2022年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷（含答案）

1 2022 年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的） 1．（2022•呼和浩特）计算 3 2  的结果是 ( ) A． 1 B．1 C． 5 D．5 2．（2022•呼和浩特）据 2022年 5月 26日央视新闻报道，今年我国农发行安排夏粮收购准备金 1100 亿元．数据“1100亿”用科学记数法表示为 ( ) A． 121.1 10 B． 111.1 10 C． 1011 10 D． 120.11 10 3．（2022•呼和浩特）不透明袋中装有除颜色外完全相同的 a个白球、b个红球，则任意摸出一个球是 红球的概率是 ( ) A． b a b B． b a C． a a b D． a b 4．（2022•呼和浩特）图中几何体的三视图是 ( ) A B C D 第 4题图 第 7题图 5．（2022•呼和浩特）学校开展“书香校园，师生共读”活动，某学习小组五名同学一周的课外阅读 时间（单位： )h ，分别为：4，5，5，6，10．这组数据的平均数、方差是 ( ) A．6，4.4 B．5，6 C．6，4.2 D．6，5 6．（2022•呼和浩特）下列运算正确的是 ( ) A． 1 8 2 2    B． 2 2 2( )m n m n   C． 1 2 1 1x x x     D． 2 22 93 3 2 y xxy x y     7．（2022•呼和浩特）如图． ABC 中， 90ACB  ，将 ABC 绕点C顺时针旋转得到 EDC ，使点 B的对应点D恰好落在 AB边上，AC、ED交于点 F ．若 BCD   ，则 EFC 的度数是（用含 的 代数式表示） ( ) A． 190 2   B． 190 2   C． 3180 2   D． 3 2  2 8．（2022•呼和浩特）已知 1x ， 2x 是方程 2 2022 0x x   的两个实数根，则代数式 3 21 1 22022x x x  的 值是 ( ) A．4045 B．4044 C．2022 D．1 9．（2022•呼和浩特）如图，四边形 ABCD是菱形， 60DAB  ，点 E是 DA中点，F 是对角线 AC上 一点，且 45DEF  ，则 :AF FC的值是 ( ) 第 9题图 A．3 B． 5 1 C． 2 2 1 D． 2 3 10．（2022•呼和浩特）以下命题：①面包店某种面包售价 a元 /个，因原材料涨价，面包价格上涨10%， 会员优惠从打八五折调整为打九折，则会员购买一个面包比涨价前多花了 0.14a元；②等边三角形 ABC中， D是 BC边上一点， E是 AC边上一点，若 AD AE ，则 3BAD EDC   ；③两边及第三 边上的中线对应相等的两个三角形全等；④一列自然数 0，1，2，3，，55，依次将该列数中的每 一个数平方后除以 100，得到一列新数，则原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大．其中真命 题的个数有 ( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分•本题要求把正确结果填在答题卡规定的横线上， 不需要解答过程） 11．（2022•呼和浩特）因式分解： 3 9x x  ． 12．（2022•呼和浩特）点 1(2 1, )a y 、 2( , )a y 在反比例函数 ( 0) ky k x   的图象上，若 1 20 y y  ，则 a 的取值范围是 ． 13．（2022•呼和浩特）如图，从一个边长是 a的正五边形纸片上剪出一个扇形，这个扇形的面积 为 （用含 的代数式表示）；如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆直径为 ． 第 13题图 14．（2022•呼和浩特）某超市糯米的价格为 5元 /千克，端午节推出促销活动：一次购买的数量不超 过 2千克时，按原价售出，超过 2千克时，超过的部分打 8折．若某人付款 14元，则他购买了 千 克糯米；设某人的付款金额为 x元，购买量为 y千克，则购买量 y关于付款金额 ( 10)x x  的函数解析 式为 ． 3 15．（2022•呼和浩特）已知 AB为 O 的直径且 2AB  ，点C是 O 上一点（不与 A、B重合），点D 在半径OB上，且 AD AC ，AE与过点C的 O 的切线垂直，垂足为 E．