2024年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷（含答案）

第 1页（共 20页） 2024年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷 一、选择题（本大题共 10小题，每小题 3 分，共 30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的） 1.-2 024 的相反数是（ ） A．2 024 B．-2 024 C． 1 2 024 D． 1 2 024 - 2.如图，直线 1l 和 2l 被直线 3l 和 4l 所截， 1 2 130    ， 3 75  ，则 4 的度数为（ ） 第 2 题图 A． 75 B．105 C．115 D．130 3.下列运算正确的是 ( ) A． 3 3(3 ) 9x x B． 2 2( 2) 4x x   C． 2 2 2 4( 2 ) 4ab a b  D．3 4 7a b ab  4.如图所示的几何体，其主视图是 ( ) 第 4 题图 A B C D 5.我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与 长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是 864 平方步，其中宽与长的和为 60 步，问宽和 长各几步？若设长为 x步，则下列符合题意的方程是 ( ) 第 2页（共 20页） A． 60 864 2 xx   B． (60 ) 864x x  C． (60 ) 864x x  D． (30 ) 864x x  6.为了解某小区居民的家庭月平均用水量的情况，物业公司从该小区 1 500 户家庭中随机抽取 150 户家庭 进行调查，统计了他们的月平均用水量，将收集的数据整理成如下的统计图表： 第 6 题图 根据统计图表得出以下四个结论，其中正确的是 ( ) A．本次调查的样本容量是 1 500 B．这 150 户家庭中月平均用水量为 7 9x  的家庭所占比例是 30% C．在扇形统计图中，月平均用水量为11 13x  的家庭所对应圆心角的度数是 95 D．若以各组组中值（各小组的两个端点的数的平均数）代表各组的实际数据，则这 150 户家庭月平均 用水量的众数是 12 7.如图，正四边形 ABCD和正五边形CEFGH 内接于 O ， AD和 EF 相交于点M ，则 AMF 的度数为 ( ) 第 7 题图 A． 26 B． 27 C． 28 D． 30 8.在同一平面直角坐标系中，函数 ( 0)y ax b a   和 ( 0)cy c x    的图象大致如图所示，则函数 第 3页（共 20页） 2 ( 0)y ax bx c a    的图象大致为 ( ) 第 8 题图 A B C D 9.如图，在△ABD中， 30ABD  ， 105A  ，将 ABD△ 沿 BD翻折180得到 CBD△ ，将线段DC绕点 D顺时针旋转 30得到线段DF，点 E为 AB的中点，连接 EF ，ED．若 1EF  ，则 BED△ 的面积是 ( ) 第 9 题图 A． 1 3 4  B． 2 3 4  C． 2 3 2  D． 1 3 2  10.下列说法中，正确的个数有 ( ) ①二次函数 2 ( 0)y ax bx c a    的图象经过 (2,1) ， ( 4,1) 两点， m ， n 是关于 x 的一元二次方程 2 0(0 1)ax bx c k k      的两个实数根，且m n ，则 4 2m n    恒成立． ②在半径为 r 的 O 中，弦 AB，CD互相垂直于点 P，当OP m 时，则 2 2 2 28 4AB CD r m   ． ③ ABC△ 为平面直角坐标系中的等腰直角三角形且 90ABC  ，点 A的坐标为 (1,0) ，点 B的坐标为 (0,5) ， 点C是反比例函数 ( 0)ky k x   的图象上一点，则 30k   ． ④已知矩形的一组邻边长是关于 x的一元二次方程 2 22( 1) 1 0x a x a     的两个实数根，且矩形的周长值 与面积值相等，则矩形的对角线长是 4 6 ． 第 4页（共 20页） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 二、填空题（本大题共 6小题，每题 3分，共 18分。本题要求把正确结果填在答题卡规定的横线上，不 需要解答过程） 11.2023 年呼和浩特市政府工作报告中指出，我市主要经济指标增速达到十年来最好水平，地区生产总值 完成 3 802 亿元，数据“3 802 亿”用科学记数法表示为 ． 12.