第5章：一次函数章末重点题型复习-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（浙教版）

（浙教版）八年级上册 第5章：一次函数章末重点题型复习 题型一 函数的相关概念 1．（2024秋•静安区校级期中）下列各图象中，y不是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•金凤区校级期中）下面分别给出了变量x与y之间的对应关系，其中y不是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024秋•沙坪坝区校级期中）函数的自变量x的取值范围是（　　） A．x＜3 B．x＞3 C．x≤3 D．x≥3 4．（2023秋•安徽期末）函数中的自变量x的取值范围是（　　） A．x＞0 B．x≤2 C．x＞0且x≠2 D．x≤2且x≠0 5．（2024秋•高州市期中）函数y＝（x+2）﹣1+（x﹣3）0中，自变量x的取值范围是　 　． 题型二 实际问题中的函数图象 1．（2024春•大足区期末）周日上午，小张跑步去公园锻炼身体，到达公园后原地锻炼了一会之后散步回家，下面能反映小张离公园的距离y与时间x的函数关系的大致图象是（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•萍乡期中）如图是我们生活中常用的水桶，往空桶内加水，桶内水的高度h（cm）随时间t（s）的变化而变化，则h与t之间的关系可以大致表示为（　　） A． B． C． D． 3．（2024•恩施市二模）将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度h（cm）与注水时间t（min）的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 4．（2024•建昌县二模）如图，某容器的底面水平放置，匀速地向此容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h与时间t的函数关系的图象大致是（　　） A． B． C． D． 题型三 从函数图象中获取信息解决问题 1．（2023春•道里区校级月考）某油库有一储油量为40吨的储油罐，在开始的一段时间内只开进油管，不开出油管；在随后的一段时间内既开进油管，又开出油管直至储油罐装满油，若储油罐中的储油量（吨）与时间（分）的函数关系如图所示．现将装满油的储油罐只开出油管，不开进油管，则放完全部油所需的时间是（　　） A．16min B．20min C．24min D．44min 2．（2023春•嵩县期中）小李和小陆从A地出发，骑自行车沿同一条路行驶到B地，小李先出发行驶0.5h后小陆出发，他们离出发地的距离s（km）和行驶时间t（h）之间的关系图象如图所示，根据图中的信息，有下列说法：①他们都行驶了20km；②小陆全程共用了2h；③小陆出发后1h，小陆和小李相遇；④小李在途中停留了0.5h；其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024春•康县期末）在一辆小汽车行驶过程中，小汽车离出发地的距离s（km）和行驶时间t（h）之间的函数关系如图，根据图中的信息，下列说法错误的是（　　） A．小汽车共行驶240km B．小汽车中途停留0.5h C．小汽车出发后前3小时的平均速度为40千米/时 D．小汽车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度在逐渐减小 4．（2024•巴彦县校级模拟）甲、乙二人从学校出发去科技馆，甲步行一段时间后，乙骑自行车沿相同的路线行进，两人均匀速前行，他们的路程差s（米）与甲出发时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，下列结论：①乙先到达科技馆；②乙的速度是甲的速度的2.5倍；③b＝480；④a＝24．其中正确结论的个数为（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 题型四 正比例函数的定义 1．（2023秋•织金县校级期中）下列y关于x的函数中，是正比例函数的是（　　） A．y＝﹣2x﹣1 B．y＝x C． D．y＝x2 2．（2023秋•文昌校级期末）下列函数（其中x是自变量）中，不是正比例函数的个数有（　　） ①y＝﹣x；②y+2＝2（x+1）；③y＝k2x（k是常数）；④y2＝x2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2023秋•江州区期末）若函数y＝（k+2）x+k2﹣4是正比例函数，则k的值是（　　） A．k≠﹣2 B．k＝±2 C．k＝2 D． 4．（2023秋•丰顺县期末）已知y关于x的函数y＝4x+m﹣3． （1）若y是x的正比例函数，求m的值； （2）若m＝7，求该函数图象与x轴的交点坐标． 题型五 正比例函数的图象与性质 1．对于正比例函数y＝﹣3x，当自变量x的值增加1时，函数y的值增加（　　） A．﹣3 B．3 C． D． 2．已知正比例函数yx，下列结论：①y随x的增大而增大；②y随x的减小而减小；③当x＞0时，y＞0；④当x＞1时，y＞1．