2023年内蒙古包头市中考数学试卷（含答案）

1 2023 年内蒙古包头市中考数学试卷 一、选择题：本大题共有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题只有一个正确选项，请将答题卡上 对应题目的答案标号涂黑。 1．（2023·包头）下列各式计算结果为 5a 的是 ( ) A． 3 2( )a B． 10 2a a C． 4a a D． 1 5( 1) a 2．（2023·包头）关于 x的一元一次不等式 1x m  的解集在数轴上的表示如图所示，则 m 的值为 ( ) A．3 B．2 C．1 D．0 3．（2023·包头）定义新运算“”，规定： 2 | |a b a b  ，则 ( 2) ( 1)  的运算结果为 ( ) A． 5 B． 3 C．5 D．3 4．（2023·包头）如图，直线 / /a b，直线 l与直线 a，b分别相交于点 A， B，点C在直线b上，且 CA CB ．若 1 32  ，则 2 的度数为 ( ) A． 32 B．58 C． 74 D． 75 第 2题图 第 4题图 第 5题图 第 7题图 5．（2023·包头）几个大小相同的小正方体搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中数字表示 对应位置小正方体的个数，该几何体的主视图是 ( ) A B C D 6．（2023·包头）从 1，2，3这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作m和 n．若点 A的坐标记 作 ( , )m n ，则点 A在双曲线 6y x  上的概率是 ( ) A． 1 3 B． 1 2 C． 2 3 D． 5 6 7．（2023·包头）如图源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形 拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为 1，大正方形的面积为 25，直角三角形中较小的锐角为 ， 则 cos 的值为 ( ) A． 3 4 B． 4 3 C． 3 5 D． 4 5 8．（2023·包头）在平面直角坐标系中，将正比例函数 2y x  的图象向右平移 3个单位长度得到一 次函数 ( 0)y kx b k   的图象，则该一次函数的解析式为 ( ) A． 2 3y x   B． 2 6y x   C． 2 3y x   D． 2 6y x   2 9．（2023·包头）如图， O 是锐角三角形 ABC的外接圆，OD AB ，OE BC ，OF AC ．垂足 分别为 D， E， F ，连接DE， EF ， FD．若 6.5DE DF  ， ABC 的周长为 21，则 EF 的长为 ( ) A．8 B．4 C．3.5 D．3 第 9题图 第 10题图 10．（2023·包头）如图，在平面直角坐标系中， OAB 三个顶点的坐标分别为 (0,0)O ， (2 3A ，0)， ( 3B ，1)，△OA B 与 OAB 关于直线OB对称，反比例函数 ( 0, 0)ky k x x    的图象与 A B 交于点 C．若 AC BC  ，则 k的值为 ( ) A． 2 3 B． 3 3 2 C． 3 D． 3 2 二、填空题：本大题共有 6 小题，每小题 3 分，共 18 分，请将答案填在答题卡上对应的横线上. 11．（2023·包头）若 a， b为两个连续整数，且 3a b  ，则 a b  ． 12．（2023·包头）若 1x ， 2x 是一元二次方程 2 2 8 0x x   的两个实数根，则 1 2 1 2 x x x x   ． 13．（2023·包头）如图，正方形 ABCD的边长为 2，对角线 AC， BD相交于点O，以点 B为圆心， 对角线 BD的长为半径画弧，交 BC的延长线于点 E，则图中阴影部分的面积为 ． 第 13题图 第 15题图 第 16题图 14．（2023·包头）已知二次函数 2 2 3( 0)y ax ax a     ，若点 ( ,3)P m 在该函数的图象上，且 0m  ， 则m的值为 ． 15．（2023·包头）如图，在Rt ABC 中， 90ACB  ， 3AC  ， 1BC  ，将 ABC 绕点 A逆时针方 向旋转 90，得到△ AB C ．连接 BB，交 AC于点 D，则 AD DC 的值为 ． 16．（2023·包头）如图， AC， AD，CE 是正五边形 ABCDE的对角线， AD与CE 相交于点 F ．下 列结论： ①CF 平分 ACD ；② 2AF DF ；③四边形 ABCF 是菱形；④ 2AB AD EF  ． 