第4章：图形与坐标章末重点题型复习-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（浙教版）

（浙教版）八年级上册 第4章：图形与坐标章末重点题型复习 题型一 确定位置 1．（2023秋•锡山区校级月考）下列数据不能确定物体位置的是（　　） A．某小区3单元406室 B．南偏东30° C．淮海路125号 D．东经121°、北纬35° 2．（2023•苏州模拟）点A的位置如图所示，则关于点A的位置下列说法中正确的是（　　） A．距点O4km处 B．北偏东40°方向上4km处 C．在点O北偏东50°方向上4km处 D．在点O北偏东40°方向上4km处 3．（2023秋•霍邱县校级月考）如图是小明和小红在教室座位的相对位置，如果用（2，1）表示小明的位置，则小红的位置可表示为 　 　． 4．（2023春•东城区期末）如图，雷达探测器探测到三艘船A，B，C，按照目标表示方法的规定，船A，B的位置分别表示为A（5，30°），B（6，300°），船C的位置应表示为 　 　． 5．如图是某地火车站及周围的简单平面图．图中每个小正方形的边长代表1千米，以火车站所在的位置为坐标原点，以图中小正方形的边长为单位长度，建立如图所示的平面直角坐标系： （1）请写出体育场A、超市B、市场C、文化宫D的坐标； （2）体育场与市场之间的距离为 　 　； （3）若学校E的位置是（﹣3，﹣3），请在图中标出学校E的位置． 题型二 象限内点的坐标 1．（2023秋•大观区校级期末）下列各点中，在第四象限的点是（　　） A．（5，3） B．（5，﹣3） C．（﹣5，﹣3） D．（﹣5，3） 2．（2024春•临湘市期末）若点P（x，y）在第二象限，且|x|＝2，|y|＝3，则x+y＝（　　） A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5 3．（2024春•西城区校级期中）若a＜0，则点P（a，﹣a2）在平面直角坐标系中的第（　　）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 4．（2023秋•宁阳县期末）已知点P（a，b），ab＞0，a+b＜0，则点P在第 　象限． 5．（2023秋•埇桥区期中）已知当m、n都是实数，且满足2m＝6+n，则称点为“智慧点”． （1）判断点P（4，10）是否为“智慧点”，并说明理由． （2）若点M（a，1﹣2a）是“智慧点”．请判断点M在第几象限？并说明理由． 题型三 坐标轴上的点的坐标 1．（2023秋•小店区校级期末）在平面直角坐标系中，点（4，0）的位置在（　　） A．第一象限 B．x轴正半轴上 C．第二象限 D．y轴正半轴上 2．（2023秋•皇姑区期末）点P（m+3，m﹣1）在x轴上，则点P的坐标为（　　） A．（0，﹣4） B．（﹣3，0） C．（﹣3，1） D．（4，0） 3．（2024秋•吉安期中）若点A（n﹣1，4）在y轴上，则点B（n+1，n﹣3）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．若点P（m﹣2，﹣1﹣3m）落在坐标轴上，则m的值是（　　） A．m＝2 B． C．m＝2或 D．m＝﹣2或 5．（2024秋•碑林区校级月考）已知点P（a﹣1，2a+6），分别根据下列条件求出点P的坐标． （1）点P在x轴上； （2）点P在y轴上； （3）点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴． 题型四 坐标系中一些特殊点的坐标 1．（2024•香洲区校级模拟）点P（m+1，2m﹣7）在第二、四象限角平分线上，则点P的坐标为（　　） A．（2，﹣2） B．（﹣2，﹣2） C．（3，﹣3） D．（﹣3，﹣3） 2．（2023秋•通州区月考）在平面直角坐标系中，点A（x，y）的坐标满足方程3x﹣y＝4，当点A在第四象限，且OA是两坐标轴的角平分线，点A的坐标为 　 　． 3．（2024秋•汝州市期中）已知点A的坐标为（﹣1，3），线段AB平行于x轴且AB＝5，则点B的坐标为 　 　． 4．（2024春•扶沟县期末）在平面直角坐标系中，点M（a﹣2，a+1），点N（5，9），若MN∥y轴，则a＝　 　． 5．已知点P（a﹣2，2a+8），分别根据下列条件求出a的值． （1）点Q的坐标为（1，﹣2），直线PQ⊥x轴； （2）点Q的坐标为（1，﹣2），直线PQ∥x轴． 6．（2024春•江源区期末）已知点P（2m﹣6，m+2）是平面直角坐标系中的点． （1）若点P在y轴上，则点P的坐标为 　 　； （2）若点P在第一、三象限的角平分线上，则点P的坐标为 　 　； （3）已知点Q（5，3），且PQ∥x轴，求点P的坐标． 题型五 点的坐标与点到坐标轴的距离 1．（2023秋•神木市期末）已知点P在第二象限，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为1，则点P的坐标为（　　） A．（1，﹣3） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣1，3） 2．（2024秋•莲湖区月考）已知点A（a﹣5，6）到x轴的距离是到y轴的距离的3倍，则a的值是（　　） A．7 B．17 C．7或3 D．17或﹣7 3．（2024秋•英德市期中）如图，在平面直角坐标系中，PA垂直x轴，PB垂直y轴，且PA＝3，PB＝2，则点P的坐标为（　　） A．（3，2） B．（2，3） C．（3，﹣2） D．（2，﹣3） 4．（2024秋•鼓楼区校级月考）在平面直角坐标系中，已知点P（2m﹣4，3m+1）． （1）当点P在y轴上时，求出点P的坐标； （2）当直线PA平行于x轴，且A（﹣4，﹣2），求出点P的坐标； （3）若点P到x轴，y轴距离相等，求m的值． 5．（2023•苏州模拟）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（2m+5，3m+3）． （1）若点P在x轴上时，求点P的坐标； （2）若点P在过点A（﹣5，1）且与y轴平行的直线上时，求点P的坐标； （3）将点P向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到点M，若点M在第三象限，且点M到y轴的距离为7，求点M的坐标． 题型六 图形在坐标系中的平移 1．在平面直角坐标系中，三角形ABC的各顶点坐标为A（4，3），B（﹣1，﹣1），C（m﹣1，﹣1），将三角形ABC平移后得到三角形A'B'C'，使得平移后点A的对应点A'落在点B处，此时C的坐标为（6﹣m，1﹣m），则BC的长度是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 2．在平面直角坐标系中，线段CF是由线段AB平移得到的；坐标分别为点A（﹣1，4），点B（a，b），点C（4，1），则点F的坐标为（　　） A．（a+3，b+5） B．（a+5，b+3）或（a﹣3，b﹣5） C．（a﹣5，b+3） D．（a+5，b﹣3）或（3﹣a，5﹣b） 3．（2023春•忠县校级期中）在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是A（﹣4，﹣1），B（1，1）将线段AB平移后得到线段A′B′，若点A′的坐标为（﹣2，2），则点B′的坐标为（　　） A．（ 3，4 ） B．（ 4，3 ） C．（﹣l，﹣2 ） D．（﹣2，﹣1） 4．（2023春•章贡区期末）长方形ABCD的边AB＝4，BC＝6，若将该长方形放在平面直角坐标系中，使点A的坐标为（−1，2），且AB∥x轴，试求点C的坐标为 　 　． 5．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为A（2，﹣1），B（4，3），C（1，2）．将△ABC先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到△A1B1C1． （1）请在图中画出△A1B1C1； （2）写出平移后的△A1B1C1三个顶点的坐标； A1（　　，　　）；B1（　　，　　）；C1（　　，　 　）． （3）求△ABC的面积． 题型七 巧用坐标求图形的面积 1．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（2，﹣1）、B（1，3）、C（﹣4，﹣2），求△ABC的面积． 2．如图，三角形ABC沿x轴正方向平移2个单位长度，再沿y轴负方向平移1个单位长度得到三角形EFG． （1）写出三角形EFG的三个顶点坐标； （2）求三角形EFG的面积． 3．如图，若△A1B1C1是由△ABC平移后得到的，且△ABC中任意一点P（x，y）经过平移后的对应点为P1（x﹣5，y+2）． （1）求点A1、B1、C1的坐标． （2）求△A1B1C1的面积． 4．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD四个顶点坐标分别为A（0，0），B（9，0），C（7，5），D（2，7），试确定这个四边形的面积． 5．在边长1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，四边形ABCD是格点四边形（顶点为网格线的交点）． （1）写出点A，B，C，D的坐标； （2）求四边形ABCD的面积． 题型八 利用图形面积求点的坐标 1．（2023秋•郁南县期中）在直角坐标系中，A（﹣4，0），B（2，0），C（0，6）． （1）求：S△ABC； （2）点P是位于x轴上的点，且，求出P点坐标． 2．（2024秋•汝州市期中）如图，已知点A和点B的坐标分别为（2，﹣4）和（﹣2，2）． （1）在图中建立适当的平面直角坐标系； （2）点C的坐标为 　 　，点C关于x轴的对称点C′的坐标为 　 　； （3）顺次连接A，B，C，得到△ABC，点D在y轴上且满足S△ABC＝S△DBC，请直接写出点D的坐标为 　 　． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（3，4），C（0，2） （1）求S四边形ABCO； （2）求S△ABC； （3）在x轴上是否存在一点P，使S△PAB＝10？若存在，请求点P坐标． 4．（2023秋•太平区校级期末）如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标为（3，3），点B的坐标为（﹣4，3），点P为直线AB上任意一点（不与A、B重合），点Q是点P关于y轴的对称点． （1）请求出△ABO的面积． （2）设点P的横坐标为a，那么点Q的坐标为 　 　． （3）设△OPA和△OPQ的面积相等，且点P在点Q的右侧，请求出此时P点坐标． （4）如果△OPA的面积是△OPQ的面积的2倍，请直接写出此时点P的坐标 　 ． 5．（2024春•兴宁区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（b，0），其中a，b满足|a+2|+（b﹣4）2＝0． （1）求a、b的值． （2）如果在第三象限内有一点M（﹣3，m），请用含m的式子表示三角形ABM的面积． （3）在（2）条件下，当m＝﹣4时，在y轴上是否存在点P，使得三角形ABP的面积与三角形ABM的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型九 关于坐标轴对称的点的坐标规律的应用 1．（2023秋•通河县期末）已知点A（a，2）与点B（3，b）关于x轴对称，则a+2b＝（　　） A．﹣4 B．﹣1 C．﹣2 D．4 2．已知点A（m，2）和B（3，n）关于y轴对称，则（m+n）2023的值为（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．（﹣5）2023 3．（2024•合江县一模）若点P（3，a﹣2）和点Q（b+4，﹣2）关于x轴对称，则点（a，b）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2023秋•文昌校级期末）将平面直角坐标系内的△ABC的三个顶点坐标的横坐标乘以﹣1，纵坐标不变，则所得的三角形与原三角形（　　） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．无任何对称关系 5．（2024秋•舞阳县期中）已知点P（2a，﹣3）与点P′（8，b+2）． （1）若点P与点P′关于x轴对称，求a，b的值； （2）若点P与点P′关于y轴对称，求a，b的值． 题型十 平面直角坐标系中的轴对称作图 1．（2023秋•满城区期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）． （1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是 　 　； （2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 　 　； （3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为1，求点P的坐标． 2．（2023秋•肥城市期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）． （1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是 　 　； （2）若点D与点C关于x轴对称，则点D的坐标为 　 　； （3）已知P为y轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标． 3．（2023秋•桓台县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，1）；B（1，1），C（﹣3，3）． （1）判断△ABC的形状，并说明理由； （2）若点C关于直线AB的对称点为点D，则点D的坐标为 　 　； （3）连接CD，BD，则△BCD的周长为 　 　． 4．（2023秋•梅县区期末）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，已知点A的坐标是（﹣4，3）． （1）点B的坐标为（　 　，　 　），点C的坐标为（　 ，　 　）． （2）△ABC的面积是　 　． （3）作点C关于y轴的对称点C'，那么A、C'两点之间的距离是　 　． 题型十一 点的坐标规律探究 1．（2024春•周口期末）如图，在平面直角坐标系中，某点P从原点O出发，向右平移2个单位长度到达A1，再向上平移4个单位长度到达A2，再向左平移6个单位长度到达A3，再向下平移8个单位长度到达A4，再向右平移10个单位长度到达A5•••，按此规律进行下去，点A12的坐标是（　　） A．（﹣24，﹣24） B．（﹣12，﹣12） C．（﹣24，24） D．（﹣12，12） 2．（2024春•新余期末）如图，在平面直角坐标系中，一巡查机器人接到指令，从原点O出发，沿着路线O→A1→A2→A3→A4→A5→A6→A7→A8…移动，每次移动1个单位长度，依次得到A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），…根据这个规律，点A2024的坐标为（　　） A．（1011，﹣1） B．（1011，0） C．（1012，﹣1） D．（1012，0） 3．（2023春•西湖区校级期中）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右→向下→向右→向上→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A，第二次移动动到点A1，……，第n次移动到点An．则点A2022的坐标是（　　） A．（1010，﹣1） B．（1011，﹣1） C．（1012，1） D．（1010，0） 4．（2024春•邕宁区校级期末）如图，在平面直角坐标系内原点O（0，0）第一次跳动到点A1（0，1），第二次从点A1跳动到点A2（1，2），第三次从点A2跳动到点A3（﹣1，3），第四次从点A3跳动到点A4（﹣1，4），……，按此规律下去，则点A2024的坐标是（　　） A．（674，2024） B．（675，2024） C．（﹣674，2024） D．（﹣675，2024） 5．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO沿x轴向右滚动到△AB1C1的位置，再到△A1B1C2的位置，…依次进行下去，若已知点A（4，0），B（0，3），则点C100的坐标为（　　） A． （1200，y） B．（600，0） C．（600，y） D．（1200，0） 题型十二 平面坐标系与动点运动问题 1．（2023•苏州模拟）如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为（4，0），C点的坐标为（0，6），点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣C﹣B﹣A﹣O的路线移动（即：沿着长方形移动一周）． （1）写出B点的坐标（　 　）； （2）当点P移动了4秒时，描出此时P点的位置，并写出点P的坐标． （3）在移动过程中，当点P到x轴距离为5个单位长度时，求点P移动的时间． 2．如图，已知A（1，0），点B在y轴上，将△OAB沿x轴负方向平移，平移后的图形为△DEC，且点C的坐标为（﹣2，3） （1）直接写出点E的坐标 （2）点P是线段CE上一动点，写出∠CBP，∠PAD，∠APB之间的数量关系，并证明你的结论（提示；过点P作PN∥CB） 3．（2023春•公安县期末）如图1，已知，点A（1，a），AH⊥x轴，垂足为H，将线段AO平移至线段BC，点B（b，0），其中点A与点B对应，点O与点C对应，a、b满足． （1）填空：①直接写出A、B、C三点的坐标A（ 　 　）、B（ 　 　）、C（ 　 　）； ②直接写出三角形AOH的面积 　 　． （2）如图1，若点D（m，n）在线段OA上，证明：4m＝n． （3）如图2，连OC，动点P从点B开始在x轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点Q从点O开始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动．若经过t秒，三角形AOP与三角形COQ的面积相等，试求t的值及点P的坐标． 4．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（a，0）点B（b，b），点C（0，b），且满足（a+8）20，点P从点A出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点Q从点O出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，且点P、Q同时出发，设运动时间为t秒． （1）直接写出点A和点B的坐标； （2）点P、Q在运动过程中，当0＜t＜4时，试探究∠OPQ、∠PQB与∠QBC三者的数量关系，并证明你的结论； （3）在点P、Q的运动过程中，连接PB、QB，若S△PAB＝4S△QBC，求此时点P的坐标． 5．如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，2），且|a+2|+（b﹣3）2＝0 （1）求a，b的值． （2）①在y轴的正半轴上存在一点M，使S△COM=S△ABC，求点M的坐标；S△COM=S△ABC ②在坐标轴的其它位置是否存在点M，使S△COM=S△ABC仍然成立，若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标． （3）如图2，过点C作CD⊥y轴交y轴于点D，点P为线段CD延长线上一动点，连接OP，OE平分 ∠AOP，OF⊥OE．