若 36EAC  ，则CD  ， OD  ． 16．（2022•呼和浩特）在平面直角坐标系中，点C 和点 D的坐标分别为 ( 1, 1)  和 (4, 1) ，抛物线 2 2 2( 0)y mx mx m    与线段CD只有一个公共点，则m的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共 8 小题，满分 72 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）（2022•呼和浩特）计算求解 （1）计算 112sin 45 | 2 2 | ( ) 3     ； （2）解方程组： 4 5 1 2 2 3 x y x y       ． 4 18．（7 分）（2022•呼和浩特）“一去紫台连朔漠，独留青冢向黄昏”，美丽的昭君博物院作为著名景 区现已成为外地游客到呼和浩特市旅游的打卡地．如图，为测量景区中一座雕像 AB的高度，某数学 兴趣小组在 D处用测角仪测得雕像顶部 A的仰角为 30，测得底部 B的俯角为10．已知测角仪CD与 水平地面垂直且高度为 1米，求雕像 AB的高．（用非特殊角的三角函数及根式表示即可） 第 18题图 5 19．（10分）（2022•呼和浩特）某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目 标完成的情况对营业员进行适当的奖励，为了确定一个适当的月销售目标，商场服装部统计了每位营 业员在某月的销售额（单位：万元），数据如下： 17 18 16 13 24 15 27 26 18 19 22 17 16 19 32 30 16 15 16 28 15 32 23 17 14 15 27 27 16 19 对这 30个数据按组距 3进行分组，并整理和分析如下 频数分布表 组别 一 二 三 四 五 六 七 销售额 /万元 13 16x  16 19x  19 22x  22 25x  25 28x  28 31x  31 34x  频数 6 10 3 3 a b 2 数据分析表 平均数 众数 中位数 20.3 c d 请根据以上信息解答下列问题： （1）上表中 a  ， b  ， c  ， d  ； （2）若想让一半左右的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额定为多少合适？说明理由； （3）若从第六组和第七组内随机选取两名营业员在表彰会上作为代表发言，请你直接写出这两名营 业员在同一组内的概率． 6 20．（7分）（2022•呼和浩特）如图，在 ABC 中， AB AC ，以 AB为直径的 O 交 BC于点 D，交 线段CA的延长线于点 E，连接 BE ． （1）求证： BD CD ； （2）若 1tan 2 C  ， 4BD  ，求 AE． 第 20题图 7 21．（7分）（2022•呼和浩特）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 1y kx b  的图象与反比例函数 2 my x  的图象交于 A、B两点，且 A点的横坐标为 1，过点 B作 / /BE x轴，AD BE 于点 D，点 7( 2 C ， 1) 2  是直线 BE 上一点，且 2AC CD ． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据图象，请直接写出不等式 0mkx b x    的解集． 第 21题图 8 22．（9分）（2022•呼和浩特）今年我市某公司分两次采购了一批土豆，第一次花费 30万元，第二次 花费 50万元，已知第一次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格上涨了 200元，第二次采购时每 吨土豆的价格比去年的平均价格下降了 200元，第二次的采购数量是第一次采购数量的 2倍． （1）问去年每吨土豆的平均价格是多少元？ （2）该公司可将土豆加工成薯片或淀粉，因设备原因，两种产品不能同时加工，若单独加工成薯片， 每天可加工 5吨土豆，每吨土豆获利 700元；若单独加工成淀粉，每天可加工 8吨土豆，每吨土豆获 利 400元，由于出口需要，所有采购的土豆必须全部加工完且用时不超过 60天，其中加工成薯片的 土豆数量不少于加工成淀粉的土豆数量的 2 3 ，为获得最大利润，应将多少吨土豆加工成薯片？