2021年内蒙古包头市中考数学试卷（含答案）

1 2021 年内蒙古包头市中考数学试卷 一、选择题：本大题共有 12 小题，每小题 3 分，共 36 分.每小题只有一个正确选项，请将答题卡上 对应题目的答案标号涂黑。 1．（2021•包头）据交通运输部报道，截至 2020年底，全国共有城市新能源公交车 46.61万辆，位居 全球第一，将 46.61万用科学记数法表示为 4.661 10n ，则 n等于 ( ) A．6 B．5 C．4 D．3 2．（2021•包头）下列运算结果中，绝对值最大的是 ( ) A．1 ( 4)  B． 4( 1) C． 1( 5) D． 4 3．（2021•包头）已知线段 4AB  ，在直线 AB上作线段 BC，使得 2BC  ，若 D是线段 AC的中点， 则线段 AD的长为 ( ) A．1 B．3 C．1或 3 D．2或 3 4．（2021•包头）柜子里有两双不同的鞋，如果从中随机地取出 2 只，那么取出的鞋是同一双的概率 为 ( ) A． 1 3 B． 1 4 C． 1 5 D． 1 6 5．（2021•包头）如图，在Rt ABC△ 中， 90ACB  ， 5AB  ， 2BC  ，以点 A为圆心， AC的长 为半径画弧，交 AB于点 D，交 AC于点C，以点 B为圆心， AC的长为半径画弧，交 AB于点 E， 交 BC于点 F ，则图中阴影部分的面积为 ( ) 第 5题图 第 8题图 A．8  B． 4  C． 2 4   D．1 4   6．（2021•包头）若 2 1x   ，则代数式 2 2 2x x  的值为 ( ) A．7 B．4 C．3 D．3 2 2 7．（2021•包头）定义新运算“ ”，规定： 2a b a b   ．若关于 x的不等式 3x m  的解集为 1x   ， 则m的值是 ( ) A． 1 B． 2 C．1 D．2 8．（2021•包头）如图，直线 1 2/ /l l ，直线 3l 交 1l 于点 A，交 2l 于点 B，过点 B的直线 4l 交 1l 于点C．若 3 50  ， 1 2 3 240    ，则 4 等于 ( ) A．80 B． 70 C． 60 D．50 9．（2021•包头）下列命题正确的是 ( ) A．在函数 1 2 y x   中，当 0x  时， y随 x的增大而减小 2 B．若 0a  ，则1 1a a   C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．各边相等的圆内接四边形是正方形 10．（2021•包头）已知二次函数 2 ( 0)y ax bx c a    的图象经过第一象限的点 (1, )b ，则一次函数 y bx ac  的图象不经过 ( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．（2021•包头）如图，在 ABC 中，AB AC ， DBC 和 ABC 关于直线 BC对称，连接 AD，与 BC 相交于点O，过点C作CE CD ，垂足为C，与 AD相交于点 E，若 8AD  ， 6BC  ，则 2OE AE BD  的值为 ( ) A． 4 3 B． 3 4 C． 5 3 D． 5 4 12．（2021•包头）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的OA边在 x轴的正半轴上，OC 边在 y轴 的正半轴上，点 B的坐标为 (4,2)，反比例函数 2 ( 0)y x x   的图象与 BC交于点 D，与对角线OB交 于点 E，与 AB交于点 F ，连接OD，DE， EF ，DF．下列结论： ① sin cosDOC BOC   ；②OE BE ；③ DOE BEFS S△ △ ；④ : 2 : 3OD DF  ． 其中正确的结论有 ( ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 第 11题图 第 12题图 第 17题图 第 18题图 二、填空题：本大题共有 8 小题，每小题 3 分，共 24 分.请把答案填在答题卡上对应的横线上。 13．（2021•包头）因式分解： 2 4 ax ax a   ． 14．（2021•包头）化简： 2 2 1 1( ) 4 2 2 m m m m       ． 15．（2021•包头）一个正数 a的两个平方根是 2 1b  和 4b  ，则 a b 的立方根为 ． 16．