2021年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷（含答案）

1 2021 年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的） 1．（2021•呼和浩特）几种气体的液化温度（标准大气压）如下表： 气体 氧气 氢气 氮气 氦气 液化温度 C 183 253 195.8 268 其中液化温度最低的气体是 ( ) A．氦气 B．氮气 C．氢气 D．氧气 2．（2021•呼和浩特）如图，在 ABC 中， 50B  ， 70C  ，直线DE经过点 A， 50DAB  ， 则 EAC 的度数是 ( ) 第 2题图 A． 40 B．50 C． 60 D． 70 3．（2021•呼和浩特）如图所示的几何体，其俯视图是 ( ) A. B. C. D． 4．（2021•呼和浩特）下列计算正确的是 ( ) A． 2 2 43 4 7a a a  B． 2 1 1a a   C． 318 12 ( ) 4 2      D． 2 11 1 1 a a a a      5．（2021•呼和浩特）已知关于 x的不等式组 2 3 1 11 4 2 x x a         无实数解，则 a的取值范围是 ( ) A． 5 2 a  B． 2a  C． 5 2 a   D． 2a   6．（2021•呼和浩特）某学校初一年级学生来自农村，牧区，城镇三类地区，下面是根据其人数比例 绘制的扇形统计图，由图中的信息，得出以下 3个判断，错误的有 ( ) ①该校初一学生在这三类不同地区的分布情况为 3: 2 : 7． ②若已知该校来自牧区的初一学生为 140人，则初一学生总人数为 1080人． ③若从该校初一学生中抽取 120人作为样本，调查初一学生父母的文化程度，则从农村、牧区、城镇 学生中分别随机抽取 30、20、70人，样本更具有代表性． 2 A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 第 6题图 第 8题图 7．（2021•呼和浩特）在平面直角坐标系中，点 (3,0)A ， (0,4)B ．以 AB为一边在第一象限作正方形 ABCD，则对角线 BD所在直线的解析式为 ( ) A． 1 4 7 y x   B． 1 4 4 y x   C． 1 4 2 y x   D． 4y  8．（2021•呼和浩特）如图，正方形的边长为 4，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边 形的外接圆直径 d，根据我国魏晋时期数学家刘徽的“割圆术”思想，如果用此正八边形的周长近似代 替其外接圆周长，便可估计 的值，下面 d 及 的值都正确的是 ( ) A． 8( 2 1) sin 22.5 d   ， 8sin 22.5   B． 4( 2 1) sin 22.5 d   ， 4sin 22.5   C． 4( 2 1) sin 22.5 d   ， 8sin 22.5   D． 8( 2 1) sin 22.5 d   ， 4sin 22.5   9．（2021•呼和浩特）以下四个命题： ①任意三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分； ② A， B，C，D， E， F 六个足球队进行单循环赛，若 A， B，C，D， E分别赛了 5，4，3， 2，1场，则由此可知，还没有与 B队比赛的球队可能是 D队； ③两个正六边形一定位似； ④有 13人参加捐款，其中小王的捐款数比 13人捐款的平均数多 2元，则小王的捐款数不可能最少， 但可能只比最少的多，比其他的都少． 其中真命题的个数有 ( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（2021•呼和浩特）已知二次项系数等于 1的一个二次函数，其图象与 x轴交于两点 ( ,0)m ，( ,0)n ， 且过 (0, )A b ， (3, )B a 两点 (b， a是实数），若 0 2m n   ，则 ab的取值范围是 ( ) A． 410 8 ab  B． 190 8 ab  C． 810 16 ab  D． 490 16 ab  二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．