2023年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷（含答案）

1 2023 年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的） 1．（2023•呼和浩特） 2 的绝对值是 ( ) A．2 B． 1 2  C． 1 2 D． 2 2．（2023•呼和浩特）如图，直角三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若 1 68  ，则 2 的度 数是 ( ) 第 2题图 A． 30 B．32 C． 22 D． 68 3．（2023•呼和浩特）下列运算正确的是 ( ) A． 3 2 3 2  B． 2 3 5( )a a C． 2( 7) 7   D． 2 34 4a a a  4．（2023•呼和浩特）如图是某几何体的三视图，则这个几何体是 ( ) 第 4题图 A． B． C． D． 5．（2023•呼和浩特）若代数式 1 2x  在实数范围内有意义，则 x的取值范围是 ( ) A． 2x B． 2x  C． 2x D． 2x  6．（2023•呼和浩特）在同一直角坐标系中，函数 y kx k   与 ( 0)ky k x   的大致图象可能为 ( ) A． B． C． D． 2 7．（2023•呼和浩特）如图，矩形 ABCD中，对角线 BD的垂直平分线MN 分别交 AD， BC于点M ， N．若 1AM  ， 2BN  ，则 BD的长为 ( ) 第 7题图 A． 2 3 B．3 C． 2 5 D．3 2 8．（2023•呼和浩特）如图所示的两张图片形状大小完全相同，把两张图片全部从中间剪断，再把四 张形状大小相同的小图片混合在一起．从四张图片中随机摸取一张，不放回，接着再随机摸取一张， 则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是 ( ) 第 8题图 A． 1 2 B． 1 3 C． 1 4 D． 1 6 9．（2023•呼和浩特）如图，在 Rt ABC 中， 90ABC  ， AB BC ， 4 2AC  ，点 P为 AC 边上 的中点，PM 交 AB的延长线于点M ，PN 交 BC的延长线于点 N，且 PM PN ．若 1BM  ，则 PMN 的面积为 ( ) 第 9题图 A．13 B． 13 C．8 D．13 2 10．（3分）（2023•呼和浩特）关于 x的二次函数 2 6 5( 0)y mx mx m    的结论： ①对于任意实数 a，都有 1 3x a  对应的函数值与 2 3x a  对应的函数值相等． ②若图象过点 1(A x ， 1)y ，点 2(B x ， 2 )y ，点 (2, 13)C  ，则当 1 2 9 2 x x  时， 1 2 1 2 0y y x x    ． ③若3 6x  ，对应的 y的整数值有 4个，则 4 1 9 3 m   或 1 4 3 9 m  ． ④当 0m  且 3n x  时， 214 1y n   ，则 1n  ． 其中正确的结论有 ( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3 二、填空题（本大题共 6 小题，每题 3 分，共 18 分．本题要求把正确结果填在答题卡规定的横线上， 不需要解答过程） 11．（2023•呼和浩特）分解因式 3 22 4 2b b b   ． 12．（2023•呼和浩特）圆锥的高为 2 2，母线长为 3，沿一条母线将其侧面展开，展开图（扇形）的 圆心角是 度，该圆锥的侧面积是 （结果用含 的式子表示）． 13．（2023•呼和浩特）某乳业公司要出口一批规格为 500克 /罐的奶粉，现有甲、乙两个厂家提供货 源，它们的价格相同，品质也相近．质检员从两厂的产品中各随机抽取 15罐进行检测，测得它们的 平均质量均为 500克，质量的折线统计图如图所示，观察图形，甲、乙两个厂家分别提供的 15罐奶 粉质量的方差 2s甲 2s乙．（填“ ”或“ ”或“” ) 第 13题图 14．（2023•呼和浩特）如图， ABC 内接于 O 且 90ACB  ，弦CD平分 ACB ，连接 AD，BD．若 5AB  ， 4AC  ，则 BD  ，CD  ． 第 14题图 第 16题图 15．