2022年内蒙古包头市中考数学试卷（含答案）

1 2022 年内蒙古包头市中考数学试卷 一、选择题：本大题共有 12 小题，每小题 3 分，共 36 分。每小题只有一个正确选项，请将答题卡上 对应题目的答案标号涂黑。 1．（2022•包头）若 4 22 2 2m  ，则m的值为 ( ) A．8 B．6 C．5 D．2 2．（2022•包头）若 a， b互为相反数， c的倒数是 4，则 3 3 4a b c  的值为 ( ) A． 8 B． 5 C． 1 D．16 3．（2022•包头）若m n ，则下列不等式中正确的是 ( ) A． 2 2m n   B． 1 1 2 2 m n   C． 0n m  D．1 2 1 2m n   4．（2022•包头）几个大小相同，且棱长为 1的小正方体所搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正 方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图的面积为 ( ) A．3 B．4 C．6 D．9 5．（2022•包头）2022年 2月 20日北京冬奥会大幕落下，中国队在冰上、雪上项目中，共斩获 9金 4 银 2铜，创造中国队冬奥会历史最好成绩．某校为普及冬奥知识，开展了校内冬奥知识竞赛活动，并 评出一等奖 3人．现欲从小明等 3名一等奖获得者中任选 2名参加全市冬奥知识竞赛，则小明被选到 的概率为 ( ) A． 1 6 B． 1 3 C． 1 2 D． 2 3 第 4题图 第 7题图 第 9题图 6．（2022•包头）若 1x ， 2x 是方程 2 2 3 0x x   的两个实数根，则 21 2x x 的值为 ( ) A．3或 9 B． 3 或 9 C．3或 6 D． 3 或 6 7．（2022•包头）如图， AB ， CD是 O 的两条直径， E 是劣弧BC的中点，连接 BC， DE ．若 22ABC  ，则 CDE 的度数为 ( ) A． 22 B．32 C．34 D． 44 8．（2022•包头）在一次函数 5 ( 0)y ax b a    中，y的值随 x值的增大而增大，且 0ab  ，则点 ( , )A a b 在 ( ) A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 9．（2022•包头）如图，在边长为 1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，AC 与 BD相交于点 E，连接 AB，CD，则 ABE 与 CDE 的周长比为 ( ) A．1: 4 B． 4 :1 C．1: 2 D． 2 :1 10．（2022•包头）已知实数 a，b满足 1b a  ，则代数式 2 2 6 7a b a   的最小值等于 ( ) A．5 B．4 C．3 D．2 2 11．（2022•包头）如图，在Rt ABC 中， 90ACB  ， 30A  ， 2BC  ，将 ABC 绕点C顺时针 旋转得到△ A B C  ，其中点 A与点 A是对应点，点 B与点 B是对应点．若点 B恰好落在 AB边上， 则点 A到直线 A C 的距离等于 ( ) A． 3 3 B． 2 3 C．3 D．2 第 11题图 第 12题图 12．（2022•包头）如图，在矩形 ABCD中，AD AB ，点 E，F 分别在 AD，BC边上，EF∥AB，AE AB ， AF 与 BE 相交于点O，连接OC ．若 2BF CF ，则OC与 EF 之间的数量关系正确的是 （ ） A． 2 5OC EF B． 5 2OC EF C． 2 3OC EF D．OC EF 二、填空题：本大题共有 7 小题，每小题 3 分，共 21 分。请将答案填在答题卡上对应的横线上。 13．（2022•包头）若代数式 11x x   在实数范围内有意义，则 x的取值范围是 ． 14．（2022•包头）计算： 2 2 2a b ab a b a b      ． 15．（2022•包头）某校欲招聘一名教师，对甲、乙两名候选人进行了三项素质测试，各项测试成绩满 分均为 100分，根据最终成绩择优录用，他们的各项测试成绩如下表所示： 候选人 通识知识 专业知识 实践能力 甲 80 90 85 乙 80 85 90 根据实际需要，学校将通识知识、专业知识和实践能力三项测试得分按 2 : 5 : 3的比例确定每人的最终 成绩，此时被录用的是 ．（填“甲”或“乙” ) 16．（2022•包头）如图，已知 O 的半径为 2，AB是 O 的弦．