本题要求把正确结果填在答题卡规定的横线 上，不需要解答过程） 11．（2021•呼和浩特）因式分解： 3 4x y xy  ． 12．（2021•呼和浩特）正比例函数 1y k x 与反比例函数 2 ky x  的图象交于 A，B两点，若 A点坐标为 ( 3， 2 3) ，则 1 2k k  ． 13．（2021•呼和浩特）已知圆锥的母线长为 10，高为 8，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长 为 ．（用含 的代数式表示），圆心角为 度． 3 14．（2021•呼和浩特）动物学家通过大量的调查，估计某种动物活到 20岁的概率为 0.8，活到 25岁 的概率为 0.5，据此若设刚出生的这种动物共有 a只，则 20 年后存活的有 只，现年 20岁的这种 动物活到 25岁的概率是 ． 15．（2021•呼和浩特）已知菱形 ABCD的面积为 2 3，点 E是一边 BC上的中点，点 P是对角线 BD上 的动点．连接 AE，若 AE平分 BAC ，则线段 PE 与 PC的和的最小值为 ，最大值为 ． 16．（2021•呼和浩特）若把第 n个位置上的数记为 nx ，则称 1x ， 2x ， 3x ，， nx 有限个有序放置的 数为一个数列 A．定义数列 A的“伴生数列” B是： 1y ， 2y ， 3y ，， ny ，其中 ny 是这个数列中第 n个位置上的数， 1n  ，2，， k且 1 1 1 1 0, 1, n n n n n x x y x x         并规定 0 nx x ， 1 1nx x  ．如果数列 A只有四 个数，且 1x ， 2x ， 3x ， 4x 依次为 3，1，2，1，则其“伴生数列” B是 ． 三、解答题（本大题共 8 小题，满分 72 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）（2021•呼和浩特）计算求解： （1）计算 11( ) ( 80 20) 5 3 tan30 3      ； （2）解方程组 1.5(20 10 ) 15000 1.2(110 120 ) 97200 x y x y      ． 4 18．（8分）（2021•呼和浩特）如图，四边形 ABCD是平行四边形， / /BE DF且分别交对角线 AC于点 E， F ． （1）求证： ABE CDF   ； （2）当四边形 ABCD分别是矩形和菱形时，请分别说出四边形 BEDF 的形状．（无需说明理由） 第 18题图 5 19．（10分）（2021•呼和浩特）某大学为了解大学生对中国共产党党史知识的学习情况，在大学一年 级和二年级举行有关党史知识测试活动．现从一、二两个年级中各随机抽取 20名学生的测试成绩（满 分 50分，30分及 30分以上为合格；40分及 40分以上为优秀）进行整理、描述和分析，给出了下面 的部分信息． 大学一年级 20名学生的测试成绩为： 39，50，39，50，49，30，30，49，49，49，43，43，43，37，37，37，43，43，37，25． 大学二年级 20名学生的测试成绩条形统计图如图所示；两个年级抽取的学生的测试成绩的平均数、 众数、中位数、优秀率如下表所示： 第 19题图 年级 平均数 众数 中位数 优秀率 大一 a b 43 m 大二 39.5 44 c n 请你根据上面提供的所有信息，解答下列问题： （1）上表中 a  ， b  ， c  ，m  ， n ； 根据样本统计数据，你认为该大学一、二年级中哪个年级学生掌握党史知识较好？并说明理由（写出 一条理由即可）； （2）已知该大学一、二年级共 1240名学生参加了此次测试活动，通过计算，估计参加此次测试活动 成绩合格的学生人数能否超过 1000人； （3）从样本中测试成绩为满分的一、二年级的学生中随机抽取两名学生，用列举法求两人在同一年 级的概率． 6 20．（8分）（2021•呼和浩特）如图，线段 EF 与MN 表示某一段河的两岸， / /EF MN ．综合实践课上， 同学们需要在河岸MN 上测量这段河的宽度 (EF 与MN 之间的距离），已知河对岸 EF 上有建筑物C 、 D，且 60CD  米，同学们首先在河岸MN 上选取点 A处，用测角仪测得C 建筑物位于 A北偏东 45 方向，再沿河岸走 20米到达 B处，测得 D建筑物位于 B北偏东 55方向，请你根据所测数据求出该 段河的宽度，（用非特殊角的三角函数或根式表示即可） 第 20题图 7 21．