（2023•呼和浩特）甲、乙两船从相距150km的 A，B两地同时匀速沿江出发相向而行，甲船从 A 地顺流航行 90km时与从 B地逆流航行的乙船相遇．甲、乙两船在静水中的航速均为 30 /km h，则江 水的流速为 /km h． 16．（2023•呼和浩特）如图，正方形 ABCD的边长为 2 5，点 E是CD的中点，BE 与 AC交于点M ， F 是 AD上一点，连接 BF 分别交 AC ， AE于点G ，H ，且 BF AE ，连接MH ，则 AH  ， MH  ． 4 三、解答题（本大题共 8 小题，满分 72 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）（2023•呼和浩特） （1）计算： 11| 5 3 | ( ) 20 3 cos30 2     ； （2）解不等式组： 3( 2) 4 1 2 1 3 x x x x         ． 18．（7分）（2023•呼和浩特）如图所示，小明上学途中要经过 A， B两地，由于 A， B两地之间有 一片草坪，所以需要走路线 AC，CB．小明想知道 A，B两地间的距离，测得 50AC m ， 45A  ， 40B  ，请帮小明求出两地间距离 AB的长．（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可） 第 18题图 5 19．（10分）（2023•呼和浩特）3月 21日是国际森林日．某中学为了推动学生探索森林文化，进行自 然教育，开展了“森林——地球之肺”相关知识的测试活动．测试结束后随机抽取了部分学生成绩进 行统计，按成绩分成 A， B，C，D， E五个等级，并绘制了如图不完整的统计图．请结合统计图， 解答下列问题： 第 19题图 （1）本次调查一共随机抽取了 名学生的成绩，频数分布直方图中m  ；补全学生成绩频数 分布直方图； （2）所抽取学生成绩的中位数落在 等级； （3）若成绩在 60分及 60分以上为合格，全校共有 920名学生，估计成绩合格的学生有多少名？ 等级 成绩 /x 分 E 50 60x  D 60 70x  C 70 80x  B 80 90x  A 90 100x  6 20．（7分）（2023•呼和浩特）如图，四边形 ABCD是平行四边形，连接 AC， BD交于点O，DE平 分 ADB 交 AC于点 E， BF 平分 CBD 交 AC于点 F ，连接 BE ，DF． （1）求证： 1 2   ； （2）若四边形 ABCD是菱形且 2AB  ， 120ABC  ，求四边形 BEDF 的面积． 第 20题图 7 21．（7分）（2023•呼和浩特）如图，在平面直角坐标系中，正六边形 ABCDEF 的对称中心 P在反比 例函数 1 ( 0, 0) ky k x x    的图象上，边 AB在 x轴上，点 F 在 y轴上，已知 2 3AB  ． （1）判断点 E是否在该反比例函数的图象上，请说明理由； （2）求出直线 2: ( 0)EP y ax b a   的解析式，并根据图象直接写出当 0x  时，不等式 kax b x   的 解集． 第 21题图 8 22．（9分）（2023•呼和浩特）学校通过劳动教育促进学生树德、增智、强体、育美全面发展，计划 组织八年级学生到“开心”农场开展劳动实践活动．到达农场后分组进行劳动，若每位老师带 38名 学生，则还剩 6名学生没老师带；若每位老师带 40名学生，则有一位老师少带 6名学生．劳动实践 结束后，学校在租车总费用 2300元的限额内，租用汽车送师生返校，每辆车上至少要有 1名老师．现 有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量 /（人 /辆） 45 30 租金 /（元 /辆） 400 280 （1）参加本次实践活动的老师和学生各有多少名？ （2）租车返校时，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少有 1名老师，则共需租车 辆； （3）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？ 9 23．