2019年内蒙古包头市中考数学试卷（含答案）

1 2019 年内蒙古包头市中考数学试卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分. 1．（2019•包头）计算 11| 9 | ( ) 3   的结果是 ( ) A．0 B． 8 3 C．10 3 D．6 2．（2019•包头）实数 a， b在数轴上的对应点的位置如图所示．下列结论正确的是 ( ) A． a b B． a b  C． a b  D． a b  第 2题图 第 4题图 第 7题图 第 8题图 3．（2019•包头）一组数据 2，3，5， x，7，4，6，9的众数是 4，则这组数据的中位数是 ( ) A．4 B． 9 2 C．5 D．11 2 4．（2019•包头）一个圆柱的三视图如图所示，若其俯视图为圆，则这个圆柱的体积为 ( ) A．24 B． 24 C．96 D．96 5．（2019•包头）在函数 3 1 2 y x x     中，自变量 x的取值范围是 ( ) A． 1x   B． 1x  C． 1x   且 2x  D． 1x  且 2x  6．（2019•包头）下列说法正确的是 ( ) A．立方根等于它本身的数一定是 1和 0 B．顺次连接菱形四边中点得到的四边形是矩形 C．在函数 ( 0)y kx b k   中， y的值随着 x值的增大而增大 D．如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧长一定相等 7．（2019•包头）如图，在Rt ABC 中， 90B  ，以点 A为圆心，适当长为半径画弧，分别交 AB、 AC 于点D， E，再分别以点D、 E为圆心，大于 1 2 DE为半径画弧，两弧交于点 F ，作射线 AF 交 边 BC于点G，若 1BG  ， 4AC  ，则 ACG 的面积是 ( ) A．1 B． 3 2 C．2 D． 5 2 8．（2019•包头）如图，在Rt ABC 中， 90ACB  ， 2 2AC BC  ，以 BC为直径作半圆，交 AB 于点 D，则阴影部分的面积是 ( ) A． 1  B． 4  C． 2 D．2 2 9．（2019•包头）下列命题： ①若 2 1 4 x kx  是完全平方式，则 1k  ； ②若 (2,6)A ， (0,4)B ， (1, )P m 三点在同一直线上，则 5m  ； ③等腰三角形一边上的中线所在的直线是它的对称轴； ④一个多边形的内角和是它的外角和的 2倍，则这个多边形是六边形． 其中真命题个数是 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 10．（2019•包头）已知等腰三角形的三边长分别为 a、 b、4，且 a、 b是关于 x的一元二次方程 2 12 2 0x x m    的两根，则m的值是 ( ) A．34 B．30 C．30或 34 D．30或 36 11．（2019•包头）如图，在正方形 ABCD中， 1AB  ，点 E， F 分别在边 BC和CD上， AE AF ， 60EAF  ，则CF 的长是 ( ) A． 3 1 4  B． 3 2 C． 3 1 D． 2 3 第 11题图 第 12题图 12．（3分）（2019•包头）如图，在平面直角坐标系中，已知 ( 3, 2)A   ， (0, 2)B  ， ( 3,0)C  ，M 是线 段 AB上的一个动点，连接CM ，过点M 作MN MC 交 y轴于点 N，若点M 、N在直线 y kx b  上， 则 b的最大值是 ( ) A． 7 8  B． 3 4  C． 1 D．0 二、填空题：本大题有 6 小题，每小题 3 分，共 24 分. 13．（2019•包头）2018年我国国内生产总值 ( )GDP 是 900309亿元，首次突破 90万亿大关，90万亿 用科学记数法表示为 ． 14．（2019•包头）已知不等式组 2 9 6 1 1 x x x k        的解集为 1x   ，则 k的取值范围是 ． 15．（2019•包头）化简： 2 2 1 11 2 4 4 a a a a a         ． 16．（2019•包头）甲、乙两班举行数学知识竞赛，参赛学生的竞赛得分统计结果如下表： 班级 参赛人数 平均数 中位数 方差 甲 45 83 86 82 乙 45 83 84 135 某同学分析上表后得到如下结论： ①甲、乙两班学生的平均成绩相同； 3 ②乙班优秀的人数少于甲班优秀的人数（竞赛得分 85 分为优秀）； ③甲班成绩的波动性比乙班小． 上述结论中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号） 17．（2019•包头）如图，在 ABC 中， 55CAB  ， 25ABC  ，在同一平面内，将 ABC 绕 A点 逆时针旋转 70得到 ADE ，连接 EC，则 tan DEC 的值是 ． 