（7分）（2021•呼和浩特）下面图片是七年级教科书中“实际问题与一元一次方程”的探究 3． 探究 3 电话计费问题 下表中有两种移动电话计费方式． 月使用费 /元 主叫限定时间 /min 主叫超时费 /（元 / )min 被叫 方式一 58 150 0.25 免费 方式二 88 350 0.19 免费 考虑下列问题： 月使用费固定收： 主叫不超限定时间不再收费，主叫超时部分加收超时费，被叫免费． （1）设一个月内用移动电话主叫为 t (min t 是正整数）．根据上表，列表说明：当 t在不同时间范围内 取值时，按方式一和方式二如何计费． （2）观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？通过计算验证你的看 法． 小明升入初三再看这个问题，发现两种计费方式，每一种都是因主叫时间的变化而引起计费的变化， 他把主叫时间视为在正实数范围内变化，决定用函数来解决这个问题． （1）根据函数的概念，小明首先将问题中的两个变量分别设为自变量 x和自变量的函数 y，请你帮 小明写出： x表示问题中的 ， y表示问题中的 ． 并写出计费方式一和二分别对应的函数解析式； （2）在给出的正方形网格纸上画出（1）中两个函数的大致图象，并依据图象直接写出如何根据主叫 时间选择省钱的计费方式．（注 :坐标轴单位长度可根据需要自己确定） 第 21题图 8 22．（7分）（2021•呼和浩特）为了促进学生加强体育锻炼，某中学从去年开始，每周除体育课外，又 开展了“足球俱乐部 1小时”活动．去年学校通过采购平台在某体育用品店购买 A品牌足球共花费 2880 元，B品牌足球共花费 2400元，且购买 A品牌足球数量是 B品牌数量的 1.5倍，每个足球的售价，A 品牌比 B品牌便宜 12 元．今年由于参加俱乐部人数增加，需要从该店再购买 A、 B两种足球共 50 个，已知该店对每个足球的售价，今年进行了调整， A品牌比去年提高了 5%， B品牌比去年降低了 10%，如果今年购买 A、B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校最多可购买多少个 B品牌足球？ 9 23．（10分）（2021•呼和浩特）已知 AB是 O 的任意一条直径． （1）用图 1，求证： O 是以直径 AB所在直线为对称轴的轴对称图形； （2）已知 O 的面积为 4 ，直线CD与 O 相切于点C，过点 B作 BD CD ，垂足为 D，如图 2． 求证：① 2 1 2 2 BC BD ； ②改变图 2中切点C的位置，使得线段OD BC 时， 2 2OD  ． 图① 图② 第 23题图 10 24．（12分）（2021•呼和浩特）已知抛物线 2 ( 0)y ax kx h a    ． （1）通过配方可以将其化成顶点式为 ，根据该抛物线在对称轴两侧从左到右图象的特征，可以 判断，当顶点在 x轴 （填上方或下方），即 24ah k 0（填大于或小于）时，该抛物线与 x轴 必有两个交点； （2）若抛物线上存在两点 1(A x ， 1)y ， 2(B x ， 2 )y ，分布在 x轴的两侧，则抛物线顶点必在 x轴下方， 请你结合 A、 B两点在抛物线上的可能位置，根据二次函数的性质，对这个结论的正确性给以说明； （为了便于说明，不妨设 1 2x x 且都不等于顶点的横坐标；另如果需要借助图象辅助说明，可自己画 出简单示意图） （3）利用二次函数（1）（2）结论，求证：当 0a  ， ( )( ) 0a c a b c    时， 2( ) 4 ( )b c a a b c    ． 11 2021 年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的） 1．【解答】解： 268 253 195.8 183       ， 其中液化温度最低的气体是氦气． 故选： A． 2．【解答】解：方法一： 50B   ， 70C  ， 180 180 50 70 60BAC B C            ， 50DAB   ， 180DAB BAC EAC    ， 180 180 50 60 70EAC DAB BAC            ， 故选： D． 