2024年内蒙古包头市中考数学试卷（含答案）

1 2024年内蒙古包头市中考数学试卷 一、选择题：本大题共有 10小题，每小题 3分，共 30分。每小题只有一个正确选项，请将答题卡上 对应题目的答案标号涂黑。 1.计算 2 29 6 所得结果是 ( ) A．3 B． 6 C．3 5 D． 3 5 2.若m， n互为倒数，且满足 3m mn  ，则 n的值为 ( ) A． 1 4 B． 1 2 C．2 D．4 3.如图，正方形 ABCD边长为 2，以 AB所在直线为轴，将正方形 ABCD旋转一周，所得圆柱的主视 图的面积为 ( ) A．8 B．4 C．8 D． 4 第 3 题图 第 4 题图 第 8 题图 4.如图，直线 AB CD∥ ，点 E在直线 AB上，射线 EF交直线CD于点G，则图中与 AEF 互补的角有 ( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 5.为发展学生的阅读素养，某校开设了《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》4 个整本书阅 读项目，甲、乙两名同学都通过抽签的方式从这 4 个阅读项目中随机抽取 1 个，则他们恰好抽到同一 个阅读项目的概率是 ( ) A． 1 16 B． 1 12 C． 1 6 D． 1 4 6.将抛物线 2 2y x x  向下平移 2 个单位后，所得新抛物线的顶点式为 ( ) A． 2( 1) 3y x   B． 2( 1) 2y x   C． 2( 1) 3y x   D． 2( 1) 2y x   7.若 2 1m  ，m，4 m 这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则m的取值范围是 ( ) A． 2m  B． 1m  C．1 2m  D． 51 3 m  8.如图，在扇形 AOB中， 80AOB  ，半径 3OA  ，C是AB上一点，连接OC，D是OC上一点， 且OD DC ，连接 BD．若 BD OC ，则AC的长为 ( ) A． 6  B． 3  C． 2  D． 9.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 各顶点的坐标分别是 (0,0)O ， (1,2)A ， (3,3)B ， (5,0)C ， 则四边形OABC 的面积为 ( ) A．14 B．11 C．10 D．9 2 第 9 题图 第 10 题图 10.如图，在矩形 ABCD中， E， F 是边 BC上两点，且 BE EF FC  ，连接DE， AF ，DE与 AF 相交于点G，连接 BG ．若 4AB  ， 6BC  ，则 sin GBF 的值为 ( ) A． 10 10 B． 3 10 10 C． 1 3 D． 2 3 二、填空题：本大题共有 6小题，每小题 3分，共 18分。请将答案填在答题卡上对应的横线上。 11.计算： 2 0243 8 ( 1)+ - = ． 12.若一个 n边形的内角和是 900，则 n  ． 13.在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第一、二、三象限，请写出一个符合该条件的一次 函数的表达式 ． 14.如图，四边形 ABCD是 O 的内接四边形，点O在四边形 ABCD内部，过点C作 O 的切线交 AB 的延长线于点 P，连接OA，OB．若 140AOB  ， 35BCP  ，则 ADC 的度数为 ． 第 14 题图 第 16 题图 15.若反比例函数 1 2y x  ， 2 3y x   ，当1 3x  时，函数 1y 的最大值是 a，函数 2y 的最大值是 b，则 ba  ． 16.如图，在菱形 ABCD中， 60ABC  ， 6AB  ， AC 是一条对角线， E是 AC上一点，过点 E作 EF AB ，垂足为 F ，连接DE．若CE AF ，则DE的长为 ． 三、解答题：本大题共有 7小题，共 72分。请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡 的对应位置。 17.（本题满分 8 分） （1）先化简，再求值： 2( 1) 2( 1)x x   ，其中 2 2x  ． 3 （2）解方程： 2 2 4 4 x x x x      ． 18.（本题满分 8 分）《国家学生体质健康标准 (2014年修订）》将九年级男生的立定跳远测试成绩分为 四个等级：优秀 ( 240)x ，良好 (225 240)x  ，及格 (185 225)x  ，不及格 ( 185)x  ，其中 x表示测 试成绩（单位： cm)．某校为了解本校九年级全体男生立定跳远测试的达标情况，精准找出差距，进 行科学合理的工作规划，整理了本校及所在区县九年级全体男生近期一次测试成绩的相关数据，信息 如下： a.本校测试成绩频数（人数）分布表： 等级 优秀 良好 及格 不及格 频数（人数） 40 70 60 30 b.本校测试成绩统计表： 平均数 中位数 优秀率 及格率 222.5 228 p 85% c.本校所在区县测试成绩统计表： 平均数 中位数 优秀率 及格率 218.7 223 23% 91% 请根据所给信息，解答下列问题： （1）求出 p的值； （2）本校甲、乙两名同学本次测试成绩在本校排名（从高到低）分别是第 100 名、第 101 名，甲同 学的测试成绩是 230 cm，请你计算出乙同学的测试成绩是多少？ （3）请你结合该校所在区县测试成绩，从平均数、中位数、优秀率和及格率四个方面中任选两个， 对该校九年级全体男生立定跳远测试的达标情况做出评价，并为该校提出一条合理化建议． 4 19.（本题满分 8 分）如图，学校数学兴趣小组开展“实地测量教学楼 AB的高度”的实践活动．教学 楼周围是开阔平整的地面，可供使用的测量工具有皮尺、测角仪（皮尺的功能是直接测量任意可到达 的两点间的距离；测角仪的功能是测量角的大小）． （1）请你设计测量教学楼 AB的高度的方案，方案包括画出测量平面图，把应测数据标证所画的图形 上（测出的距离用m， n等表示，测出的角用 ，  等表示），并对设计进行说明； （2）根据你测量的数据，计算教学楼 AB的高度（用字母表示）． 第 19 题图 5 20.（本题满分 11 分）如图是 1 个碗和 4 个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的．小 亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度 y（单位：cm）随着碗的 数量 x（单位：个）的变化规律．下表是小亮经过测量得到的 y与 x之间的对应数据： x/个 1 2 3 4 y/cm 6 8.4 10.8 13.2 （1）依据小亮测量的数据，写出 y与 x之间的函数表达式，并说明理由； （2）若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过 28.8 cm，求此时碗的数量最多为多少个？ 第 20 题图 6 21.（本题满分 12 分）如图， AB是 O 的直径， BC， BD是 O 的两条弦，点C 与点D在 AB的两 侧， E是OB上一点 ( )OE BE ，连接OC，CE ，且 2BOC BCE   ． （1）如图①，若 1BE  ， 5CE  ，求 O 的半径； （2）解题策略开放如图②，若 2BD OE ，求证：BD∥OC（请用两种证法解答）． 图① 图② 第 21 题图 7 22.（本题满分 12 分）如图，在 ABCD 中， ABC 为锐角，点 E在边 AD上，连接 BE ，CE ，且 ABE DCES S△ △ ． （1）如图①，若 F 是边 BC的中点，连接 EF ，对角线 AC分别与 BE ， EF 相交于点G，H ． ①求证：H 是 AC的中点；②求 : :AG GH HC； （2）如图②， BE 的延长线与CD的延长线相交于点M ，连接 AM ，CE 的延长线与 AM 相交于点 N．试探究线段 AM 与线段 AN之间的数量关系，并证明你的结论． 图① 图② 第 22 题图 8 23.（本题满分 13 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 22y x bx c    与 x轴相交于 (1,0)A ， B 两点（点 A在点 B左侧），顶点为 (2, )M d ，连接 AM ． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图①，若 C 是 y 轴正半轴上一点，连接 AC ， CM ．当点 C 的坐标为 1(0, ) 2 时，求证： ACM BAM   ； （3）如图②，连接 BM ，将△ABM沿 x轴折叠，折叠后点M 落在第四象限的M 处，过点 B的直线 与线段 AM 相交于点 D，与 y轴负半轴相交于点 E．当 8 7 BD DE  时，3S△ABD与 2 M BDS V 是否相等？请 说明理由． 图① 图② 第 23 题图 9 2024年内蒙古包头市中考数学答案 1.C 2.B 3.A 4.C 5.D 6.A 7.B 8.B 9.D 10.A 【解析】如答图，过点 G 作 GH BC 于点 H .四边形 ABCD是矩形， 4AB CD   ， AD∥BC. 6BC  ，BE EF FC  ， 2BE EF CF    ， 4BF CE   ， 4AB BF CE DC     ， ∴△ABF 和△DCE 是等腰直角三角形， 45AFE DEC    ，∴△EGF 是等腰直角三角形， 1 1 2 GH EH EF    ， 3BH  ， 2 2 10BG BH HG    ， 10sin 10 HGGBF BG     .故选 A. 第 10 题答图 11.3 12.7 13. 1y x  （答案不唯一） 14.105° 15. 1 2 16. 2 7 【解析】如答图，连接 BD 交 AC 于点 O ．四边形 ABCD 是菱形， AC BD  ， 60ADC ABC    ， 6AB BC CD AD    ，∴△ABC，△ADC都是等边三角形， 60CAB   . EF AF ， 90AFE  ， 30AEF  ， 2AE AF  . CE AF ， 3AC EC  ， 2EC  ， 4AE  ， 3OA OC   ， 3 3 3OD AO  ， 1OE AE OA    ， 2 2 2 7DE OD OE    ． 第 16 题答图 17.（1）解：原式 2 2 1 2 2x x x     2 1x  . 当 2 2x  时，原式 2(2 2) 1 7   . （2）解：去分母，得 2 2( 4)x x x    ， 去括号，得 x-2-2x+8=x， 移项、合并同类项，得-2x=-6， 系数化为 1，得 x=3. 检验：当 3x  时， 4 0x   ， 3x  是原方程的根． 18.解：（1） 40 100% 20% 40 70 60 30 p       . （2）设乙同学的成绩为 x cm. 