当点P运动时，的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ （浙教版）八年级上册 第4章：图形与坐标章末重点题型复习 题型一 确定位置 1．（2023秋•锡山区校级月考）下列数据不能确定物体位置的是（　　） A．某小区3单元406室 B．南偏东30° C．淮海路125号 D．东经121°、北纬35° 【分析】确定一个物体的位置，要用一个有序数对，进而即可得到答案． 【解答】解：A．某小区3单元406室，是有序数对，能确定物体的位置，故本选项不合题意； B．南偏东30°，不是有序数对，不能确定物体的位置，故本选项与题意相符； C．淮海路125号，“淮海路”相当于一个数据，是有序数对，能确定物体的位置，故本选项不合题意； D．东经121°、北纬35°，是有序数对，能确定物体的位置，故本选项不合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了有序数对，熟练掌握有序数对确定物体位置是解题的关键． 2．（2023•苏州模拟）点A的位置如图所示，则关于点A的位置下列说法中正确的是（　　） A．距点O4km处 B．北偏东40°方向上4km处 C．在点O北偏东50°方向上4km处 D．在点O北偏东40°方向上4km处 【分析】根据点的位置确定应该有方向以及距离，进而利用图象得出即可． 【解答】解：如图所示：点A在点O北偏东40°方向上4km处． 故选：D． 【点评】此题主要考查了点的坐标确定位置，注意方向角的确定方法． 3．（2023秋•霍邱县校级月考）如图是小明和小红在教室座位的相对位置，如果用（2，1）表示小明的位置，则小红的位置可表示为 　 　． 【分析】根据小明的位置向左2个单位，向下1个单位为坐标原点建立平面直角坐标系，然后写出小红的位置即可． 【解答】 解：建立平面直角坐标系如图所示， 小红的位置可表示为（﹣1，﹣1）． 故答案为：（﹣1，﹣1）． 【点评】本题考查了坐标确定位置，确定出坐标原点的位置是解题的关键． 4．（2023春•东城区期末）如图，雷达探测器探测到三艘船A，B，C，按照目标表示方法的规定，船A，B的位置分别表示为A（5，30°），B（6，300°），船C的位置应表示为 　 　． 【分析】直接利用坐标的意义得出C点坐标即可． 【解答】解：如图所示：船C的位置应表示为（4，240°）． 故答案为：（4，240°）． 【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确理解坐标的意义是解题关键． 5．如图是某地火车站及周围的简单平面图．图中每个小正方形的边长代表1千米，以火车站所在的位置为坐标原点，以图中小正方形的边长为单位长度，建立如图所示的平面直角坐标系： （1）请写出体育场A、超市B、市场C、文化宫D的坐标； （2）体育场与市场之间的距离为 　 　； （3）若学校E的位置是（﹣3，﹣3），请在图中标出学校E的位置． 【分析】（1）以火车站所在的位置为坐标原点，建立平面直角坐标系，即可表示出体育场A、超市B市场C、文化宫D的坐标． （2）根据A、C的横坐标以及每个小正方形的边长代表1千米求得即可； （3）根据点的坐标的意义描出点E． 【解答】解：（1）平面直角坐标系如图所示，体育场A的坐标为（﹣4，3）、超市B的坐标为（0，4）、市场C的坐标为（4，3）、文化宫D的坐标为（2，﹣4）． （2）体育场与市场之间的距离为8千米； 故答案为：8千米； （3）如图，点E即为所求． 【点评】本题考查了坐标确定位置，主要是对平面直角坐标系的定义和点的坐标的写法的考查． 题型二 象限内点的坐标 1．（2023秋•大观区校级期末）下列各点中，在第四象限的点是（　　） A．（5，3） B．（5，﹣3） C．（﹣5，﹣3） D．（﹣5，3） 【分析】根据各象限内点的坐标特征对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：A．（5，3）在第一象限，故本选项不合题意； B．（5，﹣3）在第四象限，故本选项符合题意； C．（﹣5，﹣3）在第三象限，故本选项不合题意； D．（﹣5，3）在第二象限，故本选项不合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 2．（2024春•临湘市期末）若点P（x，y）在第二象限，且|x|＝2，|y|＝3，则x+y＝（　　） A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5 【分析】根据第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得x、y的值，根据有理数的加法，可得答案． 【解答】解：由P（x、y）在第二象限且|x|＝2，|y|＝3，得 x＝﹣2，y＝3． x+y＝﹣2+3＝1， 故选：B． 【点评】本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 3．（2024春•西城区校级期中）若a＜0，则点P（a，﹣a2）在平面直角坐标系中的第（　　）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【分析】由a＜0，即可判定﹣a2＜0，继而可求得点P（a，﹣a2）在哪个象限． 【解答】解：∵a＜0， ∴﹣a2＜0， ∴点P（a，﹣a2）在第三象限． 故选：C． 【点评】此题考查了点的坐标的知识．此题比较简单，注意掌握平面直角坐标系中各个象限内点的符号是解此题的关键． 4．（2023秋•宁阳县期末）已知点P（a，b），ab＞0，a+b＜0，则点P在第 　象限． 【分析】根据有理数的乘法、有理数的加法，可得a、b的符号，根据第一象限内点的横坐标大于零，纵坐标大于零，可得答案． 【解答】解：因为ab＞0，a+b＜0， 所以a＜0，b＜0， 点P（a，b）在第三象限， 故答案为：三． 【点评】本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 5．（2023秋•埇桥区期中）已知当m、n都是实数，且满足2m＝6+n，则称点为“智慧点”． （1）判断点P（4，10）是否为“智慧点”，并说明理由． （2）若点M（a，1﹣2a）是“智慧点”．请判断点M在第几象限？并说明理由． 【分析】（1）根据P点坐标，代入中，求出m和n的值，然后代入2m，6+n检验等号是否成立即可； （2）直接利用“智慧点”的定义得出a的值进而得出答案． 【解答】解：（1）点P不是“智慧点”， 由题意得：， ∴m＝5，n＝20， ∴2m＝2×5＝10， 6+n＝6+20＝26， ∴2m≠6+n， ∴点P（4，10）不是“智慧点”； （2）点M在第四象限， 理由：∵点M（a，1﹣2a）是“智慧点”， ∴， ∴m＝a+1，n＝2﹣4a， ∵2n＝6+n， ∴2（a+1）＝6+2﹣4a， 解得a＝1， ∴点M（1，﹣1）， ∴点M在第四象限． 【点评】本题考查了点的坐标，掌握“智慧点”的定义是关键． 题型三 坐标轴上的点的坐标 1．（2023秋•小店区校级期末）在平面直角坐标系中，点（4，0）的位置在（　　） A．第一象限 B．x轴正半轴上 C．第二象限 D．y轴正半轴上 【分析】根据x轴上的点的纵坐标为0解答即可． 【解答】解：∵点（4，0）的纵坐标为0，横坐标为正数， ∴点（0，4）的位置在x轴正半轴上． 故选：B． 【点评】本题考查了点的坐标．牢记点在x轴、y轴上的点的特征是正确解答此类题目的关键． 2．（2023秋•皇姑区期末）点P（m+3，m﹣1）在x轴上，则点P的坐标为（　　） A．（0，﹣4） B．（﹣3，0） C．（﹣3，1） D．（4，0） 【分析】根据x轴上点的纵坐标等于零，可得答案． 【解答】解：由题意，得m﹣1＝0， 解得m＝1， ∴m+3＝4， ∴点P的坐标为（4，0）， 故选：D． 【点评】本题考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握好坐标轴上的点的坐标的特征：x轴上的点的纵坐标为0． 3．（2024秋•吉安期中）若点A（n﹣1，4）在y轴上，则点B（n+1，n﹣3）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据点A的位置在y轴上，可求得n的值，从而可确定点B的坐标及点B所在的象限． 【解答】解：∵点A在y轴上， ∴n﹣1＝0， 解得：n＝1， 当n＝1时，n+1＝2，n﹣3＝1﹣3＝﹣2， ∴点B的坐标为（2，﹣2）， ∴点B在第四象限， 故选：D． 【点评】本题考查了平面直角坐标系中点的特征及确定点所在象限，根据点A的位置确定n的值是关键． 4．若点P（m﹣2，﹣1﹣3m）落在坐标轴上，则m的值是（　　） A．m＝2 B． C．m＝2或 D．m＝﹣2或 【分析】根据x轴上点的纵坐标为0，y轴上点的横坐标为0列方程求解即可． 【解答】解：∵点P（m﹣2，﹣1﹣3m）落在坐标轴上， ∴m﹣2＝0或﹣1﹣3m＝0， 解得m＝2或m． 故选：C． 【点评】本题考查了点的坐标，熟记x轴上点的纵坐标为0，y轴上点的横坐标为0是解题的关键． 5．（2024秋•碑林区校级月考）已知点P（a﹣1，2a+6），分别根据下列条件求出点P的坐标． （1）点P在x轴上； （2）点P在y轴上； （3）点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴． 【分析】（1）根据在x轴上的点的纵坐标为0，可以求得点P的坐标； （2）根据在y轴上的点的横坐标为0，可以求得点P的坐标； （3）根据与y轴平行的直线上点的横坐标相同，可以求得点P的坐标． 