第 17题图 第 18题图 第 19题图 第 20题图 18．（2019•包头）如图，BD是 O 的直径，A是 O 外一点，点C在 O 上，AC 与 O 相切于点C ， 90CAB  ，若 6BD  ， 4AB  ， ABC CBD   ，则弦 BC的长为 ． 19．（2019•包头）如图，在平面直角坐标系中，已知 ( 1,0)A  ， (0,2)B ，将 ABO 沿直线 AB翻折后得 到 ABC ，若反比例函数 ( 0)ky x x   的图象经过点C，则 k  ． 20．（2019•包头）如图，在Rt ABC 中， 90ABC  ， 3BC  ，D为斜边 AC 的中点，连接 BD，点 F 是 BC边上的动点（不与点 B、C 重合），过点 B作 BE BD 交DF延长线交于点 E，连接CE ， 下列结论： ①若 BF CF ，则 2 2 2CE AD DE  ； ②若 BDE BAC   ， 4AB  ，则 15 8 CE  ； ③ ABD 和 CBE 一定相似； ④若 30A  ， 90BCE  ，则 21DE  ． 其中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号） 三、解答题：本大题共有 6 小题，共 60 分. 21．（8分）（2019•包头）某校为了解九年级学生的体育达标情况，随机抽取 50名九年级学生进行体 育达标项目测试，测试成绩如下表，请根据表中的信息，解答下列问题： 测试成绩（分 ) 23 25 26 28 30 人数（人 ) 4 18 15 8 5 （1）该校九年级有 450名学生，估计体育测试成绩为 25分的学生人数； （2）该校体育老师要对本次抽测成绩为 23分的甲、乙、丙、丁 4名学生进行分组强化训练，要求两 人一组，求甲和乙恰好分在同一组的概率．（用列表或树状图方法解答） 4 22．（8分）（2019•包头）如图，在四边形 ABCD中， / /AD BC ，AB BC ， 90BAD  ，AC 交 BD 于点 E， 30ABD  ， 3AD  ，求线段 AC和 BE 的长． （注 1: ) ( )( ) a b a b a ba b a b a b        第 22题图 23．（10分）（2019•包头）某出租公司有若干辆同一型号的货车对外出租，每辆货车的日租金实行淡 季、旺季两种价格标准，旺季每辆货车的日租金比淡季上涨 1 3 ．据统计，淡季该公司平均每天有 10 辆货车未出租，日租金总收入为 1500元；旺季所有的货车每天能全部租出，日租金总收入为 4000元． （1）该出租公司这批对外出租的货车共有多少辆？淡季每辆货车的日租金多少元？ （2）经市场调查发现，在旺季如果每辆货车的日租金每上涨 20元，每天租出去的货车就会减少 1辆， 不考虑其它因素，每辆货车的日租金上涨多少元时，该出租公司的日租金总收入最高？ 24．（10分）（2019•包头）如图，在 O 中，B是 O 上的一点， 120ABC  ，弦 2 3AC  ，弦 BM 平分 ABC 交 AC于点 D，连接MA，MC． （1）求 O 半径的长； （2）求证： AB BC BM  ． 第 24题图 5 25．（12 分）（2019•包头）如图，在正方形 ABCD中， 6AB  ， M 是对角线 BD上的一个动点 1(0 ) 2 DM BD  ，连接 AM ，过点M 作MN AM 交 BC于点 N． （1）如图①，求证：MA MN ； （2）如图②，连接 AN，O为 AN的中点，MO的延长线交边 AB于点 P，当 13 18 AMN BCD S S    时，求 AN和 PM 的长； （3）如图③，过点 N作 NH BD 于H ，当 2 5AM  时，求 HMN 的面积． 第 25题图 6 26．（12分）（2019•包头）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 2 2( 0)y ax bx a    与 x轴交于 ( 1,0)A  ， (3,0)B 两点，与 y轴交于点C ，连接 BC． （1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴； （2）点 D为抛物线对称轴上一点，连接CD、 BD，若 DCB CBD   ，求点D的坐标； （3）已知 (1,1)F ，若 ( , )E x y 是抛物线上一个动点（其中1 2)x  ，连接CE 、CF 、EF ，求 CEF 面 积的最大值及此时点 E的坐标． （4）若点 N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M ，使得以 B，C，M ， N为顶点的四 边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 第 26题图 7 参考答案 1．