其中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2023•金山区二模）已知函数y＝kx（k≠0，k为常数）的函数值y随x值的增大而减小，那么这个函数图象可能经过的点是（　　） A．（0.5，1） B．（2，1） C．（﹣2，4） D．（﹣2，﹣2） 4．（2023•东胜区模拟）一次函数y＝（1﹣m）x的图象如图所示，则化简的结果是（　　） A．2m﹣1 B．1﹣2m C．2m D．1 题型六 一次函数的定义 1．（2023春•渝中区校级期中）下列函数中，是一次函数的是（　　） A． B． C．y＝3x+5 D． 2．下列函数①y＝﹣x+3；②y；③y＝x2﹣1；④y＝x（x﹣1）﹣x2，是关于x的一次函数的有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024春•利通区期末）已知是y关于x的一次函数，则m＝　 　． 4．（2024秋•蓝田县期中）已知关于x的函数y＝（m+1）x|m|+n﹣3 （1）m和n取何值时，该函数是关于x的一次函数？ （2）m和n取何值时，该函数是关于x的正比例函数？ 题型七 一次函数的图象 1．已知一次函数y＝kx+b（k≠0），若k•b＜0，则该函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 2．（2024春•河北期末）已知一次函数y＝kx+m2+1，且y随着x的增大而减小，则在直角坐标系内它的图象可能是（　　） A． B． C． D． 3．（2024春•白云区期末）一次函数y＝kx+b（b≠0）不经过第三象限，则y＝bx+k的大致图象是（　　） A． B． C． D． 4．（2023秋•东营期末）直线l1：y＝kx+b和l2：y＝bx﹣k．在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 题型八 一次函数的性质 1．（2024春•合江县期末）已知点，（1，y2），（﹣2，y3）都在直线上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y2＜y3＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y1 2．（2023秋•兰州期末）已知一次函数y＝kx﹣2，若k＜0，则它的图象经过（　　） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 3．（2024秋•汝州市期中）已知一次函数y＝﹣3x+4，则下列说法中不正确的是（　　） A．该函数的图象经过点（1，1） B．该函数的图象不经过第三象限 C．y的值随x的值的增大而减小 D．该函数的图象与x轴的交点坐标为（，0） 4．（2024春•亳州月考）已知关于x的一次函数y＝mx+2m﹣10（m≠0）． （1）当m为何值时，这个函数为正比例函数？ （2）当m为何值时，这个函数y的值随着x值的增大而减小？ （3）若该一次函数的图象经过第一、三、四象限，直接写出m的取值范围． 题型九 待定系数法求一次函数 1．（2024春•萨尔图区校级月考）已知一次函数y＝kx+b，当x＝1时，y＝﹣2，且它的图象与y轴交点纵坐标是﹣5，则它的解析式是（　　） A．y＝3x+5 B．y＝﹣3x﹣5 C．y＝﹣3x+5 D．y＝3x﹣5 2．（2024秋•资中县校级月考）如图，过点A的一次函数的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于点B，则这个一次函数的解析式是（　　） A．y＝﹣x+3 B．y＝﹣2x+3 C．y＝2x﹣3 D．y＝﹣x﹣3 3．（2024春•望城区期末）已知直线y＝kx﹣4（k＜0）与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线的解析式为（　　） A．y＝﹣x﹣4 B．y＝﹣2x﹣4 C．y＝﹣3x+4 D．y＝﹣3x﹣4 4．（2023秋•渭城区期末）已知点A（0，4），C（﹣2，0）在直线l：y＝kx+b的图象上，直线l和一次函数y＝﹣4x+a的图象交于点B． （1）求直线l的表达式； （2）若点B的横坐标是1，求点B的坐标，并直接写出关于x，y的方程组的解； （3）在（2）的条件下，若点A关于x轴的对称点为P，求△BPC的面积． 题型十 一次函数的平移 1．（2023秋•埇桥区校级期中）将直线y＝2x向上平移3个单位长度后得到直线y＝kx+b，则下列关于直线y＝kx+b的说法正确的是（　　） A．函数的图象与y轴的交点坐标是（3，0） B．函数图象经过第一、二、三象限 C．点（﹣2，1）在函数图象上 D．若A（x1，y1），B（x2，y2）两点在该函数图象上，且x1＜x2，则y1＞y2 2．（2024秋•长安区校级月考）将直线y＝2x﹣6沿x轴向右平移3个单位长度后，所得直线经过点（m，8），则m＝ 　 ． 3．（2023秋•射阳县校级月考）将一次函数y＝2x﹣4的图象先向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是 　 　． 4．