【解答】解：（1）∵点P（a﹣1，2a+6）在x轴上， ∴2a+6＝0， 解得a＝﹣3， ∴a﹣1＝﹣4， 点P的坐标为（﹣4，0）； （2）∵点P（a﹣1，2a+6）在y轴上， ∴a﹣1＝0， 解得a＝1， ∴2a+6＝8， ∴点P的坐标为（0，8）； （3）∵点P（a﹣1，2a+6），点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴， ∴a﹣1＝1， ∴a＝2， ∴2a+6＝2×2+6＝10， ∴点P的坐标为（1，10）． 【点评】本题主要考查了坐标与图形，熟知在坐标轴上点的坐标特征是解题的关键． 题型四 坐标系中一些特殊点的坐标 1．（2024•香洲区校级模拟）点P（m+1，2m﹣7）在第二、四象限角平分线上，则点P的坐标为（　　） A．（2，﹣2） B．（﹣2，﹣2） C．（3，﹣3） D．（﹣3，﹣3） 【分析】根据第二、第四象限坐标轴夹角平分线上的点，横纵坐标互为相反数，由此就可以得到关于m的方程，解出m的值，即可求得P点的坐标． 【解答】解：∵点P（m+1，2m﹣7）在第二、四象限的角平分线上， ∴m+1+2m﹣7＝0， 解得：m＝2， ∴P（3，﹣3）． 故选：C． 【点评】本题考查了点的坐标的知识．解题的关键是掌握以下知识点：第二、四象限的夹角角平分线上的点的横纵坐标互为相反数． 2．（2023秋•通州区月考）在平面直角坐标系中，点A（x，y）的坐标满足方程3x﹣y＝4，当点A在第四象限，且OA是两坐标轴的角平分线，点A的坐标为 　 　． 【分析】直接利用第四象限内点的坐标特点结合角平分线的性质得出等式求出答案． 【解答】解：∵当点A在第四象限，且OA是两坐标轴的角平分线， ∴x＝﹣y， ∵3x﹣y＝4， ∴﹣3y﹣y＝4， 解得：y＝﹣1， 故x＝1， 则点A的坐标为（1，﹣1）． 故答案为：（1，﹣1）． 【点评】此题主要考查了点的坐标，正确掌握第四象限内点的坐标特点是解题关键． 3．（2024秋•汝州市期中）已知点A的坐标为（﹣1，3），线段AB平行于x轴且AB＝5，则点B的坐标为 　 　． 【分析】根据平行于坐标轴的直线上点的坐标特征即可解决问题． 【解答】解：∵线段AB平行于x轴， ∴线段AB上所有点的纵坐标相等． ∵点A坐标为（﹣1，3），且AB＝5， ∴点B的坐标为（﹣6，3）或（4，3）． 故答案为：（﹣6，3）或（4，3）． 【点评】本题考查坐标与图形性质，熟知平行于坐标轴的直线上点的坐标特征是解题的关键． 4．（2024春•扶沟县期末）在平面直角坐标系中，点M（a﹣2，a+1），点N（5，9），若MN∥y轴，则a＝　 　． 【分析】根据平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等得出关于a的方程，解之可得答案． 【解答】解：∵点M（a﹣2，a+1），点N（5，9）且MN∥y轴， ∴a﹣2＝5， 解得a＝7， 故答案为：7． 【点评】本题主要考查坐标与图形性质，解题的关键是掌握平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等． 5．已知点P（a﹣2，2a+8），分别根据下列条件求出a的值． （1）点Q的坐标为（1，﹣2），直线PQ⊥x轴； （2）点Q的坐标为（1，﹣2），直线PQ∥x轴． 【分析】（1）利用垂直于x轴直线的性质，横坐标相等，进而得出a的值，进而得出答案； （2）利用平行于x轴直线的性质，纵坐标相等，进而得出a的值，进而得出答案． 【解答】解：（1）∵点Q的坐标为（1，﹣2），直线PQ⊥x轴， ∴a﹣2＝1， 解得：a＝3； （2）∵点Q的坐标为（1，﹣2），直线PQ∥x轴， ∴2a+8＝﹣2， 解得：a＝﹣5． 【点评】此题主要考查了点的坐标性质，掌握平行于x轴直线的性质，纵坐标相等，平行于y轴直线的性质，横坐标相等是解题的关键． 6．（2024春•江源区期末）已知点P（2m﹣6，m+2）是平面直角坐标系中的点． （1）若点P在y轴上，则点P的坐标为 　 　； （2）若点P在第一、三象限的角平分线上，则点P的坐标为 　 　； （3）已知点Q（5，3），且PQ∥x轴，求点P的坐标． 【分析】（1）根据y轴上点的坐标特征即可解决问题． （2）根据第一、三象限的角平分线上点的坐标特征即可解决问题． （3）根据平行于x轴的直线上点的坐标特征即可解决问题． 【解答】解：（1）因为点P在y轴上， 所以2m﹣6＝0， 解得m＝3， 所以m+2＝5， 所以点P的坐标为（0，5）． 故答案为：（0，5）． （2）因为点P在第一、三象限的角平分线上， 所以2m﹣6＝m+2， 解得m＝8， 所以2m﹣6＝10，m+2＝10， 所以点P的坐标为（10，10）． 故答案为：（10，10）． （3）因为PQ∥x轴，且点Q坐标为（5，3）， 所以m+2＝3， 解得m＝1， 所以2m﹣6＝﹣4， 所以点P的坐标为（﹣4，3）． 【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，熟知坐标轴上、第一、三象限的角平分线上及平行于x轴的直线上点的坐标特征是解题的关键． 题型五 点的坐标与点到坐标轴的距离 1．（2023秋•神木市期末）已知点P在第二象限，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为1，则点P的坐标为（　　） A．（1，﹣3） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣1，3） 【分析】设点P的坐标为（a，b），依题意得|a|＝1，|b|＝3，则a＝±1，b＝±3，再根据点P在第二象限得a＜0，b＞0，由此可得点P的坐标． 【解答】解：设点P的坐标为（a，b）， ∵点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为1， ∴|a|＝1，|b|＝3， ∴a＝±1，b＝±3， ∵点P在第二象限， ∴a＜0，b＞0， ∴a＝﹣1，b＝3， ∴点P的坐标为（﹣1，3）． 故选：D． 【点评】此题主要考查了点的坐标，理解点的坐标的概念是解决问题的关键． 2．（2024秋•莲湖区月考）已知点A（a﹣5，6）到x轴的距离是到y轴的距离的3倍，则a的值是（　　） A．7 B．17 C．7或3 D．17或﹣7 【分析】列关于a的绝对值方程并求解即可． 【解答】解：根据题意，得3|a﹣5|＝6， 解得a＝7或3． 故选：C． 【点评】本题考查点的坐标，考虑a﹣5的正负是解题的关键． 3．（2024秋•英德市期中）如图，在平面直角坐标系中，PA垂直x轴，PB垂直y轴，且PA＝3，PB＝2，则点P的坐标为（　　） A．（3，2） B．（2，3） C．（3，﹣2） D．（2，﹣3） 【分析】根据平面直角坐标系中点的坐标的特点作答即可． 【解答】解：∵PA垂直x轴，PB垂直y轴， ∴四边形OAPB是矩形， ∴OA＝PB＝2，OB＝PA＝3， ∴点P的坐标为（2，﹣3）． 故选：D． 【点评】本题考查点的坐标，掌握平面直角坐标系中点的坐标的特点是解题的关键． 4．（2024秋•鼓楼区校级月考）在平面直角坐标系中，已知点P（2m﹣4，3m+1）． （1）当点P在y轴上时，求出点P的坐标； （2）当直线PA平行于x轴，且A（﹣4，﹣2），求出点P的坐标； （3）若点P到x轴，y轴距离相等，求m的值． 【分析】（1）根据点P（2m﹣4，3m+1）在y轴上，可知点P的横坐标为0，然后求出m的值，进而可以求得点P的坐标； （2）根据直线PA平行于x轴，且A（﹣4，﹣2），点P（2m﹣4，3m+1），可知点A和点P的纵坐标相等，从而可以求得m的值，进而求得点P的坐标； （3）根据点P（2m﹣4，3m+1）到x轴，y轴距离相等，可以得到|2m﹣4|＝|3m+1|，从而可以求得m的值，进而求得点P的坐标． 【解答】解：（1）当点P（2m﹣4，3m+1）在y轴上时， 2m﹣4＝0， 解得m＝2， ∴3m+1＝7， ∴点P的坐标为（0，7）； （2）当直线PA平行于x轴，且A（﹣4，﹣2），点P（2m﹣4，3m+1）， 则3m+1＝﹣2， 解得m＝﹣1， ∴2m﹣4＝2×（﹣1）﹣4＝﹣6， ∴点P的坐标为（﹣6，﹣2）； （3）∵点P（2m﹣4，3m+1）到x轴，y轴距离相等， ∴|2m﹣4|＝|3m+1|， 解得m＝﹣5或m， ∴点P的坐标为（﹣14，﹣14）或（，）． 【点评】本题考查坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题意，求出相应的点P的坐标． 5．（2023•苏州模拟）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（2m+5，3m+3）． （1）若点P在x轴上时，求点P的坐标； （2）若点P在过点A（﹣5，1）且与y轴平行的直线上时，求点P的坐标； （3）将点P向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到点M，若点M在第三象限，且点M到y轴的距离为7，求点M的坐标． 【分析】（1）因为点P在x轴上，所以纵坐标为0，解得m值并代入横坐标的代数式中即可得到答案； （2）因为点P在过点A（﹣5，1）且与y轴平行的直线上，所以A、P两点的横坐标相同，令P点横坐标为﹣5，解得m值并代入纵坐标的代数式中，求值即可得到答案； （3）根据题意用含m的代数式表示点M的坐标，根据点M的位置特征，解得m的值并代入点P的坐标中，即可得到答案． 【解答】解：（1）∵点P在x轴上， ∴P点的纵坐标为0， ∴3m+3＝0， 解得m＝﹣1， 把m＝﹣1代入2m+5中得2m+5＝3， ∴P点坐标为（3，0）； （2）∵P点在过点A（﹣5，1）且与y轴平行的直线上， ∴P点的横坐标为﹣5， ∴2m+5＝﹣5， 解得m＝﹣5， 把m等于﹣5代入3m+3，3m+3＝﹣12， ∴P点坐标为（﹣5，﹣12）； （3）由题意知M的坐标为（2m+5+2，3m+3+3）， ∵M在第三象限，且M到y轴的距离为7， ∴点M的横坐标为﹣7， ∴2m+5+2＝﹣7， 解得m＝﹣7， 将m＝﹣7代入P（2m+5，3m+3）中得，P（﹣9，﹣18）． 