最大利 润是多少？ 9 23．（10分）（2022•呼和浩特）下面图片是八年级教科书中的一道题． 如图①，四边形 ABCD是正方形，点 E是边 BC的中点， 90AEF  ，且 EF 交正方形外角的平分线 CF 于点 F ．求证 AE EF ．（提示：取 AB的中点G，连接 EG ． ) （1）请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件： ； （2）如图②，若点 E是 BC边上任意一点（不与 B、C 重合），其他条件不变．求证： AE EF ； （3）在（2）的条件下，连接 AC ，过点 E作 EP AC ，垂足为 P． 设 BE k BC  ，当 k为何值时，四边形 ECFP是平行四边形，并给予证明． 图① 图② 备用图 第 23题图 10 24．（12分）（2022•呼和浩特）如图，抛物线 21 2 y x bx c    经过点 (4,0)B 和点 (0,2)C ，与 x轴的 另一个交点为 A，连接 AC、 BC． （1）求抛物线的解析式及点 A的坐标； （2）如图①，若点 D是线段 AC的中点，连接 BD，在 y轴上是否存在点 E，使得 BDE 是以 BD为 斜边的直角三角形？若存在，请求出点 E的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图②，点 P是第一象限内抛物线上的动点，过点 P作 / /PQ y轴，分别交 BC、 x轴于点M 、 N，当 PMC 中有某个角的度数等于 OBC 度数的 2倍时，请求出满足条件的点 P的横坐标． 图① 图② 第 24题图 11 2022 年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的） 1．【解答】解： 3 2 5    ． 故选：C． 2．【解答】解：1100亿 11110000000000 1.1 10   ． 故选： B． 3．【解答】解：不透明袋中装有除颜色外完全相同的 a个白球、 b个红球， 则任意摸出一个球是红球的概率是 b a b ． 故选： A． 4．【解答】解：根据题意可得，图中几何体的三视图如图， ． 故选：C． 5．【解答】解： 1 (4 5 5 6 10) 6 5 x        ， 2 2 2 2 21 [(4 6) 2 (5 6) (6 6) (10 6) ] 4.4 5 S            ， 故选： A． 6．【解答】解： A、 1 8 2 2   ，故 A不符合题意； B、 2 2 2( ) 2m n m mn n    ，故 B不符合题意； C、 2 1 2 2 1 x x x x x      ，故C不符合题意； D、 2 22 93 3 2 y xxy x y     ，故 D符合题意； 故选： D． 7．【解答】解：由旋转的性质可知， BC CD ， B EDC   ， A E   ， ACE BCD   ， BCD   ， 180 90 2 2 B BDC          ， ACE   ， 90ACB   ， 90 2 A B      ． 12 2 E   ． 3180 180 2 EFC ECF E         ． 故选：C． 8．【解答】解：把 1x x 代入方程得： 2 1 1 2022 0x x   ，即 2 1 12022x x  ， 1x ， 2x 是方程 2 2022 0x x   的两个实数根， 1 2 1x x   ， 1 2 2022x x   ， 则原式 2 21 1 2( 2022)x x x   2 2 1 2x x  2 1 2 1 2( ) 2x x x x   1 4044  4045 ． 故选： A． 9．【解答】解：连接 DB，交 AC 于点O，连接OE， 四边形 ABCD是菱形， 1 30 2 DAC DAB    ， AC BD ， 1 2 OD BD ， 2AC AO ， AB AD ， 60DAB   ， ABD 是等边三角形， DB AD  ， 90AOD   ，点 E是 DA中点， 1 2 OE AE DE AD    ， 设OE AE DE a   ， 2AD BD a   ， 1 2 OD BD a   ， 在Rt AOD 中， 2 2 2 2(2 ) 3AO AD DO a a a     ， 2 2 3AC AO a   ， EA EO ， 30EAO EOA    ， 60DEO EAO EOA     ， 45DEF   ， 15OEF DEO DEF     ， 15EFO EOA OEF     ， 15OEF EFO    ， OE OF a   ， 13 3AF AO OF a a     ， 3CF AC AF a a     ，  3 3 1 2 3 3 3 1 AF a a CF a a         ， 故选： D． 