如图，有 4 张分别印有卡通西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净．现将这 4 张卡片（除图 案不同外，其余均相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中随机取出 1 张卡片，然后放回并搅匀，再从中 随机取出 1 张卡片，则两次取到相同图案的卡片的概率为 ． 第 12 题图 13.如图是平行四边形纸片 ABCD， 36 cmBC = ， 110A  ， 50BDC  ，点M 为 BC的中点，若以M 为 圆心，MC为半径画弧交对角线 BD于点 N，则 NMC  度；将扇形MCN 纸片剪下来围成一个无底 盖的圆锥（接缝处忽略不计），则这个圆锥的底面圆半径为 cm ． 第 13 题图 14.关于 x的不等式 2 1 1 3 2 x x   的解集是 ，这个不等式的任意一个解都比关于 x的不等式 2 1x x m  的解大，则m的取值范围是 ． 15.2024 年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名．某厂家生产大小两种型号的“龙 辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵 15 元，且用 2 400 元购进小号“龙辰辰”的数量是 用 2 200 元购进大号“龙辰辰”数量的 1.5 倍，则大号“龙辰辰”的单价为 元．某网店在该厂家购进 了两种型号的“龙辰辰”共 60 个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰辰”个数的一半，小号“龙 辰辰”售价为 60 元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多 30% ．若两种型号的“龙辰辰” 全部售出，则该网店所获最大利润为 元． 16.如图，正方形 ABCD的面积为 50，以 AB为腰作等腰三角形 ABF， AB AF ， AE平分 DAF 交DC于 第 5页（共 20页） 点G，交 BF 的延长线于点 E，连接DE．若 2BF  ，则 DG  ． 第 16 题图 三、解答题（本大题共 8小题，满分 72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本题满分 10 分）（1）计算： 03 tan 30 (3 π) |1 2 | 18°+ - + - - ； （2）解方程： 3 5 2 2 1 x x x     ． 第 6页（共 20页） 18.（本题满分 7 分）如图， 90ACB AED    ， AC FE ， AB平分 CAE ， AB DF∥ ． （1）求证：四边形 ABDF是平行四边形； （2）过点 B作 BG AE 于点G，若CB AF ，请直接写出四边形 BGED的形状． 第 18 题图 第 7页（共 20页） 19.（本题满分 10 分）近年来，近视的青少年越来越多且年龄越来越小．研究表明：这与学生长期不正确 的阅读、书写姿势和长时间使用电子产品等有很大的关系．呼和浩特市某校为了解九年级学生右眼视力的 情况，计划采用抽样调查的方式来估计该校九年级 840 名学生的右眼视力情况，制定以下两种抽样方案： ①从九年级的一个班级中随机抽取 42 名学生（九年级每个班级至少有 50 名学生）； ②从九年级中随机抽取 42 名学生． 你认为更合理的方案是 （填“①”或“②”）. 该校用合理的方案抽取了 42 名学生进行右眼视力检查，检查结果如下： 4.5 4.8 4.9 4.4 4.5 4.2 5.0 4.0 4.2 4.3 5.0 4.2 4.4 4.9 4.2 4.4 4.5 4.6 4.8 4.9 4.1 5.0 4.9 4.8 4.7 4.5 4.8 5.0 4.9 4.5 4.3 4.9 4.3 5.0 4.9 4.8 4.9 5.0 4.1 4.9 4.3 4.2 整理上面的数据得到如下表格： 右眼视力 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 人数 1 2 5 4 3 m 1 1 5 n 6 请根据所给信息，解答下列问题： （1）m  ， n  ； （2）计算该样本的平均数（结果精确到 0.1，参考数据： 4.0 1 4.1 2 4.2 5 4.3 4 4.4 3 63.6)          ； （3）若该校九年级小明同学右眼视力为 4.5，请你用调查得到的数据中位数推测他在九年级全体学生中的 右眼视力状况； （4）根据样本数据，估计该校九年级学生右眼视力在 4.7 及 4.7 以上的学生人数． 第 8页（共 20页） 20.