若 2 2AB  ，则劣弧AB的长为 ． 第 16题图 第 18题图 17．（2022•包头）若一个多项式加上 23 2 8xy y  ，结果得 22 3 5xy y  ，则这个多项式为 ． 18．（2022•包头）如图，在Rt ABC 中， 90ACB  ， 3AC BC  ，D为 AB边上一点，且 BD BC ， 连接CD，以点 D为圆心， DC的长为半径作弧，交 BC于点 E（异于点 )C ，连接DE，则 BE 的长 为 ． 3 19．（2022•包头）如图，反比例函数 ( 0)ky k x   在第一象限的图象上有 (1,6)A ， (3, )B b 两点，直线 AB 与 x轴相交于点C， D是线段OA上一点．若 AD BC AB DO   ，连接CD，记 ADC ， DOC 的面 积分别为 1S ， 2S ，则 1 2S S 的值为 ． 第 19题图 第 20题图 三、解答题：本大题共有 6 小题，共 63 分。请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡 的对应位置。 20．（8 分）（2022•包头）2022年 3 月 28日是第 27个全国中小学生安全教育日．某校为调查本校学 生对安全知识的了解情况，从全校学生中随机抽取若干名学生进行测试，测试后发现所有测试的学生 成绩均不低于 50分．将全部测试成绩 x（单位：分）进行整理后分为五组 (50 60x  ， 60 70x  ， 70 80x  ，80 90x  ， 90 100)x  ，并绘制成频数分布直方图（如图）． 请根据所给信息，解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了 名学生； （2）若测试成绩达到 80分及以上为优秀，请你估计全校 960名学生对安全知识的了解情况为优秀的 学生人数； （3）为了进一步做好学生安全教育工作，根据调查结果，请你为学校提一条合理化建议． 21．（8分）（2022•包头）如图， AB是底部 B不可到达的一座建筑物， A为建筑物的最高点，测角仪 器的高 1.5DH CG  米．某数学兴趣小组为测量建筑物 AB的高度，先在 H 处用测角仪器测得建筑 物顶端 A处的仰角 ADE 为 ，再向前走 5米到达G处，又测得建筑物顶端 A处的仰角 ACE 为 45， 已知 7tan 9   ， AB BH ，H ，G， B三点在同一水平线上，求建筑物 AB的高度． 第 21题图 4 22．（10分）（2022•包头）由于精准扶贫的措施科学得当，贫困户小颖家今年种植的草莓喜获丰收， 采摘上市 16天全部销售完．小颖对销售情况进行统计后发现，在该草莓上市第 x天 (x取整数）时， 日销售量 y（单位：千克）与 x之间的函数关系式为 12 ,0 10 20 320,10 16 x x y x x         ，草莓价格m（单位： 元 /千克）与 x之间的函数关系如图所示． （1）求第 14天小颖家草莓的日销售量； （2）求当 4 12x  时，草莓价格m与 x之间的函数关系式； （3）试比较第 8天与第 10天的销售金额哪天多？ 第 22题图 23．（12分）（2022•包头）如图，AB为 O 的切线，C为切点，D是 O 上一点，过点 D作 DF AB ， 垂足为 F ， DF 交 O 于点 E ，连接 EO并延长交 O 于点 G ，连接 CG ， OC ， OD ，已知 2DOE CGE   ． （1）若 O 的半径为 5，求CG的长； （2）试探究DE与 EF 之间的数量关系，写出并证明你的结论．（请用两种证法解答） 第 23题图 5 24．（12分）（2022•包头）如图，在 ABCD 中， AC 是一条对角线，且 5AB AC  ， 6BC  ， E， F 是 AD边上两点，点 F 在点 E的右侧， AE DF ，连接CE ，CE 的延长线与 BA的延长线相交于 点G． （1）如图①，M 是 BC边上一点，连接 AM ，MF ，MF与CE 相交于点 N． ①若 3 2 AE  ，求 AG的长； ②在满足①的条件下，若 EN NC ，求证： AM BC ； （2）如图②，连接GF ，H 是GF 上一点，连接 EH ．若 EHG EFG CEF    ，且 2HF GH ， 求 EF 的长． 图① 图② 第 24题图 6 25．（13分）（2022•包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 2 ( 0)y ax c a   与 x轴交于 A，B两 点，点 B的坐标是 (2,0)，顶点C的坐标是 (0,4)，M 是抛物线上一动点，且位于第一象限，直线 AM 与 y轴交于点G． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图①，N是抛物线上一点，且位于第二象限，连接OM ，记 AOG ， MOG 的面积分别为 1S ， 2S ．当 1 22S S ，且直线 / /CN AM 时，求证：点 N与点M 关于 y轴对称； （3）如图②，直线 BM 与 y轴交于点H ，是否存在点M ，使得 2 7OH OG  ．若存在，求出点M 的 坐标；若不存在，请说明理由． 图① 图② 第 25题图 7 参考答案 1．B 2．C 3．D 4．B 5．D 6．A 7．C 8．B 9．D 10．A 11．C 12．A 13． 1x  且 0x  14． a b 15．甲 16．π 17． 2 3y xy  18．3 2 3 19．4 【解析】反比例函数 ( 0)ky k x   在第一象限的图象上有 (1,6)A ， (3, )B b 两点， 1 6 3b   ， 2b  ， (3,2)B ，设直线 AB的解析式为 y mx n  ， 6 3 2 m n m n      ，解得： 2 8 m n     ， 2 8y x    ， 令 0y  ， 2 8 0x   ， 解 得 ： 4x  ， (4,0)C ， 2 2(1 3) (6 2) 2 5AB      ， 2 2(3 4) (2 0) 5BC      ，AD BC AB DO   ， 5 2 5AD DO    ， 2AD DO  ， 1 22S S  ， 1 2 2S S S   ， 1 2 AOCS S S  ， 1 2 2 1 1 1 4 6 4 3 3 2AOC S S S S         ． 20．解：（1）40 （2） 12 8960 480 40    （名 )， 故优秀的学生人数约为 480名. （3）加强安全教育，普及安全知识：通过多种形式，提高安全意识，结合校内，校外具体活动，提 高避险能力． 21．解：由题意得 1.5DH CG BE   ， 5CD GH  ，DE BH ， 90AED   . 设CE x 米， 5BH DE DC CE x      . 在Rt ACE 中， 45ACE  ， tan 45AE CE x     . 在Rt ADE 中， ADE   ， 7tan 5 9 AE x DE x      ，解得 17.5x  . 经检验， 17.5x  是原方程的根， 17.5 1.5 19AB AE BE      （米 )， 建筑物 AB的高度为 19米． 22．解：（1）当10 16x  时， 20 320y x   ， 当 14x  时， 20 14 320 40y      （千克）， 第 14天小颖家草莓的日销售量是 40千克． （2）当 4 12x  时，设草莓价格m与 x之间的函数关系式为m kx b  . 点 (4,24)， (12,16)在m kx b  的图象上，  4 24 12 16 k b k b      ，解得 1 28 k b     ， 函数解析式为 28m x   ． （3）当 0 10x  时， 12y x ， 当 8x  时， 12 8 96y    ， 8 当 10x  时， 12 10 120y    . 当 4 12x  时， 28m x   ， 当 8x  时， 8 28 20m     ， 当 10x  时， 10 28 18m     . 第 8天的销售金额为 96 20 1920  （元 )， 第 10天的销售金额为120 18 2160  （元 ) . 2160 1920 ，第 10天的销售金额多． 23．解：（1）如答图，连接CE ，   CE CE ， 2COE CGE   . 2DOE CGE   ， COE DOE   . AB 为 O 的切线，C为切点， OC AB  ， 90OCB   . DF AB ， 90DFB  ， 90OCB DFB    ， / /OC DF ， COE OED   ， DOE OED   ， OD DE  . OD OE ， ODE 是等边三角形， 60DOE  ， 30CGE   . O 的半径为 5， 10EG  . EG 是 O 的直径， 90GCE   . 在Rt GCE 中， cos 5 3GC EG CGE    . （2） 2DE EF ． 方法一：证明： 60COE DOE     ，  CE DE ， CE DE  . OC OE ， OCE 为等边三角形， 60OCE   . 90OCB   ， 30ECF  ， 1 2 EF CE  ， 1 2 EF DE  ，即 2DE EF . 方法二：证明：如答图②，连接CE ，过点O作OH DF 于H ， 90OHF   . 90OCB DFC     ，四边形OCFH是矩形， CF OH  . ODE 是等边三角形， DE OE  . OH DF ， DH EH  . COE DOE   ， CE DE ， CE DE  ， CE OE  . CF OH ， Rt CFE Rt OHE(HL)    ， EF EH  ， DH EH EF   ， 2ED EF  ． 9 图① 图② 第 23题图 24．解：（1）①四边形 ABCD是平行四边形， / /AB CD ， / /AD BC ， 5DC AB  ， 6AD BC  ， GAE CDE   ， AGE DCE   ， AGE DCE ∽ ， AG AE DC DE  . 3 2 AE  ， 9 2 DE  ，  9 35 2 2 AG   ， 5 3 AG  ． ②证明： / /AD BC ， EFN CMN   . ENF CNM   ， EN NC ， ( )ENF CNM AAS   ， EF CM  . 3 2 AE  ， AE DF ， 3 2 DF  ， 3EF AD AE DF     ， 3CM  . 6BC  ， 3BM  ， BM MC  ， AB AC  ， AM BC  ． （2）如答图，连接CF . AB AC ， AB DC ， AC DC  ， CAD CDA   . AE DF ， ( )AEC DFC SAS   ， CE CF  ， CFE CEF   . EHG EFG CEF    ， EHG EFG CFE CFG      ， / /EH CF ， GH GE HF EC  . 2HF GH ， 1 2 GE EC  . / /AB CD ， GAE CDE   ， AGE DCE   ， AGE DCE ∽ ， AE GE DE CE  ，  1 2 AE DE  ， 2DE AE  . 10 设 AE x ，则 2DE x . 6AD  ， 2 6x x   ， 2x  ，即 2AE  ， 2DF  ， 2EF AD AE DF     ． 第 24题图 25．解：（1）抛物线 2 ( 0)y ax c a   与 x轴交于 (2,0)，顶点C 的坐标是 (0,4)，  4 0 4 a c c     ，解得 1 4 a c     ， 该抛物线的解析式为 2 4y x   . （2）证明：如答图①，过点M 作MD y 轴，垂足为D . 当 AOG 与 MOG 都以OG为底时. 1 22S S ， 2OA MD  . 当 0y  时，则 2 4 0x   ，解得 2x   . (2,0)B ， ( 2,0)A  ， 2OA  ， 1MD  . 设M 点的坐标为 2( , 4)m m  . 点M 在第一象限， 1m  ， 2 4 3m   ，即 (1,3)M . 设直线 AM 的解析式为 y kx b  ，  2 0 3 k b k b       ，解得 1 2 k b    ， 直线 AM 的解析式为 2y x  . / /CN AM ，设直线CN 的解析式为 y x t  . (0,4)C ， 4t  ， 即直线CN 的解析式为 4y x  ，将其代入 2 4y x   中， 得 24 4x x    ，解得 0x  或 1 . N 点在第二象限， ( 1,3)N  . (1,3)M ，点 N与点M 关于 y轴对称. （3）如答图②，过点M 作ME x 轴，垂足为 E，令 2( , 4)M m m  ， OE m  ， 2 4ME m   . (2,0)B ， 2OB  ， 2BE m  . 11 在Rt BEM 和Rt BOH 中. tan tanMBE HBO   ，  EM OH BE BO  ， 2 4 EM BOOH m BE      . 2OA  ， 2AE m   . 在Rt AOG 和Rt AEM 中. tan tanGAO MAE   ， OG EM AO AE  ， 4 2EM AOOG m AE      . 2 7OH OG  ， 2(2 4) (4 2 ) 7m m     ，解得 1 2 m  . 当 1 2 m  时， 2 154 4 m   ， 1( 2 M ， 15) 4 ， 存在点 1( 2 M ， 15) 4 ，使得 2 7OH OG  ． 图① 图② 第 24题图