2020年内蒙古包头市中考数学试卷（含答案）

1 2020 年内蒙古包头市中考数学试卷 一、选择题：本大题共有 12 小题，每小题 3 分，共 36 分．每小题只有一个正确选项，请将答题卡上 对应题目的答案标号涂黑． 1．（2020•包头） 8 2 的计算结果是 ( ) A．5 B． 10 C．3 2 D． 4 2 2．（2020•包头）2020年初，国家统计局发布数据，按现行国家农村贫困标准测算，截至 2019年末， 全国农村贫困人口减少至 551万人，累计减少 9348万人．将 9348万用科学记数法表示为 ( ) A． 80.9348 10 B． 79.348 10 C． 89.348 10 D． 693.48 10 3．（2020•包头）点 A在数轴上，点 A所对应的数用 2 1a  表示，且点 A到原点的距离等于 3，则 a的 值为 ( ) A． 2 或 1 B． 2 或 2 C． 2 D．1 4．（2020•包头）下列计算结果正确的是 ( ) A． 3 2 5( )a a B． 4 2 2 2( ) ( )bc bc b c     C． 1 21 a a   D． 2 1 aa b b b   5．（2020•包头）如图， ACD 是 ABC 的外角， / /CE AB．若 75ACB  ， 50ECD  ，则 A 的 度数为 ( ) A． 50 B．55 C． 70 D． 75 第 5题图 第 6题图 第 8题图 第 9题图 6．（2020•包头）如图，将小立方块①从 6 个大小相同的小立方块所搭的几何体中移走后，所得几何 体 ( ) A．主视图改变，左视图改变 B．俯视图不变，左视图改变 C．俯视图改变，左视图改变 D．主视图不变，左视图不变 7．两组数据：3， a，b，5与 a，4， 2b的平均数都是 3．若将这两组数据合并为一组新数据，则这 组新数据的众数为 ( ) A．2 B．3 C．4 D．5 8．（2020•包头）如图，在Rt ABC 中， 90ACB  ， D是 AB的中点， BE CD ，交CD的延长线 于点 E．若 2AC  ， 2 2BC  ，则 BE 的长为 ( ) A． 2 6 3 B． 6 2 C． 3 D． 2 9．（ 2020•包头）如图， AB 是 O 的直径， CD 是弦，点 C ， D 在直径 AB 的两侧．若 : : 2 : 7 :11AOC AOD DOB    ， 4CD  ，则CD的长为 ( ) 2 A． 2 B． 4 C． 2 2  D． 2 10．下列命题正确的是 ( ) A．若分式 2 4 2 x x   的值为 0，则 x的值为 2 B．一个正数的算术平方根一定比这个数小 C．若 0b a  ，则 1 1 a a b b    D．若 2c ，则一元二次方程 2 2 3x x c   有实数根 11．如图，在平面直角坐标系中，直线 3 3 2 y x   与 x轴、 y轴分别交于点 A和点 B，C是线段 AB 上一点．过点 C 作 CD x 轴，垂足为 D， CE y 轴，垂足为 E ， : 4 :1BEC CDAS S   ，若双曲线 ( 0)ky x x   经过点C，则 k的值为 ( ) A． 4 3 B． 3 4 C． 2 5 D． 5 2 12．（2020•包头）如图，在Rt ABC 中， 90ACB  ， BC AC ，按以下步骤作图： （1）分别以点 A，B为圆心，以大于 1 2 AB的长为半径作弧，两弧相交于M ，N两点（点M 在 AB的 上方）；（2）作直线MN 交 AB于点O，交 BC于点 D；（3）用圆规在射线OM 上截取OE OD ．连 接 AD， AE， BE ，过点O作OF AC ．垂足为 F ，交 AD于点G． 下列结论：① 2CD GF ；② 2 2 2BD CD AC  ；③ 2BOE AOGS S  ；④若 6AC  ， 9OF OA  ，则 四边形 ADBE的周长为 25． 其中正确的结论有 ( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第 11题图 第 12题图 第 16题图 二、填空题：本大题共有 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．请把答案填在答题卡上对应的横线上． 13．