（本题满分 7 分）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图①是小亮同学安装的化学实验装置，安装 要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意 图（图②），已知试管 24 cmAB = ， 1 3 BE AB ，试管倾斜角 ABG 为12． （1）求试管口 B与铁杆DE的水平距离 BG的长度（结果用含非特殊角的三角函数表示）； （2）实验时，导气管紧靠水槽壁MN ，延长 BM 交CN 的延长线于点 F ，且MN CF 于点 N（点C ，D， N， F 在一条直线上），经测得： 28 cmDE = ， 8 cmMN = ， 147ABM  ，求线段DN 的长度（结果用 含非特殊角的三角函数表示）． 图① 图② 第 20 题图 第 9页（共 20页） 21.（本题满分 8 分）某研究人员对分别种植在两块试验田中的“丰收 1 号”和“丰收 2 号”两种小麦进行 研究，两块试验田共产粮 1 000 kg，种植“丰收 1 号”小麦的试验田产粮量比种植“丰收 2 号”小麦的试 验田产粮量的 1.2 倍少 100 kg，其中“丰收 1 号”小麦种植在边长为 a m（a>1）的正方形去掉一个边长为 1 m 的正方形蓄水池后余下的试验田中，“丰收 2 号”小麦种植在边长为（a-1） m 的正方形试验田中． （1）请分别求出种植“丰收 1 号”小麦和“丰收 2 号”小麦两块试验田的产粮量； （2）哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 第 21 题图 第 10页（共 20页） 22.（本题满分 8 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 1 ( 0)y kx b k   的图象与 x轴、 y轴分别交于 ( 2,0)A  ， (0,1)B 两点． （1）求一次函数的解析式； （2）已知变量 x， 2y 的对应关系如下表已知值呈现的对应规律． x  4 3 2 1 1 2  1 2 1 2 3 4  2y  1 4 3  2 4 8 8 4 2 4 3 1  写出 2y 与 x的函数关系式，并在本题所给的平面直角坐标系中画出函数 2y 的大致图象； （3）一次函数 1y 的图象与函数 1y 的图象相交于C ，D两点（点C在点 D的左侧），点C关于坐标原点的 对称点为点 E，点 P是第一象限内函数 2y 图象上的一点，且点 P位于点D的左侧，连接 PC，PE，CE ．若 PCE 的面积为 15，求点 P的坐标． 第 22 题图 第 11页（共 20页） 23.（本题满分 10 分）如图， ACD△ 内接于 O ，直径 AB 交 CD于点 G ，过点 D 作射线 DF ，使得 ADF ACD   ，延长DC交过点 B的切线于点 E，连接 BC． （1）求证：DF是 O 的切线； （2）若 8 3 CD CG ， 3 3BE CE  ． ①求DE的长； ②求 O 的半径． 第 23 题图 第 12页（共 20页） 24.（本题满分 12 分）在平面直角坐标系中，抛物线 2 2 4y x bx   经过点 ( 1, )m ． （1）若 1m  ，则 b  ，通过配方可以将其化成顶点式为 ； （2）已知点 1(x ， 1)y ， 2(x ， 2 )y 在抛物线上，其中 1 2x x ，若 0m  且 1 22 2 5x x  ，比较 1y 与 2y 的大小 关系，并说明理由； （3）若 0b  ，将抛物线向上平移 4 个单位长度得到的新抛物线与直线 1 4 y kx  交于 A， B两点，直线 与 y轴交于点C ，E为 AC的中点，过点 E作 x轴的垂线，垂足为点 F ，连接 AF ，CF ．求证： 2 1 2 CF CE ． 第 13页（共 20页） 2024年内蒙古呼和浩特市中考数学答案 1.A 2.B 3.C 4.A 5.C 6.D 7.B 8.D 9.A 【解析】如答图，过点 A 作 AG BD 于点 G . 30ABD   ， 105BADÐ = °， 45ADB   .设 AE BE a  ， 则 2AB a ，  1 2 AG AB a  ， 3 3 2 BG AB a  ， DG AG a   ， 2AD a  . 2 22 AE a AD a   ， 2 2 2 2 AD a AB a   ， AE AD AD AB  . DAE BAD   ， ADE ABD\△ ∽△ ， 30ADE ABD     . 90ADC ADE EDF CDFÐ = Ð +Ð +Ð = ° ， 90 30 30EDF ADE\Ð = °- °- °= Ð . AD CD DF  ， DE DE ， (SAS)ADE FDE\△ ≌△ ， 1EF AE BE    . 