（10 分）（2023•呼和浩特）已知在Rt ABC 中， 90ACB  ， 6BC  ， 8AC  ，以边 AC 为直 径作 O ，与 AB边交于点D，点M 为边 BC的中点，连接DM ． （1）求证：DM 是 O 的切线； （2）点 P为直线 BC上任意一动点，连接 AP交 O 于点Q，连接CQ． ①当 1tan 3 BAP  时，求 BP的长； ②求 CQ AP 的最大值． 第 23题图 10 24．（12分）（2023•呼和浩特）探究函数 22 | | 4 | |y x x   的图象和性质，探究过程如下： （1）自变量 x的取值范围是全体实数， x与 y的几组对应值列表如下： x  5 2  2 3 2  1 1 2  0 1 2 1 3 2 2 5 2  y  5 2  0 3 2 m 3 2 0 3 2 2 3 2 0 5 2   其中，m  .根据如表数据，在图①所示的平面直角坐标系中，通过描点画出了函数图象的一部 分，请画出该函数图象的另一部分．观察图象，写出该函数的一条性质； （2）点 F 是函数 22 | | 4 | |y x x   图象上的一动点，点 (2,0)A ，点 ( 2,0)B  ，当 3FABS  时，请直接 写出所有满足条件的点 F 的坐标； （3）在图②中，当 x在一切实数范围内时，抛物线 22 4y x x   交 x轴于O，A两点（点O在点 A的 左边），点 P是点 (1,0)Q 关于抛物线顶点的对称点，不平行 y轴的直线 l分别交线段OP， AP（不含 端点）于M ，N两点．当直线 l与抛物线只有一个公共点时，PM 与 PN 的和是否为定值？若是，求 出此定值；若不是，请说明理由． 图① 图② 第 24题图 11 2023 年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的） 1．【解答】解： 2 的绝对值是 2， 故选： A． 2．【解答】解：四边形 ABCD是矩形， / /AB CD ， 3 1 68    ， 2 4 3 180     ， 4 90  ， 2 180 90 68 22        ． 故选：C． 3．【解答】解：3与 2 无法合并，则 A不符合题意； 2 3 6( )a a ，则 B不符合题意； 2( 7) 7  ，则C 不符合题意； 2 34 4a a a  ，则 D符合题意； 故选： D． 4．【解答】解：根据主视图可知，这个组合体是上、下两个部分组成且上下两个部分的高度相当，上 面是长方形，可能是圆柱体或长方体， 由左视图可知，上下两个部分的宽度相等，且高度相当， 由俯视图可知，上面是圆柱体，下面是长方体， 综上所述，这个组合体上面是圆柱体，下面是长方体，且宽度相等，高度相当， 所以选项C中的组合体符合题意， 故选：C． 5．【解答】解：由题意可得 2 0x   ， 解得： 2x  ， 故选： B． 6．【解答】解：一次函数 ( 1)y kx k k x      ， 直线经过点 (1,0)， A、C不合题意； B、由一次函数的图象经过第一、三、四象限可知 0k  ，反比例函数的图象在一、三象限可知 0k  ， 矛盾，不合题意； D、由一次函数的图象经过第一、三、四象限可知 0k  ，反比例函数的图象在二、四象限可知 0k  ， 一致，符合题意； 故选： D． 12 7．【解答】解：由题意，连接 BM ，记 BD与MN 交于点O． 线段MN 垂直平分 BD， BO DO  ， BM DM ． 四边形 ABCD是矩形， / /AD BC ． MDO NBO   ． 又 DOM BON   ， ( )DMO BNO ASA   ． 2DM BN BM    ． 在Rt BAM 中， 2 2 3AB BM AM    ． 在Rt BAD 中可得， 2 2 2 3BD AB AD   ． 故选： A． 8．【解答】解：四张形状相同的小图片分别用 A、 a、 B、b表示，其中 A和 a合成一张完整图片， B和b合成一张完整图片， 画树状图如下： 共有 12种等可能的结果，其中两张小图片恰好合成一张完整图片的结果数为 4， 所以两张小图片恰好合成一张完整图片的概率 4 1 12 3   ． 故选： B． 9．【解答】解：如图连接 BP． 在Rt ABC 中， 90ABC  ， AB BC ，点 P为 AC边上的中点， BP AC  ， 1 45 2 CBP ABP ABC      ， 45BCA  ， 1 2 2 2 BP CP AC   ． 180 45 135MBP NCP        ． 