（2023春•萨尔图区校级期中）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A、B． （1）根据图象，求一次函数y＝kx+b（k≠0）的表达式； （2）将直线AB向下平移5个单位后经过点（m，﹣5），求m的值． 题型十一 一次函数与几何变换 1．（2023•兴义市校级模拟）一次函数y＝﹣kx+3的图象关于x轴对称后经过（2，﹣1），则k的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5 2．（2023•渭滨区一模）将直线y＝2x﹣1绕原点旋转180°后，所得直线的函数表达式为（　　） A．y＝2x+1 B．y＝﹣2x+1 C． D．y＝2x﹣1 3．（2023•福州模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0），点A′（﹣2，4）．若点A与点A′关于直线l成轴对称，则直线l的解析式是（　　） A．y＝2 B．y＝x C．y＝x+2 D．y＝﹣x+2 4．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx+3分别与x轴y轴交于点A和点B，将直线AB绕点A顺时针旋转90°后，所得直线与y轴的交点坐标为（　　） A．（0，﹣1） B．（0，） C．（0，） D．（0，） 题型十二 一次函数与一元一次方程 1．（2024秋•广西期中）若关于x的方程2x﹣b＝0的解为x＝1，则直线y＝2x﹣b一定经过点（　　） A．（1，0） B．（0，1） C．（2，0） D．（0，2） 2．（2024秋•驿城区校级月考）若一次函数y＝kx﹣b（k为常数且k≠0）的图象经过点（﹣3，0），则关于x的方程k（x﹣7）﹣b＝0的解为（　　） A．x＝﹣5 B．x＝﹣3 C．x＝4 D．x＝5 3．（2023秋•宁德期末）已知一次函数y＝ax+b的图象如图所示，则关于x的方程ax+b+2＝0的解是 　　． 4．（2023秋•长清区期中）如图，已知直线y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣4），B（3，2），且与x轴交于点C． （1）求一次函数的解析式； （2）观察图象，直接写出方程kx+b＝0的解为 　 ； （3）求△AOB的面积． 题型十三 一次函数与二元一次方程（组） 1．（2023秋•大观区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+4与直线l2：y＝mx+n交于点A（﹣1，b），则关于x，y的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•迎泽区校级月考）如图中的两直线l1、l2的交点坐标可以看作哪个方程组的解（　　） A． B． C． D． 3．（2023秋•三原县期末）如图，在直角坐标系中有两条直线，l1：y＝x+1和l2：y＝ax+b，这两条直线交于y轴上的点（0，1），那么方程组的解是　 ． 4．（2023秋•靖边县期末）如图，正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P（m，3），一次函数图象经过点B（1，1），与y轴的交点为D，与x轴的交点为C． （1）求一次函数表达式； （2）求D点的坐标； （3）求△COP的面积； （4）不解关于x、y的方程组，直接写出方程组的解． 题型十四 一次函数与一元一次不等式（组） 1．（2024春•仓山区期末）一次函数y＝ax+b的图象如图所示，则不等式ax+b≥0的解集是（　　） A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2 2．（2024秋•长沙期中）直线y1＝ax与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，关于x的不等式的解集为 　 　． 3．（2023春•砀山县校级期中）如图，根据图中信息解答下列问题： （1）求关于x的不等式mx+n＜1的解集； （2）当y1≤y2时，求x的取值范围； （3）当0＜y2＜y1 时，求x的取值范围． 4．（2024春•广安区校级期中）如图，请根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）交点P的坐标（1，1）是二元一次方程组：　　的解； （2）不等式kx+b＜0的解集是 　 　； （3）当x 　 　时，kx+b≥mx﹣n； （4）直线l1分别交x轴、y轴于点M、A，直线l2分别交x轴、y轴于点B、N，求点M的坐标和四边形OMPN的面积． 题型十五 一次函数的实际应用 1．（2023春•滦州市期末）某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x（kg）与其运费y（元）由如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量为（　　） A．20kg B．25kg C．28kg D．30kg 2．