过 点 E 作 EH BD 于 点 H ， 1 1 2 2 EH BE   ， 3 3 1BD a a    ， ∴S△BED 1 3 1 2 4 BD EH += × = .故选 A. 第 9 题答图 10.B 【解析】如答图①.∵在 y=ax2+bx+c中，a>0，抛物线开口向上.∵一元二次方程 ax2+bx+c-k=0 有两个 不相等的实数根，∴直线 y=k与抛物线 y=ax2+bx+c有两个交点.由图象得 0 1k  ，当 1k  时， 4m   ， 2n  ，①错误；如答图②，过点O分别作OM AB 于点M ，作ON CD 于点 N，连接OA，OC，则四 边形OMPN是矩形. 2 2 2OA AM OM  ， 2 2 2OC CN ON  ， 2 2 21( ) 2 r AB OM  ， 2 2 21( ) 2 r CD ON  ，  2 2 2 2 2 1 12 4 4 r AB CD OM ON    . 2 2 2 2OP OM ON m   ，  2 2 2 21 12 4 4 r AB CD m   ， ∴ 2 2 2 28 4AB CD r m+ = - ，②正确；如答图③，易得 1(5,6)C 或 2 ( 5,4)C - ， 30k  或 20 ，③错误；矩形 的一组邻边长是关于 x的一元二次方程 2 22( 1) 1 0x a x a     的两个实数根，∴L 长  L 宽 2( 1)a  ，L 长 L 宽 2 1a  .矩形的周长值与面积值相等， 24( 1) 1a a    ， ( 5)( 1) 0a a    ， 5a  或 1a   ， ∴Δ 2 2[ 2( 1)] 4( 1) 8 8 0a a a        ， 1a   . L 对 角 线 2=L 长 2 L 宽 2 L（ 长  宽 ） 2 2  L 长  L 宽 ,∴ 2 2 24( 1) 2( 1) 2 8 6a a a a+ - - = + + ，当 5a  时，L 对角线 2 96= ，L 对角线= 4 6 ，④正确.综上所述，②④正确. 故选 B. 第 14页（共 20页） 图① 图② 图③ 第 10 题答图 11. 113.802 10 12. 1 4 13.40 2 14. 8x  7m 15.55 1260 【解析】设小号“龙辰辰”的单价为 x元，则大号“龙辰辰”的单价为 ( 15)x  元，根据题意得 2 400 2 2001.5 15x x = ´ + ，解得 40x  .经检验 40x  是原方程的解，且符合题意，∴ 15 55x   ，即大号“龙辰辰” 的单价为 55 元．设该网店购进大号“龙辰辰” m 个，则购进小号“龙辰辰” (60 )m 个 .由题意可知， 1 (60 ) 2 m m ，解得 20m ．∵小号“龙辰辰”的售价为 60 元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价 多 30% ，∴大号 “ 龙辰辰 ” 的售价为 60 (1 30%) 78   （元）．设该网店获得的利润为 w ，则 (78 55) (60 40)(60 ) 3 1 200w m m m= - + - - = + .∵ 20m ，∴当 20m  时， w取得最大值为 1 260，∴该网店 所获最大利润为 1 260 元. 16. 15 2 4 【 解 析 】 设 CBE x  ， 则 90AFB ABF xÐ = Ð = °- ， 90AFE x    ， 180 2(90 ) 2BAF x x       . AF AB AD  ， 45EAF EAD x      ， AE AE ， (SAS)AEF AED\△ ≌△ ， 90AFE ADE x\Ð =Ð = °+ ， CDE x  ， 90DEB  ， 45AED AEB     . 如答图，过点 A作 AM BE 于点M ，过点 D作 DN AE 于点 N， 45 45EAM x x       .∵四边形 ABCD 是面积为 50 的正方形，∴ 5 2AB = ，△AEM 是等腰直角三角形 . 2 2 7AM AB BM   ， 7EM AM   ，∴EF=EM－FM=6， 6DE EF   ， 2 3 2 2 DN DE   ， 2 2 4 2AN AD DN    . ∵∠ADG=∠DNG=90°，∴∠DAN+∠DGN=∠NDG+∠DGN=90°，∴∠DAN=∠NDG，∴tan∠DAN=tan ∠NDG，即 DN NG AN DN = ，∴ 2DNNG AN = ，∴ 9 2 4 NG = ， 2 2 15 2 4 DG DN NG\ = + = . 第 15页（共 20页） 第 16 题答图 17.