D 2．C 3．B 4．B 5．D 6．B 7．C 8．D 9．B 10．A 11．C 12．A 13． 139.0 10 14． 2k  15． 1 1a   16．①②③ 17．1 18． 2 6 19． 32 25  20．①②④ 【解析】① 90ABC   ， D为斜边 AC 的中点， AD BD CD   ， BF CF ， DE BC  ， BE CE  ， BE BD ， 2 2 2BD BE DE   ， 2 2 2CE AD DE   ，故①正确； ② 4AB  ， 3BC  ， 2 2 5AC AB BC    ，  5 2 BD AD CD   ， A BDE   ， 90ABC DBE     ， ABC DBE ∽ ， AB BC DB BE  ，即 4 3 5 2 BE  ． 15 8 BE  ， AD BD ， A ABD   ， A BDE   ， BDC A ABD    ， A CDE   ， / /DE AB ， DE BC  ， BD CD ， DE 垂直平分 BC， BE CE  ， 15 8 CE  ，故②正确；③ 90ABC DBE     ， ABD CBE   ， 5 52 4 8 BD AB   ，但随着 F 点运动，BE 的长度会改变，而 3BC  ， 3 BE  3 BE 或 3 BE 不 一 定 等 于 5 8 ， ABD 和 CBE 不 一 定 相 似 ， 故 ③ 错 误 ； ④ 30A   ， 3BC  ， 30A ABD CBE       ， 2 6AC BC  ， 1 3 2 BD AC   ， 3BC  ， 90BCE   ， 2 3 cos30 BCBE    ， 2 2 21DE BD BE    ，故④正确； 21．解：（1） 18450 162 50   （人 ) . 答：该校九年级有 450名学生，估计体育测试成绩为 25分的学生人数为 162人； （2）画树状图如答图. 第 21题答图 共有 12个等可能的结果， 丙丁分到一组时，甲乙也恰好在同一组， 甲和乙恰好分在同一组的结果有 4个， 甲和乙恰好分在同一组的概率为 4 1 12 3  ． 22．解：在Rt ABD 中， 90BAD  ， 30ABD  ， 3AD  ， tan ADABD AB    ， 3 3 3 AB  ， 3AB  . 8 / /AD BC ， 180BAD ABC   ， 90ABC   . 在Rt ABC 中， 3AB BC  ， 2 2 3 2AC AB BC    . / /AD BC ， ADE CBE ∽ ，  DE AD BE CB  ， 3 3 DE BE  . 设 3DE x ，则 3BE x ， ( 3 3)BD DE BE x     ， 3 3 3 DE BD   ， 在Rt ABD 中， 30ABD  ， 2 2 3BD AD   ， 32 3 3 3 3 3 DE      ， 3(3 3) 3 3 3BE     ． 23．解：（1）该出租公司这批对外出租的货车共有 x辆， 根据题意得 1500 1 4000(1 ) 10 3x x     ，解得 20x  ， 经检验： 20x  是分式方程的根， 1500 (20 10) 150    （元 ) . 答：该出租公司这批对外出租的货车共有 20辆，淡季每辆货车的日租金 150元； （2）设每辆货车的日租金上涨 a元时，该出租公司的日租金总收入为W 元， 根据题意得 1[ 150 (1 )] (20 ) 3 20 aW a      ， 2 21 110 4000 ( 100) 4500 20 20 W a a a         ， 1 0 20   ，当 100a  时，W 有最大值. 答：每辆货车的日租金上涨 100元时，该出租公司的日租金总收入最高． 24．解：（1）如答图①，连接OA、OC，过O作OH AC 于点H . 120ABC   ， 180 60AMC ABC     ， 2 120AOC AMC    ， 1 60 2 AOH AOC    ， 1 3 2 AH AC  ， 2 sin 60 AHOA    ，故 O 的半径为 2． （2）证明：如答图②，在 BM 上截取 BE BC ，连接CE . 120ABC   ， BM 平分 ABC ， 60ABM CBM    ， BE BC ， EBC 是等边三角形， CE CB BE   ， 60BCE  ， 60BCD DCE   ， 60ACM   ， 60ECM DCE   ， ECM BCD   ， 60CAM CBM     ， 60ACM ABM    ， ACM 是等边三角形， AC CM  ， ACB MCE   ， 9 AB ME  ， ME EB BM  ， AB BC BM   ． 