， 3 3 EN x ， 2 2 2 2 2[ 3(4 )] 2 6 12PD DM PM x x x x         ， 23 2 3 6 12 3 3 PE PD x x     ， 2 24 3 4 3( 6 12) 8 3 16 3( 0) 3 3 y PD PE x x x x x          ， 24 3 ( 3) 4 3 3 y x   ，  4 3 0 3  ， 当 3x  时， y有最小值，最小值为 4 3． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期： 2024/4/18 10:00:06；用户：无法无天；邮箱：15202498799；学号： 48219556