（1）解：原式 33 1 ( 2 1) 3 2 3       1 1 2 1 3 2     1 2 2  . （2）解：去分母，得 3 5(2 2) 2x x   ， 去括号，得 3 10 10 2x x   ， 移项，得10 2 10 3x x   ， 合并同类项，得8 7x  ， 系数化为 1，得 7 8 x  . 检验：当 7 8 x  时，x-1≠0， ∴ 7 8 x  是原方程的解． 18.（1）证明： AB 平分 CAE ， CAB BAE   . AB DF ∥ ， BAE DFE   ， CAB EFD   . 在 CAB△ 和 EFD△ 中， ACB AED AC FE CAB EFD ìÐ = Ð ïï =í ï Ð = Ðïî ， ， ， (ASA)CAB EFD\△ ≌△ ， AB FD  . 又∵ AB FD∥ ，四边形 ABDF是平行四边形. （2）解：如答图，四边形 BGED是正方形. 由（1）可知， BC DE ，四边形 ABDF是平行四边形， BD AF  . AB 平分 CAE ， BC AC ， BG AE ， BC BG  . BC AF ， BD DE BG   ，且 90BGE GED    ，∴BG∥DE. 第 16页（共 20页） ∵BD∥AC， BG DE ，四边形 BGED是平行四边形. BD DE ，四边形 BGED是菱形. 90BGE GED     ，四边形 BGED是正方形． 第 18 题答图 19.解：② （1）5 9 （2） 1 (4.0 1 4.1 2 4.2 5 4.3 4 4.4 3 4.5 5 4.6 1 4.7 1 4.8 5 4.9 9 5.0 6) 42                       4.6 . 答：该样本的平均数约 4.6. （3）这 42 个数据从小到大的顺序排列后，其中第 21 个数是 4.6，第 22 个数是 4.7， 这组数据的中位数是 4.65. 小明同学右眼视力为 4.5，根据中位数推测他在九年级全体学生中的右眼视力状况偏低. （4） 21840 420 42   （人）. 答：估计该校九年级学生右眼视力在 4.7 及 4.7 以上的学生人数为 420 人． 20.解：（1） 24AB = ， 1 3 BE AB ， 1 24 8 3 BE    .  cos 12 8 BG°= ， 8cos 12 (cm)BG\ = ° . 答：BG的长度为 8cos 12° cm. （2）如答图，延长GB， NM 交于点H ，则四边形DNHG是矩形. 在 Rt△BGE 中， sin12 EG BE °= ， 8sin 12EG\ = ° . 28 8sin12NH DG DE EG\ = = - = - °， 20 8sin12HM NH MN\ = - = - °， 12ABG   ， 147ABM  ， 135FBG  ， 45MBH  ， 20 8sin12BH HM\ = = - °， ( )8cos12 20 8sin12DN GH BG BH\ = = + = °+ - ° cm． 第 17页（共 20页） 答：线段 DN 的长度为( )8cos12 20 8sin12°+ - ° cm. 第 20 题答图 21.解：（1）设种植“丰收 2 号”小麦的产粮量为 x kg，则“丰收 1 号”小麦的产粮量为（1.2x-100）kg， 根据题意得 1.2 100 1 000x x+ - = . 解得 500x  ，∴“丰收 1 号”的产粮量为 1 000-500=500（kg）． 答：种植“丰收 1 号”小麦和“丰收 2 号”小麦两块试验田的产粮量都为 500 kg. （2）“丰收 1 号”的单位面积产量为 2 500 1a  ， “丰收 2 号”的单位面积产量为 2 500 ( 1)a  . 2 2( 1) ( 1) 2 2 0a a a     Q ， 2 2 500 500 1 ( 1)a a    ， “丰收 2 号”小麦单位面积产量高. ∴ 2 2 500 500 ( 1) 1a a    1 1 a a    ， ∴高的单位面积产量是低的单位面积产量的 1 1 a a   倍． 答：“丰收 2 号”小麦单位面积产量高，高的单位面积产量是低的单位面积产量的 1 1 a a   倍． 22.解：（1）由题意得一次函数 1 ( 0)y kx b k   的图象与 x轴， y轴分别交于 ( 2,0)A  ， (0,1)B 两点. 将点 A（-2,0），B（0,1）代入 1 ( 0)y kx b k   ， 得 2 0 1 k b b ì- + =ï í =ïî ， ， 解得 1 2 1 k b ì =ï í ï =î ， ， 一次函数的解析式为 1 1 1 2 y x  . （2）根据表格数据可知 2y 是反比例函数. 设 2y k x = . 第 18页（共 20页） 将（-1,4）代入，解得 4k  ， 2 4y x   . 