方法二： 50B   ， 50DAB  ， B DAB   ， / /AE BC ， C EAC   ， 70C   ， 70EAC  ， 故选： D． 3．【解答】解：从上面看该几何体，所看到的图形如下： 故选： B． 4．【解答】解： 2 2 23 4 7a a a  ，故选项 A错误； 当 0a  时， 2 1 1 1a a a a     ，当 0a  时， 2 1 1 1a a a a       ，故选项 B错误； 318 12 ( ) 18 8 26 2          ，故选项C错误； 2 2 2 2 2( 1)( 1) 1 11 ( 1) 1 1 1 1 1 a a a a a a aa a a a a a a                   ，故选项D正确； 故选： D． 5．【解答】解：解不等式 2 3 1x   得： 2x  ， 解不等式 11 4 2 x a    得： 2 2x a  ， 关于 x的不等式组 2 3 1 11 4 2 x x a         无实数解， 2 2 2a    ， 12 解得： 2a   ， 故选： D． 6．【解答】解：该校来自城镇的初一学生的扇形的圆心角为： 360 90 60 210      ， 该校初一学生在这三类不同地区的分布情况为 90 : 60 : 210 3 : 2 : 7 ，故①正确，不符合题意； 若已知该校来自牧区的初一学生为 140人，则初一学生总人数为 60140 840 360   （人 )，故②错误， 符合题意； 90120 30 360   （人 )， 60120 20 360   （人 )， 210120 70 360   （人 )， 故③正确，不符合题意； 故选：C． 7．【解答】解：过D点作 DH x 轴于H ，如图， 点 (3,0)A ， (0,4)B ． 3OA  ， 4OB  ， 四边形 ABCD为正方形， AB AD  ， 90BAD  ， 90OBA OAB    ， 90OAB DAH   ， ABO DAH   ， 在 ABO 和 DAH 中， AOB DHA ABO DAH AB DA         ， ( )ABO DAH AAS   ， 4AH OB   ， 3DH OA  ， (7,3)D ， 设直线 BD的解析式为 y kx b  ， 把 (7,3)D ， (0,4)B 代入得 7 3 4 k b b     ，解得 1 7 4 k b       ， 直线 BD的解析式为 1 4 7 y x   ． 故选： A． 13 8．【解答】解：如图，连接 AD， BC交于点O，过点O作OP BC 于点 P， 则CP PD ，且 22.5COP  ， 设正八边形的边长为 a，则 22 4 2 a a   ， 解得 4( 2 1)a   ， 在Rt OCP 中， 2( 2 1) sin 22.5 sin 22.5 PCOC     ， 4( 2 1)2 sin 22.5 d OC     ， 由 8d CD  ， 则 4( 2 1) 32( 2 1) sin 22.5     ， 8sin 22.5  ． 故选：C． 9．【解答】解：①任意三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分， 如图所示： 连接DF、 EF ， D 、 F 分别是 AB、 BC的中点， / /DF AC ， 同理可得： / /EF AB， 四边形 ADFE是平行四边形， DE 与 AF 互相平分， 选项 D不符合题意； 正确，是真命题，符合题意； 14 ②由每个队分别与其它队比赛一场，最多赛 5场，A队已经赛完 5场，则每个队均与 A队赛过，E队 仅赛一场（即与 A队赛过），所以 E队还没有与 B队赛过，故原命题错误，是假命题，不符合题意． ③两个正六边形一定相似但不一定位似，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ④小王的捐款数比他所在学习小组中 13人捐款的平均数多 2元，小王的捐款数不会是最少的，捐款 数可能最多，也可能排在第 12位，故原命题正确，是真命题，符合题意， 正确的有 2个， 故选： B． 10．