【点评】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标，掌握相关知识并熟练使用，同时注意在解题过程中需注意的相关事项是本题的解题关键． 题型六 图形在坐标系中的平移 1．在平面直角坐标系中，三角形ABC的各顶点坐标为A（4，3），B（﹣1，﹣1），C（m﹣1，﹣1），将三角形ABC平移后得到三角形A'B'C'，使得平移后点A的对应点A'落在点B处，此时C的坐标为（6﹣m，1﹣m），则BC的长度是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】根据平移后点A的对应点A'落在点B处，此时C的坐标为（6﹣m，1﹣m），可得﹣1﹣3＝1﹣m﹣（﹣1），求出m的值，即可确定点C坐标，再进一步求BC的长度即可． 【解答】解：根据平移，可知﹣1﹣3＝1﹣m﹣（﹣1）， 解得m＝6， ∴点C坐标为（5，﹣1）， ∵B（﹣1，﹣1）， ∴BC＝5﹣（﹣1）＝6， 故选：C． 【点评】本题考查了坐标与图形变化，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 2．在平面直角坐标系中，线段CF是由线段AB平移得到的；坐标分别为点A（﹣1，4），点B（a，b），点C（4，1），则点F的坐标为（　　） A．（a+3，b+5） B．（a+5，b+3）或（a﹣3，b﹣5） C．（a﹣5，b+3） D．（a+5，b﹣3）或（3﹣a，5﹣b） 【分析】分两种情况，利用平移的性质得出对应点坐标的变化规律进而得出答案． 【解答】解：当点A（﹣1，4）的对应点为点C（4，1）时，点B（a，b）的对应点为点F（a+5，b﹣3）； 当点B（a，b）的对应点为点C（4，1）时，点A（﹣1，4）的对应点为F（3﹣a，5﹣b）； 综上所述，点F的坐标为（a+5，b﹣3）或（3﹣a，5﹣b）． 故选：D． 【点评】此题主要考查了平移变换，熟练掌握坐标变化规律是解题关键． 3．（2023春•忠县校级期中）在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是A（﹣4，﹣1），B（1，1）将线段AB平移后得到线段A′B′，若点A′的坐标为（﹣2，2），则点B′的坐标为（　　） A．（ 3，4 ） B．（ 4，3 ） C．（﹣l，﹣2 ） D．（﹣2，﹣1） 【分析】先利用点A和点A′的坐标得到线段平移的规律，然后利用点的坐标平移规律写出点B的对应点B′的坐标． 【解答】解：∵A（﹣4，﹣1）的对应点A′的坐标为（﹣2，2）， ∴各对应点之间的关系是横坐标加2，纵坐标加3， ∵B（1，1）， ∴点B′的横坐标为1+2＝3；纵坐标为1+3＝4； 即所求点B′的坐标为（3，4）． 故选：A． 【点评】本题考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 4．（2023春•章贡区期末）长方形ABCD的边AB＝4，BC＝6，若将该长方形放在平面直角坐标系中，使点A的坐标为（−1，2），且AB∥x轴，试求点C的坐标为 　 　． 【分析】分类讨论：由AB∥x轴可得到B点坐标为（3，2）或（﹣5，2），然后根据矩形的性质确定C点坐标． 【解答】解：∵点A的坐标为（﹣1，2），且AB∥x轴，AB＝4， ∴B点坐标为（3，2）或（﹣5，2），如图， ∵四边形ABCD为矩形，BC＝3， ∴C点坐标为（3，﹣4）或（3，8）或（﹣5，﹣4）或（﹣5，8）． 故答案为：（3，﹣4）或（3，8）或（﹣5，﹣4）或（﹣5，8）． 【点评】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标特征计算相应的线段长和判断线段与坐标轴的位置关系；记住各象限内点的坐标特征和坐标上点的坐标特征． 5．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为A（2，﹣1），B（4，3），C（1，2）．将△ABC先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到△A1B1C1． （1）请在图中画出△A1B1C1； （2）写出平移后的△A1B1C1三个顶点的坐标； A1（　　，　　）；B1（　　，　　）；C1（　　，　 　）． （3）求△ABC的面积． 【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用（1）中所画图形得出对应点坐标； （3）直接利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案． 【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求； （2）A1（﹣2，﹣3），B1（0，1），C1（﹣3，0）； 故答案为：﹣2，﹣3；0，1；﹣3，0． （3）如图可得： S△ABC＝S长方形EFGB﹣S△BEC﹣S△CFA﹣S△AGB ＝BE•EFEB•CECF•FAAG•BG ＝3×43×13×12×4 ＝5． 【点评】此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键． 题型七 巧用坐标求图形的面积 1．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（2，﹣1）、B（1，3）、C（﹣4，﹣2），求△ABC的面积． 【分析】利用△ABC所在的矩形的面积减去四周三个直角三角形的面积列式计算即可得解． 【解答】解：△ABC的面积＝6×55×51×61×4， ＝30﹣12.5﹣3﹣2， ＝30﹣17.5， ＝12.5． 【点评】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，熟练掌握网结构中三角形的面积的求解方法是解题的关键． 2．如图，三角形ABC沿x轴正方向平移2个单位长度，再沿y轴负方向平移1个单位长度得到三角形EFG． （1）写出三角形EFG的三个顶点坐标； （2）求三角形EFG的面积． 【分析】（1）首先确定A、B、C三点平移后的对应点位置，然后再连接即可； （2）利用矩形的面积减去周围多余三角形的面积即可． 【解答】解：（1）如图： E（4，1），F（0，﹣2），G（5，﹣3）． （2）S△EFG＝4×5﹣3×41×54×120﹣6﹣2.5﹣2＝9.5． 【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化﹣﹣平移，关键是正确确定组成图形的关键点平移后的对应点位置． 3．如图，若△A1B1C1是由△ABC平移后得到的，且△ABC中任意一点P（x，y）经过平移后的对应点为P1（x﹣5，y+2）． （1）求点A1、B1、C1的坐标． （2）求△A1B1C1的面积． 【分析】（1）由△ABC中任意一点P（x，y）经平移后对应点为P1（x﹣5，y+2）可得△ABC的平移规律为：向左平移5个单位，向上平移2个单位，由此得到点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标． （2）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可． 【解答】解：（1）∵△ABC中任意一点P（x，y）经平移后对应点为P1（x﹣5，y+2）， ∴△ABC的平移规律为：向左平移5个单位，再向上平移2个单位， ∵A（4，3），B（3，1），C（1，2）， ∴点A1的坐标为（﹣1，5），点B1的坐标为（﹣2，3），点C1的坐标为（﹣4，4）． （2）如图所示， △A1B1C1的面积＝3×21×31×21×2． 【点评】本题考查的是作图﹣平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD四个顶点坐标分别为A（0，0），B（9，0），C（7，5），D（2，7），试确定这个四边形的面积． 【分析】过点D点，C点分别作DE，CF垂直x轴，则四边形的面积的可以看作是△ADE，△CBF和梯形EFCD的面积和，据此即可解答此题． 【解答】解：如图，过点D点，C点分别作DE，CF垂直于x轴于E，F两点， 则四边形的面积的可以看作是△ADE，△CBF和梯形EFCD的面积和， 即S四边形ABCD2×7（9﹣7）×5（5+7）×（7﹣2）＝7+5+30＝42． 【点评】本题考查了坐标和图形的性质及三角形面积的计算，难度不大，关键要将四边形的面积的可以看作是△ADE，△CBF和梯形EFCD的面积和来进行计算． 5．在边长1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，四边形ABCD是格点四边形（顶点为网格线的交点）． （1）写出点A，B，C，D的坐标； （2）求四边形ABCD的面积． 【分析】（1）根据各点所在的象限，对应的横坐标、纵坐标，分别写出点的坐标． （2）利用割补法求解可得． 【解答】解：（1）由图可知点A（4，1）、B（0，0）、C（﹣2，3）、D（2，4）； （2）四边形ABCD的面积＝4×62×31×42×31×4＝14． 【点评】本题考查了坐标与图形的性质，正确把握横纵坐标对应数字及割补法求四边形的面积是解题关键． 题型八 利用图形面积求点的坐标 1．（2023秋•郁南县期中）在直角坐标系中，A（﹣4，0），B（2，0），C（0，6）． （1）求：S△ABC； （2）点P是位于x轴上的点，且，求出P点坐标． 【分析】（1）分别表示出AB和OC长度，再用三角形面积公式解答； （2）先求出三角形APC的面积和AP的长，再分两种情况解答． 【解答】解：（1）2﹣（﹣4）＝6， S△ABC＝6×6÷2＝18． （2）18＝9， 9×2÷6＝3， P点在A点的右边时，﹣4+3＝﹣1，坐标：（﹣1，0）； P点在A点的左边时，﹣4﹣3＝﹣7，坐标：（﹣7，0）， ∴P点坐标：（﹣1，0）或（﹣7，0）． 