（2020•包头）函数 3 xy x   中，自变量 x的取值范围是 ． 14．（2020•包头）分式方程 3 1 2 2 x x x x      的解是 ． 15．（2020•包头）计算： 2( 3 2)( 3 2)   ． 16．（2020•包头）如图，在正方形 ABCD中， E是对角线 BD上一点， AE的延长线交CD于点 F ， 连接CE ．若 56BAE  ，则 CEF  ． 3 17．（2020•包头）一个不透明的盒子里放置三张完全相同的卡片，分别标有数字 1，2，3．随机抽取 1张，放回后再随机抽取 1张，则抽得的第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字的概率为 ． 18．（2020•包头）如图，在 ABCD 中， 2AB  ， ABC 的平分线与 BCD 的平分线交于点 E，若点 E恰好在边 AD上，则 2 2BE CE 的值为 ． 第 18题图 第 20题图 19．（3分）（2020•包头）在平面直角坐标系中，已知 ( 1, )A m 和 (5, )B m 是抛物线 2 1y x bx   上的两 点，将抛物线 2 1y x bx   向上平移 (n n是正整数）个单位，使平移后的图象与 x轴没有交点，则 n的 最小值为 ． 20．（3分）（2020•包头）如图，在矩形 ABCD中，BD是对角线，AE BD ，垂足为 E，连接CE ．若 30ADB  ，则 tan DEC 的值为 ． 三、解答题：本大题共有 6 小题，共 60 分．请将必要的文字说明，计算过程或推理过程写在答题卡 的对应位置． 21．（2020•包头）我国 5G技术发展迅速，全球领先．某公司最新推出一款 5G产品，为了解用户对该 产品的满意度，随机调查了 30个用户，得到用户对该产品的满意度评分如下（单位：分） : 83 92 68 55 77 71 75 62 73 95 92 94 72 64 59 66 71 75 69 86 87 79 81 77 68 82 62 77 61 88 整理上面的数据得到尚不完整的频数分布直方图（如图）． 请根据所给信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）参与调查的一个用户说：“我的满意度评分在这 30 个用户中是中位数”，该用户的满意度评分是 分； （3）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级： 满意度平分 低于 60分 60分到 89分 不低于 90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 估计使用该公司这款 5G产品的 1500个用户中，满意度等级为“非常满意”的人数． 第 21题图 4 22．（8分）（2020•包头）如图，一个人骑自行车由 A地到C地途经 B地，当他由 A地出发时，发现 他的北偏东 45方向有一电视塔 P．他由 A地向正北方向骑行了 3 2km到达 B地，发现电视塔 P在他 北偏东 75方向，然后他由 B地向北偏东15方向骑行了 6km到达C地． （1）求 A地与电视塔 P的距离； （2）求C地与电视塔 P的距离． 第 22题图 23．（10分）（2020•包头）某商店销售 A、B两种商品， A种商品的销售单价比 B种商品的销售单价 少 40元，2件 A种商品和 3件 B种商品的销售总额为 820元． （1）求 A种商品和 B种商品的销售单价分别为多少元？ （2）该商店计划购进 A， B两种商品共 60件，且 A， B两种商品的进价总额不超过 7800元．已知 A种商品和 B种商品的每件进价分别为 110元和 140元，应如何进货才能使这两种商品全部售出后总 获利最多？ 24．（10分）（2020•包头）如图，AB是 O 的直径，半径OC AB ，垂足为O，直线 l为 O 的切线， A是切点，D是OA上一点，CD的延长线交直线 l于点 E， F 是OB上一点，CF 的延长线交 O 于 点G，连接 AC， AG，已知 O 的半径为 3， 34CE  ， 5 5 4BF AD  ． （1）求 AE的长； （2）求 cos CAG 的值及CG的长． 第 24题图 5 25．