（2021•包头）某人 5次射击命中的环数分别为 5，10，7， x，10．若这组数据的中位数为 8，则 这组数据的方差为 ． 17．（2021•包头）如图，在Rt ABC△ 中， 90ACB  ，过点 B作 BD CB ，垂足为 B，且 3BD  ， 连接CD，与 AB相交于点M ，过点M 作MN CB ，垂足为 N．若 2AC  ，则MN 的长为 ． 18．（2021•包头）如图，在 ABCD 中， 12AD  ，以 AD为直径的 O 与 BC相切于点 E，连接OC．若 OC AB ，则 ABCD 的周长为 ． 3 19．（2021•包头）如图，BD是正方形 ABCD的一条对角线，E是 BD上一点，F 是CB延长线上一点， 连接CE ， EF ， AF ．若 DE DC ， EF EC ，则 BAF 的度数为 ． 20．（2021•包头）已知抛物线 2 2 3y x x   与 x轴交于 A，B两点（点 A在点 B的左侧）与 y轴交于 点C，点 (4, )D y 在抛物线上， E是该抛物线对称轴上一动点，当 BE DE 的值最小时， ACE△ 的面 积为 ． 第 19题图 第 21题图 三、解答题：本大题共有 6 小题，共 60 分。请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡 的对应位置。 21．（8分）（2021•包头）为了庆祝中国共产党建党 100周年，某校开展了学党史知识竞赛．参加知识 竞赛的学生分为甲乙两组，每组学生均为 20名，赛后根据竞赛成绩得到尚不完整的统计图表（如图）， 已知竞赛成绩满分为 100分，统计表中 a，b满足 2b a ．请根据所给信息，解答下列问题： 甲组 20名学生竞赛成绩统计表 成绩（分 ) 70 80 90 100 人数 3 a b 5 （1）求统计表中 a， b的值； （2）小明按以下方法计算甲组 20名学生竞赛成绩的平均分是：(70 80 90 100) 4 85     （分 )．根 据所学统计知识判断小明的计算是否正确，若不正确，请写出正确的算式并计算出结果； （3）如果依据平均成绩确定竞赛结果，那么竞赛成绩较好的是哪个组？请说明理由． 22．（8分）（2021•包头）某工程队准备从 A到 B修建一条隧道，测量员在直线 AB的同一侧选定C， D两个观测点，如图．测得 AC 长为 3 2 km 2 ，CD长为 3 ( 2 6)km 4  ，BD长为 3 km 2 ， 60ACD  ， 135 (CDB A   、 B、C、D在同一水平面内）． （1）求 A、 D两点之间的距离； （2）求隧道 AB的长度． 第 22题图 4 23．（10分）（2021•包头）小刚家到学校的距离是 1 800米．某天早上，小刚到学校后发现作业本忘 在家中，此时离上课还有 20分钟，于是他立即按原路跑步回家，拿到作业本后骑自行车按原路返回 学校．已知小刚骑自行车时间比跑步时间少用了 4.5分钟，且骑自行车的平均速度是跑步的平均速度 的 1.6倍． （1）求小刚跑步的平均速度； （2）如果小刚在家取作业本和取自行车共用了 3分钟，他能否在上课前赶回学校？请说明理由． 24．（10分）（2021•包头）如图，在锐角三角形 ABC中，AD是 BC边上的高，以 AD为直径的 O 交 AB于点 E，交 AC于点 F ，过点 F 作 FG AB ，垂足为H ，交AE于点G，交 AD于点M ，连接 AG， DE，DF． （1）求证： 180GAD EDF   ； （2）若 45ACB  ， 4AD  ， tan 2ABC  ，求HF的长． 第 24题图 5 25．（12分）（2021•包头）如图，已知 ABC△ 是等边三角形，P是 ABC△ 内部的一点，连接 BP，CP． （1）如图①，以 BC为直径的半圆O交 AB于点Q，交 AC于点 R，当点 P在QR上时，连接 AP， 在 BC边的下方作 BCD BAP   ，CD AP ，连接DP，求 CPD 的度数； （2）如图②， E是 BC边上一点，且 3EC BE ，当 BP CP 时，连接 EP并延长，交 AC 于点 F ， 若 7 4AB BP ，求证： 4 3EF AB ； （3）如图③，M 是 AC边上一点，当 2AM MC 时，连接MP．若 150CMP  ， 6AB a ， 3MP a ， ABC△ 的面积为 1S ， BCP△ 的面积为 2S ，求 1 2S S 的值（用含 a的代数式表示）． 图① 图② 图③ 第 25题图 6 26．（12分）（2021•包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 2 4y x x   经过坐标原点，与 x轴正 半轴交于点 A，点 ( , )M m n 是抛物线上一动点． （1）如图①，当 0m  ， 0n  ，且 3n m 时， ①求点M 的坐标； ②若点 15( 4 B ， )y 在该抛物线上，连接OM ，BM ，C是线段 BM 上一动点（点C 与点M ，B不重合）， 过点C作 / /CD MO，交 x轴于点D，线段OD与MC是否相等？请说明理由； （2）如图②，该抛物线的对称轴交 x轴于点 K，点 7( , ) 3 E x 在对称轴上，当 2m  ， 0n  ，且直线 EM 交 x轴的负半轴于点 F 时，过点 A作 x轴的垂线，交直线 EM 于点 N，G为 y轴上一点，点G的坐 标为 18(0, ) 5 ，连接GF ．若 2EF NF MF  ，求证：射线 FE 平分 AFG ． 图① 图② 第 26题图 7 参考答案 1．B 2．A 3．C 4．A 5．D 6．C 7．B 8．B 9．D 10．C 11．D 12．A【解析】解：①矩形OABC 中. (4,2)B ， 4OA  ， 2OC  .由勾股定理得 2 22 4 2 5OB    . 当 2y  时 ， 22 x  ， 1x  ， (1,2)D ， 1CD  . 由 勾 股 定 理 得 2 22 1 5OD    ， 5sin 5 CDDOC OD     ， 5cos 5 BOC  ， sin cosDOC BOC    ，故①正确；②设OB的解析式 为 ( 0)y kx k  ，把 (4,2)代入得 4 2k  ， 1 2 k  ， 1 2 y x  .当 1 2 2 x x  时， 2x   ， (2,1)E ， E 是 OB 的 中 点 ， OE BE  ， 故 ② 正 确 ； ③ 当 4x  时 ， 1 2 y  ， 1(4, ) 2 F ， 3 2 BF  ， 1 3 3(4 2) 2 2 2BEF S     △ ， 1 1 12 4 1 2 3 1 2 2 2DOE S         △ 3 2  ， DOE BEFS S △ △ ，故③正确； ④由勾股定理得 2 2 3 3 53 ( ) 2 2 DF    . 5OD  ， 5 3 5 2 OD DF  ，即 : 2 : 3OD DF  ．故④正确； 其中正确的结论有①②③④，共 4个．故选 A． 13． 21( 1) 2 a x  14．1 15．2 16．3.6 17． 6 5 18． 24 6 5 【解析】如答图，连接OE，过点C作CF AD 交 AD于点 F .四边形 ABCD为平行 四边形， AB CD  ， AD BC ， / /AD BC ， 180EOD OEC    . O 与 BC相切于点 E ， OE BC  ， 90OEC   90EOD   . CF AD ， 90CFO  ，四边形OECF 为矩形， FC OE  . AD 为 直 径 ， 12AD  ， 1 6 2 FC OE OD AD     . OC AB ， CF AD ， 1 3 2 OF OD   .在Rt OFC△ 中，由勾股定理得 2 2 2 4 5O C O F F C   ， 3 5AB OC   ， ABCD 的周长为 24 6 5 . 第 18题答图 19．22.5° 【 解 析 】 如 图 ， 连 接 AE ， BD 为 正 方 形 ABCD 的 对 角 线 ， 45BDC   . DE DC AD  ， 67.5DEC DCE     . 90DCB   ， 90 22.5BCE DCE      . EF EC ， 180 135FEC EFC ECF       . 180 112.5BEC DEC      ， 22.5BEF   . AD DE ， 45ADE  ， 67.5AED   ， 90BEF AED   ， 90AEF   . 8 在 ADE 和 EDC 中， AD DE ADE EDC DE DC       ， ( )ADE EDC SAS   ， AE EC  ， AE EF  ，∴ AEF 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 45AFE   . EF EC ， 22.5BFE BCE     ， 67.5AFB AFE BFE      . 90ABF   ， 90 22.5BAF AFB      . 