【点评】本题考查了三角形在坐标系中的应用，关键取三角形各边长度为正数． 2．（2024秋•汝州市期中）如图，已知点A和点B的坐标分别为（2，﹣4）和（﹣2，2）． （1）在图中建立适当的平面直角坐标系； （2）点C的坐标为 　 　，点C关于x轴的对称点C′的坐标为 　 　； （3）顺次连接A，B，C，得到△ABC，点D在y轴上且满足S△ABC＝S△DBC，请直接写出点D的坐标为 　 　． 【分析】（1）根据题意建立如图所示的平面直角坐标系即可； （2）根据建立的平面直角坐标系以及轴对称的性质即可得到结论； （3）设点D的坐标为（0，m），根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解（1）如图所示建立平面直角坐标系； （2）点C的坐标为（3，2）；点C关于x轴的对称点C′的坐标为（3，﹣2）； 故答案为：（3，2）；（3，﹣2）； （3）设点D（0，m），由三角形面积可列方程为： ， ∴|2﹣m|＝6， 解得：m＝8或m＝﹣4， ∴点D的坐标为（0，8）或（0，﹣4）． 故答案为：（0，8）或（0，﹣4）． 【点评】本题主要考查了坐标与图形，关于坐标轴对称的点的坐标，熟练掌握以上知识点是关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（3，4），C（0，2） （1）求S四边形ABCO； （2）求S△ABC； （3）在x轴上是否存在一点P，使S△PAB＝10？若存在，请求点P坐标． 【分析】（1）过点B作BD作BD⊥OA与点D，把四边形分割为直角梯形和直角三角形，即可解答； （2）△ABC的面积＝四边形ABCO的面积﹣△AOC的面积； （3）存在，设点P（x，0），则PA＝|x﹣4|，根据S△PAB＝10，所以，即可解答． 【解答】解：（1）如图1，过点B作BD⊥OA与点D， ∵点A（4，0），B（3，4），C（0，2） ∴OC＝2，OD＝3，BD＝4，AD＝4﹣3＝1， ∴S四边形ABCO＝S梯形CODB+S△ABD9+2＝11． （2）如图2，连接AC， S△ABC＝S四边形ABCO﹣S△AOC＝1111﹣4＝7． （3）存在，设点P（x，0）， 则PA＝|x﹣4|， ∵S△PAB＝10， ∴， ∴|x﹣4|＝5， 解得：x＝9或x＝﹣1， ∴点P的坐标为（9，0）或（﹣1，0）． 【点评】本题考查了坐标与图形的性质，解决本题的关键是通过作辅助线，把四边形分割为直角梯形和直角三角形． 4．（2023秋•太平区校级期末）如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标为（3，3），点B的坐标为（﹣4，3），点P为直线AB上任意一点（不与A、B重合），点Q是点P关于y轴的对称点． （1）请求出△ABO的面积． （2）设点P的横坐标为a，那么点Q的坐标为 　 　． （3）设△OPA和△OPQ的面积相等，且点P在点Q的右侧，请求出此时P点坐标． （4）如果△OPA的面积是△OPQ的面积的2倍，请直接写出此时点P的坐标 　 ． 【分析】（1）根据三角形面积公式计算即可； （2）关于y轴对称的纵坐标相等，横坐标互为相反数，计算即可； （3）根据等底同高的两个三角形面积相等，计算即可求出P的坐标； （4）分类讨论：当点P在原点左侧和右侧，根据△OPA的面积是△OPQ的面积的2倍确定出P坐标即可． 【解答】解：（1）∵A的坐标为（3，3），点B的坐标为（﹣4，3）， ∴AB＝3﹣（﹣4）＝3+4＝7， ∴S△ABO7×3＝10.5； （2）∵P为直线AB上任意一点，点P的横坐标为a，点Q是点P关于y轴的对称点， ∴P（a，3）， 则点Q的坐标为（﹣a，3）； 故答案为：（﹣a，3）； （3）∵△OPA和△OPQ面积相等，点O到直线AB的距离都是3， ∴AP＝PQ， 设此时P的坐标为（n，3），则点Q坐标为（﹣n，3）， 则有3﹣n＝n﹣（﹣n）， 解得：n＝1， 则P坐标为（1，3）； （4）当点P在原点左侧时，P（﹣1，3）； 当点P在原点右侧时，设点P坐标为（m，3）， 则有3﹣m＝2×2m， 解得：m，此时P（，3）， 综上所示，点P的坐标为（﹣1，3）或（，3）． 故答案为：（﹣1，3）或（，3）． 【点评】此题考查了关于x轴，y轴对称的点的坐标，以及三角形面积，熟练掌握关于x轴，y轴对称点的特征是解本题的关键． 5．（2024春•兴宁区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（b，0），其中a，b满足|a+2|+（b﹣4）2＝0． （1）求a、b的值． （2）如果在第三象限内有一点M（﹣3，m），请用含m的式子表示三角形ABM的面积． （3）在（2）条件下，当m＝﹣4时，在y轴上是否存在点P，使得三角形ABP的面积与三角形ABM的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据非负数性质可得a、b的值； （2）根据三角形面积公式列式整理即可； （3）根据（2）的结论得出S△ABM＝﹣3×（﹣4）＝12，设P（0，a），则OP＝|a|，根据三角形面积公式列出方程，解方程即可求解． 【解答】解：（1）∵|a+2|+（b﹣4）2＝0， ∴a+2＝0，b﹣4＝0， ∴a＝﹣2，b＝4； （2）如图1所示， 过M作ME⊥x轴于E， ∵A（﹣2，0），B（4，0）， ∴OA＝2，OB＝4， ∴AB＝6， ∵在第三象限内有一点M（﹣3，m）， ∴ME＝|m|＝﹣m， ∴． （3）m＝﹣4时，S△ABM＝﹣3×（﹣4）＝12， 设P（0，a），则OP＝|a|， ∴， ∴3|a|＝12， 解得a＝±4， ∴P（0，4）或（0，﹣4）． 【点评】本题主要考查坐标与图形性质，非负数的性质：绝对值，非负数的性质：偶次方，解答本题的关键要注意点的坐标转化为点到坐标轴的距离时的符号问题． 题型九 关于坐标轴对称的点的坐标规律的应用 1．（2023秋•通河县期末）已知点A（a，2）与点B（3，b）关于x轴对称，则a+2b＝（　　） A．﹣4 B．﹣1 C．﹣2 D．4 【分析】直接利用关于x轴对称点的性质（横坐标不变，纵坐标互为相反数）得出a，b的值，进而得出答案． 【解答】解：∵点A（a，2）与点B（3，b）关于x轴对称， ∴a＝3，b＝﹣2， 则a+2b＝3﹣4＝﹣1． 故选：B． 【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键． 2．已知点A（m，2）和B（3，n）关于y轴对称，则（m+n）2023的值为（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．（﹣5）2023 【分析】根据关于y轴对称点的特点，求出m＝﹣3，n＝2，然后代入求值即可． 【解答】解：∵点A（m，2）和B（3，n）关于y轴对称， ∴m＝﹣3，n＝2， ∴（m+n）2023＝（﹣3+2）2023＝（﹣1）2023＝﹣1，故B正确． 故选：B． 【点评】本题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，代数式求值，乘方运算，解题的关键是熟记关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同． 3．（2024•合江县一模）若点P（3，a﹣2）和点Q（b+4，﹣2）关于x轴对称，则点（a，b）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据关于x轴对称的点的特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，求出a，b的值，根据象限内点的特点，进行判断即可． 【解答】解：由题意，得：b+4＝3，a﹣2＝2， ∴a＝4＞0，b＝﹣1＜0， ∴点（a，b）在第四象限； 故选：D． 【点评】本题考查的是关于坐标轴对称的点的坐标特点，熟知关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数是解题的关键． 4．（2023秋•文昌校级期末）将平面直角坐标系内的△ABC的三个顶点坐标的横坐标乘以﹣1，纵坐标不变，则所得的三角形与原三角形（　　） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．无任何对称关系 【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”，可知所得的三角形与原三角形关于y轴对称． 【解答】解：∵横坐标乘以﹣1，∴横坐标相反，又纵坐标不变，∴关于y轴对称．故选B． 【点评】主要考查了平面直角坐标系中对称点的规律．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： （1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数； （3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 5．（2024秋•舞阳县期中）已知点P（2a，﹣3）与点P′（8，b+2）． （1）若点P与点P′关于x轴对称，求a，b的值； （2）若点P与点P′关于y轴对称，求a，b的值． 【分析】（1）根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得方程组，再解即可； （2）根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得方程组，再解即可． 【解答】解：（1）∵点P与点P′关于x轴对称， ∴， 解得； （2）∵点P与点P′关于y轴对称， ∴， 解得． 【点评】此题主要考查了关于x、y轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 题型十 平面直角坐标系中的轴对称作图 1．（2023秋•满城区期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）． （1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是 　 　； （2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 　 　； （3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为1，求点P的坐标． 【分析】（1）直接利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案； （2）利用关于y轴对称点的性质得出答案； （3）利用三角形面积求法得出符合题意的答案． 【解答】解：（1）如图所示：△ABC的面积是：3×44； 故答案为：4； （2）点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为：（﹣4，3）； 故答案为：（﹣4，3）； （3）∵P为x轴上一点，△ABP的面积为1， ∴BP＝2， ∴点P的横坐标为：2+2＝4或2﹣2＝0， 故P点坐标为：（4，0）或（0，0）． 【点评】此题主要考查了三角形面积求法以及关于y轴对称点的性质，正确得出对应点位置是解题关键． 2．（2023秋•肥城市期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）． （1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是 　 　； （2）若点D与点C关于x轴对称，则点D的坐标为 　 　； （3）已知P为y轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标． 【分析】（1）利用割补法求三角形的面积即可； （2）根据关于x轴对称的点的性质即可得答案； （3）设点P的坐标为（0，m），则S△ABP＝4，求出m的值，即可得出答案． 【解答】解：（1）△ABC的面积为4×32×12×32×4＝4； 故答案为：4； （2）∵点D与点C关于x轴对称， ∴点D的坐标为（4，﹣3）； 故答案为：（4，﹣3）； （3）设点P的坐标为（0，m）， ∴S△ABPAP×2＝4， ∴AP＝4， ∴|m﹣1|＝4， ∴m＝5或﹣3， ∴点P的坐标为（0，5）或（0，﹣3）． 【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 3．（2023秋•桓台县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，1）；B（1，1），C（﹣3，3）． （1）判断△ABC的形状，并说明理由； （2）若点C关于直线AB的对称点为点D，则点D的坐标为 　 　； （3）连接CD，BD，则△BCD的周长为 　 　． 【分析】（1）求出各线段长，利用勾股定理逆定理可得答案； （2）根据对称的性质得出点D即可； （3）根据勾股定理和二次根式的计算解答即可． 【解答】解：（1）∵AC2＝5，BC2＝20，AB2＝25， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ACB是直角三角形； （2）如图所示： 点D坐标为（﹣3，﹣1）； 故答案为：（﹣3，﹣1）； （3）DC＝4，BC＝BD＝2，△BCD的周长为44， 故答案为：44． 【点评】此题主要考查了作图﹣﹣轴对称变换，以及勾股定理逆定理，关键是正确画出图形． 4．（2023秋•梅县区期末）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，已知点A的坐标是（﹣4，3）． （1）点B的坐标为（　 　，　 　），点C的坐标为（　 ，　 　）． （2）△ABC的面积是　 　． （3）作点C关于y轴的对称点C'，那么A、C'两点之间的距离是　 　． 【分析】（1）根据坐标系写出答案即可； （2）利用矩形面积减去周围多余三角形的面积可得△ABC的面积； （3）首先确定C'位置，然后再利用勾股定理计算即可． 【解答】解：（1）点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（﹣2，5）， 故答案为：3；0；﹣2；5； （2））△ABC的面积是：7×53×72×25×5＝35﹣10.5﹣2﹣12.5＝10， 故答案为：10； （3）A、C'两点之间的距离是：2， 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了关于y轴对称、三角形面积，以及勾股定理的应用，关键是正确确定C′点位置． 题型十一 点的坐标规律探究 1．（2024春•周口期末）如图，在平面直角坐标系中，某点P从原点O出发，向右平移2个单位长度到达A1，再向上平移4个单位长度到达A2，再向左平移6个单位长度到达A3，再向下平移8个单位长度到达A4，再向右平移10个单位长度到达A5•••，按此规律进行下去，点A12的坐标是（　　） A．（﹣24，﹣24） B．（﹣12，﹣12） C．（﹣24，24） D．（﹣12，12） 【分析】列举A1（2，0），A2（2，4），A3（﹣4，4），A4（﹣4，﹣4），A5（6，﹣4），A6（6，8）A7（﹣8，8），A8（﹣8，﹣8）•••得到规律，用规律解集问题即可． 【解答】解：由题意．A1（2，0），A2（2，4），A3（﹣4，4），A4（﹣4，﹣4），A5（6，﹣4）， A6（6，8）A7（﹣8，8），A8（﹣8，﹣8） 以此类推， ……， 即A4n（﹣4n，﹣4n）（n为正整数） A12（﹣12，﹣12）， 故选：B． 【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法． 2．（2024春•新余期末）如图，在平面直角坐标系中，一巡查机器人接到指令，从原点O出发，沿着路线O→A1→A2→A3→A4→A5→A6→A7→A8…移动，每次移动1个单位长度，依次得到A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），…根据这个规律，点A2024的坐标为（　　） A．（1011，﹣1） B．（1011，0） C．（1012，﹣1） D．（1012，0） 【分析】先根据图中点的排列，找出规律，再计算求解． 【解答】解：根据图形发现，点的运动呈规律排列，8个点为一个周期，一周期横坐标增加4， ∴2024÷8＝253， ∴所以点A2024的横坐标为253×4＝1012， 则点A2024的纵坐标与A8的纵坐标是相同的， 由图易知，点A8的纵坐标为0，即点A2024的纵坐标为0， 点A2024的坐标为（1012，0）， 故选：D． 【点评】本题考查了规律型：点的坐标，找到规律是解题的关键． 3．（2023春•西湖区校级期中）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右→向下→向右→向上→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A，第二次移动动到点A1，……，第n次移动到点An．则点A2022的坐标是（　　） A．（1010，﹣1） B．（1011，﹣1） C．（1012，1） D．（1010，0） 【分析】本题是一道循环问题，我们首先通过图来分析，应该为8个一循环，找到循环节，然后计算2022次应该是在哪个循环的第几个数，从而得出结论． 【解答】解：由图可知，点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，﹣1），A6（3，﹣1），A7（3，0），A8（4，0），A9（4，1）， ∴An的横坐标为：n为偶数时，为；n为奇数时，为， An的纵坐标为：1→1→0→0→﹣1→﹣1→0→0→1循环， ∴A2022的横坐标为：1011， ∵2022÷8＝252......6， ∴A2022的纵坐标为：﹣1， ∴A2022的纵坐标是（1011，﹣1）， 故选：B． 【点评】本题主要考查的是平面直角坐标系的循环问题．通过横纵坐标的不同规律，来求出最后的解． 4．（2024春•邕宁区校级期末）如图，在平面直角坐标系内原点O（0，0）第一次跳动到点A1（0，1），第二次从点A1跳动到点A2（1，2），第三次从点A2跳动到点A3（﹣1，3），第四次从点A3跳动到点A4（﹣1，4），……，按此规律下去，则点A2024的坐标是（　　） A．（674，2024） B．（675，2024） C．（﹣674，2024） D．（﹣675，2024） 【分析】根据已知点坐标找到A3n﹣1（n，3n﹣1），A3n（﹣n，3n），A3n+1（﹣n，3n+1）（n为正整数）的规律，根据已知点的坐标寻找规律并应用解答即可． 【解答】解：∵A1（0，1），A2（1，2）， A3（﹣1，3），A4（﹣1，4）， A5（2，5），A6（﹣2，6）， A5（﹣2，7），A8（3，8）， ……， ∴可知A3n﹣1（n，3n﹣1），A3n（﹣n，3n），A3n+1（﹣n，3n+1）（n为正整数）， ∵2024＝675×3﹣1， ∴n＝675， ∴A2024（675，2024）， 故选：B． 【点评】本题主要考查了点的坐标规律，依据点的坐标找到规律是解答本题的关键． 5．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO沿x轴向右滚动到△AB1C1的位置，再到△A1B1C2的位置，…依次进行下去，若已知点A（4，0），B（0，3），则点C100的坐标为（　　） A．（1200，y） B．（600，0） C．（600，y） D．