【解答】解法 1、函数是一个二次项系数为 1的二次函数， 此函数的开口向上，开口大小一定， 抛物线与 x轴交于两点 ( ,0)m ， ( ,0)n ，且 0 2m n   ， 0a  ， 0b  ， 0ab  ， 2 2 2( ) 2 0(a b a b ab a b      时取等号）， 即 2 2 2a b ab  （当 a b 时取等号）， 当 a b 时， ab才有可能最大， 二次函数过 (0, )A b ， (3, )B a 两点， 当 a b 时，点 A， B才关于抛物线的对称轴对称，即抛物线的对称轴为直线 1.5x  ， 抛物线与 x轴交于两点 ( ,0)m ， ( ,0)n ，且 0 2m n   ， 抛物线的顶点越接近 x轴， ab的值越大， 即当抛物线与 x轴只有一个交点时，是 ab最大值的分界点， 当抛物线与 x轴只有一个交点时，此时 3 2 m n  ， 抛物线的解析式为 2 2 3 9( ) 3 2 4 y x x x     ， 9 4 a b   ， 29 81( ) 4 16 ab   ， 810 16 ab   ， 故选：C． 解法 2、由已知二次项系数等于 1的一个二次函数，其图象与 x轴交于两点 ( ,0)m ， ( ,0)n ， 所以可设交点式 ( )( )y x m x n   ， 分别代入 (0, )b ， (3, )a ， 15 2 2 2 23 9 3 9(3 )(3 ) (3 )(3 ) [ ( ) ][ ( ) ] 2 4 2 4 ab mn m n m m n n m n              0 2m n   ， 23 9 90 ( ) 2 4 4 m      ， 23 9 90 ( ) 2 4 4 n     ， m n ， ab 不能取 81 16 ， 810 16 ab   ， 故选：C． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．本题要求把正确结果填在答题卡规定的横线 上，不需要解答过程） 11．【解答】解： 3 4x y xy ， 2( 4)xy x  ， ( 2)( 2)xy x x   ． 12．【解答】解：正比例函数 1y k x 与反比例函数 2 ky x  的图象交于 A，B两点，若 A点坐标为 ( 3， 2 3) ， 12 3 3k  ， 22 3 3 k   ， 1 2k   ， 2 6k   ， 1 2 8k k    ， 故答案为 8 ． 13．【解答】解：设底面圆的半径为 r cm， 由勾股定理得： 2 210 8 6r    ， 2 2 6 12r      ， 根据题意得 102 6 180 n   ， 解得 216n  ， 即这个圆锥的侧面展开图的圆心角为 216． 故答案为：12 ，216． 14．【解答】解：若设刚出生的这种动物共有 a只，则 20年后存活的有 0.8a只，活到 25岁的只数为 0.5a， 故现年 20岁到这种动物活到 25岁的概率为 0.5 5 0.8 8 a a  ， 故答案为： 0.8a， 5 8 ． 15．【解答】解：根据图形可画出图形，如图所示， 16 过点 B作 / /BF AC交 AE的延长线于点 F ， F CAE   ， EBF ACE   ， 点 E是 BC的中点， ( )ACE FBE AAS   ， BF AC  ， AE 平分 BAC ， BAE CAE   ， BAE F   ， AB BF AC   ， 在菱形 ABCD中， AB BC ， AB BC AC   ，即 ABC 是等边三角形； 60ABC  ， 设 AB a ，则 3BD a ， 菱形 ABCD的面积 1 2 3 2 AC BD   ，即 1 3 2 3 2 a a   ， 2a  ，即 2AB BC CD   ； 四边形 ABCD是菱形， 点 A和点C关于 BD对称， PE PC AP EP    ， 当点 A， P， E三点共线时， AP EP 的和最小，此时 3AE  ； 点 P和点 D重合时， PE PC 的值最大，此时 2PC DC  ， 过点 D作DG BC 交 BC的延长线于点G，连接DE， 17 / /AB CD ， 60ABC  ， 60DCG  ， 1CG  ， 3DG  ， 2EG  ， 2 2 2 22 ( 3) 7DE EG DG      ， 此时 2 7PE PC   ； 即线段 PE 与 PC的和的最小值为 3；最大值为 2 7 ． 