10．【解答】解：（1）根据题意得： 0.9 1.1 0.85 0.14a a a   ，故①是正确的； （2）如图： 设 EDC x  ，则 60AED x   ， AD AE ADE AED   ， 180 2 180 2 120 60 2DAC AED x x            ． 60 2 2BAD DAC x EDC       ． 故②是错误的． （3）如图： D为 BC的中点，两边为 AB， AC； 把 AD中线延长加倍，得 ACD EBD   ， 所以 AC BE ，所以 ABE 与对应三角形全等，得 BAE 和 E 与对应角相等，进而转化为 BAC 与 对应角相等再根据两边及夹角相等，两个三角形全等， 故③是正确的． （4）设该列自然数为 a，则新数为 2 100 a ，则 2 2 2100 ( 50) 2500 100 100 100 a a a aa        ， 0 55a   ， 原数与对应新数的差是先变大，再变小． 故④是错误的． 故选： B． 14 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分•本题要求把正确结果填在答题卡规定的横线上， 不需要解答过程） 11．【解答】解： 3 9x x ， 2( 9)x x  ， ( 3)( 3)x x x   ． 12．【解答】解： 0k  ， 反比例函数 ( 0)ky k x   的图象在一、三象限，在每个象限， y随 x的增大而减小， 1 20 y y  ， 点 1(2 1, )a y 、 2( , )a y 都在第一象限， 2 1a a   ， 解得： 1a  ， 故答案为： 1a  ． 13．【解答】解：五边形 ABCDE是正五边形， (5 2) 180 108 5 BCD      ， S 扇形 2 2108 3 360 10 a a    ； 又弧 BD的长为 108 3 180 5 a a   ，即圆锥底面周长为 3 5 a ， 圆锥底面直径为 3 5 a ， 故答案为： 23 10 a ； 3 5 a ． 14．【解答】解： 10x  时， 一次购买的数量超过 2千克， 10 2 5 0.8 xy     ， 2 4 x   ． 14 10 ， 2 4 xy   ， 15 14 2 4   ， 3 ． 故答案为：3； 2 4 xy  ． 15．【解答】解：如图：连接OC ， 设OD x ， 直径 2AB  ， 1OA OC   ， 1AD AC x    ， EC 与 O 相切于点C， OC EC  ， AE EC ， 90AEC  ， / /AE OC ， 36EAC ACO    ， OA OC ， 36ACO OAC    ， AC AD ， 72ADC ACD    ， 36OCD ACD ACO     ， 2 72COD CAD     ， 72COD ADC    ， 1OC DC   ， OCD CAD   ， ADC ODC   ， DOC DCA ∽ ，  DO DC DC DA  ，  1 1 1 x x   ， 解得： 1 5 2 x   ， 经检验： 1 5 2 x   是原方程的根， 0x  ， 1 5 2 OD    ， 故答案为：1， 1 5 2   ． 16 16．【解答】解：抛物线的对称轴为： 2 1 2 mx m     ， 当 0x  时， 2y  ， 抛物线与 y轴的交点坐标为 (0,2)，顶点坐标为 (1,2 )m ，直线CD的表达式 1y   ， 当 0m  时，且抛物线过点 (4, 1)D  时， 16 8 2 1m m    ， 解得： 3 8 m   （不符合题意，舍去）， 当抛物线经过点 ( 1, 1)  时， 2 2 1m m    ， 解得： 1m   （不符合题意，舍去）， 当 0m  且抛物线的顶点在线段CD上时， 2 1m   ， 解得： 3m  ， 当 0m  时，且抛物线过点 (4, 1)D  时， 16 8 2 1m m    ， 解得： 3 8 m   ， 当抛物线经过点 ( 1, 1)  时， 2 2 1m m    ， 解得： 1m   （舍去）， 综上，m的取值范围为 3m  或 31 8 m   ， 故答案为： 3m  或 31 8 m   ． 