13 BP AC ， PM PN ， 90BPM MPC   ， 90CPN MPC   ． BPM CPN   ． 又 BP CP ， MBP NCP   ， ( )BMP CNP ASA   ． 1BM CN   ，MP NP ． 在Rt BPC 中， 2 2 4BC BP CP   ． 在Rt MBN 中， 2 2 2 21 5 26MN BM BN     ． 又在Rt MPN 中，MP NP ， 2 2 2MP NP MN   ． 13MP NP   ． 1 13 2 2PMN S MP NP    ． 故选： D． 10．【解答】解：①二次函数 2 6 5y mx mx   的对称轴为 6 3 2 mx m     ， 1 3x a  和 2 3x a  关于直线 3x  对称， 对于任意实数 a，都有 1 3x a  对应的函数值与 2 3x a  对应的函数值相等， ①符合题意； ②将点 (2, 13)C  代入 2 6 5y mx mx   ，得 13 4 12 5m m    ，解得 1m  ． 函数的解析式为 2 6 5y x x   ， 当 3x  时， y随 x的增大而增大． 当 1 2 9 2 x x  时， 1 2y y ，  1 2 1 2 0y y x x    ． ②不符合题意； ③ 2 26 5 ( 3) 5 9y mx mx m x m       ， 抛物线的对称轴为直线 3x  ， 当 3x  时， 5 9y m   ， 当 6x  时， 5y   ， 若 3 6x  ，对应的 y的整数值有 4个， 若 0m  ，当 3 6x  时， y随着 x的增大而增大， 则 9 5 9 8m     ，  1 4 3 9 m  ； 若 0m  ，当 3 6x  时， y随着 x的增大而减小， 则 2 5 9 1m     ， 14 4 1 9 3 m   ； 4 1 9 3 m   或 1 4 3 9 m  ． ③符合题意； ④当 0m  且 3n x  时， y随着 x的增大而减小， 214 1y n    ， 5 9 14m    ， 解得： 1m  ， 2 26 5 1n n n     ， 解得： 1n   ， ④不符合题意； 综上所述，正确结论有①③，共 2个． 故选： B． 二、填空题（本大题共 6 小题，每题 3 分，共 18 分．本题要求把正确结果填在答题卡规定的横线上， 不需要解答过程） 11．【解答】解：原式 22 ( 2 1)b b b   22 ( 1)b b  ， 故答案为： 22 ( 1)b b  ． 12．【解答】解：圆锥的高为 2 2，母线长为 3， 圆锥底面圆的半径为： 2 23 (2 2) 1  ， 圆锥底面圆的周长为： 2 ． 设展开图（扇形）的圆心角是 n， 依题意得： 32 180 n  ， 解得： 120n  ， 圆锥的侧面积是： 2120 3 3 360    ． 故答案为：120，3 ． 13．【解答】解：观察折线统计图可以发现，乙厂家 15罐奶粉质量的波动较甲厂家 15罐奶粉质量的 波动大，所以 2 2s s 乙甲 ， 故答案为： ． 14．【解答】解： ABC 内接于 O 且 90ACB  ， AB 为 O 的直径， 90ADB  ， 180DAC DBC   ， 弦CD平分 ACB ， 45ACD BCD    ， 15 AD BD  ， 5AB  ， 4AC  ， 3CB  ， 5 2 2 AD BD  ， 如图把 ACD 绕 D逆时针旋转90得到 DBE ， DBE DAC   ， BE AC ， 180DBC DBE    ， C 、 B、 E三点共线， DCE 为等腰直角三角形， 7CE AC BC    ， 7 2 2 CD DE   ． 故答案为： 5 2 2 ， 7 2 2 ． 15．【解答】解：设江水的流速为 x千米每小时，根据题意得： 90 150 90 30 30x x     ， 解得 6x  ， 经检验符合题意， 答：江水的流速 6 /km h． 故答案为：6． 16．