（12分）（2020•包头）如图，在Rt ABC 中， 90ACB  ， 4AC  ， 2BC  ，Rt ABC 绕点C按 顺时针方向旋转得到 Rt△ A B C  ， AC 与 AB交于点D． （1）如图①，当 / /A B AC  时，过点 B作 BE A C  ，垂足为 E，连接 AE． ①求证： AD BD ； ②求 ACE ABE S S   的值； （2）如图②，当 AC AB  时，过点 D作 / /DM A B ，交 B C 于点 N，交 AC的延长线于点M ，求 DN NM 的值． 图① 图② 第 25题图 6 26．（12分）（2020•包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 21 2 3 y x x  经过坐标原点，与 x轴正 半轴交于点 A，该抛物线的顶点为M ，直线 1 2 y x b   经过点 A，与 y轴交于点 B，连接OM ． （1）求 b的值及点M 的坐标； （2）将直线 AB向下平移，得到过点M 的直线 y mx n  ，且与 x轴负半轴交于点C，取点 (2,0)D ， 连接DM ，求证： 45ADM ACM   ； （3）点 E是线段 AB上一动点，点 F 是线段OA上一动点，连接 EF ，线段 EF的延长线与线段OM 交 于点G．当 2BEF BAO   时，是否存在点 E，使得 3 4GF EF ？若存在，求出点 E的坐标；若不 存在，请说明理由． 第 26题图 7 参考答案 1．C 2．B 3．A 4．D 5．B 6．C 7．B 8．A 9．D 10．D 11．A 12．D 13． 3x  14． 5 3 x  15． 3 2 16．22 17． 1 3 18．16 19．4 20． 3 2 【解析】如答图，过点 C 作 CF BD 于点 F ，设 2CD a .在 ABE 与 CDF 中， AEB CFD ABE CDF AB CD         ， ( )ABE CDF AAS   ， AE CF  ， BE FD . AE BD ， 30ADB BAE    ， 3AE CF a   ， BE FD a  . 90BAD   ， 30ADB  ， AE BD ， 30BAE ADB    ， 2 4BD AB a   ， 4 2 2EF a a a    ， 3tan 2 CFDEC EF     . 第 20题答图 21．解：（1）将样本数据分别统计各组的频数如下表： 频数分布直方图如答图. 第 21题答图 （2）75 （3） 41500 200 30   （人 ) . 答：使用该公司这款 5G产品的 1 500个用户中，满意度等级为“非常满意”的有 200人． 22．解：（1）如答图，过 B作 BD AP 于D． 8 依题意 45BAD  ，则 45ABD  ， 在Rt ABD 中， 2 2 3 2 3 2 2 AD BD AB     . 75PBN   ， 30APB PBN PAB     ， 3 3 tan30 BDPD    ， 2 6PB BD  ， 3 3 3AP AD PD     . A 地与电视塔 P的距离为 (3 3 3)km ； （2） 75PBN   ， 15CBN  ， 60CBP   . 6BP BC km  ， BPC 为等边三角形， 6PC km  ， C 地与电视塔 P的距离 6km． 第 22题答图 23．解：（1）设 A种商品的销售单价是 x元， B种商品的销售单价是 y元. 根据题意得 40 2 3 820 y x x y      ，解得 140 180 x y    . 答： A种商品的销售单价是 140元， B种商品的销售单价是 180元. （2）设购进 A种商品 a件，则购进 B种商品 (60 )a 件，设总获利为 w元. 根据题意得110 140(60 ) 7800a a   ，解得 20a ， (140 110) (180 140)(60 ) 10 2400w a a a        . 10 0  ， w 随 a的增大而减小， 当 20a  时， w有最大值. 答：商店购进 A种商品 20件，购进 B种商品 40件时，总获利最多． 24．解：（1）如答图，延长CO交 O 于T，过点 E作 EH CT 于H ． 