故答案为： 3； 2 7 ． 16．【解答】解： 0 4 21x x x   ， 1 0y  ， 1 3x x ， 2 1y  ， 2 4x x ， 3 0y  ， 3 5 1x x x  ， 4 1y  ，  “伴生数列” B是：0，1，0，1， 故答案为 0，1，0，1． 三、解答题（本大题共 8 小题，满分 72 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．【解答】解：（1）原式 33 ( 80 5 20 5) 3 3        3 (4 2) 1    3 2 1   2 ； （2）原方程整理为 2 1000 11 12 810 x y x y      ① ② ， ① 12 ②得：13 3900x  ， 解得 300x  ， 18 把 300x  代入①得： 400y  ， 方程组的解为 300 400 x y    ． 18．【解答】解：（1）证明：四边形 ABCD是平行四边形， AB CD  ， / /AB CD， BAE DCF   ， / /BE DF ， BEC DFA   ， 180 180BEC DFA      ， AEB CFD   ， 在 ABE 和 CDF 中， AEB CFD BAE DCF AB CD         ， ( )ABE CDF AAS   ， （2）连接 ED， BF ， BD， 由（1）知 ABE CDF   ， BE DF  ， / /BE DF ， 四边形 BEDF 是平行四边形， 1当四边形 ABCD是矩形时，四边形 BEDF 是平行四边形， 2当四边形 ABCD是菱形时， 四边形 ABCD是菱形， AC BD  ， EF BD  ， 四边形 BEDF 是菱形． 19．【解答】解：（1）将一年级 20名同学成绩整理如下表： 成绩 25 30 37 39 43 49 50 人数 1 2 4 2 5 4 2 1 (25 1 30 2 37 4 39 2 43 5 49 4 50 2) 41.1 20 a                ， 43b  ， 41 44 42.5 2 c   ， (5 4 2) 20 100% 55%m       ， (3 5 2 3) 20 100% 65%n        ， 故答案为：41.1，43，42.5， 55%， 65% ； 从表中优秀率看，二年级样本优秀率达到 65%高于一年级的 55%，因此估计二年级学生的优秀率高， 19 所以用优秀率评价，估计二年级学生掌握党史知识较好． （2）样本合格率为： 37 100% 92.5% 40   ， 估计总体的合格率大约为 92.5%， 估计参加测试的两个年级合格学生约为：1240 92.5% 1147  （人 )， 估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数能超过 1000人； （3）一年级满分有 2人，记为 A， B，二年级满分有 3人，记为C， D， E， 画树状图如图： 共有 20种等可能的结果，两人在同一年级的结果有 8种， 两人在同一年级的概率为 8 2 20 5  ． 20．【解答】解：如图， 过C、D分别作CP MN 、DQ MN 垂足为 P、Q，设河宽为 x米． 由题意知， ACP 为等腰直角三角形， AP CP x   （米 )， 20BP x  （米 )， 在Rt BDQ 中， 55BDQ  ，  20 60tan55 BQ x DQ x      ， tan 55 40x x     ， (tan55 1) 40x     ，  40 tan55 1 x    ， 所以河宽为 40 tan55 1  米． 答：河宽为 40 tan55 1  米． 21．【解答】解：（1）由题意，可得 x表示问题中的主叫时间， y表示问题中的计费； 方式一： 58(0 150) 58 0.25( 150)( 150) x y x x        ； 20 方式二： 88(0 350) 88 0.19( 350)( 350) x y x x        ； 故答案为：主叫时间，计费； （2）大致图象如下： 由图可知：当主叫时间在 270分钟以内选方式一，270分钟时两种方式相同，超过 270分钟选方式二． 22．