三、解答题（本大题共 8 小题，满分 72 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．【解答】解：（1）原式 22 2 2 3 2      2 2 2 3    2 2 5  ； （2）方程组整理得 4 5 3 2 15 x y x y      ① ② ， ② ① 2 得： 5 5x  ， 17 解得： 1x   ， 把 1x   代入①得： 4 5y   ， 解得： 9y  ， 则方程组的解为 1 9 x y     ． 18．【解答】解：过点C作CE AB ，垂足为 E， 则 1CD BE  米， 在Rt CBE 中， 10BCE  ， 1 tan10 tan10 BECE     （米 )， 在Rt ACE 中， 30ACE  ， 1 3 3tan30 tan10 3 3tan10 AE CE         （米 )， 3(1 ) 3tan10 AB AE BE      米， 雕像 AB的高为 3(1 ) 3tan10   米． 19．【解答】解：（1） 4a  ， 2b  ； 16c  ， 18d  ； 故答案为 4，2，16，18； （2）月销售额定为 18万元合适． 理由如下：想让一半左右的营业员都能达到销售目标，月销售额定为中位数，因为低于中位数和高于 中位数的人数相同，所以月销售额定为 18万元合适； （3）画树状图为： 共有 12种等可能的结果，其中这两名营业员在同一组内的结果数为 4， 18 所以这两名营业员在同一组内的概率 4 1 12 3   ． 20．【解答】（1）证明：连接 AD， AB 是 O 的直径， 90ADB  ， AB AC ， BD DC  ； （2）解： 4BD DC  ， 8BC DB DC    ， 在Rt ADC 中， 1tan 2 C  ， 1tan 4 2 2 AD CD C      ， 2 2 2 22 4 2 5AC AD CD      ， AB 是 O 的直径， 90AEB  ， 90AEB ADC     ， C C   ， CDA CEB ∽ ，  CE CB CD CA  ，  8 4 2 5 CE  ， 16 5 5 CE  ， 6 5 5 AE CE AC    ， AE 的长为 6 5 5 ． 21．【解答】解：（1） AD BE 于点 D， 2AC CD ． 2cos 2 CDACD AC     ， 45ACD  ， ADC 是等腰直角三角形， AD CD  ， 19 A 点的横坐标为 1，点 7( 2 C ， 1) 2  ， 7 51 2 2 CD    ， 5 1(1, ) 2 2 A  ，即 (1,2)A ， 反比例函数 2 my x  的图象过 A、 B两点， 1 2 2m    ， 反比例函数的表达式为 2 2y x  ， / /BE x 轴， B 点的纵坐标为 1 2  ， 1( 4, ) 2 B   ， 把 A、 B的坐标代入 1y kx b  得 2 14 2 k b k b         ， 解得 1 2 3 2 k b       ， 一次函数的表达式为 1 1 3 2 2 y x  ； （2）从图象可以看出，不等式 0mkx b x    的解集是 4x   或 0 1x  ． 22．【解答】解：（1）设去年每吨土豆的平均价格是 x元，则今年第一次采购每吨土豆的平均价格为 ( 200)x  元，第二次采购每吨土豆的平均价格为 ( 200)x  元， 由题意得： 300000 5000002 200 200x x     ， 解得： 2200x  ， 经检验， 2200x  是原分式方程的解，且符合题意， 答：去年每吨土豆的平均价格是 2200元； （2）由（1）得：今年采购的土豆数为： 300000 3 375 2200 200    （吨 )， 设应将m吨土豆加工成薯片，则应将 (375 )m 吨加工成淀粉， 由题意得： 2 (375 ) 3 375 60 5 8 m m m m         ， 解得：150 175m  ， 20 设总利润为 y元， 则 700 400(375 ) 300 150000y m m m     ， 300 0 ， y 随m的增大而增大， 当 175m  时， y的值最大 300 175 150000 202500    ， 答：为获得最大利润，应将 175吨土豆加工成薯片，最大利润是 202500元． 