直线 l是 O 的切线， AE OD  . OC AB ， 90EAO AOH EHO      ， 四边形 AEHO是矩形， 3EH OA   ， AE OH . 2 2 5CH EC EH   ， 2AE OH CH CO     ． （2） / /AE OC ， 2 3 AE AD OC DO   ， 2 6 5 5 AD OA   . 5 5 4BF AD  ， 2BF  ， 1OF OB BF    ， 4AF AO OF   ， 2 2 10CF OC OF   . FAC FGB   ， AFC GFB   ， AFC GFB ∽ ， 9  AF CF FG BF  ， 4 10 2FG  ， 4 10 5 FG  ， 9 10 5 CG FG CF    . CT 是直径， 90CGT  ， 2 2 3 10 5 GT TC CG    ， 10cos 10 TGCTG TC     . CAG CTG   ， 10cos 10 CAG   ． 第 26题答图 25．解：（1）① / /A B AC  ， B AC ACA      . B AC BAC     ， ACA BAC    ， AD CD  . 90ACB   ， 90BCD ACD    . 90ABC BAC     ， CBD BCD   ， BD CD  ， AD BD  . ② 90ACB   ， 2BC  ， 4AC  ， 2 22 4 2 5AB    . BE CD ， 90BEC ACB     . BCE ABC   ， BEC ACB ∽ ，  CE BC BC AB  ，即 2 2 2 5 CE  ， 2 5 5 CE  . 90ACB   ， AD BD ， 1 5 2 CD AB   ， 2 5 CE CD  ， 2 3ACE ADE S S   . AD BD ， 2ABE ADES S   ，  1 3 ACE ABE S S    . （2） CD AB ， 90ADC ACB      ， / /AB CN ， MCN MAD ∽ ， MN CN MD AD  .  1 1 2 2ABC S AB CD AC BC    ， 10  4 5 5 AC BCCD AB    ， 2 2 8 5 5 AD AC CD    . / /DM A B  ， CDN A A      ， 2tan tan 5 5 BCCN CD CDN CD A CD AC         ，  1 4 MN MD  ， 3DN NM  ． 26．（1）解：对于抛物线 21 2 3 y x x  ，令 0y  ，得到 21 2 0 3 x x  ， 解得 0x  或 6， (6,0)A . 直线 1 2 y x b   经过点 A， 0 3 b    ， 3b  . 2 21 12 ( 3) 3 3 3 y x x x     ， (3, 3)M  ． （2）证明：如答图①中，设平移后的直线的解析式 1 2 y x n   ． 平移后的直线经过 (3, 3)M  ， 33 2 n    ， 3 2 n   ，平移后的直线的解析式为 1 3 2 2 y x   . 过点 (2,0)D 作 DH MC 于H ，则直线 DH 的解析式为 2 4y x  . 由 2 4 1 3 2 2 y x y x        ，解得 1 2 x y     ， (1, 2)H  . (2,0)D ， (3, 3)M  ， 2 22 1 5DH    ， 2 21 2 5HM    ， DH HM  ． 45DMC   . ADM DMC ACM    ， 45ADM ACM   ． （3）解：如答图②，过点G作GH OA 于H ，过点 E作 EK OA 于 K． 2BEF BAO   ， BEF BAO EFA    ， EFA BAO   . EFA GFH   ， 1tan 2 OBBAO OA    ， 1tan tan 2 GFH EFK     . / /GH EK ， 4 3 GF GH EF EK   . 设 4GH k ， 3EK k ， 则 4OH HG k  ， 8FH k ， 6FK AK k  ， 12 3OF AF k    ， 1 4 k  ， 11 3OF  ， 3 2 FK AK  ， 3 4 EK  ， 9 2 OK  ， 9( 2 E ， 3) 4 ． 图① 图② 第 26题答图