（1200，0） 【分析】根据三角形的滚动，可得出：每滚动3次为一个周期，点C1，C3，C5，…在第一象限，点C2，C4，C6，…在x轴上，由点A，B的坐标利用勾股定理可求出AB的长，进而可得出点C2的横坐标，同理可得出点C4，C6的横坐标，根据点的横坐标的变化可找出变化规律“点C2n的横坐标为2n×6（n为正整数）”，再代入2n＝100即可求出结论． 【解答】解：根据题意，可知：每滚动3次为一个周期，点C1，C3，C5，…在第一象限，点C2，C4，C6，…在x轴上． ∵A（4，0），B（0，3）， ∴OA＝4，OB＝3， ∴AB5， ∴点C2的横坐标为4+5+3＝12＝2×6， 同理，可得出：点C4的横坐标为4×6，点C6的横坐标为6×6，…， ∴点C2n的横坐标为2n×6（n为正整数）， ∴点C100的横坐标为100×6＝600， ∴点C100的坐标为（600，0）． 故选：B． 【点评】本题考查了规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化找出变化规律是解题的关键． 题型十二 平面坐标系与动点运动问题 1．（2023•苏州模拟）如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为（4，0），C点的坐标为（0，6），点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣C﹣B﹣A﹣O的路线移动（即：沿着长方形移动一周）． （1）写出B点的坐标（　 　）； （2）当点P移动了4秒时，描出此时P点的位置，并写出点P的坐标． （3）在移动过程中，当点P到x轴距离为5个单位长度时，求点P移动的时间． 【分析】（1）根据矩形的性质以及点的坐标的定义写出即可； （2）先求得点P运动的距离，从而可得到点P的坐标； （3）根据矩形的性质以及点到x轴的距离等于纵坐标的长度求出OP，再根据时间＝路程÷速度列式计算即可得解． 【解答】解：（1）∵A点的坐标为（4，0），C点的坐标为（0，6）， ∴OA＝4，OC＝6， ∴点B（4，6）； 故答案为：4，6． （2）如图所示， ∵点P移动了4秒时的距离是2×4＝8， ∴点P的坐标为（2，6）； （3）点P到x轴距离为5个单位长度时，点P的纵坐标为5， 若点P在OC上，则OP＝5， t＝5÷2＝2.5秒， 若点P在AB上，则OP＝OC+BC+BP＝6+4+（6﹣5）＝11， t＝11÷2＝5.5秒， 综上所述，点P移动的时间为2.5秒或5.5秒． 【点评】本题考查了坐标与图形性质，动点问题，主要利用了矩形的性质和点的坐标的确定，难点在于（3）要分情况讨论． 2．如图，已知A（1，0），点B在y轴上，将△OAB沿x轴负方向平移，平移后的图形为△DEC，且点C的坐标为（﹣2，3） （1）直接写出点E的坐标 （2）点P是线段CE上一动点，写出∠CBP，∠PAD，∠APB之间的数量关系，并证明你的结论（提示；过点P作PN∥CB） 【分析】（1）由平移的性质可知BC＝AE＝2，由此即可解决问题． （2）结论：∠CBP+∠PAD＝∠APB．过点P作PN∥CB，利用平行线的性质解决问题即可． 【解答】解：（1）∵BC∥AE，BC＝AE，C（﹣2，3）， ∴AE＝BC＝2， ∵A（1，0）， ∴OA＝1，OE＝1 ∴E（﹣1，0）． （2）解：结论：∠CBP+∠PAD＝∠APB． 理由：过点P作PN∥CB． ∴∠CBP＝∠BPN， 又∵BC∥AE， ∴PN∥AE， ∴∠PAD＝∠APN， ∴∠CBP+∠PAD＝∠BPN+∠APN＝∠APB． 【点评】本题考查坐标与图形的变化﹣平移，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．（2023春•公安县期末）如图1，已知，点A（1，a），AH⊥x轴，垂足为H，将线段AO平移至线段BC，点B（b，0），其中点A与点B对应，点O与点C对应，a、b满足． （1）填空：①直接写出A、B、C三点的坐标A（ 　 　）、B（ 　 　）、C（ 　 　）； ②直接写出三角形AOH的面积 　 　． （2）如图1，若点D（m，n）在线段OA上，证明：4m＝n． （3）如图2，连OC，动点P从点B开始在x轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点Q从点O开始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动．若经过t秒，三角形AOP与三角形COQ的面积相等，试求t的值及点P的坐标． 【分析】（1）①利用非负数的性质求出a，b的值，可得结论． ②利用三角形面积公式求解即可． （2）连接DH，根据△ODH的面积+△ADH的面积＝△OAH的面积，构建关系式，可得结论． （3）分两种情形：①当点P在线段OB上，②当点P在BO的延长线上时，分别利用面积关系，构建方程，可得结论． 【解答】（1）解：①∵， 又∵0，（b﹣3）2≥0， ∴a＝4，b＝3， ∴A（1，4），B（3，0），C（（2，﹣4）， 故答案为：1，4；3，0；2，﹣4． ②△AOH的面积1×4＝2， 故答案为：2． （2）证明：如图，连接DH． ∵△ODH的面积+△ADH的面积＝△OAH的面积， ∴1×n4×（1﹣m）＝2， ∴4m＝n． （3）解：①当点P在线段OB上，（3﹣2t）×42t， 解得t＝1.2． 此时P（0.6，0）． ②当点P在BO的延长线上时，（2t﹣3）×42×t， 解得t＝2， 此时P（﹣1，0）， 综上所述，t＝1.2时，P（0.6，0），t＝2时，P（﹣1，0）． 【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，非负数的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 4．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（a，0）点B（b，b），点C（0，b），且满足（a+8）20，点P从点A出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点Q从点O出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，且点P、Q同时出发，设运动时间为t秒． （1）直接写出点A和点B的坐标； （2）点P、Q在运动过程中，当0＜t＜4时，试探究∠OPQ、∠PQB与∠QBC三者的数量关系，并证明你的结论； （3）在点P、Q的运动过程中，连接PB、QB，若S△PAB＝4S△QBC，求此时点P的坐标． 【分析】（1）根据非负数的性质可得a+8＝0，b+4＝0即可； （2）过点Q作QE∥x轴，根据两直线平行，内错角相等，得∠OPQ＝∠PQE，∠CBQ＝∠BQE，两式相加即可； （3）根据S△PAB＝4S△QBC，得AP＝4CQ，则有2t＝4×|4﹣t|，分别解方程即可得出t，从而得出答案． 【解答】解：（1）∵（a+8）20， ∴a+8＝0，b+4＝0， ∴a＝﹣8，b＝﹣4， ∴A（﹣8，0），B（﹣4，﹣4）； （2）过点Q作QE∥x轴， ∵B（﹣4，﹣4），C（0，﹣4）， ∴BC∥x轴， ∴BC∥QE， ∴∠OPQ＝∠PQE，∠CBQ＝∠BQE， ∴∠OPQ+∠QBC＝∠PQB； （3）∵S△PAB＝4S△QBC， ∴4AP＝4×CQ×4， ∴AP＝4CQ， ∴2t＝4×|4﹣t|， ∴t或t＝8， 当t时，﹣8+2t， ∴P（，0）， 当t＝8时，﹣8+2t＝8， ∴P（8，0）， 综上：P（，0）或P（8，0）． 【点评】本题主要考查了坐标与图形的性质、非负数的性质、平行线的性质等知识，注意动点问题中线段长度的表示是解题的关键． 5．如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，2），且|a+2|+（b﹣3）2＝0 （1）求a，b的值． （2）①在y轴的正半轴上存在一点M，使S△COM=S△ABC，求点M的坐标；S△COM=S△ABC ②在坐标轴的其它位置是否存在点M，使S△COM=S△ABC仍然成立，若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标． （3）如图2，过点C作CD⊥y轴交y轴于点D，点P为线段CD延长线上一动点，连接OP，OE平分 ∠AOP，OF⊥OE．当点P运动时，的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明理由． 【分析】（1）利用非负数的性质求解； （2）①利用面积公式求解； ②分类讨论，结合面积公式求解； （3）利用平行线的性质，角平分线的定义，垂直的性质及外角定理求解． 【解答】解：（1）∵|a+2|+（b﹣3）2＝0， ∴a＝﹣2，b＝3， （2）①设M（0，m）（a＞）， 由题意得：0.5m•1＝0.5×0.5×（2+3）×2， 解得：m＝5， ∴M（0，5）； ②当M 在y轴的负半轴上时，0.5（﹣m）•1＝0.5×0.5×（2+3）×2， m＝﹣5， M（0，﹣5）； 当M在横轴上时，设M（n，0）， 则：0.5×|n|×2＝0.5×0.5×（2+3）×2， 解得：n＝±2.5， ∴M（±2.5，0）， 所以M（2.5，0）或M（﹣2.5，0）或M（0，﹣5）； （3）＝2， 理由：∵∠EOF＝90°，∠ODE＝90°， ∴∠OED+∠EFO＝90°，∠DOE+∠DEO＝90°，∠AOE+∠FOB＝90°，∠EOP+∠POF＝90°， ∴∠EOD＝∠EFO， ∵OE平分∠AOP，EF∥AB， ∴∠AOE＝∠EOP，∠OFE＝∠FOB， ∴∠FOP＝∠FOB＝∠OFP， ∵∠OPD＝∠PFO+∠POF＝2∠OFP＝2∠DOE， ∴＝2． 【点评】本题考查了非负数的性质，平行线的性质，角平分线的定义，垂直的性质及外角定理，是一道综合性极强的题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$