第 19题答图 20．4 21．解：（1）每组学生均为 20名， 20 3 5 12a b      （名 ) . 2b a ， 4a  ， 8b  . （2）小明的计算不正确， 正确的计算为： 70 3 80 4 90 8 100 5 87.5 20         （分 ) . （3）竞赛成绩较好的是甲组，理由如下： 乙组 20名学生竞赛成绩的平均分： 360 90 90 144 90 90 144100 90 80 70 80.5 360 360 360 360            （分 )， ∴80.5 87.5 ，竞赛成绩较好的是甲组． 22．解：（1）如答图，过 A作 AE CD 于 E，则 90AEC AED     . 60ACD   ， 90 60 30CAE      ， 1 3 2(km) 2 4 CE AC   ， 33 6( ) 4 AE CE km  ， 3 3 3( 2 6) 2 6( ) 4 4 4 DE CD CE km       ， AE DE  ， ADE 是等腰直角三角形， 3 3 32 2 6 ( ) 4 2 AD AE km     . （2）由（1）得： ADE 是等腰直角三角形， 3 32 ( ) 2 AD AE km   ， 45ADE   . 135CDB   ， 135 45 90ADB      ， 2 2 2 23 3 3( ) ( ) 3( ) 2 2 AB AD BD km      ， 即隧道 AB的长度为 3km． 9 第 22题答图 23．解：（1）设小刚跑步的平均速度为 x米 /分，则小刚骑自行车的平均速度为 1.6 x米 /分. 根据题意，得 1800 18004.5 1.6x x   ，解得 150x  ， 经检验， 150x  是所列方程的根. 答：小刚跑步的平均速度为 150米 /分． （2）他不能在上课前赶回学校.理由如下： 由（1）得小刚跑步的平均速度为 150米 /分， 则小刚跑步所用时间为1800 150 12  （分 )， 骑自行车所用时间为12 4.5 7.5  （分 ) . 在家取作业本和取自行车共用了 3分， 小刚从开始跑步回家到赶回学校需要12 7.5 3 22.5   （分 )． 又 22.5 20 ，小刚不能在上课前赶回学校． 24．（1）证明：由题可知 AGF ADF   （同弧所对的圆周角相等）. GF AB ， AD为圆的直径， 90AGF GAE   ， 90ADF FAD   ， GAE FAD   ， GAE DAE FAD DAE      ，即 GAD EAF   . 四边形 AEDF是圆的内接四边形， 180EAF EDF   ， 180GAD EDF   ． （2）解：如答图，连接OF . AD 是圆的直径，且 AD是 ABC 的高，GF AB ， 90AED ADB AHM AFD         . HAM DAB   ， AHM ADB ∽ ，  AH AD HM BD  . tan 2ADABC BD    ， 2AH HM  . 45ACB   ， 45DAC ADF AFO      ， 90AOF   . 在Rt AHM 与Rt FOM 中： AMH FMO   （对顶角）， 10 AHM FOM ∽ ， 2FO AH OM HM   . 4AD  ， 2OF OA   ，  2FO OM  ，解得 1OM  ， 1AM OA OM   . 设 HM x ，则 2AH x . 在Rt AHM 中 2 2 2AH HM AM  ， 即 2 2(2 ) 1x x  ，解得 1 5 5 x  ， 2 5 5 x   （舍去）， 2 5 5 AH  . 2OF OA  ， 2 2AF  . 在Rt AHF 中 2 2 2AH HF AF  ， 即 2 2 2 2 5( ) (2 2) 5 HF  ， 解得 6 5 5 HF  ，或 6 5 5 HF   （舍去）， 故HF的长为 6 5 5 ． 第 24题答图 25．解：（1）如答图①，连接 BD . ABC 是等边三角形， AB BC  ， 60ABC   . 在 BAP 和 BCD 中， AB BC BAP BCD AP CD       ， ( )BAP BCD SAS   ， BP BD  ， ABP CBD   . 60ABP PBC    ， 60CBD PBC   ，即 60PBD  ， BDP 是等边三角形， 60BPD   . BC 是 O 的直径， 90BPC  ， 30CPD BPC BPD      . （2）如答图②，连接 AP交 BC于D . ABC 是等边三角形， AB AC BC   ， 60ABC ACB     . 