精品解析：山东省百师联考2024-2025学年高二上学期12月联考数学试题

2024－2025学年度高二12月联考 数学试题 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线，设甲：；乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 直线与以点为圆心的圆相交于A，B两点，且，则圆C的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 与椭圆有相同焦点，且长轴长为的椭圆的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 已知O为空间中任意一点，A，B，C，P四点共面，且A，B，C，P中任意三点不共线，若，则 D. 若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为30°，则直线l与平面所成的角为30° 5. 已知平面，的法向量分别为，，则平面，的夹角的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 记为等差数列的前项和，若，则（ ） A. 240 B. 225 C. 120 D. 30 7. 已知抛物线，直线过抛物线的焦点且与抛物线交于A，B两点，若弦的长为8，则直线的方程为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 8. 空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，则直线与平面所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是等差数列的前项和，，且，则（ ） A. 公差 B. C. D. 当时，最大 10. 双曲线：的焦点为，，过的直线与双曲线的左支相交于两点，过的直线与双曲线的右支相交于，两点，若四边形为平行四边形，则（ ） A. B. C. 平行四边形各边所在直线斜率均不为 D. 11. 如图，在正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 若平面，则动点的轨迹是一条线段 C. 存在点，使得平面 D. 若直线与平面所成角的正切值为，那么点的轨迹是以为圆心，半棱长为半径的圆弧 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的前项和满足，则_____. 13. 在平行六面体中，，，，点在上，且，用，，表示，则_____． 14. 已知椭圆，且，直线与椭圆相交于两点.若点是线段的中点，则椭圆的半焦距__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线过点为坐标原点． （1）若直线与直线垂直，求直线的方程； （2）若点到直线的距离为3，求直线的方程． 16. 如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点为的中点． （1）用向量，，表示； （2）求线段的长及直线与所成角的余弦值． 17. 数列满足，，，数列满足，． （1）证明数列是等差数列并求其通项公式． （2）数列的前项和为，问是否存在最小值?若存在，求的最小值及取得最小值时的值；若不存在，请说明理由． 18. 如图，在四棱锥中，平面平面为棱的中点. （1）证明：平面； （2）若， （i）求二面角的余弦值； （ii）在棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 19. 设分别为椭圆的左､右焦点，是椭圆的短轴的一个端点，的面积为，椭圆的离心率为. （1）求椭圆的方程. （2）如图，是椭圆上不重合的三点，原点是的重心. （i）当直线垂直于轴时，求点到直线的距离； （ii）求点到直线的距离的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度高二12月联考 数学试题 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线，设甲：；乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用两条直线平行的条件得到得到或再判断即可得到结果 【详解】由直线，，当两条直线平行时，解得或， 当时，， 当时， 所以甲是乙的必要不充分条件. 故选：B 2. 直线与以点为圆心的圆相交于A，B两点，且，则圆C的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式及圆的弦长公式的逆运用计算半径即可. 【详解】点到直线的距离为， 所以圆C的半径为， 则圆C的方程为. 故选：A. 3. 与椭圆有相同焦点，且长轴长为的椭圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知椭圆的焦点坐标为，，所以，又长轴长为，即，进而求出b的值，即可得到答案. 【详解】因为椭圆的焦点坐标为，，所以所求椭圆的焦点在轴上，且．因为所求椭圆的长轴长为，即，所以，所以，所以所求椭圆的方程是． 故选：C． 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 已知O为空间中任意一点，A，B，C，P四点共面，且A，B，C，P中任意三点不共线，若，则 D. 若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为30°，则直线l与平面所成的角为30° 【答案】B 【解析】 【分析】根据对称规则可判断A错误，利用向量共线的条件可得，可得B正确，由共面定理可知C错误，再由线面角定义可得D错误. 【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，故A错误； 对于B，直线l的方向向量为，平面的法向量为， 因为，所以，则，故B正确； 对于C.已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且A，B，C，P中任意三点不共线，若，则，解得，故C错误； 对于D，若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为30°， 则直线l与平面所成的角为，故D错误. 