其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号） 3 三、解答题：本大题共有 8 小题，共 72 分，请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡 的对应位置。 17．（4分）（2023·包头）先化简，再求值： 2( 2 ) ( 2 )( 2 )a b a b a b    其中 1a   ， 1 4 b  ． 18．（4分）（2023·包头）解方程： 3 35 1 1 x x x     ． 19．（8分）（2023·包头）在推进碳达峰、碳中和进程中，我国新能源汽车产销两旺，连续 8年保持 全球第一．如图为我国某自主品牌车企 2022年下半年新能源汽车的月销量统计图． 第 19题图 请根据所给信息，解答下列问题： （1）通过计算判断该车企 2022年下半年的月均销量是否超过 20万辆； （2）通过分析数据说明该车企 2022年下半年月销量的特点（写出一条即可），并提出一条增加月销 量的合理化建议． 20．（8分）（2023·包头）为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如 图， A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为 B点和C点，行进路线为 A B C A   ． B点 在 A点的南偏东 25方向 3 2km处，C点在 A点的北偏东80方向，行进路线 AB和 BC所在直线的夹 角 ABC 为 45． （1）求行进路线 BC和CA所在直线的夹角 BCA 的度数； （2）求检查点 B和C之间的距离（结果保留根号）． 第 20题图 4 21．（11分）（2023·包头）随着科技的发展，扫地机器人（图①）已广泛应用于生活中．某公司推出 一款新型扫地机器人，经统计该产品 2022年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的 变化而变化．设该产品 2022年第 (x x为整数）个月每台的销售价格为 y（单位：元）， y与 x的函数 关系如图②所示（图中 ABC为一折线）． 图① 图② 第 21题图 （1）当1 10x  时，求每台的销售价格 y与 x之间的函数关系式； （2）设该产品 2022年第 x个月的销售数量为m（单位：万台），m与 x的关系可以用 1 1 10 m x  来 描述、求哪个月的销售收入最多，最多为多少万元？（销售收入 每台的销售价格销售数量） 22．（12分）（2023·包头）如图， AB是 O 的直径， AC 是弦， D是AC上一点， P是 AB延长线 上一点，连接 AD，DC，CP． （1）求证： 90ADC BAC   ；（请用两种证法解答） （2）若 ACP ADC   ， O 的半径为 3， 4CP  ，求 AP的长． 第 22题图 5 23．（12分）（2023·包头）如图，在菱形 ABCD中，对角线 AC ，BD相交于点O，点 P，Q分别是 边 BC，线段OD上的点，连接 AP，QP， AP与OB相交于点 E． （1）如图①，连接QA．当QA QP 时，试判断点Q是否在线段 PC的垂直平分线上，并说明理由； （2）如图②，若 90APB  ，且 BAP ADB   ， ①求证： 2AE EP ； ②当OQ OE 时，设 EP a ，求 PQ的长（用含 a的代数式表示）． 图① 图② 第 23题图 6 24．（13分）（2023·包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 2 3 1y x x    交 y轴于点 A，直线 1 2 3 y x   交抛物线于 B，C两点（点 B在点C的左侧），交 y轴于点D，交 x轴于点 E． （1）求点D， E，C的坐标； （2） F 是线段OE上一点 ( )OF EF ，连接 AF ，DF，CF ，且 2 2 21AF EF  ． ①求证： DFC 是直角三角形； ② DFC 的平分线 FK 交线段DC于点 K， P是直线 BC上方抛物线上一动点，当 3tan 1PFK  时， 求点 P的坐标． 第 24题图 7 参考答案 1．C 2．B 3．D 4．C 5．D 6．A 7．D 8．B 9．B 10．A 11．3 12． 1 4  13．π 14．2 15．5 16．①③④ 【 解 析 】 ①  五 边 形 ABCDE 是 正 五 边 形 ， AB BC CD DE EA     ， 108ABC BCD CDE DEA EAB          ，在 ABC 中， 108ABC  ， AB BC ， 180 108 36 2 BAC BCA         . 同 理 可 得 ， 36DCE DEC EAD EDA         ， 108 36 36 36ACE BCD BCA DCE            ， ACE DCE   ，即CF平分 ACD ，故 ①正确；② 36ACE DEC     ， AFC DFE   ， AF AC DF DE  ， 2AC AC DE AB   ， 2AF DF  ， 即 2AF DF ，故②错误；③ 36BAC ACE     ， / /AB FC ， 108EAB   ， 36EAD  ， 108 36 72DAB EAB EAD         ， 108ABC   ， 108 72 180ABC DAB       ， / /AF BC ，四边形 ABCF 是平行四边形，又 AB BC ，四边形 ABCF 是菱形，故③正确；④ 36DEF DAE     ， EDF ADE   ， DEF DAE ∽ ， DE EF AD AE  ， DE AE AB  ，  AB EF AD AB  ，即 2AB AD EF  ，故④正确.综上，正确的结论是：①③④. 17．解：原式 2 2 2 24 4 4a b ab a b     22 4a ab  ， 当 1a   ， 1 4 b  时， 原式 2 12 ( 1) 4 ( 1) 4        2 1  1 ． 18．解：原方程两边同乘 ( 1)x  ，去分母得： 3 5( 1) 3x x   ， 去括号，得 3 5 5 3x x   ， 移项，合并同类项，得 2 8x   ， 系数化为 1，得 4x  ， 检验：将 4x  代入 ( 1)x  中得 4 1 3 0   ， 则原分式方程的解为 4x  ． 19．解：（1） 15.9 16.9 19.2 21.8 23.0 23.5 20.05 6 x       （万辆）， 答：该车企 2022年下半年的月均销量超过 20万辆. （2）2022年下半年月销量的特点：月销量递增趋势；12月销量最大；有三个月销量超过 20万辆， 中位数为 20.5万辆；月均销量超过 20万辆． 建议：充分了解客户需求，及时处理客户反馈，提供优质售后服务． 20．解：（1）由题意得 80NAC  ， 25BAS  ， 8 180 75CAB NAC BAS      ， 45ABC   ， 180 60ACB CAB ABC      ， 行进路线 BC和CA所在直线的夹角 BCA 的度数为 60 . （2）如答图，过点 A作 AD BC ，垂足为 D . 在Rt ABD 中， 3 2AB km ， 45ABC  ， sin 45 3( )AD AB km     ， cos45 3( )BD AB km    . 在Rt ADC 中， 60ACB  ， 3( ) tan 60 ADCD km   ， (3 3)BC BD CD km     ， 检查点 B和C之间的距离 (3 3)km ． 第 20题答图 21．解：（1）当1 10x  时，设每台的销售价格 y与 x之间的函数关系式为 ( 0)y kx b k   ， 图象过 (1,2850)A ， (10,1500)B 两点，  2850 10 1500 k b k b      ，解得 150 3000 k b     ， 当1 10x  时，每台的销售价格 y与 x之间的函数关系式为 150 3000y x   . （2）设销售收入为 w万元， ①当1 10x  时， 21( 150 3000)( 1) 15( 5) 3375 10 w x x x        ， 15 0  ，当 5x  时， 3375w 最大 （万元）； ②当10 12x  时， 11500( 1) 150 1500 10 w x x    ， w 随 x的增大而增大，当 12x  时， 150 12 1500 3300w    最大 （万元）. 3375 3300 ，第 5个月的销售收入最多，最多为 3375万元． 22．（1）证明：方法一：如答图①，连接 BD . AB 是 O 的直径， 90ADB   . ADC BDC ADB    ， BDC BAC   ， 90ADC BAC    . 方法二：如答图，连接 BC . 9 AB 是 O 的直径， 90ACB   . PBC BAC ACB    ， 90PBC BAC    . 四边形 ABCD为 O 的内接四边形， 180ADC ABC    . 180PBC ABC    ， ADC PBC   ， 90ADC BAC    . （2）解：由图可得 ADC PBC   ， ACP ADC  ， PBC ACP   ，即 PBC PCA   . BPC CPA   ， PBC PCA ∽ ，  PB PC PC PA  ， 2PC PA PB   . O 的半径为 3， 6AB  ， 6PA PB   . 4CP  ， 24 ( 6)PB PB    ， 解得 2PB  或 8PB   （舍去），则 2 6 8AP    ． 图① 图② 第 22题答图 23．（1）解：结论：点Q在线段 PC的垂直平分线上．理由如下： 如答图，连接QC． 四边形 ABCD是菱形，对角线 AC ， BD相交于点O， BD AC  ，OA OC ， QA QC  . QA QP ， QC QP  ， 点Q在线段 PC的垂直平分线上. （2）①证明：如答图. 四边形 ABCD是菱形， AB BC CD DA    ， ABD ADB   ， CBD CDB   . BD AC ， ADO CDO   ， ABD CBD ADO     ． BAP ADB   ， BAP ABD CBD     ． AE BE  ， 90APB  ， 90BAP ABP   ， 30BAP ABD CBD       . 在Rt BPE 中， 90EPB  ， 30PBE  ， 1 2 EP BE  . AE BE ， 1 2 EP AE ， 2AE EP  . ②如答图，连接QC． 10 AB BC ， 60ABC  ， ABC 是等边三角形． 90APB  ， BP CP  ， EP a ， 2AE a  ， 3AP a . 在Rt APB 中， 90APB  ，  tan 3APABP BP    ， 3BP a ，  3CP BP a  ， AO CO ， AOE COQ   ，OE OQ ， ( )AOE COQ SAS   ， 2AE CQ a   ， EAO QCO   ， / /AE CQ . 90APB   ， 90QCP   . 在Rt PCQ 中， 90QCP  ， 由勾股定理得 2 2 2PQ PC CQ  ， 2 2 2PQ PC CQ   ， 7PQ a  ． 第 23题答图 24．（1）解：直线 1 2 3 y x   交 y轴于点D，交 x轴于点 E， 当 0x  时， 2y  ， (0,2)D ， 当 0y  时， 6x  ， (6,0)E ， 直线 1 2 3 y x   交抛物线于 B，C 两点（点 B在点C的左侧）， 2 13 1 2 3 x x x      ， 23 10 3 0x x    ，解得 1 2 1 , 3 3 x x  ， 点 B在点C的左侧， 点C 的横坐标为 3，当 3x  时， 1y  ， (3,1)C ， 答： (3,1)C ， (0,2)D ， (6,0)E ． （2）如答图. ①证明：抛物线 2 3 1y x x    交 y轴于点 A， 当 0x  时， 1y  ， (0,1)A ， 1OA  ， 在Rt AOF 中， 90AOF  ， 2 2 2AF OA OF   ， 设 ( ,0)F m ， OF m  ， 2 21AF m   ， (6,0)E ， 6OE  ， 6EF OE OF m     ， 2 2 21AF EF  ， 2 21 (6 ) 21m m     ， 11 1 2m  ， 2 4m  ， OF EF ， 2m  ， 2OF  ， (2,0)F ， (0,2)D ， 2OD  ， OD OF  ， DOF 是等腰直角三角形， 45OFD  ， 过点C作CG x 轴于G， (3,1)C ， 1CG  ， 3OG  ， 1GF OG OF   ， CG GF  ， CGF 是等腰直角三角形， 45GFC  ， 90DFC  ， DFC 是直角三角形． ②解： FK 平分 DFC ， 90DFC  ， 45DEK CFK    ， 90OFK OFD DFK     ， / /FK y 轴， 3tan 1PFK  ， 1tan 3 PFK  ， 设点 P的坐标为 2( , 3 1)t t t   ，根据题意得 1 3 3 t  ． ( )i 当点 P在直线 KF 的左侧抛物线上时， 1 1 1tan , 2 3 3 PFK t    ． 过点 1P作 1PH x 轴于H ， 1 / /PH KF ， 1 1HPF PFK   ，  1 1tan 3 HPF  ， HF OF OH  ， 2HF t   ， 在 Rt△ 1PHF 中， 1 1 1tan 3 HFHPF PH    ， 1 3PH HF  ，  21 3 1PH t t    ， 2 3 1 3(2 )t t t     ， 2 6 5 0t t    ， 1 1t  ， 2 5t  （舍去）， 当 1t  时， 2 3 1 3t t    ， 1(1,3)P ． ( )ii 当点 P在直线 KF 的右侧抛物线上时， 2 1tan ,2 3 3 P FK t    ， 过点 2P 作 2PM x 轴于M ， 2 / /PM KF ， 2 2MP F P FK   ， 2 2 1tan 3 MFMP F PM    ， 2 3PM MF  ，  22 3 1PM t t    ， 2 3 1 3( 2)t t t     ，  3 47, 7t t   （舍去）， 当 7t  时， 2 3 1 3 7 6t t     ， 2 ( 7,3 7 6)P  ． 点 P的坐标为 (1,3)或 ( 7,3 7 6) ． 12 第 24题答图