（2024秋•五河县期末）甲葡萄采摘园推出周末采摘葡萄优惠活动，已知采摘的葡萄的标价为20元/千克，若一次性采摘不超过3千克，则按原价付款，若采摘超过3千克，则超过部分按标价的六折付款． （1）求付款金额y（元）关于采摘葡萄的重量x（千克）的函数表达式； （2）当天，旁边的乙葡萄采摘园也在进行采摘葡萄优惠活动，同样采摘的葡萄的标价也为20元/千克，但全部按标价的八折付款，小唯如果想用120元用于采摘葡萄，请问她在哪个葡萄园采摘的葡萄更多？ 3．（2023秋•六安月考）某电信公司手机的A类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费12元，另外，通话费按0.2元/min计；B类收费标准如下：没有月租费，但通话费按0.6元/min计．按照此类收费标准完成下列各题： （1）直接写出每月应缴费用y（元）与通话时长x（分）之间的关系式： A类： B类：　 （2）若每月平均通话时长为300分钟，选择 　 　类收费方式较少． （3）求每月通话多长时间时，按 A．B两类收费标准缴费，所缴话费相等． 4．（2023春•清河区校级期末）某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元． （1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． ①求y关于x的函数关系式； ②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？ 题型十六 一次函数与图象的面积 1．如图，已知△ABC中，AC＝3，BC＝4，直线AB的函数解析式是yx+4． （1）求证：△ABC≌△BAO； （2）求△ABC的面积． 2．（2023秋•榆中县期末）如图所示，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，4）． （1）求过A，B两点直线的函数表达式； （2）过点B作直线BP与x轴交于点P，且使OP＝2OA，求△ABP的面积． 3．（2024春•正定县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，m）在直线y＝4x﹣5上，过点A的另一条直线交y轴于点B（0，6）． （1）求直线AB的函数表达式； （2）求△ABC的面积； （3）若点P（t，y1）在线段AB上（可与点A，B重合），点Q（t﹣1，y2）在直线y＝4x﹣5上，求y1﹣y2的最小值． 4．（2024秋•舒城县校级月考）如图，点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（2，0），过点C（﹣2，0）作直线l交AO于D，交AB于E，且使△ADE和△DCO的面积相等． （1）求△AOB的面积． （2）求直线l的函数解析式． 题型十七 一次函数与动点运动问题 1．如图，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，y关于x的函数图象如图2所示，若b﹣2a＝5，则长方形ABCD的周长为（　　） A．20 B．18 C．16 D．24 2．（2023春•朝阳区校级月考）如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，长方形ABCD中，AB＝1，AD＝2，M是CD的中点，点P在矩形的边上沿A→B→C→M运动，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系用图象表示大致是（　　） A． B． C． D． 4．如图，图甲是一个大长方形剪去一个小长方形后形成的图形，已知动点P以2cm/s的速度沿图甲的边框按B→C→D→E→F→A的路径运动，相应的△ABP的面积S与时间t之间的关系如图乙所示．若AB＝6cm，试回答下列问题： （1）图甲中的BC长为多少？ （2）图甲中的图形的面积是多少？ （3）图乙中的a，b 的值各是多少？ 题型十八 一次函数的综合应用问题 1．（2023秋•铁岭期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B． （1）求点A、B的坐标； （2）M是x轴上一点，当△ABM的面积为5时，求点M的坐标； （3）N是y轴上的一点，当△ABN为等腰三角形时，直接写出点N的坐标． 2．如图1，一次函数yx+3的图象与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，点D是直线AB上的一个动点，CD⊥x轴于点C，点P是射线CD上的一个动点． （1）求点A，B的坐标； （2）如图2，当点D在第一象限，且点D的横坐标为4时，将△ACP沿着AP翻折，当点C的对应点C′落在直线AB上时，求点P的坐标； （3）点D在运动过程中，当△OCD的面积是△OAD面积的2倍时，请直接写出点D的坐标． 3．（2023秋•尤溪县期中）如图1，平面直角坐标系中，一次函数图象分别交x轴、y轴于点A，B，一次函数y＝﹣x+b的图象经过点B，并与x轴交于点C，点P是直线AB上的一个动点． （1）求b的值与点C的坐标； （2）如图2，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q，垂足为点H．