11 BP CP ， AD BC  ， 1 1 2 2 BD CD BC AB   ， 3sin 2 AD AB ABC AB     .  7 4AB BP ， 7 4 BP AB  ， 2 2 3 4 PD BP BD AB    ， 1 2 PD AD  ，即点 P是 AD的中点. 3EC BE ， 1 4 BE BC  ， 4BC BE . 1 2 BD BC ， 1 2 BE BD  ，即点 E是 BD的中点， EP 是 ABD 的中位线， / /EF AB ， CEF CBA ∽ ， 3 3 4 4 EF CE BE AB CB BE    ， 4 3EF AB  . （3）如答图③，过点 A作 AD BC 于点 D，过点 P作 PE BC 于点 E，交 AC 于点 F ，作 PH AC 于点H . 由（2）得 3 3 3 2 AD AB a  ， 60ACB  ， 6BC AC AB a   . 150CMP   ， 180 30PMF CMP      . 90CHP   ， 3sin 2 PH PM PMF a     ， 3cos 2 MH PM PMF a    . EF BC ， 90CEF  ， 90 30CFE ACB     ， CFE PMF   ， 3PF PM a   ， 3cos 2 FH PF PFH a     . 2AM MC ， 1 2 3 CM AC a   ， 5CF CM MH HF a     ， 5 3sin 2 EF CF ACB a     ， 3 3 2 PE EF PF a    ， 2 1 2 1 1 9 3 2 2 2ABC BCP S S S S BC AD BC PE a          ． 12 图① 图② 图③ 第 25题答图 26．解（1）①点 ( , )M m n 在抛物线 2 4y x x   上， 2 4n m m    （Ⅰ）. 3n m （Ⅱ）， 联立（Ⅰ）（Ⅱ），解得 0 0 m n    （舍去）或 1 3 m n    ， (1,3)M . ②OD MC .理由如下： 如图①，点 15( 4 B ， )y 在该抛物线 2 4y x x   上， 215 15 15( ) 4 4 4 16 y      ， 15( 4 B ， 15) 16 . 由①知， (1,3)M ，直线 BM 的解析式为 3 15 4 4 y x   . 令 0y  ，则 3 15 0 4 4 x   ， 5x  . 延长MB交 x轴于 P， (5,0)P ， 5OP  . (1,3)M ， 2 2(5 1) (0 3) 5PM OP       ， POM PMO   . / /CD MO ， PDC POM   ， PCD PMO   ， PDC PCD   ， PD PC  ， PO PD PM PC    ， OD MC  . （2）抛物线 2 24 ( 2) 4y x x x       ， 7(2, ) 3 E . 令 0y  ，则 2 4 0x x   ， 0x  或 4x  ， (4,0)A . AN x 轴，点 N的横坐标为 4. 由图知， NF EF EM MN   ，MF EF EM  . 2EF NF MF  ， 2( )EF EF EM MN EF EM      ， MN EM  . 如答图②，过点M 作HM x 轴于H ， MH 是梯形 EKAN 的中位线， M 的横坐标为 3. 13 点M 在抛物线上， 点M 的纵坐标为 23 4 3 3    ， (3,3)M . 点 7(2, ) 3 E ，直线 EF 的解析式为 2 1 3 y x  . 令 0y  ，则 2 1 0 3 x   ， 3 2 x   ， 3( 2 F  ， 0)， 3 2 OF  . 令 0x  ，则 1y  . 记直线 EF 与 y轴的交点为 L， (0,1)L ， 1OL  . 18(0, ) 5 G ， 18 5 OG  ， 13 5 LG OG OL    . 根据勾股定理得 2 2 39 10 FG OF OG   . 过点 L作 LQ FG 于Q， 1 1 2 2FLG S FG LQ LG OF     ， 1LG OFLQ OL FG      . OL FA ， LQ FG ， FE 平分 AFG ，即射线 FE 平分 AFG ． 图① 图② 第 26题答图