【解答】解：四边形 ABCD为正方形，且边长为 2 5， 2 5AB BC CD DA     ， 90BAD D    ， / /AB CD， 点 E为CD的中点， 5DE CE   ， 在Rt ADE 中， 2 5AD  ， 5DE  ， 由勾股定理得： 2 2 5AE AD DE   ， 90BAD   ， BF AE ， 90BAH DAE   ， 90ABF BAH   ， DAE ABF   ， 在 DAE 和 ABF 中， 16 90D BAF AD AB DAE ABF           ， ( )DAE ABF SAS   ， 5DE AF   ， 5AE BF  ， BF AE ， 90D  ， 90AHF D    ， 又 HAF DAE   ， AFH ADE ∽ ， : :AH AD AF AE  ， 即： : 2 5 5 : 5AH  ， 2AH  ． 过点M 作MN AE 于点 N，如图： 在 ADE 和 BCE 中， 90 AD BC D BCE DE CE         ， ( )ADE BCE SAS   ， 5AE BE   ， 5 2 3EH AE AH      ， 在Rt AHB 中， 2 5AB  ， 2AH  ， 由勾股定理得： 2 2 4BH AB AH   ， / /AB CD ， MEC MBA ∽ ， : :ME MB CE AB  ， 即： : 5 : 2 5ME MB  ， : 1: 2ME MB  ， : 1: 3ME EB  ， BF AE ，MN AE ， / /MN BH ， MNE BHE ∽ ， : : :MN BH EN EH ME EB   : 4 : 3 1: 3MN EN   ， 17 4 3 MN  ， 1EN  ， 3 1 2HN EH EN      ， 在Rt MHN 中， 4 3 MN  ， 2HN  ， 由勾股定理得： 2 2 2 13 3 MH MN HN   ． 故答案为：2， 2 13 3 ． 三、解答题（本大题共 8 小题，满分 72 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．【解答】解：（1）原式 33 5 2 2 5 3 2       33 5 2 2 5 2      13 3 5 2   ； （2）解第一个不等式得： 1x ， 解第二个不等式得： 4x  ， 则该不等式组的解集为： 1x ． 18．【解答】解：过C 作CH AB 于H ，如图： 在Rt ACH 中， 45A  ， 50AC m ， 2cos 50 25 2( ) 2 AH AC A m      ， 2sin 50 25 2( ) 2 CH AC A m     ， 在Rt BCH 中， 40B  ， 25 2CH m ， 25 2 tan 40 tan 40 CHBH     ， 25 2(25 2 ) tan 40 AB AH BH m      ； 两地间距离 AB的长为 25 2(25 2 ) tan 40 m  ． 19．【解答】解：（1）由频数分布直方图得：等级C有 6人， 由扇形统计图得：等级C占15%， 6 15% 40   ． 本次调查一共随机抽取了 40名学生的成绩， 由扇形统计图得：等级 D占17.5%，等级 B占32.5%， 18 等级 D得人数 40 17.5 7m    （人 )，等级 B的人数为： 40 32.5% 13  （人 )， 补全学生成绩频数分布直方图如图所示； 故答案为：40，7． （2）等级 A是 11人，等级 B是 13人，等级C是 6人，等级 D是 7人，等级 E是 3人， 所抽取学生成绩的中位数落在 B等级 故答案为： B． （3）抽取的 40名学生的成绩中，60分及 60分以上的人数为： 40 3 37  （人 )， 37920 851 40    （人 )． 答：估计成绩合格的学生有 851人． 20．【解答】（1）证明：四边形 ABCD是平行四边形， / /AD BC ，OD OB ， ADO CBO   ， DE 平分 ADB ， BF 平分 CBD ， 1 2 ODE ADO   ， 1 2 OBF CBO   ， ODE OBF   ， / /DE BF ， OD OB ， DOE BOF   ， ( )ODE OBF ASA   ， DE BF  ， 四边形 DEBF 是平行四边形， / /BE DF ， 1 2   ． （2）解：由（1）知 ( )ODE OBF ASA   ， OE OF  ， 四边形 ABCD是菱形， BD EF  ，OD OB ， / /AD BC ， 四边形 DEBF 的菱形， / /AD BC ， 120ABC  ， 19 180BAD ABC   ， 120ABC   ， 60BAD  ， AD AB ， ABD 是等边三角形， 2BD AB   ， 60ADO  ， 1 1 2 OD BD   ， 1 30 2 ODE ADO     ， 3 3 3 3 OE OD   ， 2 32 3 EF OE   ， 四边形 BEDF 的面积 1 1 2 3 2 32 2 2 3 3 BD EF      ． 