故选：B. 5. 已知平面，的法向量分别为，，则平面，的夹角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两个平面的夹角公式，再利用两个平面的夹角，即可求得结果. 【详解】由向量与， 得， 又，则，所以平面，的夹角的大小为． 故选：C． 6. 记为等差数列的前项和，若，则（ ） A. 240 B. 225 C. 120 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列通项公式以及即可求出首项和公差，再代入公式即可得结果. 【详解】设等差数列的公差为．因为，，即 解得所以，所以． 故选：A． 7. 已知抛物线，直线过抛物线的焦点且与抛物线交于A，B两点，若弦的长为8，则直线的方程为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】因为直线过抛物线的焦点且与抛物线交于A，B两点，所以直线的方程为，再与抛物线联立，用韦达定理及弦长公式即可求得斜率，进而求出直线的方程. 【详解】由抛物线的方程，得，抛物线的焦点．根据题意可知直线的斜率存在，且不为0，设直线的方程为，，． 由消去，整理得，可得，所以． 因为，解得， 所以直线的方程为或． 故选：B． 8. 空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，则直线与平面所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可以先设直线的方向向量，由求出直线的方向向量，再利用直线与平面夹角公式求出直线与平面所成角的大小. 【详解】依题意，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为． 设直线的方向向量为， ，，，即令，则． 设直线与平面所成的角为，则，． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是等差数列的前项和，，且，则（ ） A. 公差 B. C. D. 当时，最大 【答案】ACD 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，结合可得，进而判断ABC；分析可得当时，；当时，，进而判断D. 【详解】设等差数列的公差为， 由，得， 整理得，即， 因为，则，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； 因为， ， 所以当时，；当时，， 所以当时，最大，故D正确. 故选：ACD． 10. 双曲线：的焦点为，，过的直线与双曲线的左支相交于两点，过的直线与双曲线的右支相交于，两点，若四边形为平行四边形，则（ ） A. B. C. 平行四边形各边所在直线斜率均不为 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程可判定A，由平行四边形与双曲线的对称性及双曲线定义可判定B，利用双曲线的性质可判定C，设直线方程，联立双曲线利用韦达定理及弦长公式结合函数的单调性可判定D. 【详解】由题意可得，，则，故A错误． 由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知：， 则，B正确． 设任一边所在直线为（斜率存在时），联立双曲线， 联立得， 则，即，C正确． 由， 设：；，，， 联立得， ∴，， 则 ， 设，则， ∴， 又单调递减，则，∴， 故，D错误． 故选：BC 11. 如图，在正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 若平面，则动点的轨迹是一条线段 C. 存在点，使得平面 D. 若直线与平面所成角的正切值为，那么点的轨迹是以为圆心，半棱长为半径的圆弧 【答案】ABD 【解析】 【分析】设正方体的棱长为，对于A，根据等体积转化，可证明体积为定值；对于B，取、中点、，连接、、、，证明平面平面，则点的轨迹为线段；对于C，以为原点，建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，根据求出、即可判断；对于D，利用线面角的向量公式，得到点的轨迹方程，即可判断. 【详解】不妨设正方体的棱长为， 对于A选项，， 三棱锥的体积， 点到平面的距离为，所以三棱锥的体积为定值，故A选项正确； 对于B选项，取、中点，连接、、、， 由且，知是平行四边形，所以， 因为平面，平面，平面， 同理可得平面， 因为，、平面，所以平面平面， 又平面，则平面，而Q在平面上， 且平面平面，则点的轨迹为线段，故B选项正确； 对于C选项，以点为坐标原点， 、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，设， 则，， 设为平面的一个法向量， 则，取，则. 若平面，则，即存在，使得，则， 解得，故不存在点使得平面，故C选项错误； 对于D选项，平面的一个法向量为，， 若直线与平面所成角的正切值为，则此角的正弦值是， 所以，所以， 因为点为正方形内一动点（含边界）， 所以点是以为圆心，为半径的圆弧（正方形内），即圆心角为的圆弧，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：求空间几何体体积的方法如下：若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的前项和满足，则_____. 【答案】10 【解析】 【分析】由公式，将代入即可得结果. 【详解】由题得. 故答案为：10. 13. 在平行六面体中，，，，点在上，且，用，，表示，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的三角形法则和平行四边形法则即可求得结果. 【详解】在平行六面体中，点在上，且，所以， 故答案为： 14. 已知椭圆，且，直线与椭圆相交于两点.若点是线段的中点，则椭圆的半焦距__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用点差法来求解椭圆方程中的值，然后根据椭圆中的关系求出半焦距. 