根据题意画出函数图象如答图. 第 22 题答图 （3）联立 4 , 1 1, 2 y x y x ì =ï ï í ï = +ïî 解得 1 1 4, 1, x y ì = -ï í = -ïî 2 2 2, 2, x y ì =ï í =ïî ( 4, 1)C   . 点C 关于坐标原点的对称点为点 E， (4,1)E . 如答图，连接OP，作 PM x 轴于点 M， EN x 轴于点 N. ∵△PCE的面积为 15， 15 2POE S\ =△ . 点 P， E在反比例函数的图象上， 15 2POEPMNE S S\ = =△梯形 . 设点 4( , )P m m ， 1 4 15(1 )(4 ) 2 2 m m    ． 解得 1m  或 16 （舍去）， (1,4)P ． 23.（1）证明：如答图，连接OD . ADF ACD   ， 2AOD ACD   ， 2AOD ADF\Ð = Ð . 设 ADF x  ，则 2AOD x  . OA OD ， 90OAD ODA x\Ð =Ð = °- ， 90ODF ODA ADF\Ð =Ð +Ð = °， DF 是 O 的切线. 第 19页（共 20页） （2）解：①如答图，连接 BD， 3 3BE CE  ， 1CE  . BE 是 O 的切线， 90ABE CBE ABC       . 90ABC BAC    ， BAC BDC   ， CBE BDC   . E E   ， BCE DBE\△ ∽△ ， BE CE DE BE  ， 9DE  . ② 9DE  ，∴ 8CD DE CE   ， 8 3 CD CG ， 3CG  ， 5DG  ， 4GE CG CE    ， 在 Rt BGE△ 中， 2 2 7BG GE BE   . DAG BCGÐ =Ð ， DGA BGCÐ =Ð ， ADG CBG\△ ∽△ ，  AG DG CG BG  ， 5 3 7 AG  ， 15 7 7 AG\ = ， 22 7 7 AB AG BG\ = + = ， O 的半径为 11 7 7 ． 第 23 题答图 24.（1）2 2( 2) 8y x   （2）解：将 ( 1, )m 代入 2 2 4y x bx   ，得 1 2 4 2 3m b b     . 2 3 0m b   ， 3 2 b  . 2 2 4y x bx   ，抛物线开口向上，对称轴为直线 2 3 2 2 bx b    . 1 22 2 5x x  ， 1 2 5 3 2 4 2 x x  . ∵抛物线开口向上且 1 2x x< ， 1 2y y  . （3）证明：如答图，当 0b  时，原抛物线解析式为 2 4y x  ，向上平移 4 个单位长度得到的新抛物线的 解析式为 2y x . 第 20页（共 20页） 直线 1 4 y kx  与 y轴交于点C ， 1(0, ) 4 C . 联立 2 1 4 y x y kx ì =ï í ï = + ïî ， ， ，解得 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 4 k kx k k ky ì - +ï =ïï í ï - +ï = +ïî ， ， 2 2 2 2 2 1 2 1 1 . 2 4 k kx k k ky ì + +ï =ïï í ï + +ï = +ïî ，  E为 AC 的中点，若点 A的坐标为 2 1( 2 k k- + ， 2 2 1 1) 2 4 k k k- + + ， 则 2 1( 4 k kE - + ， 2 2 1 1) 4 k k k   . EF x 轴， 2 1( 4 k kF   ， 0) . 根据两点间距离公式得 2 2 2 2 2 21 1 1 1( ) ( ) 4 4 8 k k k k kCF        ， 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1( ) ( ) 2 2 4 4 8 k k k k k k k kCE          ， 2 1 2 CF CE  . 若点 A的坐标为 2 1( 2 k kA   ， 2 2 1 1) 2 4 k k k   时， 2 1( 4 k kE   ， 2 2 1 1) 4 k k k   . ∵EF⊥x轴，∴ 2 1( 4 k kF   ， 0) . 根据两点间距离公式得 2 2 2 2 2 21 1 1 1( ) ( ) 4 4 8 k k k k kCF + + + + += + = ， 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1( ) ( ) 2 2 4 4 8 k k k k k k k kCE          ， 2 1 2 CF CE  ． 第 24 题答图