21．【解答】解：（1）点 E在该反比例函数的图象上．理由如下： 如图，连接 PA， PF ， 正六边形 ABCDEF 的边长 2 3AB  ，点 P是正六边形 ABCDEF 的对称中心， 2 3AF AB EF    ， 120AFE BAF ABC      ， 60FAO ABP APF EPF        ， 30AFO  ， ABP ， AFP ， EFP 均为等边三角形， 1cos 2 3 cos60 2 3 3 2 OA AF FAO         ， 3sin 2 3 sin 60 2 3 3 2 OF AF FAO        ， ( 3A ， 0)， (0,3)F ， (3 3B ， 0)， (2 3P ，3)， ( 3E ， 6)， 点 P在反比例函数 1 ky x  的图象上， 2 3 3 6 3k    ， 该反比例函数的解析式为 6 3y x  ， 20 当 3x  时， 6 3 6 3 y   ， 点 E在该反比例函数的图象上； （2）将 (2 3P ， 3)， ( 3E ， 6)分别代入 2y ax b  ，得 2 3 3 3 6 a b a b       ， 解得： 3 9 a b      ， 直线 EP的解析式为 2 3 9y x   ， 观察图象可得：在第一象限内，当直线 2: 3 9EP y x   位于双曲线 6 3y x  上方时， 3 2 3x  ， 不等式 kax b x   的解集为 3 2 3x  ． 22．【解答】解：（1）设老师有 x名，学生有 y名，根据题意，列方程组为： 38 6 40 6 x y x y      ，解得 6 234 x y    ， 答：老师有 6名，学生有 234名． （2）每辆车上至少有 1名老师， 汽车总数不能大于 6辆， 要保证 240名师生有车坐，汽车总数不能少于 240 45 （取整数 6)辆， 综合可知汽车总数为 6辆． 故答案为：6． （3）设租用甲客车 x辆，则租车费用 y（元 )是 x的函数，即： 400 280(6 )y x x   ， 整理得： 120 1680y x  ， 学校在租车总费用 2300元的限额内，租用汽车送师生返校， 120 1680 2300x   ， 31 6 x  ，即 5x ． 要保证 240人有车坐， x不能小于 4，所以有两种租车方案： 方案一：租 4辆甲种客车，2辆乙种客车； 方案二：租 5辆甲种客车，1辆乙种客车； y 随 x的增大而增大， 当 4x  时， y最小， 120 4 1680 2160y     ． 答：学校共有两套租车方案，最少费用为 2160元， 23．【解答】（1）证明：如图，连接OD，CD， 21 AC 是 O 的直径， 90ADC  ， 180 90BDC ADC     ， 点M 为边 BC的中点， MC MD  ， MDC MCD   ， OC OD ， ODC OCD   ， 90ACB   ，即 90MCD OCD   ， 90MDC ODC MCD OCD      ， 即 90ODM  ， DM OD  ， OD 是 O 的半径， DM 是 O 的切线； （2）①当点 P在线段 BC上时，如图，过点 P作 PT AB 于点T， 在Rt ABC 中， 2 2 2 28 6 10AB AC BC      ， 设 PT x ， 1tan 3 BAP  ，  1 3 PT AT  ， 3 3AT PT x   ， 10 3BT AB AT x     ， tan PT ACABC BT BC    ，  8 10 3 6 x x   ， 22 解得： 8 3 x  ， 8 3 PT  ， sin PT ACABC BP AB    ，即 8 83 10BP  ， 10 3 BP  ； 当点 P在CB的延长线上时，如图，过点 B作 BK AP 于点 K， 1tan 3 BAP  ，  1 3 BK AK  ， 设 BK a ，则 3AK a ， 在Rt ABK 中， 2 2 