23．【解答】（1）解：点 E为 BC的中点， BE CE  ， 点G为 AB的中点， BG AG  ， AG CE  ， 故答案为： AG CE ； （2）证明：取 AG EC ，连接 EG， 四边形 ABCD是正方形， AB BC  ， 90B  ， AG CE ， BG BE  ， BGE 是等腰直角三角形， 45BGE BEG    ， 135AGE ECF    ， AE EF ， 90AEB FEC   ， 90BAE AEB    ， FEC BAE   ， ( )GAE CEF ASA   ， AE EF  ； （3）解： 1 3 k  时，四边形 PECF是平行四边形，如图， 21 由（2）知， GAE CEF   ， CF EG  ， 设 BC x ，则 BE kx ， 2GE kx  ， (1 )EC k x  ， EP AC ， PEC 是等腰直角三角形， 45PEC  ， 180PEC ECF   ， / /PE CF ， 2 (1 ) 2 PE k x   ， 当 PE CF 时，四边形 PECF是平行四边形，  2 (1 ) 2 2 k x kx  ， 解得 1 3 k  ． 24．【解答】解：（1）将点 (4,0)B 和点 (0,2)C 代入抛物线 21 2 y x bx c    中， 则 21 4 4 0 2 2 b c c         ， 解得： 3 2 2 b c      ， 抛物线的解析式为 2 1 3 2 2 2 y x x    ， 在 2 1 3 2 2 2 y x x    中，令 0y  得 21 3 2 0 2 2 x x    ， 解得： 1 1x   ， 2 4x  ， ( 1,0)A  ； （2）存在 y轴上一点 E，使得 BDE 是以 BD为斜边的直角三角形，理由如下： 如图： 22 点D是线段 AC的中点， ( 1,0)A  ， (0,2)C ， 1( 2 D  ，1)， 设 (0, )E t ， 又 (4,0)B ， 90BED   ， 2 2 2BE DE BD   ， 即 2 2 2 2 2 2 1 1[(4 0) (0 ) ] [( 0) (1 ) ] (4 ) (0 1) 2 2 t t            ， 化简得： 2 2 0t t   ， 解得： 1 1t   ， 2 2t  ， E 的坐标为 (0, 1) 或 (0,2)； （3） (4,0)B 、 (0,2)C ， 设直线 BC的解析式为 2( 0)y kx k   ， 把点 (4,0)B 代入解析式得， 4 2 0k   ， 解得： 1 2 k   ， 直线 BC的解析式为 1 2 2 y x   ， 设点 2 1 3( , 2) 2 2 P m m m   ，则 1( , 2) 2 M m m  ， ①当 2PCM OBC   时， 过点C作CF PM 于点 F ，如图， 23 CF PM ， / /PM y轴， / /CF OB ， FCM OBC   ， ( ,2)F m ， 又 2PCM OBC   ， PCF FCM OBC     ， F 是线段 PM 的中点，  21 3 12 ( 2) 2 2 2 2 2 m m m       ， 整理得： 2 2 0m m  ， 解得： 2m  或 0m  ， 点 P是第一象限内抛物线上的动点， 2m  ； ② 2CMP OBC   时， CMP BMN   ， 2BMN OBC   ，即 2BMN NBM   ， PN x 轴， 90BMN NBM   ， 即 3 90NBM  ， 30NBM  ， 1 2 OC BC  ， 2 2 4 16 2 5 4BC OC OB      ， 此种情况不存在； ③当 2CPM OBC   时， 90CMP NMB OBC      ， 180 180 2 (90 ) 90PCM CPM CMP OBC OBC OBC               ， PCM CMP   ， PC PM  ， 2 2 2 2 21 3 1 3 1( 0) ( 2 2) [( 2) ( 2)] 2 2 2 2 2 m m m m m m              ， 24 整理得： 2 4 3 2 4 3 2 1 3 9 1 2 4 4 2 4 4 m m m m m m m      ， 解得： 3 2 m  ； 综上所述，满足条件的点 P的横坐标为 2或 3 2 ．