【解答】解：设去年 A足球售价为 x元 /个，则 B足球售价为 ( 12)x  元 /个． 由题意得： 2880 3 2400 2 12x x    ，即 96 120 12x x   ， 96( 12) 120x x   ， 48x  ． 经检验， 48x  是原分式方程的解且符合题意． A 足球售价为 48元 /个， B足球售价为 60元 /个． 设今年购进 B足球的个数为 a个，则有： 1(50 ) 48 (1 5%) 60 (1 10%) (2880 2400) 2 a a          ． 50.4 50 50.4 54 2640a a     ． 3.6 120a  ，  100 3 a ． 最多可购进 33个 B足球． 23．【解答】（1）证明：如图，设 P是 O 上点 A， B以外任意一点， 过点 P作 PP AB  ，交 O 于点 P，垂足为M ， 若M 与圆心O不重合， 连接OP，OP， 在 OPP 中， OP OP  ， OPP 是等腰三角形， 又 PP AB  ， PM MP  ， 则 AB是 PP的垂直平分线， 21 若M 与圆心O重合，显然 AB是 PP的垂直平分线， 这就是说，对于圆上任意一点 P，在圆上都有关于直线 AB的对称点 P，因此 O 是以直径 AB所在 直线为对称轴的轴对称图形； （2）①证明：设 O 半径为 r ， 由 2 4r  可得 2r  ， 4AB  ， 连接 AC，则 90BCA  ， C 是切点，连接OC， OC CD  ， BD CD ， / /OC BD ， OCB DBC   ， 而 OCB OBC   ， DBE OBC   ， 又 90BCA BDC     ， ACB CDB ∽ ，  BC BD AB BC  ， 2 4BC AB BD BD    ，  2 1 2 2 BC BD ； ②证明：由①证明可知 CBD OBC   ，与切点C的位置无关， 22 又OD BC ， BD OB  ， 又 OCB 是等腰三角形， BC 与OD互相垂直平分， 又 90BDC  ， 四边形 BOCD是边长为 2的正方形，  2 2OD  ． 24．解：（1） 2 2 2 2 2 2 2 4( ) [ ( ) ( ) ] ( ) 2 2 2 4 k k k k k ah ky ax kx h a x x h a x x h a x a a a a a a                ， 顶点式为： 2 2 4( ) 2 4 k ah ky a x a a     ，当顶点在 x轴下方时，即 24 0ah k  （填大于或小于）时， 该抛物线与 x轴必有两个交点； 故答案为： 2 2 4( ) 2 4 k ah ky a x a a     ，下方， ； （2）若设 1 2x x 且不等于顶点横坐标则 A， B两点位置可能有以下三种情况： ①当 A，B都在对称轴左侧时，由于在对称轴左侧，函数值随 x的增大而减小，所以点 A在 x轴上方， 点 B在 x轴下方，顶点M 在点 B下方，所以抛物线顶点必在 x轴下方．如图所示： ②当 A，B都在对称轴右侧时，由于在对称轴右侧，函数值随 x的增大而增大，所以点 B在 x轴上方， 点 A在 x轴下方，顶点M 在点 A下方，所以抛物线顶点必在 x轴下方．如图所示： 23 ③当 A，B在对称轴两侧时，由于 A，B分布在 x轴两侧，所以不管 A，B哪个点在 x轴下方，都可 以根据抛物线的对称性将其中一个点对称到对称轴另一侧的抛物线上，同①或②，可以说明抛物线顶 点必在 x轴下方．如图所示： （3）证明：令 2 ( ) ( )y ax b c x a b c      ， 0a  ， 当 1 0x  时， 1y a b c   ； 当 2 1x   时， 2 2( )y a c  ． 而 ( )( ) 0a c a b c    ， 1 2 0y y   ， 2 ( ) ( )y ax b c x a b c       上存在两点 ( 1,2 2 )a c  ， (0, )a b c  分别位于 x轴两侧， 由（1）（2）可知， 2 ( ) ( )y ax b c x a b c      顶点在 x轴下方， 即 24 ( ) ( ) 0 4 a a b c b c a      ， 又 0a  ， 24 ( ) ( ) 0a a b c b c      ， 即： 2( ) 4 ( )b c a a b c    ．