中位数为 228， 230 228 2 x  ，解得 226x  . 答：乙同学的测试成绩是 226 cm. 10 （3）从平均数来看，该校九年级全体男生立定跳远测试成绩平均数高于该校所在区县平均数；从优 秀率来看，该校九年级全体男生立定跳远测试策划成绩低于所在区县的优秀率，所以要加强训练强度， 努力提高优秀率． 19.解：（1）如答图，在地面上取点C ，测得 BC m ， ACB   ， 根据 tan AB BC   ，得出 AB的高度. 第 19 题答图 （2） 90ABC   ， tan AB BC   ， tan tanAB BC m     ． 20.解：（1） 2.4 3.6y x  .理由： 由表中的数据可知， y是 x的一次函数. 设 y kx b  ，由题意得 6 2 8.4 k b k b      ， ， 解得 2.4 3.6 k b    ， ， y 与 x之间的函数表达式为 2.4 3.6y x  . （2）设碗的数量有 x个，则 2.4 3.6 28.8x   ，解得 10.5x ， x 的最大整数解为 10，即碗的数量最多为 10 个． 21.（1）解：如答图①，过点O作OH BC 于点H ． OC OB ，OH BC ， COH BOH   ，CH BH . 2BOC BCE   ， BOH BCE   . ∵∠OBH=∠CBE，∴△OBH∽△CBE， 90CEB OHB\Ð = Ð = °， 2 2 6BC EC EB    ， 6 2 CH BH   . cos BH EBOBH OB BC    ， 6 12 6OB  ， 3OB  ， O 的半径为 3. （2）证明：证法一：如答图②，过点O作OK BD 于点 K，则 BK DK . 2BD OE ， OE BK  . 90CEO OKB     ，OC OB ，∴Rt△OEC≌Rt△BKO（HL）， COE OBK   ，∴BD∥OC. 证法二：如答图②，过点O作OK BD 于点 K，则 BK DK . 2BD OE ， OE BK  . cos OECOE OC   ， cos BKOBK OB   ，OC OB ， cos cosCOE OBK    ， COE OBK   ，∴BD∥OC. 11 图① 图② 第 21 题答图 22.（1）①证明：四边形 ABCD是平行四边形，∴AD∥BC， AD BC ， ∴AD和 BC之间是等距的，∴ EAH FCH   . ABE CDES S=Q △ △ ， 1 2 AE DE AD   . F 是变 BC的中点， 1 2 CF BF BC   ， CF AE  . 在△AEH和△CFH中， EHA FHC EAH FCH AE CF         ， ， ， ∴△AEH≌△CFH（AAS）， AH CH  ， H 是 AC的中点． ②解： EAH BCGÐ = Ð ， AGE CGB   ，∴△AGE∽△CGB， 1 2 AG AE CG CB   . 设 2AG a ，则 4CG a ， 6AC a  ， 3AH CH a   ， GH AH AG a    ， : : 2 : : 3 2 :1: 3AG GH HC a a a   ． （2） 3AM AN ． 证明：如答图，过点M 作 MQ∥BC交CN 延长线于点Q . ∵ED∥BC，∴△EMD∽△BMC， 1 2 EM ED BM BC   ， 1 2 EM BM BE   . ∵MQ∥BC， MQE BCE   . MEQ BEC   ， EM BE ，∴△MQE≌△BCE（AAS）， MQ BC  . ∵MQ∥AD， MQN AEN\Ð =Ð . MNQ ANE   ，∴△MQN∽△AEN， 2MN MQ AN AE   ， 2MN AN  ， 3AM MN AN AN    ． 第 22 题答图 12 23.（1）解：顶点为 (2, )M d ， ( )2 2 2 b ´ - \- = ， 8b  ， 22 8y x x c     ，∴B（3,0）. 将点 (1,0)A 代入 22 8y x x c    ，得 2 8 0c- + + = ，解得 6c   ， ∴该抛物线的函数表达式为 22 8 6y x x    . （2）证明： 2 22 8 6 2( 2) 2y x x x        ， (2,2)M . 如答图，过点M 作MN x 轴于点 N . (1,0)A ， 1(0, ) 2 C ， 5 2 AC  ， 5AM  ， 5 2 CM  . 2 2 2CM AC AM  ，∴△ACM是直角三角形，且 90CAM  ， tan 2ACM   . 在 Rt△AMN中， tan 2MAB  ， ACM BAM   . （3）解： 3 2ABD M BDS S  V△ .理由如下： 由折叠的性质得点M ¢的坐标为 (2, 2)- . 如答图，过点 D作 DH x 轴交于点H . ∵OE∥DH， 8 7 BH BD OH DE = = . ∵B（3,0）， 3 8 7 D D x x   ，解得 7 5D x  . 设直线 AM 的解析式为 y kx m  ， 0 2 2 k m k m       ， ， 解得 2 2 k b     ， ， 直线 AM 的解析式为 2 2y x   ， 7( 5 D ， 4) 5  ， 2 5 5 AD  ， 3 5 5 DM   . 设点 B到 AM 的距离为 h， 3 53 5ABD S h\ =△ ， 3 52 5M BD S h¢ = ， ∴ 3 2ABD M BDS S  V△ ． 图① 图② 第 23 题答图