图① 图② 第 24题答图 25．【解答】（1）证明：过点M 作MF AB 于 F ，作MG BC 于G，如答图①， 90AFM MFB BGM NGM         . 四边形 ABCD是正方形， 90ABC DAB    ， AD AB ， 45ABD DBC    ， MF AB ，MG BC ， MF MG  . 90ABC   ，四边形 FBGM 是正方形， 90FMG  ， 90FMN NMG   ， MN AM ， 90AMF FMN   ， AMF NMG   ， 在 AMF 和 NMG 中， AFM NGM MF MG AMF NMG         ， ( )AMF NMG ASA   ， MA MN  . （2）解：在Rt AMN 中，由（1）知MA MN ， 45MAN  ， 45DBC   ， MAN DBC   ， Rt AMN Rt BCD  ∽ ， 2( )AMN BCD S AN S BD    ， 在Rt ABD 中， 6AB AD  ， 6 2BD  ，  2 2 13 18(6 2) AN  ，解得： 2 13AN  ， 在Rt ABN 中， 2 2 2 2(2 13) 6 4BN AN AB     ， 在Rt AMN 中，MA MN ，O是 AN的中点， 1 13 2 OM OA ON AN     ，OM AN ， 90AOP  ， AOP ABN   ， PAO NAB   ， PAO NAB ∽ ，  OP OA BN AB  ，即 13 4 6 OP  ，解得 2 13 3 OP  ， 2 13 5 1313 3 3 PM OM OP      . （3）解：如答图②，过点 A作 AF BD 于 F ， 10 90AFM  ， 90FAM AMF   ， MN AM ， 90AMN  ， 90AMF HMN    ， FAM HMN   ， NH BD ， 90AFM MHN    ， 在 AFM 和 MHN 中， FAM HMN AFM MHN AM MN         ， ( )AFM MHN AAS   ， AF MH  ， 在等腰直角 ABD 中， AF BD ， 1 1 6 2 3 2 2 2 AF BD     ， 3 2MH  ， 2 5AM  ， 2 5MN  ， 2 2 2HN MN MH    ， 1 1 3 2 2 3 2 2HMN S MH HN      ， HMN 的面积为 3． 图① 图② 第 25题答图 26．解：（1）将点 ( 1,0)A  ， (3,0)B 代入 2 2y ax bx   ， 可得 2 3 a   ， 4 3 b  ， 22 4 2 3 3 y x x     ； 对称轴 1x  . （2）如答图①，过点 D作 DG y 轴于G，作 DH x 轴于H . 设点 (1, )D y . (0,2)C ， (3,0)B ， 在Rt CGD 中， 2 2 2 2(2 ) 1CD CG GD y     ， 在Rt BHD 中， 2 2 2 24BD BH HD y    ， 在 BCD 中， DCB CBD   ， CD BD  ， 2 2CD BD  ， 2 2(2 ) 1 4y y     ， 1 4 y  ， 1(1, ) 4 D . （3）如答图②，过点 E作 EQ y 轴于点Q，过点 F 作直线 FR y 轴于 R， CEF CRF CQEQRFES S S S    梯形∴ ( , )E x y ， (0,2)C ， (1,1)F ， 11 1 1 1( ) 2 2 2CEF S EQ RF QR CR RF FR ER        ， 1 1 1 1 1( 1)( 1) ( 2) 1 1 1 2 2 2 2 2CEF S x y x y x y            22 4 2 3 3 y x x    ， 21 7 3 6CEF S x x    ， 当 7 4 x  时，面积有最大值 49 48 ，此时 7( 4 E ， 55) 24 . （4）存在点M 使得以 B，C ，M ， N为顶点的四边形是平行四边形， 设 (1, )N n ， ( , )M x y ， ①四边形CMNB是平行四边形时， / /CM NB， / /CB MN ， 1 3 2 2 x  ， 2x   ， 10( 2, ) 3 M   ； ②四边形CNBM 是平行四边形时， / /CN BM ， / /CM BN， 3 1 2 2 x  ， 2x  ， (2,2)M ； ③四边形CNMB是平行四边形时， / /CB MN ， / /NC BM ， 1 3 2 2 x  ， 4x  ， 10(4, ) 3 M  ； 综上所述： (2,2)M 或 10(4, ) 3 M  或 10( 2, ) 3 M   ； 图① 图② 第 26题答图