2AK BK AB  ， 即 2 2 2(3 ) 10a a  ， 解得： 1 10a  ， 2 10a   （舍去）， 3 10AK  ， 10BK  ， 1 1 2 2ABP S AP BK BP AC     ，  8 10 AP AC BP BK   ， 设 BP m ，则 4 10 5 AP m ， 在Rt ACP 中， 2 2 2AC CP AP  ， 即 2 2 2 4 108 ( 6) ( ) 5 m m   ， 解得： 1 50 9 m  ， 2 10 3 m   （舍去）， 23 50 9 BP  ； 综上所述， BP的长为 10 3 或 50 9 ； ②设CP n ，则 2 2 264AP AC CP n    ， 如图， AC 是 O 的直径， CQ AP  ， CQ AP AC CP   ， 2 8 64 AC CP nCQ AP n      ，  2 8 64 CQ n AP n   ， 0n  ， 2( 8) 0n   ， 264 16n n   ，  2 8 8 1 64 16 2 CQ n n AP n n     ，  CQ AP 的最大值为 1 2 ． 24．【解答】解：（1）当 1x   时， 22 ( 1) 4 | 1| 2y         ， 2m  ， 函数图象如图所示： 24 由图象可得该函数的性质：该函数关于 y轴对称；当 1x   或 0 1x  时， y随 x的增大而增大；当 1 0x  或 1x 时， y随 x的增大而减小； 故答案为：2； （2）当 0x  时， 22 4y x x   ， 当 0x 时， 22 4y x x   ， (2,0)A ， ( 2,0)B  ， 4AB  ， 3FABS  ，  1 4 | | 3 2 F y  ， 3 2F y   ， 当 3 2F y  时，若 0x  ，则 2 32 4 2 x x   ， 解得： 3 2 x   或 1 2  ， 若 0x ，则 2 32 4 2 x x   ， 解得： 3 2 x  或 1 2 ， 3( 2 F  ， 3) 2 或 1( 2  ， 3) 2 或 3( 2 ， 3) 2 或 1( 2 ， 3) 2 ； 当 3 2F y   时，若 0x  ，则 2 32 4 2 x x    ， 解得： 71 2 x    或 71 2 x    （舍去）， 若 0x ，则 2 32 4 2 x x    ， 解得： 71 2 x   （舍去）或 71 2 x   ， 7( 1 2 F   ， 3) 2  或 7( 1 2   ， 3) 2  或 7(1 2  ， 3) 2  或 7(1 2  ， 3) 2  ； 综上所述，所有满足条件的点 F 的坐标为 3( 2  ， 3) 2 或 1( 2  ， 3) 2 或 3( 2 ， 3) 2 或 1( 2 ， 3) 2 或 7( 1 2   ， 3) 2  或 7(1 2  ， 3) 2  ； （3） PM 与 PN 的和是定值； 如图 2，连接直线 PQ， 25 抛物线 22 4y x x   交 x轴于O， A两点， (0,0)O ， (2,0)A ， 2 22 4 2( 1) 2y x x x       ， 抛物线 22 4y x x   的顶点为 (1,2)， 点 P是点 (1,0)Q 关于抛物线顶点 (1,2)的对称点，故点 P的坐标为 (1,4)， 由点 P、O的坐标得，直线OP的表达式为 4y x ①， 同理可得，直线 AP的表达式为 4 8y x   ②， 设直线 l的表达式为 y tx n  ， 联立 y tx n  和 22 4y x x   并整理得： 22 ( 4) 0x t x n    ， 直线 l与抛物线只有一个公共点， 故△ 2( 4) 8 0t n    ，解得 21 ( 4) 8 n t  ， 故直线 l的表达式为 21 ( 4) 8 y tx t   ③， 联立①③并解得 1 ( 4) 8M x t   ， 同理可得， 1 ( 12) 8N x t   ， 射线 PO、 PA关于直线 : 1PQ x  对称，则 APQ OPQ   ，设 APQ OPQ     ， 则 2 2 1 1sin sin sin 171 4 OQAPQ OPQ OP         ， 11 17( ) 17 sin sin NM N M xxPM PN x x           为定值．