【详解】设，，因为在椭圆上， 所以. 两式相减得，即. 因为点是线段的中点，所以，. 斜率，得，即,解得. 当时，椭圆方程为，可得，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线过点为坐标原点． （1）若直线与直线垂直，求直线的方程； （2）若点到直线的距离为3，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用两点斜率公式求的斜率，根据垂直关系求的斜率，利用点斜式求的方程； （2）分别在的斜率不存在和存在条件下求直线方程即可. 【小问1详解】 因为点，所以直线的斜率为． 因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为． 又直线过点，则直线的点斜式方程为， 整理得． 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时原点到直线的距离为，满足题意． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即． 根据题意及点到直线的距离公式，得，所以． 两边平方，化简得，解得． 此时直线的方程为，整理得． 综上，直线的方程为或． 16. 如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点为的中点． （1）用向量，，表示； （2）求线段的长及直线与所成角的余弦值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的线性运算即可求解； （2）根据数量积的定义可得，，，即可根据模长公式以及夹角公式求解. 【小问1详解】 方法一：由题意知 ． 方法二：因为为的中点，所以． 【小问2详解】 因为四边形是正方形，，， 所以，，． 所以 ， 即线段的长为． 因为， 所以 ， 又 ， 所以， 即直线与所成角的余弦值为． 17. 数列满足，，，数列满足，． （1）证明数列是等差数列并求其通项公式． （2）数列的前项和为，问是否存在最小值?若存在，求的最小值及取得最小值时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 证明：因为，所以． 因为，所以， 所以．因为，所以， 所以数列是首项，公差的等差数列． 所以． （2）存在最小值，最小值为－9，此时 【解析】 【分析】（1）因为数列满足，所以对数列两边同时，得到，再代入数列中，即可证明结论并求出通项公式. （2）利用等差数列的前项和公式求出，再利用数列的函数性质即可求得的最小值及取得最小值时的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据等差数列的前项和公式，得． 对于二次函数，其图象的对称轴为直线， 所以当时，取得最小值．因为， 所以存在最小值，最小值为－9，此时． 18. 如图，在四棱锥中，平面平面为棱的中点. （1）证明：平面； （2）若， （i）求二面角的余弦值； （ii）在棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 【答案】（1） 取的中点，连接，，如图所示： 为棱的中点， ，，，，，， 四边形是平行四边形，， 又平面，平面， 平面； （2）（i）, （ii）假设在线段上是存在点，使得点到平面的距离是， 设，，则,0,，0,， 由（2）知平面的一个法向量为,,， ， 点到平面的距离是， ，． 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，可得，即可根据线面平行的判定定理证明结论； （2）（i）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求解； （ii）设，，根据点面距离的向量法即可求出，进而求出的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，，， ，， 平面平面，平面平面， 平面， 平面， 又，平面，，，由， 以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图： 则，，，，，， （i）故， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，，， 平面的一个法向量为, 则，令，则，，故， ,， 由于二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为； （ii）略 19. 设分别为椭圆的左､右焦点，是椭圆的短轴的一个端点，的面积为，椭圆的离心率为. （1）求椭圆的方程. （2）如图，是椭圆上不重合的三点，原点是的重心. （i）当直线垂直于轴时，求点到直线的距离； （ii）求点到直线的距离的最大值. 【答案】（1）； （2），. 【解析】 【分析】（1）根据已知可得，，再结合求出椭圆方程. （2）（i）设出三点坐标根据重心坐标公式和已知条件列出方程得到的纵坐标为，从而解出横坐标，进而解出结果. （ii）讨论直线有无斜率两种情况，有斜率时设出直线的方程，与椭圆联立，结合根与系数关系，重心坐标表示出的坐标，代入椭圆得到一个关系式，利用点到直线距离公式表示点 到直线 的距离并化简，结合式子结构，综合两种情况解出结果. 【小问1详解】 令椭圆的半焦距为，由椭圆的离心率为，得， ，由的面积为，得， 因此， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）设，由直线垂直于轴，得， 由原点是的重心，得，即，， 又，解得，所以到直线的距离为. （ii）由（i）知，当直线斜率不存在时，到直线的距离为； 当直线斜率存在时，设直线方程为，， 由得，且，即， ， 由原点是的重心，得， 解得，点， 于是，整理得， 因此点到直线的距离为 ， 所以当与轴垂直时点到直线的距离最大为. 【点睛】难点点睛：解答本题的难点是第二问中复杂的参数运算，解答时要结合方程求出点到直线的距离的表达式，计算基本都是字母参数的运算，比较复杂，要十分细心. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $