第1章：三角形的初步知识章末重点题型复习-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（浙教版）

（浙教版）八年级上册 第1章：三角形的初步知识章末重点题型复习 题型一 三角形的相关概念 1．（2023秋•招远市期中）若三角形有两个内角的和是100°，那么这个三角形是（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【分析】由三角形有两个内角的和是100°，可得出这两个角中较大的角可以是钝角、直角、锐角，结合三角形的分类，可得出这个三角形可能是钝角三角形、直角三角形、锐角三角形，即不能确定． 【解答】解：∵三角形有两个内角的和是100°， ∴这两个角中较大的角可以是钝角、直角、锐角， ∴这个三角形可能是钝角三角形、直角三角形、锐角三角形， ∴这个三角形不能确定． 故选：D． 【点评】本题考查了三角形的分类，牢记“三角形按角分类可以分成锐角三角形、直角三角形和钝角三角形”是解题的关键． 2．（2024秋•龙湾区月考）如图，钝角三角形的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】先列举出所有钝角三角形，然后再统计即可解答． 【解答】解：钝角三角形有：△BEC、△BDE、△AEC、△BDC、△BAC，共5个． 故选：D． 【点评】本题主要考查了三角形的分类、钝角三角形的定义等知识点，确定各个钝角三角形成为解题的关键． 3．（2024秋•富锦市校级月考）如图，在△ABD中，∠A的对边是（　　） A．BF B．BE C．BD D．BC 【分析】根据三角形的边解答即可． 【解答】解：∠A的对边是BD． 故选：C． 【点评】此题考查三角形的组成元素，关键是掌握对边是指这个角对面的那条边． 4．（2023秋•确山县期中）如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，连接BE，AD交于点F． （1）图中共有多少个以AB为边三角形？并把它们表示出来． （2）除△ABF外，以点F为顶点的三角形还有哪些？ 【分析】（1）以AB为边的三角形有4个； （2）以F为顶点的三角形有3个，除△ABF外，还有2个． 【解答】解：（1）以AB为边的三角形有4个，△ABF，△ABD，△ABE，△ABC． （2）除△ABF外，以点F为顶点的三角形还有△BDF、△AEF． 【点评】本题考查的是认识三角形，熟练掌握三角形的定义是解题的关键． 题型二 三角形的三边关系 1．（2024秋•南康区校级期末）若三角形两边a、b的长分别为3和4，则第三边c的取值范围是（　　） A．1≤c≤7 B．1＜c＜8 C．1＜c＜7 D．2＜c＜9 【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出第三边c的取值范围． 【解答】解：根据三角形的三边关系可得：4﹣3＜c＜4+3， 解得：1＜c＜7， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟记性质是解题的关键． 2．（2024秋•西城区校级期中）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（　　） A．2cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm C．13cm，12cm，20cm D．4cm，5cm，11cm 【分析】根据三角形的三边关系进行判断即可． 【解答】解：∵2+4＜8，不能构成三角形，故选项A不符合题意； ∵8+7＝15，不能构成三角形，故选项B不符合题意； ∵12+13＝25＞20，能构成三角形，故选项C符合题意； ∵4+5＜11，不能构成三角形，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 3．（2024秋•忻府区期中）如图，为了估计池塘岸边A，B两点间的距离，小玥同学在池塘一侧选取一点O，测得OA＝12米，OB＝7米，则A，B间的距离不可能是（　　） A．5米 B．7.5米 C．10米 D．18.9米 【分析】根据三角形的三边关系定理三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得12﹣7＜AB＜12+7，计算出AB的取值范围可得答案． 【解答】解：连接AB， 根据三角形的三边关系可得12﹣7＜AB＜12+7， 即5＜AB＜19， 故选：A． 【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和． 4．（2024秋•南明区校级期中）已知a，b，c是△ABC的三边，a＝4，b＝6，若三角形的周长是小于18的偶数． （1）求c边的长； （2）判断△ABC的形状． 【分析】（1）利用三角形三边关系进而得出c的取值范围，进而得出答案； （2）利用等腰三角形的判定方法得出即可． 【解答】解：（1）∵a，b，c是△ABC的三边，a＝4，b＝6， ∴2＜c＜10， ∵三角形的周长是小于18的偶数， ∴2＜c＜8， ∴c＝4或6； （2）当c＝4或6时，△ABC的形状都是等腰三角形． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定和三角形三边关系，得出c的取值范围是解题关键． 5．（2024秋•凉州区校级期中）已知△ABC的三边长是a，b，c． （1）若a＝6，b＝8，且三角形的周长是小于22的偶数，求c的值； （2）化简|a+b﹣c|+|c﹣a﹣b|． 【分析】（1）利用三角形三边关系进而得出c的取值范围，进而得出答案； （2）根据绝对值的定义和三角形的三边关系即可得到结论． 【解答】解：（1）∵a，b，c是△ABC的三边，a＝6，b＝8， ∴2＜c＜14， ∵三角形的周长是小于22的偶数， ∴2＜c＜8， ∴c＝4或6； （2）|a+b﹣c|+|c﹣a﹣b| ＝a+b﹣c﹣c+a+b ＝2a+2b﹣2c． 【点评】此题主要考查了绝对值和三角形三边关系，得出c的取值范围是解题关键． 题型三 三角形的高 3．（2023秋•上饶期末）如图，△ABC的边BC上的高是（　　） A．线段AF B．线段DB C．线段CF D．线段BE 【分析】根据三角形的高的定义进行分析即可得出结果． 【解答】解：由图可得：△ABC的边BC上的高是AF． 故选：A． 【点评】本题主要考查三角形的角平分线、中线、高，解答的关键是对三角形的高的定义的掌握． 2．（2023秋•石城县期末）下列各图中，作△ABC边AC边上的高，正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三角形的高度概念判断即可． 【解答】解；A、图中BE不是△ABC边AC边上的高，本选项不符合题意； B、图中BE不是△ABC边AC边上的高，本选项不符合题意； C、图中BE不是△ABC边AC边上的高，本选项不符合题意； D、图中BE是△ABC边AC边上的高，本选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 3．（2024春•沛县期中）如图所示，已知AD⊥BC，GC⊥BC，CF⊥AB，D、C、F是垂足，下列说法中错误的是（　　） A．△ABC中，CF是AB边上的高 B．△AGC中，CF是AG边上的高 C．△GBC中，GC是BC边上的高 D．△BFC中，CG是BF边上的高 【分析】根据三角形的一个顶点到对边的垂线段叫做三角形的高，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：∵AD⊥BC，GC⊥BC，CF⊥AB， A、△ABC中，CF是AB边上的高，正确； B、△AGC中，CF是AG边上的高，正确； C、△GBC中，GC是BC边上的高，正确； D、△BFC中，CF是BF边上的高，错误． 故选：D． 【点评】本题考查了三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，是基础题，熟记概念是解题的关键． 题型四 三角形的中线 1．（2024秋•西乡塘区校级期中）如图，已知BD是△ABC的中线，AB﹣BC＝2，且△ABD的周长为11，则△BCD的周长是（　　） A．9 B．14 C．16 D．不能确定 【分析】根据三角形的中线得出AD＝CD，结合已知三角形的周长，得到结果． 【解答】解：∵BD是△ABC的中线， ∴AD＝CD， ∵AB﹣BC＝2， ∴AB＝BC+2， ∵△ABD的周长为11， ∴AB+BD+AD＝11， ∴（BC+2）+BD+CD＝11， ∴BC+BD+CD＝9， ∴△BCD的周长BC+CD+BD＝9． 故选：A． 【点评】本题主要考查了三角形的中线，三角形周长，灵活运用中线性质是解题的关键． 2．（2024秋•思明区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝5，AD是△ABC的中线，则△ABD与△ADC的周长之差为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】先根据中线的定义得BD＝CD，再表示周长，即可得出答案． 【解答】解：由题意可得：BD＝CD， ∴周长之差是AB+AD+BD﹣（AD+AC+CD）＝AB﹣AC＝7﹣5＝2． 故选：C． 【点评】本题主要考查了三角形的中线，三角形的周长，掌握其性质是解决此题的关键． 3．（2023春•兴庆区校级期中）已知AD是△ABC的边BC上的中线，若△ABD的周长比△ACD的周长大6，则AB与AC的差是 　 　. 【分析】依据三角形中线的定义，即可得到BD＝CD，再根据△ABD的周长比△ACD的周长大6，即可得出AB与AC的差为6． 【解答】解：∵AD是△ABC的边BC上的中线， ∴BD＝CD， ∵△ABD的周长比△ACD的周长大6， ∴（AB+BD+AD）﹣（AC+CD+AD）＝6， 即AB﹣AC＝6， 故答案为：6． 【点评】本题主要考查了三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 4．（2024•沭阳县校级模拟）已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 　 　cm2． 【分析】易得△ABD，△ACD为△ABC面积的一半，同理可得△BEC的面积等于△ABC面积的一半，那么阴影部分的面积等于△BEC的面积的一半． 【解答】解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等， ∴S△ABD＝S△ACDS△ABC4＝2（cm2）， 同理S△BDE＝S△CDES△BCE2＝1（cm2）， ∴S△BCE＝2（cm2）， ∵F为EC中点， ∴S△BEFS△BCE2＝1（cm2）． 故答案为1． 【点评】此题考查了三角形中线的性质，解答此题的关键是知道同底等高的三角形面积相等． 5．（2024春•丰泽区校级期中）如图，在△ABC中，AD是中线，AB＝10cm，AC＝6cm． （1）△ABD与△ACD的周长差为 　 　cm． （2）点E在边AB上，连接ED，若三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2cm，求线段AE的长． 【分析】（1）因为AD是中线，所以BD＝CD，因为△ABD的周长＝AB+AD+BD，△ACD的周长＝AC+CD+AD，可得△ABD的周长△ACD的周长的差即AB与AC的差，因为AB﹣AC＝4（cm），即△ABD的周长△ACD的周长的差为4cm； （2）分两种情况讨论． 【解答】解：（1）∵AD是中线， ∴BD＝CD， ∵△ABD的周长＝AB+AD+BD，△ACD的周长＝AC+CD+AD， ∴△ABD的周长△ACD的周长的差即AB与AC的差， ∵AB﹣AC＝4（cm）， ∴△ABD的周长△ACD的周长的差为4cm， 故答案为：4； （2）①折线BE+BD比折线AE+AC+CD大2cm时， 即BE﹣（AE+AC）＝2cm， ∵AB＝10cm，AC＝6cm， ∴AE＝1cm， ②折线AE+AC+CD比折线BE+BD大2cm时， 即AE+AC﹣BE＝2cm， ∵AB＝10cm，AC＝6cm， ∴AE＝3cm， 综上，线段AE的长为1cm或3cm． 【点评】本题考查了三角形的中线，关键是注意分类讨论． 题型五 三角形的高、中线、角平分线的综合应用 1．（2024秋•武鸣区期中）如图，CD、CE、CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（　　） A．BA＝2BF B．∠ACE∠ACB C．AE＝BE D．CD⊥AB 【分析】从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． 三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．依此即可求解． 【解答】解：∵CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线， ∴CD⊥AB，∠ACE∠ACB，AB＝2BF，无法确定AE＝BE． 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握它们的定义和性质是解题的关键． 2．（2024秋•武清区校级月考）如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于点E，F为AB上的一点，CF⊥AD于点H．下列判断错误的有（　　） A．AG是△ABE的角平分线 B．CH为△ACD边AD上的高 C．BE是△ABD边AD上的中线 D．AH为△AFC的高线 【分析】根据三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线的定义逐项分析即可． 【解答】解：A．∵∠1＝∠2， ∴AG是△ABE的角平分线，故本选项结论正确，不符合题意； B．∵CF⊥AD， ∴CH为△ACD边AD上的高，故本选项结论正确，不符合题意； C．∵G为AD的中点， ∴BG是△ABD边AD上的中线，故原说法不正确，符合题意； D．∵CF⊥AD， ∴AH为△AFC的高线，故本选项结论正确，不符合题意； 故选C． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线，熟记它们的定义是解题的关键． 3．（2024秋•宁津县校级月考）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线． （1）作图：在△BED中作出BD边上的高EF；BE边上的高DG； （2）若△ABC的面积为40，BD＝5，则△BED中BD边上的高EF为多少？ 【分析】（1）根据高线的定义，画高即可； （2）根据中线平分三角形的面积以及三角形的面积公式进行计算即可． 【解答】解：（1）如图所示，EF、DG即为所求作； （2）∵AD为△ABC的中线，BE 为△ABD的中线， ∴， ∴， ∵△ABC的面积为 40，BD＝5， ∴10， ∴EF＝4， 即△BED中BD边上的高EF为4． 【点评】本题考查三角形的高线，三角形的中线，掌握三角形中线的性质是解题的关键． 4．（2024春•船营区校级期末）如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的角平分线，BF是△ABC的中线． （1）若∠ACB＝50°，∠BAD＝65°，求∠AEC的度数； （2）若AB＝9，△BCF与△BAF的周长差为3，求BC的长． 【分析】（1）根据三角形的高的概念得到∠ADB＝90°，根据直角三角形的性质求出∠ABD，根据角平分线的定义求出∠ECB，根据三角形的外角性质计算即可； （2）根据三角形的中线的概念得到AF＝FC，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：（1）∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB＝90°， ∵∠BAD＝65°， ∴∠ABD＝90°﹣65°＝25°， ∵CE是△ACB的角平分线，∠ACB＝50°， ∴， ∴∠AEC＝∠ABD+∠ECB＝25°+25°＝50°； （2）∵F是AC中点， ∴AF＝FC， ∵△BCF与△BAF的周长差为3， ∴（BC+CF+BF）﹣（AB+AF+BF）＝3或（AB+AF+BF）﹣（BC+CF+BF）＝3 ∴AB﹣BC＝3或BC﹣AB＝3， ∵AB＝9， ∴BC＝12或6． 【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 5．（2024秋•五华区期中）已知：如图，△ABC中，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，BF是∠ABC的平分线，BF与AE交于O，若∠ABC＝40°，∠C＝60°，求∠DAE、∠BOE的度数． 【分析】先根据三角形的内角和定理得到∠BAC的度数，再利用角平分线的性质可求出∠DAC∠BAC，而∠EAC＝90°﹣∠C，然后利用∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC进行计算即可．由三角形外角的性质求得∠AFO＝80°，利用三角形内角和定理得到∠AOF＝50°，所以对顶角相等：∠BOE＝∠AOF＝50°． 【解答】解：①在△ABC中，∵∠ABC＝40°，∠C＝60°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°． ∵AE是的角平分线， ∴∠EAC∠BAC＝40°． ∵AD是△ABC的高， ∴∠ADC＝90° ∴在△ADC中，∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝180°﹣90°﹣60°＝30° ∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝40°﹣30°＝10°． ②∵BF是∠ABC的平分线，∠ABC＝40°， ∴∠FBC∠ABC＝20°， 又∵∠C＝60°， ∴∠AFO＝80°， ∴∠AOF＝180°﹣80°﹣40°＝60°， ∴∠BOE＝∠AOF＝60°． 【点评】考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．也考查了三角形的高线与角平分线的性质． 题型六 三角形内角和定理 1．（2024春•北京期末）一副三角尺按如图所示的位置摆放，那么∠α的度数是（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 【分析】利用三角形内角和定理求解． 【解答】解：由题意α＝90°﹣30°＝60°． 故选：D． 【点评】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是理解题意，正确计算． 2．（2024秋•龙江县期中）如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝70°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C′处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（　　） A．80° B．90° C．100° D．110° 【分析】根据三角形内角和定理，易得∠C＝180°﹣65°﹣70°＝45°；设C'D与BC交于点O，易得∠2＝∠C+∠DOC，∠DOC＝∠1+∠C'，则∠2的度数可求． 【解答】解：三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝70°， 根据三角形内角和定理可得： ∠C＝∠C'＝180°﹣65°﹣70°＝45°； 如图，设C'D与BC交于点O， 则∠2＝∠C+∠DOC，∠DOC＝∠1+∠C'， 则∠2＝∠C+∠1+∠C'＝45°+20°+45°＝110°． 故选：D． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，关键在于熟记定理并灵活运用． 3．（2024春•乾县期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝40°，∠2＝25°，则∠B的度数为（　　） A．25° B．35° C．45° D．55° 【分析】由AE平分∠BAC，可得∠1＝∠EAD+∠2，由∠1＝40°，∠2＝20°，可求得∠EAD的度数，在直角三角形ABD中再利用两锐角互余可求得答案． 【解答】解：∵AE平分∠BAC， ∴∠1＝∠EAD+∠2， ∴∠EAD＝∠1﹣∠2＝40°﹣25°＝15°， Rt△ABD中，∠B＝90°﹣∠BAD＝90°﹣40°﹣15°＝35°． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高的相关知识，求得∠EAD的度数是正确解答本题的关键． 4．（2024秋•阜阳期中）如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，交边AB于点E，在AE上取点F，连接DF，使∠ACD＝∠D． （1）求证：DF∥BC； （2）当∠A＝38°，∠DFE＝36°时，求∠AEC的度数． 【分析】（1）根据CD平分∠ACB，得到∠DCB＝∠ACD，再由∠ACD＝∠D等量代换推出∠DCB＝∠D，根据“内错角相等，两直线平行”即可得证． （2）先根据平行线的性质求出∠B的度数，然后根据三角形内角和定理求出∠ACB的度数，由CD平分∠ACB推出∠ACD的度数，最后根据三角形内角和定理即可求出∠AEC的度数． 【解答】（1）证明：∵CD是∠ACB的平分线， ∴∠DCB＝∠ACD， 又∵∠ACD＝∠D， ∴∠DCB＝∠D， ∴DF∥BC； （2）解：∵DF∥BC，∠DFE＝36°， ∴∠B＝∠DFE＝36°， 在△ABC中，∵∠ACB+∠A+∠B＝180°，∠A＝38°，∠B＝36°， ∴∠ACB＝180°﹣38°﹣36°＝106°， 又∵CD平分∠ACB， ∴， ∴∠AEC＝180°﹣∠ACE﹣∠A＝180°﹣53°﹣38°＝89°． 【点评】本题主要考查了角平分线的性质，三角和内角和定理以及平行线的判定及性质，掌握平行线的判定及性质是解题的关键． 5．（2023春•长安区期中）在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，F为射线AE上一点（不与点E重合），且FD⊥BC于D． （1）如果点F与点A重合，且∠C＝50°，∠B＝30°，如图1，求∠EFD的度数； （2）如果点F在线段AE上（不与点A重合），如图2，求证：∠EFD（∠C﹣∠B）； （3）如果点F在△ABC外部，如图3，此时∠EFD与∠C﹣∠B的数量关系是否发生变化？请说明理由． 【分析】（1）由三角形内角和定理可得∠BAC＝100°，∠CAD＝40°，由角平分线的性质易得∠EAC的度数，可得∠EFD； （2）由角平分线的性质和三角形的内角和得出∠BAE＝90°（∠C+∠B），外角的性质得出∠AEC＝90°（∠B﹣∠C），在△EFD中，由三角形内角和定理可得∠EFD； （3）与（2）的方法相同． 【解答】（1）解：∵∠C＝50°，∠B＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣50°﹣30°＝100°． ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE＝50°． 在△ACE中∠AEC＝80°， 在Rt△ADE中∠EFD＝90°﹣80°＝10°． （2）∠EFD（∠C﹣∠B） 证明：∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE90°（∠C+∠B） ∵∠AEC为△ABE的外角， ∴∠AEC＝∠B+90°（∠C+∠B）＝90°（∠B﹣∠C） ∵FD⊥BC， ∴∠FDE＝90°． ∴∠EFD＝90°﹣90°（∠B﹣∠C） ∴∠EFD（∠C﹣∠B） （3）没变化，∠EFD（∠C﹣∠B）． 如图， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE． ∵∠DEF为△ABE的外角， ∴∠DEF＝∠B90°（∠B﹣∠C）， ∵FD⊥BC， ∴∠FDE＝90°． ∴∠EFD＝90°﹣90°（∠B﹣∠C） ∴∠EFD（∠C﹣∠B）． 【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，综合利用角平分线的性质和三角形内角和定理是解答此题的关键． 题型七 命题的相关概念 1．（2024秋•迎泽区校级月考）下列语句中，是命题的是（　　） A．延长线段AB到C B．两点之间线段最短 C．画∠AOB＝45° D．等角的余角相等吗 【分析】根据命题的定义解答即可． 【解答】解：A、延长线段AB到C，不是命题，不符合题意； B、两点之间线段最短，是命题，符合题意； C、画∠AOB＝45°，不是命题，不符合题意； D、等角的余角相等吗，不是命题，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了命题与定理，正确记忆相关知识点是解题关键． 2．（2024秋•衡阳期中）下列命题为假命题的是（　　） A．对顶角相等 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．垂线段最短 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】根据平行线与相交线的相关性质进行判断即可． 【解答】解：命题：对顶角相等；垂线段最短；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，都是真命题，A，C，D都不符合题意；而命题：两条直线被第三条直线所截，同位角相等，则是假命题，故D符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查命题真假的判断，平行线与相交线的相关性质，掌握平行线与相交线的相关性质是解题的关键． 3．（2024秋•石阡县期中）下列命题的逆命题中，是真命题的是（　　） A．两直线平行，同旁内角互余 B．等边三角形是等腰三角形 C．全等三角形的三条边对应相等 D．若两个数相等，则它们的绝对值相等 【分析】分别写出原命题的逆命题后判断正误即可． 【解答】解：A、逆命题为同旁内角互余，两直线平行，错误，是假命题，故选项不符合题意； B、逆命题为等腰三角形是等边三角形，错误，是假命题，故选项不符合题意； C、逆命题为三条边对应相等的三角形全等，正确，是真命题，符合题意； D、逆命题是绝对值相等的两个数相等，错误，是假命题，故选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出原命题的逆命题． 4．（2024春•咸安区期末）已知同一平面内的三条直线a，b，c，下列命题中错误的是（　　） A．如果a∥b，b∥c，那么a∥c B．如果a⊥b，b⊥c，那么a⊥c C．如果a⊥b，b⊥c，那么a∥c D．如果a⊥b，a∥c，那么b⊥c 【分析】根据平行公理，平行线的判定对各选项作出图形判断即可得解． 【解答】解：A、，是真命题，故本选项不符合题意； B、，应为a∥c，故本选项是假命题，故本选项符合题意； C、，是真命题，故本选项不符合题意； D、，是真命题，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 5．（2024秋•义乌市校级月考）请将命题“平行于同一直线的两直线互相平行”改成“如果…，那么…”的形式：　 　． 【分析】先找出命题的题设和结论，再写成“如果…那么…”的形式即可． 【解答】解：题设是平行于同一直线的两直线，结论是这两直线互相平行， 因此写成如果……那么……的形式为：如果两条直线平行于同一直线，那么这两条直线互相平行， 故答案为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线互相平行． 【点评】本题主要考查了命题，熟记概念，明确命题是由题设与结论两个部分组成是解题的关键． 题型八 命题的证明 1．（2024春•黄石港区期末）如图，从①∠1＝∠2②∠C＝∠D③∠A＝∠F三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论可以组成3个命题． （1）这三个命题中，真命题的个数为 　 　； （2）选择一个真命题，并且证明，（要求写出每一步的依据） 如图，已知 　 　， 求证：　 　 证明：　 　 【分析】（1）直接利用平行线的判定与性质得出题设和结论的正确性； （2）根据同位角相等，两直线平行得出DB∥EC，DF∥AC，然后根据平行线的性质得出结论． 【解答】解：（1）由 ①②，得 ③；由①③，得②；由②③，得①；均正确， 故答案为3 （2）已知∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证：∠A＝∠F， 证明：如图所示： ∵∠1＝∠2，∠1＝∠3（已知）， ∴∠3＝∠2（等量代换）， ∴DB∥EC（同位角相等，两直线平行）， ∴∠D＝∠4（两直线平行，同位角相等）， ∵∠C＝∠D（已知）， ∴∠4＝∠C（等量代换）， ∴DF∥AC（内错角相等，两直线平行）， ∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等）． 证明步骤同上． 故答案为：①∠1＝∠2，②∠C＝∠D；∠A＝∠F； 【点评】此题主要考查了平行线的判定和性质，正确掌握平行线的判定与性质是解题关键． 2．（2024春•姜堰区期末）已知：如图，点D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB上的点． （1）给出下列三个事项：①DF∥AE；②∠FDE＝∠A；③DE∥BA．请你用其中两个事项作为条件，另一个事项作为结论，构造一个真命题，并给出证明； 条件：　 　，结论：　 　.（填序号） 证明： （2）在（1）的条件下，若∠A＝∠BDF＝2∠EDC，求∠AFD的度数． 【分析】（1）任选两个为条件，另一个为结论，根据平行线的性质与判定条件证明即可； （2）根据（1）的结论结合平角的定义和已知条件可得，则∠A＝72°，再根据两直线平行，同旁内角互补即可求出答案． 【解答】（1）解：①②为条件，③为结论，证明如下： ∵DF∥AE， ∴∠A＝∠DFB， ∵∠FDE＝∠A， ∴∠FDE＝∠DFB， ∴DE∥BA； ①③为条件，②为结论，证明如下： ∵DF∥AE，DE∥BA， ∴∠A＝∠DFB，∠FDE＝∠DFB， ∴∠FDE＝∠A； ②③为条件，①为结论，证明如下： ∵DE∥BA， ∴∠FDE＝∠DFB， ∵∠FDE＝∠A， ∴∠A＝∠DFB， ∴DF∥AE； （2）解：∵∠FDE＝∠A，∠A＝∠BDF＝2∠EDC，∠FDE+∠BDF+∠EDC＝180°， ∴， ∴∠A＝72°， ∵DF∥AE， ∴∠AFD＝180°﹣∠A＝108°． 【点评】本题主要考查了命题与定理、平行线的性质与判定，熟练掌握相关知识是解题的关键． 3．（2024春•伊犁州期末）如图，直线AB、CD被EF所截，∠1+∠2＝180°，EM、FN分别平分∠BEF和∠CFE， （1）判定EM与FN之间的位置关系，并证明你的结论； （2）由（1）的结论我们可以得到一个命题：如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组内错角的角平分线互相 　 　 （3）由此可以探究并得到：如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组同位角的角平分线又具有怎样的位置关系？并证明你的结论；（要求作图证明结论） 【分析】（1）根据邻补角结合已知条件推出∠1＝∠DFE，进而得到AB∥CD，得到∠BEF＝∠CFE，推出∠3＝∠4，即可得出结论； （2）根据（1）中结论作答即可； （3）同（1）法进行证明即可． 【解答】解：（1）EM∥FN，证明如下： ∵∠2+∠DFE＝180°，∠1+∠2＝180°， ∴∠1＝∠DFE， ∴AB∥CD， ∴∠BEF＝∠CFE， ∵EM、FN分别平分∠BEF和∠CFE， ∴， ∴∠3＝∠4， ∴EM∥FN； （2）由（1）的结论我们可以得到一个命题：如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组内错角的角平分线互相平行； 故答案为：平行； （3）如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组同位角的角平分线互相平行，证明如下： 如图：已知AB∥CD，GI，HJ分别平分∠BGF，∠DHG， 则：∠BGF＝∠DHG，， ∴∠1＝∠2， ∴GI∥HJ， ∴如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组同位角的角平分线互相平行． 【点评】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 4．（2024春•巴林左旗期末）探究：如图①，②，∠ABC与∠EDF，BC与ED交于点H，这两个角的两边分别平行，即AB∥DE，BC∥DF． （1）分别猜想图①，图②中∠ABC与∠EDF的大小关系，并给予证明； （2）一般地，本题“探究”的命题是真命题，请把这个命题写成“如果…，那么…”的形式． 【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补解答； （2）根据（1）中结论总结，得到答案． 【解答】解：（1）图①中，∠ABC＝∠EDF， 证明如下：∵AB∥DE， ∴∠ABC＝∠EHC， ∵BC∥DF， ∴∠EDF＝∠EHC， ∴∠ABC＝∠EDF， 图②中，∠ABC+∠EDF＝180°， 证明如下：∵AB∥DE， ∴∠ABC＝∠DHC， ∵BC∥DF， ∴∠EDF+∠DHC＝180°， ∴∠ABC+∠EDF＝180°； （2）如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． 【点评】本题考查的是命题与定理、平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 题型九 利用三角形的外角性质求角度 1．（2024秋•武威期末）在图中，∠1+∠2+∠B＝（　　） A．∠ADB B．∠AEC C．∠ACB D．∠DEC 【分析】根据三角形外角的性质解答即可． 【解答】解：∵∠ADC＝∠1+∠B，∠AEC＝∠ADC+∠2， ∴∠AEC＝∠1+∠2+∠B， 故选：B． 【点评】本题主要考查三角形外角的性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键． 2．（2023秋•上虞区期末）一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中∠α的度数是（　　） A．55° B．60° C．65° D．75° 【分析】先根据题意求出∠1，再根据三角形的外角性质计算，得到答案． 【解答】解：由题意得：∠1＝90°﹣60°＝30°， 则∠α＝45°+30°＝75°， 故选：D． 【点评】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 3．（2023秋•襄州区期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE平分∠ADC，∠B＝55°，∠C＝35°，则∠ADE＝（　　） A．50° B．55° C．60° D．62.5° 【分析】根据三角形的内角和定理可得∠BAC＝90°，再利用角平分线的性质得到∠BAD＝45°，最后利用三角形外角的性质得出结果． 【解答】解：∵∠B＝55°，∠C＝35°， ∴∠BAC＝180°﹣55°﹣35°＝90°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝45°， ∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝55°+45°＝100°， ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝50°， 故选：A． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的性质及三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和及三角形外角的性质． 4．如图，在△ABC中，∠CAE＝18°，∠C＝42°，∠CBD＝27°． （1）求∠AFB的度数； （2）若∠BAF＝2∠ABF，求∠BAF的度数． 【分析】（1）利用三角形外角的性质即可得出答案； （2）利用三角形外角的性质得3∠ABF＝93°，从而得出答案． 【解答】解：（1）∵∠AEB＝∠C+∠CAE，∠C＝42°，∠CAE＝18°， ∴∠AEB＝60°， ∵∠CBD＝27°， ∴∠BFE＝180°﹣27°﹣60°＝93°， ∴∠AFB＝180°﹣∠BFE＝87°； （2）∵∠BAF＝2∠ABF，∠BFE＝93°， ∴3∠ABF＝93°， ∴∠ABF＝31°， ∴∠BAF＝62°． 【点评】本题主要考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和是解题的关键． 5．（2023秋•两江新区期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝70°，△ABC的外角∠BCD的平分线CE交AB的延长线于点E． （1）求∠BCE的度数； （2）过点D作DF∥CE，交AB的延长线于点F，求∠F的度数． 【分析】（1）根据三角形的外角性质求出∠BCD，再根据角平分线的定义求出∠BCE； （2）根据三角形的外角性质求出∠BEC，再根据平行线的性质求出∠F． 【解答】解：（1）∵∠A＝30°，∠ABC＝70°， ∴∠BCD＝∠A+∠ABC＝100°， ∵CE是∠BCD的平分线， ∴∠BCE∠BCD＝50°； （2）∵∠BCE＝50°，∠ABC＝70°， ∴∠BEC＝∠ABC﹣∠BCE＝20°， ∵DF∥CE， ∴∠F＝∠BEC＝20°． 【点评】本题考查的是三角形的外角性质、平行线的性质，熟记三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 题型十 利用三角形的外角性质证明角的数量关系 1．（2023秋•无棣县期末）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．试说明：． 【分析】先根据三角形外角的性质得出∠B+∠BAC＝∠ACD，再由角平分线的定义得出∠ECD（∠B+∠BAC），同理可得∠ECD＝∠E+∠B，进而得出结论． 【解答】证明：∵∠ACD是△ABC的外角， ∴∠B+∠BAC＝∠ACD， ∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线， ∴∠ECD（∠B+∠BAC）， ∵∠ECD是△BCE的外角， ∴∠ECD＝∠E+∠B， ∴（∠B+∠BAC）＝∠E+∠B， ∴∠E（∠BAC﹣∠B）． 【点评】本题考查三角形的外角性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 2．（2023秋•东港区校级月考）（1）如图，已知∠A＝60°，∠B＝30°，∠C＝20°，求∠BDC的度数． （2）试猜想：∠A，∠B，∠C和∠BDC有什么数量关系？请说明理由． 【分析】（1）连接AD并延长，根据三角形外角的性质分别表示出∠BDE和∠CDE，因为∠BDC是∠BDE和∠CDE的和，从而不难求得∠BDC的度数； （2）由（1）可知∠BDC＝∠BDE+∠CDE＝（∠BAD+∠B）+（∠CAD+∠C）＝∠B+∠BAC+∠C． 【解答】解：（1）连接AD并延长， ∵∠BDE＝∠BAD+∠B，∠CDE＝∠CAD+∠C， ∴∠BDC＝∠BDE+∠CDE＝（∠BAD+∠B）+（∠CAD+∠C）＝∠B+∠BAC+∠C， ∵∠A＝60°，∠B＝30°，∠C＝20°， ∴∠BDC＝110°； （2）∠BDC＝∠B+∠BAC+∠C． 由（1）可知：∠BDC＝∠BDE+∠CDE＝（∠BAD+∠B）+（∠CAD+∠C）＝∠B+∠BAC+∠C． 即：∠BDC＝∠B+∠BAC+∠C． 【点评】此题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键． 3．（2024秋•鹿邑县期中）如图，∠ACE是△ABC的一个外角，CD平分∠ACE，交BA的延长线于点D． （1）若∠ACB＝∠B＝20°，求∠D的度数； （2）求证：∠BAC＝∠B+2∠D． 【分析】（1）先求出∠ACE，再利用三角形外角定理即可求解； （2）先证明，∠BAC＝∠D+∠ACD，再通过角平分线，利用三角形外角定理进行角的转换即可证明． 【解答】（1）解：∵∠ACB＝20°， 又∵∠ACE＝180°﹣∠ACB， ∴∠ACE＝160°， 又∵CD平分∠ACE， ∴∠DCE∠ACE＝80°， 又∵∠DCE＝∠B+∠D，∠B＝20°， ∴∠D＝60°． （2）证明：∵CD平分∠ACE， ∴∠ACD＝∠DCE， 又∵∠BAC＝∠D+∠ACD， ∴∠BAC＝∠D+∠DCE， 又∵∠DCE＝∠B+∠D， ∴∠BAC＝∠D+∠B+∠D＝∠B+2∠D． 【点评】本题主要考查了三角形外角性质的运用，即三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 4．（2023秋•端州区期末）【问题】 如图①，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，若∠A＝82°，则∠BEC＝　 　；若∠A＝a°，则∠BEC＝　 ． 【探究】 （1）如图②，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，若∠A＝a°，则∠BEC＝　 　； （2）如图③，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC和∠A有怎样的关系？请说明理由； （3）如图④，O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由． 【分析】问题：利用三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义求出∠EBC+∠ECB，即可求出∠BEC； 探究：（1）利用三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，再根据三等分线的定义求出∠EBC+∠ECB，即可求出∠BEC； （2）由三角形外角性质可得∠ACD＝∠A+∠ABC，∠2＝∠BOC+∠1，再根据角平分线的定义可得∠ABC＝2∠1，∠ACD＝2∠2，代入∠A+∠ABC＝∠ACD即可求解； （3）根据角平分线的定义可得，，进而得到，再根据三角形内角和定理即可求解． 【解答】解：问题：若∠A＝82°， 则∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝98°， ∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB， ∴，， ∴， ∴∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝131°， 故答案为：131°； 若∠A＝α°， 则∠ABC+∠ACB＝180°﹣α°， ∵CE平分∠ACB，BE平分∠ABC， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （1）如图2，∵∠A＝α°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α°， ∵BD、BE三等分∠ABC，CD、CE三等分∠ACB， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）． 理由：由三角形的外角性质得，∠2＝∠BOC+∠1，∠ACD＝∠A+∠ABC， ∵O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点， ∴∠ACD＝2∠2，∠ABC＝2∠1， ∴∠A+∠ABC＝∠ACD＝2（∠BOC+∠1）＝2∠BOC+2∠1＝2∠BOC+∠ABC， ∴∠A＝2∠BOC； （3）． 理由：∵O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点， ∴， ， 在△OBC中， ∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB ， ， ∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角性质，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 题型十 利用全等三角形的性质求角 1．（2024秋•南京月考）已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（　　） A．50° B．58° C．60° D．72° 【分析】根据已知数据找出对应角，根据全等得出∠A＝∠D＝50°，∠F＝∠C＝72°，根据三角形内角和定理求出即可． 【解答】解： ∵△ABC和△DEF全等，AC＝DF＝b，DE＝AB＝a， ∴∠1＝∠B，∠A＝∠D＝50°，∠F＝∠C＝72°， ∴∠1＝180°﹣∠D﹣∠F＝58°， 故选：B． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质的应用，能根据全等三角形的性质得出∠A＝∠D＝50°，∠F＝∠C＝72°是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 2．（2024秋•南康区校级期末）如图，△ABC≌△DCB，∠DBC＝40°，则∠BOC的度数为（　　） A．100° B．80° C．40° D．140° 【分析】利用全等三角形的性质证明∠ACB＝∠DBC＝40°，可得结论． 【解答】解：∵△ABC≌△DCB， ∴∠ACB＝∠DBC＝40°， ∴∠BOC＝180°﹣∠ACB﹣∠DBC＝180°﹣40°﹣40°＝100°． 故选：A． 【点评】本题考查全等三角形的性质和三角形内角和定理，解题的关键是掌握全等三角形的对应角相等和三角形的内角和为180°． 3．（2024秋•上杭县期中）如图所示，△ABC≌△ADE，∠CAB＝40°，∠EAB＝15°，则∠BAD的度数为（　　） A．85° B．75° C．65° D．55° 【分析】根据全等三角形的性质可得∠EAD＝∠CAB＝40°，进而得到答案． 【解答】解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠EAD＝∠CAB＝40°， ∵∠EAB＝15°， ∴∠BAD＝∠EAB+∠EAD＝15°+40°＝55°， 故选：D． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等． 4．（2023秋•通河县期末）如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．65° 【分析】由全等三角形的性质可求得∠ACD＝65°，由直角三角形的性质可得∠CAF+∠ACD＝90°，进而可求解∠CAF的度数． 【解答】解：∵△ABC≌△DEC， ∴∠ACB＝∠DCE， ∵∠BCE＝65°， ∴∠ACD＝∠BCE＝65°， ∵AF⊥CD， ∴∠AFC＝90°， ∴∠CAF+∠ACD＝90°， ∴∠CAF＝90°﹣65°＝25°， 故选：A． 【点评】本题主要考查全等三角形的性质，由全等三角形的性质求解∠ACD的度数是解题的关键． 5．（2024秋•科左中旗期中）如图，△ADC≌△AFB，∠DAB＝20°，DA∥BF，DC、BF交于E，∠FEC＝110°． （1）求∠FAC的度数； （2）AF平行于DC吗？说明理由； （3）求∠BAC的度数． 【分析】（1）由全等三角形的性质可知∠DAC＝∠FAB，然后证明∠DAB＝∠FAC即可； （2）由DA∥BF可知∠DAF+∠F＝180°，由全等三角形的性质可知：∠D＝∠F，从而可得到∠DAF+∠D＝180°； （3）由AF∥DC，可知∠F＝∠FEC＝110°，然后由DA∥BF可求得∠DAF＝70°，从而可求得∠BAC的度数． 【解答】解：（1）∵△ADC≌△AFB， ∴∠DAC＝∠FAB． ∴∠DAC﹣∠BAC＝∠FAB﹣∠BAC． ∴∠FAC＝∠DAB＝20°； （2）∵DA∥BF， ∴∠DAF+∠F＝180°． ∵△ADC≌△AFB， ∴∠D＝∠F． ∴∠DAF+∠D＝180°． ∴AF∥DC． （3）∵AF∥DC， ∴∠F＝∠FEC＝110°． ∵AD∥BF， ∴∠DAF+∠F＝180°． ∴∠DAF＝180°﹣110°＝70°． ∠BAC＝∠DAF﹣∠FAC﹣∠DAB＝70°﹣20°﹣20°＝30°． 【点评】本题主要考查的是全等三角形的性质、平行线的性质和判定，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 题型十一利用全等三角形的性质求线段长 1．（2024秋•瓦房店市月考）如图，△ABC≌△DEC，B，C，D在同一直线上，且CE＝6，BD＝15，则AC长（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【分析】根据全等三角形对应边相等得到BC＝CE＝6，CD＝AC，再根据线段的和差求解即可． 【解答】解：∵△ABC≌△DEC， ∴BC＝CE＝6，CD＝AC， ∵BD＝15， ∴AC＝CD＝BD﹣BC＝15﹣6＝9， 故选：A． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键． 2．（2024秋•昌邑区校级月考）如图，△ABC≌△DCB，若AC＝7，BE＝5，则DE的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据全等三角形的对应边相等推知BD＝AC＝7，然后根据线段的和差即可得到结论． 【解答】解：∵△ABC≌△DCB， ∴BD＝AC＝7， ∵BE＝5， ∴DE＝BD﹣BE＝2， 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，仔细观察图形，根据已知条件找准对应边是解决本题的关键． 3．（2024秋•凉州区期中）如图，△AOD≌△BOC，∠D与∠C是对应角，AD与BC是对应边，若AC＝10cm，OB＝2cm，则OD的长为（　　） A．10cm B．8cm C．4cm D．2cm 【分析】由△AOD≌△BOC得到OA＝OB＝2cm，DO＝CO，进而可求得CO的长，即可解答． 【解答】解：∵△AOD≌△BOC，AC＝10cm，OB＝2cm， ∴OA＝OB＝2cm，DO＝CO， ∴CO＝AC﹣AO＝10﹣2＝8（cm）， ∴OD＝OC＝8cm． 故选：B． 【点评】本题考查全等三角形的性质，熟知全等三角形的对应边相等是解题的关键． 4．（2023秋•泗洪县期末）如图，△ABD≌△EBC，AB＝4cm，BC＝7cm，则DE＝　 　cm． 【分析】根据全等三角形的性质得出BE＝AB＝4cm，BD＝BC＝7cm，代入DE＝BD﹣BE求出即可． 【解答】解：∵△ABD≌△EBC，AB＝4cm，BC＝7cm， ∴BE＝AB＝4cm，BD＝BC＝7cm， ∴DE＝BD﹣BE＝3（cm）， 故答案为：3． 【点评】本题考查了全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应边相等． 5．（2024秋•盐都区月考）如图，△EFG与△NMH全等，在△EFG中，EG是最短的边，在△NMH中，NH是最短的边，∠F和∠M是对应角，且EG＝2.1cm，FH＝1.9cm，MH＝3.5cm．求线段NG的长度． 【分析】由全等三角形的性质得到NH＝EG＝2.1cm，FG＝MH＝3.5cm，求出HG＝FG﹣FH＝1.6（cm），即可得到GN＝NH﹣HG＝0.5（cm）． 【解答】解：∵△EFG与△NMH全等，EG是最短的边，NH是最短的边，∠F和∠M是对应角， ∴NH＝EG＝2.1cm，FG＝MH＝3.5cm， ∵FH＝1.9cm， ∴HG＝FG﹣FH＝3.5﹣1.9＝1.6（cm）， ∴NG＝NH﹣HG＝2.1﹣1.6＝0.5（cm）． 【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的性质． 题型十二 利用全等三角形的性质求两线段的位置关系 1．（2023秋•无为市月考）如图，已知△ABE≌△CDF，且B，E，F，D四点在同一直线上，线段AE和线段CF在位置和数量上存在什么关系？并说明理由． 【分析】利用△ABE≌△CDF，可以得出AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，又∠AEB+∠AEF＝180°，∠CFD+∠CFE＝180°有∠AEF＝∠CFE，从而求证． 【解答】解：结论：AE∥CF，AE＝CF． 理由：∵△ABE≌△CDF， ∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD， ∵∠AEB+∠AEF＝180°，∠CFD+∠CFE＝180°， ∴∠AEF＝∠CFE， ∴AE∥CF． 【点评】此题考查了全等三角形的性质和平行线的判定，熟练掌握全等三角形的性质，平行线的判定和等角的补角相等是解题的关键． 2．如图，已知△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EH＝2． （1）求∠F的度数与DH的长； （2）求证：AB∥DE． 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据全等三角形的性质得出AB＝DE，∠F＝∠ACB，即可得出答案； （2）根据全等三角形的性质得出∠B＝∠DEF，根据平行线的判定得出即可． 【解答】解：（1）∵∠A＝85°，∠B＝60°， ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝35°， ∵△ABC≌△DEF，AB＝8， ∴∠F＝∠ACB＝35°，DE＝AB＝8， ∵EH＝2， ∴DH＝8﹣2＝6； （2）证明：∵△ABC≌△DEF， ∴∠DEF＝∠B， ∴AB∥DE． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的判定的应用，解此题的关键是能根据全等三角形的性质得出AB＝DE，∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等，难度适中． 3．如图，已知△ACE≌△BCD，AC⊥BC，AE与BD交于点F，试探究AE与BD有怎样的大小关系和位置关系，并说明理由． 【分析】由全等可得∠A＝∠B，设AE与BC交于点G，由AC⊥BC可得∠ACB＝90°，所以∠A+∠AGC＝90°，又由对顶角相等可得∠AGC＝∠BGF，则∠BGF+∠B＝90°，进而可得∠BFG＝90°，即AE⊥BD． 【解答】解：AE＝BD且AE⊥BD，理由如下： ∵△ACE≌△BCD， ∴AE＝BD，∠A＝∠B， 设AE与BC交于点G， ∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°， ∵∠A+∠AGC＝90°， ∵∠AGC＝∠BGF， ∴∠BGF+∠B＝90°， ∴∠BFG＝90°，即AE⊥BD． 【点评】本题主要考查全等三角形的性质与判定，垂直的定义和余角等相关知识，熟知相关知识是解题关键． 4．（2024秋•玉山县校级月考）如图所示，E为线段AB上一点，△ACE≌△BED． （1）求证：AC+BD＝AB； （2）试猜想线段CE与DE满足什么条件时，能保证AC⊥AB，并证明你的结论． 【分析】（1）由全等三角形的性质可得AC＝BE，BD＝AE，结合图形即可证明； （2）当CE⊥DE时，则∠CED＝90°，进而得到∠CEA+∠DEB＝90°，由全等三角形的性质得到∠C＝∠DEB，则∠CEA+∠C＝90°，进一步可得∠CAE＝90°，即AC⊥AB． 【解答】（1）证明：∵△ACE≌△BED， ∴AC＝BE，BD＝AE， ∴AC+BD＝AE+BE＝AB． （2）解：CE⊥DE．理由如下： 当CE⊥DE时，则∠CED＝90°， ∴∠CEA+∠DEB＝90°． ∵△ACE≌△BED， ∴∠C＝∠DEB， ∴∠CEA+∠C＝90°， ∴∠CAE＝180°﹣∠C﹣∠CEA＝180°﹣90°＝90°， ∴AC⊥AB． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 题型十三 全等三角形判定的条件 1．（2024秋•防城区期中）如图，AB＝CB，若要判定△ABD≌△CBD，则需要补充的一个条件是（　　） A．CB＝DB B．AB＝DB C．BD＝BD D．AD＝CD 【分析】根据全等三角形的判定定理即可得到结论． 【解答】解：如图，在△ABD与△CBD中， ∵AB＝CB，BD＝BD，AD＝CD， ∴△ABD≌△CBD（SSS）， 故选：D． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 2．（2024秋•石阡县期中）如图，已知点A，C，B，D在同一条直线上，MB＝ND，∠ABM＝CDN，添加下列条件中的一个后，仍不能判定△ABM≌△CDN的是（　　） A．AM＝CN B．∠M＝∠N C．AC＝BD D．AM∥CN 【分析】根据全等三角形的判定定理即可一一判定． 【解答】解：MB＝ND，∠ABM＝CDN， A、当AM＝CN时，两边及其中一边的对角对应相等，不能判定△ABM≌△CDN，故该选项符合题意； B、当∠M＝∠N时，根据ASA可判定△ABM≌△CDN，故该选项不符合题意； C、当AC＝BD时，已知点A，C，B，D在同一条直线上，可得AB＝CD，根据SAS可判定△ABM≌△CDN，故该选项不符合题意； D、当AM∥CN时，可得∠A＝∠DCN，根据AAS可判定△ABM≌△CDN，故该选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握和运用全等三角形的判定定理是解决本题的关键． 3．（2024秋•和平区校级期末）如图，已知∠A＝∠D，AC＝DF，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（　　） A．∠C＝∠F B．AE＝BD C．BC＝EF D．BC∥EF 【分析】根据全等三角形的判断方法对各选项进行判断． 【解答】解：∵∠A＝∠D，AC＝DF， ∴当添加∠C＝∠F时，△ABC≌△DEF（ASA）； 当添加AE＝BD时，AB＝DE，△ABC≌△DEF（SAS）； 当添加BC＝EF时，不能判断△ABC≌△DEF； 当添加BC＝EF时，∠ABC＝∠DEF，△ABC≌△DEF（AAS）． 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 4．（2024秋•东台市月考）如图，∠CAB＝∠DBA，只需补充一个条件　 　，就可以得到△ABC≌△BAD． 【分析】根据题意可得，∠CAB＝∠DBA，AB＝BA，据此结合全等三角形的判定定理添加条件即可． 【解答】解：添加∠CBA＝∠DAB，证明如下： ∵∠CAB＝∠DBA，AB＝BA， 在△ABC和△BAD中， ， ∴△ABC≌△BAD（ASA）， 故答案为：∠CBA＝∠DAB（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 5．（2023秋•海曙区期末）如图，AE＝AD，请你添加一个条件：　 　，使△ABE≌△ACD． 【分析】要使△ABE≌△ACD，且已知AE＝AD，图中可以看出有一个共同的角∠A，则可以用AAS、SAS来判定． 【解答】解：添加AB＝AC． 在△ABE与△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（SAS）； 添加∠B＝∠C． 在△ABE与△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（AAS）． 故答案为：AB＝AC（答案不唯一）． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（适合于两直角三角形）．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键． 题型十四 全等三角形判定的证明 1．（2024秋•天河区校级月考）如图，在△ABC和△AED中，AB＝AE，∠BAC＝∠EAD，AC＝AD． 求证：△ABC≌△AED． 【分析】利用边角边证明全等即可． 【解答】证明：在△ABC和△AED中， ， ∴△ABC≌△AED（SAS）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 2．（2023秋•科尔沁区期末）如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，AB＝DE，BF＝CE，AB∥DE，求证：△ABC≌△DEF． 【分析】依据等式的性质可证明BC＝EF，依据平行的性质可证明∠B＝∠E，最后依据SAS进行证明即可． 【解答】证明：∵BF＝CE， ∴BF+FC＝CE+FC，即BC＝EF． ∵AB∥DE， ∴∠B＝∠E． 在△ABC和△DEF中 ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 3．（2023秋•兴文县期末）如图，AC是∠BAE的平分线，点D是线段AC上的一点，∠C＝∠E，AB＝AD． 求证：△ABC≌△ADE． 【分析】根据全等三角形的判定：AAS证明△BAC≌△DAE，即可得BC＝DE． 【解答】证明：∵AC是∠BAE的平分线， ∴∠BAC＝∠DAE， 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（AAS）， 【点评】本题考查了全等三角形的判定，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定． 4．（2024•陇县二模）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线，E为AC上一点，EF⊥AB于点F，AE＝CB．求证：△AEF≌△CBD． 【分析】先证明∠A＝∠BCD，∠EFA＝∠BDC＝90°，根据AAS即可证明△AEF≌△CBD． 【解答】证明：在Rt△ABC中，∠B+∠A＝90°． ∵DC⊥AB， ∴∠B+∠BCD＝90°． ∴∠A＝∠BCD． ∵EF⊥AB， ∴∠EFA＝∠BDC＝90°． ∵AE＝CB， ∴△AEF≌△CBD（AAS）． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 5．（2024秋•芜湖期中）已知：如图，△ABC与△A′B′C′，AC＝A′C′，AB＝A′B′，CD是△ABC的中线，C′D′是△A′B′C′的中线，且CD＝C′D′． 求证：△ABC≌△A′B′C′． 【分析】先根据三角形中线的定义证明AD＝A′D′，再利用SSS即可证明△ADC≌△A′D′C′得∠A＝∠A′，再利用SAS即可证明结论． 【解答】证明：∵CD是△ABC的中线，C′D′是△A′B′C′的中线， ∴，， 又∵AB＝A′B′， ∴AD＝A′D′， 在△ADC和△A′D′C′中， ， ∴△ADC≌△A′D′C′（SSS）， ∴∠A＝∠A′， 在△ABC和△A′B′C′中， ， ∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，三角形中线的定义，全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 题型十五 全等三角形判定与性质的综合应用 1．（2024秋•防城区期中）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，∠AEC＝∠BFD，AE∥BF． （1）求证：CE＝DF； （2）若CD＝7，AB＝13，求AC的长． 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理证明△ACE≌△DBF，利用全等三角形的性质即可得征； （2）由全等三角形的性质得AC＝BD，因为AC+CD+BD＝AB，且AB＝13，CD＝7，所以AC+7+AC＝13，则AC＝3． 【解答】（1）证明：∵AE∥BF． ∴∠A＝∠B， 在△ACE和△BDF中， ， ∴△ACE≌△BDF（ASA）， ∴CE＝DF； （2）∵△ACE≌△BDF， ∴AC＝BD， ∵AC+CD+BD＝AB，且AB＝13，CD＝7， ∴AC+7+AC＝13， ∴AC＝3， ∴AC的长是3． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键． 2．（2023秋•防城区期末）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，∠A＝∠B，AD＝BC． （1）求证：△ACE≌△BDF； （2）若AB＝8，AC＝2，求CD的长． 【分析】（1）直接利用SAS证明△ACE≌△BDF即可； （2）根据全等三角形的性质得到BD＝AC＝2，则AD＝AB﹣BD＝8﹣2＝6，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 【解答】（1）证明：∵AD＝BC， ∴AD﹣CD＝BC﹣CD，即AC＝BD， 在△ACE和△BDF中， ， ∴△ACE≌△BDF（SAS）； （2）解：∵△ACE≌△BDF，AC＝2， ∴BD＝AC＝2， 又∵AB＝8， ∴CD＝AB﹣BD﹣AC＝8﹣2﹣2＝4． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键． 3．（2023秋•江陵县期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AC与DE相交于点O，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF． （1）求证：AC∥DF； （2）若∠B＝65°，∠F＝35°，求∠EOC的度数． 【分析】（1）由AB∥DE得∠B＝∠DEF，根据BE＝CF得BC＝EF，可证明△CAE≌△DAE（SAS），根据全等三角形的性质和平行线的性质即可证得结论； （2）由全等三角形的性质得到∠DEF＝65°，∠ACB＝35°，根据三角形内角和定理即可求出∠EOC． 【解答】证明：（1）∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DEF， ∵BE＝CF， ∴BE+EC＝CF+EC， ∴BC＝EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴∠ACB＝∠F， ∴AC∥DF； （2）解：由（1）得∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F， ∴∠DEF＝∠B＝65°，∠ACB＝∠F＝35°， 在△EOC中，∠DEF+∠ACB+∠EOC＝180°， ∴∠EOC＝180°﹣∠DEF﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣35°＝80°． 【点评】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，根据判定三角形全等的方法证得△ABC≌△DEF是解决问题的关键． 题题十六 全等三角形的应用 1．（2024秋•朝阳区期中）如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA．连接BC并延长到E，使CE＝CB．连接DE，那么DE的长就是A、B的距离．解决这个问题依据的数学道理是（　　） A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 D．三边分别相等的两个三角形全等 【分析】根据题意可知在△ACB和△DCE中，有两边及其夹角分别相等，即可证明△ACB≌△DCE（SAS），即得出结论． 【解答】解：在△ACB和△DCE中， ， ∴△ACB≌△DCE（SAS）， ∴AB＝DE． 综上可知，解决这个问题依据的数学道理是两边及其夹角分别相等的两个三角形全等． 故选：A． 【点评】本题考查全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． 2．（2024秋•东港区期中）某中学数学兴趣小组的同学在学习了三角形相关知识后，尝试了制作雨伞的实践活动．康康所在的小组设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得AB＝AC，E，F分别是AB，AC的中点，且ED＝DF，那么△AED≌△AFD的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【分析】由E，F分别是AB，AC的中点，得出AE＝AF；根据三边对应相等，证明三角形全等即可． 【解答】解：∵E，F分别是AB，AC的中点，AB＝AC， ∴AE＝AF， 在△AED与△AFD中， ， ∴△AED≌△AFD（SSS）． 故选：D． 【点评】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 3．（2023秋•望花区期末）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，若DF＝6m，DE＝8m，AD＝4m，则BF等于（　　） A．18m B．16m C．12m D．10m 【分析】先根据“HL“定理判断出Rt△ABC≌Rt△DEF，再根据全等三角形的性质求出AB，即可求出BF． 【解答】解：由题意知，滑梯、墙、地面正好构成直角三角形， 在Rt△ABC和Rt△DEF中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）， ∴AB＝DE＝8m， ∴BF＝AB+AD+DF＝8+4+6＝18（m）． 故选：A． 【点评】本题考查的是全等三角形的判定及性质，熟练掌握直角三角形全等的判定是解决问题的关键． 4．（2024春•修水县期末）小明利用一根长3 m的竿子来测量路灯AB的高度．他的方法如下：如图，在路灯前选一点P，使BP＝3m，并测得∠APB＝70°，然后把竖直的竿子CD（CD＝3m）在BP的延长线上左右移动，使∠CPD＝20°，此时测得BD＝11.2m．请根据这些数据，计算出路灯AB的高度． 【分析】根据题意可得△CPD≌△PAB（ASA），进而利用AB＝DP＝DB﹣PB求出即可． 【解答】解：∵∠CPD＝20°，∠APB＝70°，∠CDP＝∠ABP＝90°， ∴∠DCP＝∠APB＝70°． 在△CPD和△PAB中， ， ∴△CPD≌△PAB（ASA）． ∴DP＝AB． ∵BD＝11.2m，BP＝3m， ∴DP＝BD﹣BP＝8.2m，即AB＝8.2m． 答：路灯AB的高度是8.2m． 【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，根据题意得出△CPD≌△PAB是解题关键． 5．（2024秋•兴义市期中）某段河流的两岸是平行的，某数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就能测得河的宽度．他们是这样做的： ①在河流的岸边点B处，选对岸正对的一棵树A； ②沿河岸直行15m处有一棵树C，继续前行15m到达点D处； ③从点D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的点E处时，停止行走； ④测得DE的长为10m． 根据测量数据求河的宽度． 【分析】利用“角边角”证明△ABC和△EDC全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB＝DE． 【解答】解：河流的两岸是平行的，由题意得：AB⊥BC，DE⊥BC，BC＝CD＝15， ∴∠ABC＝∠EDC＝90°， 在△ABC和△EDC中， ， ∴△ABC≌△EDC（ASA）， ∴AB＝DE， ∵DE的长为10m， ∴AB＝DE＝10m， 答：河宽为10m． 【点评】本题考查全等三角形的应用，解答本题的关键要明确：在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解． 题型十七 角平分线的性质 1．（2024秋•宜州区期中）如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为15，AB＝6，DE＝3，则AC的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．2 【分析】作DF⊥AC于F，则DF＝DE＝3，再根据S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝15列式计算即可得解． 【解答】解：如图，作DF⊥AC于F， 由条件可知DF＝DE＝3， ∵△ABC的面积为15， ∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝15，即， ∴， ∴AC＝4， 故选：B． 【点评】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线定理是关键． 2．（2023秋•大观区校级期末）如图，三条公路l1、l2、l3两两相交，计划建一座加油站，满足到三条公路的距离相等，则可供选址的地方有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据加油站要到三条公路的距离都相等，可知加油站必须是三条相交直线所组成的三角形的两内角或两外角的角平分线的交点，而相邻两外角平分线有3个交点，内角平分线的交点有1个，据此即可求解． 【解答】解：∵加油站满足到三条公路的距离相等， ∴加油站应该在三条相交直线所组成的三角形的两内角或两外角的角平分线的交点， ∵三角形相邻两外角平分线的交点有3个，内角平分线的交点有1个， ∴加油站可供选址的地方有3+1＝4（个）， 故选：D． 【点评】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键． 3．（2023秋•汉阴县期末）如图，已知在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，连接AO．求证：AO平分∠BAC． 【分析】根据角平分线的性质定理，想到过点O作OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，证出OE＝OF即可解答． 【解答】证明：过点O作OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F， ∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC， ∴OD＝OE，OD＝OF， ∴OE＝OF， ∴OA平分∠BAC． 【点评】此题考查角平分线的性质，关键是根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答． 4．（2023秋•弥勒市期末）如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝50°，过点D作AC的垂线，交AC于点E，∠CDE＝32°． （1）求∠ADE的度数； （2）若AC＝6，，求AB的长． 【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的概念求解即可； （2）如图所示，过点D作DF⊥AB交AB于点F，根据角平分线的性质定理得到DF＝DE，然后结合得到，然后代数求解即可． 【解答】解：（1）∵DE⊥AC， ∴∠DEC＝90°． ∵∠CDE＝32°， ∴∠C＝58°． ∵∠B＝50°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝72°． ∵AD平分∠BAC， ∴， ∴∠ADE＝180°﹣∠AED﹣∠DAE＝54°； （2）如图所示，过点D作DF⊥AB交AB于点F， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB， ∴DF＝DE． ∵， ∴，即， ∴AB＝8． 【点评】此题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质定理，解题的关键是掌握以上知识点． 5．（2024•凉州区校级三模）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE． （1）求证：DE平分∠ADC； （2）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积． 【分析】（1）过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，先通过计算得出∠FAE＝∠CAD＝40，根据角平分线的性质得EF＝EG，EF＝EH，进而得EG＝EH，据此根据角平分线的性质可得出结论； （2）设EG＝x，由（1）得：EF＝EH＝EG＝x，根据S△ACD＝15，AD＝4，CD＝8可求出x＝2.5，故得EF＝2.5，然后S△ABE＝1/2AB•EF可得出答案． 【解答】（1）证明：过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，如图： ∵EF⊥AB，∠AEF＝50°， ∴∠FAE＝90°﹣50°＝40°， ∵∠BAD＝100°， ∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°， ∴∠FAE＝∠CAD＝40°， 即CA为∠DAF的平分线， 又EF⊥AB，EG⊥AD， ∴EF＝EG， ∵BE是∠ABC的平分线， ∴EF＝EH， ∴EG＝EH， ∴点E在∠ADC的平分线上， ∴DE平分∠ADC； （2）解：设EG＝x， 由（1）得：EF＝EH＝EG＝x， ∵S△ACD＝15，AD＝4，CD＝8， ∴AD•EGCD•EH＝15， 即：4x+8x＝30， 解得：x＝2.5， ∴EF＝x＝2.5， ∴S△ABEAB•EF7×2.5． 【点评】此题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积，理解角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解答此题的关键． 题型十八 线段垂直平分线的性质 1．（2024秋•龙江县期中）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE＝5cm，△ADC的周长为15cm，则△ABC的周长是（　　） A．20cm B．24cm C．25cm D．30cm 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DA，AB＝2AE，根据三角形的周长公式计算即可． 【解答】解：由线段的垂直平分线性质可知：DB＝DA，AB＝2AE＝10cm， ∵△ADC的周长为15cm， ∴△ABC的周长＝AC+BC+AB＝25cm， 故选：C． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 2．（2024秋•长春月考）如图，在△AEF中，尺规作图如下：分别以点E、F为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于G、H两点，作直线GH，交EF于点O，连结AO，则线段AO为三角形的（　　） A．高线 B．中线 C．角平分线 D．都有可能 【分析】可知直线GH为线段EF的垂直平分线，即点O为线段EF的中点，据此即可求得答案． 【解答】解：根据线段垂直平分线的性质可知：直线GH为线段EF的垂直平分线，即点O为线段EF的中点，所以线段AO为三角形的中线． 故选：B． 【点评】本题主要考查线段的垂直平分线和三角形的中线，掌握其性质定理是解决此题的关键． 3．（2024秋•广汉市期中）如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（　　） A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三条角平分线的交点 C．△ABC三边的垂直平分线的交点 D．△ABC三条高所在直线的交点 【分析】由中垂线的性质，即可求解． 【解答】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等， ∴要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是△ABC三边的垂直平分线的交点， 故选：C． 【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等解答即可． 4．（2023秋•仁寿县校级期末）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AC于点D，交AB于点E，若AE＝3，△BCD的周长为8，则△ABC的周长为（　　） A．8 B．11 C．14 D．18 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DB，AB＝2AE＝6，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线， ∴AB＝2AE＝6，DA＝DB， ∵△BCD的周长为8， ∴BD+CD+BC＝8， ∴AD+CD+BC＝8， ∴AC+BC＝8， ∵AB＝6， ∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝6+8＝14， 故选：C． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 5．（2024秋•巴南区月考）如图，在△ABC中，DE垂直平分AB交AC于点E，FG垂直平分BC交AC于点G，连接BE、BG．若△BEG的周长为32，GE＝2．则AC的长为（　　） A．26 B．28 C．30 D．32 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，GB＝GC，根据三角形的周长公式计算即可解答． 【解答】解：∵DE垂直平分AB， 根据线段的垂直平分线的性质可得：EA＝EB， 同理：GB＝GC， 由题意可得：GB+EB+GE＝32， ∴EA+GC+GE＝32，即AC+2GE＝32， ∵GE＝2， ∴AC＝32﹣2×2＝28． 故选：B． 【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 题型十九 尺规作图 1．（2023秋•玄武区期末）如图，用直尺和圆规作∠AOB的平分线OC，则△DOC≌△EOC的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【分析】由作图痕迹可知，OD＝OE，CD＝CE，再结合全等三角形的判定可得答案． 【解答】解：由作图痕迹可知，OD＝OE，CD＝CE， ∵OC＝OC， ∴△DOC≌△EOC（SSS）． ∴△DOC≌△EOC的依据是SSS． 故选：A． 【点评】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定、角平分线的作图方法是解答本题的关键． 2．（2023秋•大观区校级期末）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（　　） A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA 【分析】由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，根据SSS可得到三角形全等． 【解答】解：由作法得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′， ∴△COD≌△C'O'D'（SSS）， ∴∠A′O′B′＝∠AOB． 故选：B． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理． 3．（2023秋•弥勒市期末）如图，在△ABC中，分别以点A和B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD．若△ABC的周长为16，AB＝6，则△ADC的周长是（　　） A．6 B．10 C．16 D．22 【分析】根据基本作图可判断MN为AB的垂直平分线，则根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，由△ABC的周长为16，AB＝6可得AC+BC＝10，则△ADC的周长：AC+CD+AD＝AC+CD+DB＝AC+CB＝10． 【解答】解：由作法可得MN为AB的垂直平分线， 则DA＝DB， ∵△ABC的周长为16，AB＝6， ∴AC+BC＝10， ∴△ADC的周长＝AC+CD+AD＝AC+CD+DB＝AC+CB＝10． 故选：B． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟知线段垂直平分线的作法以及性质是解题的关键． 4．（2024秋•廊坊月考）如图，在△ABC中，根据尺规作图的痕迹，下列四个结论中，一定正确的有（　　）①AF＝CF；②AD＝BD；③AF＝BF；④∠BAF＝∠FBC． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】根据作图痕迹可知，作了AB的垂直平分线DF，作了∠ABC的平分线，两线交于点F，然后根据线段垂直平分线的性质和角平分线定义得AD＝BD，AF＝BF，∠ABF＝∠CBF，再根据等边对等角得∠BAF＝∠ABF，接下来可得∠BAF＝∠FBC，即可得出答案． 【解答】解：在△ABC中，根据尺规作图的痕迹得，DF是AB的垂直平分线，BF平分∠ABC， ∴AD＝BD，AF＝BF， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠BAF＝∠ABF， ∴∠BAF＝∠FBC． 所以②③④正确，不能确定AF和CF的关系． 故选：B． 【点评】本题主要考查了尺规作图，掌握线段垂直平分线的性质，角平分线的定义是解题的关键． 5．（2024秋•温州期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，适当长为半径画弧，交AC，AB于D，E两点，再分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于点M．作射线AM交BC于点F，若BF＝5，BC＝9，则点F到AB的距离为（　　） A．3 B．4 C．4.5 D．5 【分析】过F点作FH⊥AB于H点，利用基本作图得到AM平分∠BAC，则根据角平分线的性质得到FH＝FC，即可得的答案． 【解答】解：过F点作FH⊥AB于H点，如图， ∵BF＝5，BC＝9， ∴FC＝4， 由作图痕迹得AM平分∠BAC， 而FC⊥AC，FH⊥AB， ∴FH＝FC＝4， 点F到AB的距离为4． 故选：B． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图和角平分线的性质，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键． 题型二十 全等三角形在探究性问题中的应用 1．在“教、学、练、评一体化”学习活动手册中，全等三角形专题复习课，学习过七种作辅助线的方法，其中有“截长补短”作辅助线的方法． 截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段； 补短法：延长较短线段和较长线段相等． 这两种方法统称截长补短法． 请用这两种方法分别解决下列问题： 已知，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任一点， 求证：AB﹣AC＞PB﹣PC． 【分析】解法一：在AB上截取AE，使AE＝AC，连接PE，证明△AEP≌△ACP，得PC＝PE，再根据三角形的任意两边之差小于第三边证明即可； 解法二：延长AC到D，使AD＝AB，连接PD，证明△ADP≌△ABP，得PD＝PB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边证明即可． 【解答】解：解法一：如图，在AB上截取AE，使AE＝AC，连接PE， 在△AEP和△ACP中， ， ∴△AEP≌△ACP（SAS）， ∴PE＝PC， 在△PBE中，BE＞PB﹣PE， 即AB﹣AC＞PB﹣PC； 解法二：如图，延长AC到D，使AD＝AB，连接PD， 在△ADP和△ABP中， ， ∴△ADP≌△ABP（SAS）， ∴PD＝PB， 在△PCD中，CD＞PD﹣PC， 即AB﹣AC＞PB﹣PC． 【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 2．阅读材料并完成习题： 在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若AC＝5cm，求四边形ABCD的面积． 解：延长线段CB到E，使得BE＝CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE＝AC＝5，∠EAB＝∠CAD，则∠EAC＝∠EAB+∠BAC＝∠DAC+∠BAC＝∠BAD＝90°，得S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝S△ABC+S△ABE＝S△AEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积． （1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为 　 　cm2． （2）请你用上面学到的方法完成下面的习题． 如图2，已知FG＝FN＝HM＝GH+MN＝5cm，∠G＝∠N＝90°，求五边形FGHMN的面积． 【分析】（1）根据题意，可以计算出等腰直角三角形AEC的面积，从而可以得到四边形ABCD的面积； （2）根据题意，作出合适的辅助线，然后三角形全等的判定和性质，可以求得四边形HFOM的面积，从而可以得到五边形FGHMN的面积． 【解答】解：（1）由题意可得， AE＝AC＝5，∠EAC＝90°， 则△EAC的面积是：（cm2）， 即四边形ABCD的面积为12.5cm2， 故答案为：12.5； （2）连接FH、FM，延长MN到O，截取NO＝GH， 在△GFH和△NFO中， ， ∴△GFH≌△NFO（SAS）， ∴FH＝FO， ∵FG＝FN＝HM＝GH+MN＝2cm，GH＝NO， ∴HM＝OM， 在△HFM和△OFM中， ， ∴△HFM≌△OFM（SSS）， ∵△OFM的面积是：cm2， ∴△HFM的面积是12.5cm2， ∴四边形HFOM的面积是25cm2， ∴五边形FGHMN的面积是25cm2． 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 3．（2024春•平房区期末）在△ABC中，BC和AC边上的高AD、BE交于点F，DF＝CD． （1）如图1，求证：∠DAC＝∠CBE； （2）如图1，求∠ABC的度数； （3）如图2，延长BA到点G，过点G作BE的垂线交BE的延长线于点H，已知GH＝BE，BF＝5，AE＝2，CG＝10，求BH的长． 【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余及等角的余角相等即可得出结论； （2）证△DAC和△DBE全等得BD＝AD，从而得△ABD为等腰直角三角形，进而可得∠ABC的度数； （3）在HB上截取HM＝CE，连接CM，先证△BEC和△GHM全等得，GM＝BC，再证∠BGM＝∠ABC＝45°，进而可依据“SAS”判定△BGM和△GBC全等，从而得CG＝MB，由此可得线段CE、CG、BH的数量关系． 【解答】（1）证明：∵△ABC的高AD、BE交于点F，如图1所示： ∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∠AEB＝90°， ∴∠DAC+∠1＝90°，∠CBE+∠2＝90°， ∵∠1＝∠2， ∴∠DAC＝∠CBE （2）解：在△DAC和△DBE中， ， ∴△DAC≌△DBE（AAS）， ∴BD＝AD， ∴△ABD为等腰直角三角形， ∴∠ABC＝45°； （3）解：CE、CG、BH的数量关系是：CE+CG＝BH，证明如下： 在HB上截取HM＝CE，连接CM，如图2所示： ∵BE是△ABC的高，GH⊥BH， ∴∠H＝∠BEC＝90°，∠BGH＝90°﹣∠3， 在△BEC和△GHM中， ， ∴△BEC≌△GHM（SAS）， ∴GM＝BC，∠1＝∠2， 由（2）可知：∠ABC＝45°，即∠2+∠3＝45°， ∴∠BGM＝∠BGH﹣∠1＝90°﹣∠3﹣∠1＝90°﹣（∠3+∠2）＝45°， ∴∠BGM＝∠ABC＝45°， 即∠BGM＝∠GBC， 在△BGM和△GBC中， ， ∴△BGM≌△GBC（SAS）， ∴CG＝MB， ∴CE+CG＝MH+MB＝BH． ∵AC＝BF＝5，AE＝2， ∴CE＝3， ∵CG＝10， ∴BH＝CE+CG＝13． 【点评】此题主要考查了三角形的高，全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，理解三角形的高，熟练掌握全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键，难点是正确地作出辅助线，构造全等三角形． 4．（2023春•碑林区校级期中）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到M，使DM＝AD，连接BM． 【探究发现】：（1）图1中AC与BM的数量关系是 　 　，位置关系是 　 ； 【初步应用】：（2）如图2，在△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．（提示：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．例如：若3x＜6，则x＜2．） 【探究提升】：（3）如图3，AD是△ABC的中线，过点A分别向外作AE⊥AB、AF⊥AC，使得AE＝AB，AF＝AC，延长DA交EF于点P，判断线段EF与AD的数量关系和位置关系，请说明理由． 【分析】（1）证△ADC≌△MDB（SAS），得AC＝BM，∠CAD＝∠M，再由平行线的判定即可得出AC∥BM， （2）延长AD到M，使DM＝AD，连接BM，由（1）可知，△MDB≌△ADC（SAS），得BM＝AC＝8，再由三角形的三边关系即可得出结论； （3）延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，由（1）可知，△BDM≌△CDA（SAS），得BM＝AC，再证△ABM≌△EAF（SAS），得AM＝EF，∠BAM＝∠E，则EF＝2AD，然后由三角形的外角性质证出∠APE＝∠BAE＝90°，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， 在△ADC和△MDB中， ， ∴△ADC≌△MDB（SAS）， ∴AC＝BM，∠CAD＝∠M， ∴AC∥BM， 故答案为：AC＝BM，AC∥BM； （2）如图2，延长AD到M，使DM＝AD，连接BM， 由（1）可知，△MDB≌△ADC（SAS）， ∴BM＝AC＝8， 在△ABM中，AB﹣BM＜AM＜AB+BM， ∴12﹣8＜AM＜12+8， 即4＜2AD＜20， ∴2＜AD＜10， 即BC边上的中线AD的取值范围为2＜AD＜10； （3）EF＝2AD，EF⊥AD，理由如下： 如图3，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM， 由（1）可知，△BDM≌△CDA（SAS）， ∴BM＝AC， ∵AC＝AF， ∴BM＝AF， 由（2）可知，AC∥BM， ∴∠BAC+∠ABM＝180°， ∵AE⊥AB、AF⊥AC， ∴∠BAE＝∠FAC＝90°， ∴∠BAC+∠EAF＝180°， ∴∠ABM＝∠EAF， 在△ABM和△EAF中， ， ∴△ABM≌△EAF（SAS）， ∴AM＝EF，∠BAM＝∠E， ∵AD＝DM， ∴AM＝2AD， ∴EF＝2AD， ∵∠EAM＝∠BAM+∠BAE＝∠E+∠APE， ∴∠APE＝∠BAE＝90°， ∴EF⊥AD． 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、倍长中线法、三角形的三边关系、平行线的判定与性质以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ （浙教版）八年级上册 第1章：三角形的初步知识章末重点题型复习 题型一 三角形的相关概念 1．（2023秋•招远市期中）若三角形有两个内角的和是100°，那么这个三角形是（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 2．（2024秋•龙湾区月考）如图，钝角三角形的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2024秋•富锦市校级月考）如图，在△ABD中，∠A的对边是（　　） A．BF B．BE C．BD D．BC 4．（2023秋•确山县期中）如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，连接BE，AD交于点F． （1）图中共有多少个以AB为边三角形？并把它们表示出来． （2）除△ABF外，以点F为顶点的三角形还有哪些？ 题型二 三角形的三边关系 1．（2024秋•南康区校级期末）若三角形两边a、b的长分别为3和4，则第三边c的取值范围是（　　） A．1≤c≤7 B．1＜c＜8 C．1＜c＜7 D．2＜c＜9 2．（2024秋•西城区校级期中）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（　　） A．2cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm C．13cm，12cm，20cm D．4cm，5cm，11cm 3．（2024秋•忻府区期中）如图，为了估计池塘岸边A，B两点间的距离，小玥同学在池塘一侧选取一点O，测得OA＝12米，OB＝7米，则A，B间的距离不可能是（　　） A．5米 B．7.5米 C．10米 D．18.9米 4．（2024秋•南明区校级期中）已知a，b，c是△ABC的三边，a＝4，b＝6，若三角形的周长是小于18的偶数． （1）求c边的长； （2）判断△ABC的形状． 5．（2024秋•凉州区校级期中）已知△ABC的三边长是a，b，c． （1）若a＝6，b＝8，且三角形的周长是小于22的偶数，求c的值； （2）化简|a+b﹣c|+|c﹣a﹣b|． 题型三 三角形的高 3．（2023秋•上饶期末）如图，△ABC的边BC上的高是（　　） A．线段AF B．线段DB C．线段CF D．线段BE 2．（2023秋•石城县期末）下列各图中，作△ABC边AC边上的高，正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024春•沛县期中）如图所示，已知AD⊥BC，GC⊥BC，CF⊥AB，D、C、F是垂足，下列说法中错误的是（　　） A．△ABC中，CF是AB边上的高 B．△AGC中，CF是AG边上的高 C．△GBC中，GC是BC边上的高 D．△BFC中，CG是BF边上的高 题型四 三角形的中线 1．（2024秋•西乡塘区校级期中）如图，已知BD是△ABC的中线，AB﹣BC＝2，且△ABD的周长为11，则△BCD的周长是（　　） A．9 B．14 C．16 D．不能确定 2．（2024秋•思明区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝5，AD是△ABC的中线，则△ABD与△ADC的周长之差为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2023春•兴庆区校级期中）已知AD是△ABC的边BC上的中线，若△ABD的周长比△ACD的周长大6，则AB与AC的差是 　 　. 4．（2024•沭阳县校级模拟）已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 　 　cm2． 5．（2024春•丰泽区校级期中）如图，在△ABC中，AD是中线，AB＝10cm，AC＝6cm． （1）△ABD与△ACD的周长差为 　 　cm． （2）点E在边AB上，连接ED，若三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2cm，求线段AE的长． 题型五 三角形的高、中线、角平分线的综合应用 1．（2024秋•武鸣区期中）如图，CD、CE、CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（　　） A．BA＝2BF B．∠ACE∠ACB C．AE＝BE D．CD⊥AB 2．（2024秋•武清区校级月考）如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于点E，F为AB上的一点，CF⊥AD于点H．下列判断错误的有（　　） A．AG是△ABE的角平分线 B．CH为△ACD边AD上的高 C．BE是△ABD边AD上的中线 D．AH为△AFC的高线 3．（2024秋•宁津县校级月考）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线． （1）作图：在△BED中作出BD边上的高EF；BE边上的高DG； （2）若△ABC的面积为40，BD＝5，则△BED中BD边上的高EF为多少？ 4．（2024春•船营区校级期末）如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的角平分线，BF是△ABC的中线． （1）若∠ACB＝50°，∠BAD＝65°，求∠AEC的度数； （2）若AB＝9，△BCF与△BAF的周长差为3，求BC的长． 5．（2024秋•五华区期中）已知：如图，△ABC中，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，BF是∠ABC的平分线，BF与AE交于O，若∠ABC＝40°，∠C＝60°，求∠DAE、∠BOE的度数． 题型六 三角形内角和定理 1．（2024春•北京期末）一副三角尺按如图所示的位置摆放，那么∠α的度数是（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 2．（2024秋•龙江县期中）如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝70°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C′处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（　　） A．80° B．90° C．100° D．110° 3．（2024春•乾县期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝40°，∠2＝25°，则∠B的度数为（　　） A．25° B．35° C．45° D．55° 4．（2024秋•阜阳期中）如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，交边AB于点E，在AE上取点F，连接DF，使∠ACD＝∠D． （1）求证：DF∥BC； （2）当∠A＝38°，∠DFE＝36°时，求∠AEC的度数． 5．（2023春•长安区期中）在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，F为射线AE上一点（不与点E重合），且FD⊥BC于D． （1）如果点F与点A重合，且∠C＝50°，∠B＝30°，如图1，求∠EFD的度数； （2）如果点F在线段AE上（不与点A重合），如图2，求证：∠EFD（∠C﹣∠B）； （3）如果点F在△ABC外部，如图3，此时∠EFD与∠C﹣∠B的数量关系是否发生变化？请说明理由． 题型七 命题的相关概念 1．（2024秋•迎泽区校级月考）下列语句中，是命题的是（　　） A．延长线段AB到C B．两点之间线段最短 C．画∠AOB＝45° D．等角的余角相等吗 2．（2024秋•衡阳期中）下列命题为假命题的是（　　） A．对顶角相等 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．垂线段最短 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 3．（2024秋•石阡县期中）下列命题的逆命题中，是真命题的是（　　） A．两直线平行，同旁内角互余 B．等边三角形是等腰三角形 C．全等三角形的三条边对应相等 D．若两个数相等，则它们的绝对值相等 4．（2024春•咸安区期末）已知同一平面内的三条直线a，b，c，下列命题中错误的是（　　） A．如果a∥b，b∥c，那么a∥c B．如果a⊥b，b⊥c，那么a⊥c C．如果a⊥b，b⊥c，那么a∥c D．如果a⊥b，a∥c，那么b⊥c 5．（2024秋•义乌市校级月考）请将命题“平行于同一直线的两直线互相平行”改成“如果…，那么…”的形式：　 　． 题型八 命题的证明 1．（2024春•黄石港区期末）如图，从①∠1＝∠2②∠C＝∠D③∠A＝∠F三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论可以组成3个命题． （1）这三个命题中，真命题的个数为 　 　； （2）选择一个真命题，并且证明，（要求写出每一步的依据） 如图，已知 　 　， 求证：　 　 证明：　 　 2．（2024春•姜堰区期末）已知：如图，点D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB上的点． （1）给出下列三个事项：①DF∥AE；②∠FDE＝∠A；③DE∥BA．请你用其中两个事项作为条件，另一个事项作为结论，构造一个真命题，并给出证明； 条件：　 　，结论：　 　.（填序号） 证明： （2）在（1）的条件下，若∠A＝∠BDF＝2∠EDC，求∠AFD的度数． 3．（2024春•伊犁州期末）如图，直线AB、CD被EF所截，∠1+∠2＝180°，EM、FN分别平分∠BEF和∠CFE， （1）判定EM与FN之间的位置关系，并证明你的结论； （2）由（1）的结论我们可以得到一个命题：如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组内错角的角平分线互相 　 　 （3）由此可以探究并得到：如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组同位角的角平分线又具有怎样的位置关系？并证明你的结论；（要求作图证明结论） 4．（2024春•巴林左旗期末）探究：如图①，②，∠ABC与∠EDF，BC与ED交于点H，这两个角的两边分别平行，即AB∥DE，BC∥DF． （1）分别猜想图①，图②中∠ABC与∠EDF的大小关系，并给予证明； （2）一般地，本题“探究”的命题是真命题，请把这个命题写成“如果…，那么…”的形式． 题型九 利用三角形的外角性质求角度 1．（2024秋•武威期末）在图中，∠1+∠2+∠B＝（　　） A．∠ADB B．∠AEC C．∠ACB D．∠DEC 2．（2023秋•上虞区期末）一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中∠α的度数是（　　） A．55° B．60° C．65° D．75° 3．（2023秋•襄州区期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE平分∠ADC，∠B＝55°，∠C＝35°，则∠ADE＝（　　） A．50° B．55° C．60° D．62.5° 4．如图，在△ABC中，∠CAE＝18°，∠C＝42°，∠CBD＝27°． （1）求∠AFB的度数； （2）若∠BAF＝2∠ABF，求∠BAF的度数． 5．（2023秋•两江新区期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝70°，△ABC的外角∠BCD的平分线CE交AB的延长线于点E． （1）求∠BCE的度数； （2）过点D作DF∥CE，交AB的延长线于点F，求∠F的度数． 题型十 利用三角形的外角性质证明角的数量关系 1．（2023秋•无棣县期末）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．试说明：． 2．（2023秋•东港区校级月考）（1）如图，已知∠A＝60°，∠B＝30°，∠C＝20°，求∠BDC的度数． （2）试猜想：∠A，∠B，∠C和∠BDC有什么数量关系？请说明理由． 3．（2024秋•鹿邑县期中）如图，∠ACE是△ABC的一个外角，CD平分∠ACE，交BA的延长线于点D． （1）若∠ACB＝∠B＝20°，求∠D的度数； （2）求证：∠BAC＝∠B+2∠D． 4．（2023秋•端州区期末）【问题】 如图①，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，若∠A＝82°，则∠BEC＝　 　；若∠A＝a°，则∠BEC＝　 ． 【探究】 （1）如图②，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，若∠A＝a°，则∠BEC＝　 　； （2）如图③，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC和∠A有怎样的关系？请说明理由； （3）如图④，O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由． 题型十 利用全等三角形的性质求角 1．（2024秋•南京月考）已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（　　） A．50° B．58° C．60° D．72° 2．（2024秋•南康区校级期末）如图，△ABC≌△DCB，∠DBC＝40°，则∠BOC的度数为（　　） A．100° B．80° C．40° D．140° 3．（2024秋•上杭县期中）如图所示，△ABC≌△ADE，∠CAB＝40°，∠EAB＝15°，则∠BAD的度数为（　　） A．85° B．75° C．65° D．55° 4．（2023秋•通河县期末）如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．65° 5．（2024秋•科左中旗期中）如图，△ADC≌△AFB，∠DAB＝20°，DA∥BF，DC、BF交于E，∠FEC＝110°． （1）求∠FAC的度数； （2）AF平行于DC吗？说明理由； （3）求∠BAC的度数． 题型十一利用全等三角形的性质求线段长 1．（2024秋•瓦房店市月考）如图，△ABC≌△DEC，B，C，D在同一直线上，且CE＝6，BD＝15，则AC长（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 2．（2024秋•昌邑区校级月考）如图，△ABC≌△DCB，若AC＝7，BE＝5，则DE的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2024秋•凉州区期中）如图，△AOD≌△BOC，∠D与∠C是对应角，AD与BC是对应边，若AC＝10cm，OB＝2cm，则OD的长为（　　） A．10cm B．8cm C．4cm D．2cm 4．（2023秋•泗洪县期末）如图，△ABD≌△EBC，AB＝4cm，BC＝7cm，则DE＝　 　cm． 5．（2024秋•盐都区月考）如图，△EFG与△NMH全等，在△EFG中，EG是最短的边，在△NMH中，NH是最短的边，∠F和∠M是对应角，且EG＝2.1cm，FH＝1.9cm，MH＝3.5cm．求线段NG的长度． 题型十二 利用全等三角形的性质求两线段的位置关系 1．（2023秋•无为市月考）如图，已知△ABE≌△CDF，且B，E，F，D四点在同一直线上，线段AE和线段CF在位置和数量上存在什么关系？并说明理由． 2．如图，已知△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EH＝2． （1）求∠F的度数与DH的长； （2）求证：AB∥DE． 3．如图，已知△ACE≌△BCD，AC⊥BC，AE与BD交于点F，试探究AE与BD有怎样的大小关系和位置关系，并说明理由． 4．（2024秋•玉山县校级月考）如图所示，E为线段AB上一点，△ACE≌△BED． （1）求证：AC+BD＝AB； （2）试猜想线段CE与DE满足什么条件时，能保证AC⊥AB，并证明你的结论． 题型十三 全等三角形判定的条件 1．（2024秋•防城区期中）如图，AB＝CB，若要判定△ABD≌△CBD，则需要补充的一个条件是（　　） A．CB＝DB B．AB＝DB C．BD＝BD D．AD＝CD 2．（2024秋•石阡县期中）如图，已知点A，C，B，D在同一条直线上，MB＝ND，∠ABM＝CDN，添加下列条件中的一个后，仍不能判定△ABM≌△CDN的是（　　） A．AM＝CN B．∠M＝∠N C．AC＝BD D．AM∥CN 3．（2024秋•和平区校级期末）如图，已知∠A＝∠D，AC＝DF，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（　　） A．∠C＝∠F B．AE＝BD C．BC＝EF D．BC∥EF 4．（2024秋•东台市月考）如图，∠CAB＝∠DBA，只需补充一个条件　 　，就可以得到△ABC≌△BAD． 5．（2023秋•海曙区期末）如图，AE＝AD，请你添加一个条件：　 　，使△ABE≌△ACD． 题型十四 全等三角形判定的证明 1．（2024秋•天河区校级月考）如图，在△ABC和△AED中，AB＝AE，∠BAC＝∠EAD，AC＝AD． 求证：△ABC≌△AED． 2．（2023秋•科尔沁区期末）如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，AB＝DE，BF＝CE，AB∥DE，求证：△ABC≌△DEF． 3．（2023秋•兴文县期末）如图，AC是∠BAE的平分线，点D是线段AC上的一点，∠C＝∠E，AB＝AD． 求证：△ABC≌△ADE． 4．（2024•陇县二模）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线，E为AC上一点，EF⊥AB于点F，AE＝CB．求证：△AEF≌△CBD． 5．（2024秋•芜湖期中）已知：如图，△ABC与△A′B′C′，AC＝A′C′，AB＝A′B′，CD是△ABC的中线，C′D′是△A′B′C′的中线，且CD＝C′D′． 求证：△ABC≌△A′B′C′． 题型十五 全等三角形判定与性质的综合应用 1．（2024秋•防城区期中）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，∠AEC＝∠BFD，AE∥BF． （1）求证：CE＝DF； （2）若CD＝7，AB＝13，求AC的长． 2．（2023秋•防城区期末）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，∠A＝∠B，AD＝BC． （1）求证：△ACE≌△BDF； （2）若AB＝8，AC＝2，求CD的长． 3．（2023秋•江陵县期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AC与DE相交于点O，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF． （1）求证：AC∥DF； （2）若∠B＝65°，∠F＝35°，求∠EOC的度数． 题题十六 全等三角形的应用 1．（2024秋•朝阳区期中）如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA．连接BC并延长到E，使CE＝CB．连接DE，那么DE的长就是A、B的距离．解决这个问题依据的数学道理是（　　） A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 D．三边分别相等的两个三角形全等 2．（2024秋•东港区期中）某中学数学兴趣小组的同学在学习了三角形相关知识后，尝试了制作雨伞的实践活动．康康所在的小组设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得AB＝AC，E，F分别是AB，AC的中点，且ED＝DF，那么△AED≌△AFD的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 3．（2023秋•望花区期末）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，若DF＝6m，DE＝8m，AD＝4m，则BF等于（　　） A．18m B．16m C．12m D．10m 4．（2024春•修水县期末）小明利用一根长3 m的竿子来测量路灯AB的高度．他的方法如下：如图，在路灯前选一点P，使BP＝3m，并测得∠APB＝70°，然后把竖直的竿子CD（CD＝3m）在BP的延长线上左右移动，使∠CPD＝20°，此时测得BD＝11.2m．请根据这些数据，计算出路灯AB的高度． 5．（2024秋•兴义市期中）某段河流的两岸是平行的，某数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就能测得河的宽度．他们是这样做的： ①在河流的岸边点B处，选对岸正对的一棵树A； ②沿河岸直行15m处有一棵树C，继续前行15m到达点D处； ③从点D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的点E处时，停止行走； ④测得DE的长为10m． 根据测量数据求河的宽度． 题型十七 角平分线的性质 1．（2024秋•宜州区期中）如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为15，AB＝6，DE＝3，则AC的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．2 2．（2023秋•大观区校级期末）如图，三条公路l1、l2、l3两两相交，计划建一座加油站，满足到三条公路的距离相等，则可供选址的地方有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2023秋•汉阴县期末）如图，已知在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，连接AO．求证：AO平分∠BAC． 4．（2023秋•弥勒市期末）如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝50°，过点D作AC的垂线，交AC于点E，∠CDE＝32°． （1）求∠ADE的度数； （2）若AC＝6，，求AB的长． 5．（2024•凉州区校级三模）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE． （1）求证：DE平分∠ADC； （2）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积． 题型十八 线段垂直平分线的性质 1．（2024秋•龙江县期中）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE＝5cm，△ADC的周长为15cm，则△ABC的周长是（　　） A．20cm B．24cm C．25cm D．30cm 2．（2024秋•长春月考）如图，在△AEF中，尺规作图如下：分别以点E、F为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于G、H两点，作直线GH，交EF于点O，连结AO，则线段AO为三角形的（　　） A．高线 B．中线 C．角平分线 D．都有可能 3．（2024秋•广汉市期中）如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（　　） A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三条角平分线的交点 C．△ABC三边的垂直平分线的交点 D．△ABC三条高所在直线的交点 4．（2023秋•仁寿县校级期末）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AC于点D，交AB于点E，若AE＝3，△BCD的周长为8，则△ABC的周长为（　　） A．8 B．11 C．14 D．18 5．（2024秋•巴南区月考）如图，在△ABC中，DE垂直平分AB交AC于点E，FG垂直平分BC交AC于点G，连接BE、BG．若△BEG的周长为32，GE＝2．则AC的长为（　　） A．26 B．28 C．30 D．32 题型十九 尺规作图 1．（2023秋•玄武区期末）如图，用直尺和圆规作∠AOB的平分线OC，则△DOC≌△EOC的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 2．（2023秋•大观区校级期末）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（　　） A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA 3．（2023秋•弥勒市期末）如图，在△ABC中，分别以点A和B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD．若△ABC的周长为16，AB＝6，则△ADC的周长是（　　） A．6 B．10 C．16 D．22 4．（2024秋•廊坊月考）如图，在△ABC中，根据尺规作图的痕迹，下列四个结论中，一定正确的有（　　）①AF＝CF；②AD＝BD；③AF＝BF；④∠BAF＝∠FBC． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．（2024秋•温州期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，适当长为半径画弧，交AC，AB于D，E两点，再分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于点M．作射线AM交BC于点F，若BF＝5，BC＝9，则点F到AB的距离为（　　） A．3 B．4 C．4.5 D．5 题型二十 全等三角形在探究性问题中的应用 1．在“教、学、练、评一体化”学习活动手册中，全等三角形专题复习课，学习过七种作辅助线的方法，其中有“截长补短”作辅助线的方法． 截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段； 补短法：延长较短线段和较长线段相等． 这两种方法统称截长补短法． 请用这两种方法分别解决下列问题： 已知，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任一点， 求证：AB﹣AC＞PB﹣PC． 2．阅读材料并完成习题： 在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若AC＝5cm，求四边形ABCD的面积． 解：延长线段CB到E，使得BE＝CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE＝AC＝5，∠EAB＝∠CAD，则∠EAC＝∠EAB+∠BAC＝∠DAC+∠BAC＝∠BAD＝90°，得S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝S△ABC+S△ABE＝S△AEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积． （1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为 　 　cm2． （2）请你用上面学到的方法完成下面的习题． 如图2，已知FG＝FN＝HM＝GH+MN＝5cm，∠G＝∠N＝90°，求五边形FGHMN的面积． 3．（2024春•平房区期末）在△ABC中，BC和AC边上的高AD、BE交于点F，DF＝CD． （1）如图1，求证：∠DAC＝∠CBE； （2）如图1，求∠ABC的度数； （3）如图2，延长BA到点G，过点G作BE的垂线交BE的延长线于点H，已知GH＝BE，BF＝5，AE＝2，CG＝10，求BH的长． 4．（2023春•碑林区校级期中）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到M，使DM＝AD，连接BM． 【探究发现】：（1）图1中AC与BM的数量关系是 　 　，位置关系是 　 ； 【初步应用】：（2）如图2，在△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．（提示：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．例如：若3x＜6，则x＜2．） 【探究提升】：（3）如图3，AD是△ABC的中线，过点A分别向外作AE⊥AB、AF⊥AC，使得AE＝AB，AF＝AC，延长DA交EF于点P，判断线段EF与AD的数量关系和位置关系，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$