探究直线AB上是否存在点P，使PQ＝BC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． （3）探究x轴上是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 4．（2024秋•青羊区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y的图象与x轴、y轴分别交于D，B两点．直线y＝kx的图象与x轴交于C．直线l1与直线l2交于点A（a，3）． （1）求点A的坐标及直线l2的表达式； （2）若点E在直线l2上，且△ADE的面积为，求点E的坐标； （3）在x轴上是否存在点P，使得∠ACB＝2∠APC，若存在，求出点P坐标，若不存在，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ （浙教版）八年级上册 第5章：一次函数章末重点题型复习 题型一 函数的相关概念 1．（2024秋•静安区校级期中）下列各图象中，y不是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据函数的定义，每一个x的值，只能有一个y的值与之对应，反映在函数图象上，就是任何一条与x轴垂直的竖线，与函数图象最多只有一个交点．根据这个条件逐一判断． 【解答】解：选项A，根据图象，当x＝0时，y有两个值与之对应，因此不是函数，符合题目要求． 选项B、C、D，根据图象，每一个x的值，都有唯一的y值与之对应，因此是函数，不符合题目要求． 故选：A． 【点评】本题考查函数的定义．理解函数图象的特点是解题关键． 2．（2024秋•金凤区校级期中）下面分别给出了变量x与y之间的对应关系，其中y不是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【分析】函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：做垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点． 【解答】解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应， 所以A选项中y不是x的函数，符合题意． 故选：A． 【点评】本题主要考查了函数的概念，绿色植物图象的读图能力是关键． 3．（2024秋•沙坪坝区校级期中）函数的自变量x的取值范围是（　　） A．x＜3 B．x＞3 C．x≤3 D．x≥3 【分析】根据二次根式有意义的条件解答即可． 【解答】解：根据二次根式有意义的条件可知： 自变量x的取值范围是：x≥3． 故选：D． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握条件是解题的关键． 4．（2023秋•安徽期末）函数中的自变量x的取值范围是（　　） A．x＞0 B．x≤2 C．x＞0且x≠2 D．x≤2且x≠0 【分析】根据分式的分母不等于0和二次根式的被开方数为非负数，列出不等式组，解不等式即可求解． 【解答】解：∵， ∴x≤2且x≠0， 故选：D． 【点评】本题考查了求函数的自变量的取值范围，自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． 5．（2024秋•高州市期中）函数y＝（x+2）﹣1+（x﹣3）0中，自变量x的取值范围是　 　． 【分析】根据题意，得，根据负整数指数幂，分式有意义的条件，零指数幂的条件解答即可． 【解答】解：根据分式有意义的条件，零指数幂的条件可知： 自变量x的取值范围是：x≠﹣2且x≠3． 故答案为：x≠﹣2且x≠3． 【点评】本题考查了负整数指数幂，分式有意义的条件，零指数幂的条件，熟练掌握条件是解题的关键． 题型二 实际问题中的函数图象 1．（2024春•大足区期末）周日上午，小张跑步去公园锻炼身体，到达公园后原地锻炼了一会之后散步回家，下面能反映小张离公园的距离y与时间x的函数关系的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据在每段中，离家的距离随时间的变化情况即可进行判断． 【解答】解：图象应分三个阶段，第一阶段：跑步到公园，在这个阶段，离公园的距离随时间的增大而减小； 第二阶段：在公园锻炼了一会，这一阶段公园的距离不随时间的变化而改变，即为0； 第三阶段：散步回家，这一阶段，离公园的距离随时间的增大而增大，并且这段的速度小于第一阶段的速度． 故选：C． 【点评】本题主要考查函数图象，理解每阶段中，离家的距离与时间的关系，根据图象的斜率判断运动的速度是解决本题的关键． 2．（2024秋•萍乡期中）如图是我们生活中常用的水桶，往空桶内加水，桶内水的高度h（cm）随时间t（s）的变化而变化，则h与t之间的关系可以大致表示为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据所给物体的形状，桶内水的高度h（cm）随时间t（s）的增大而增大，增大幅度先快后慢．那么函数图象应是先陡后缓． 【解答】解：往空桶内加水，桶内水的高度h（cm）随时间t（s）的增大而增大，增大幅度先快后慢． 故选：D． 【点评】本题考查了函数的图象，关键是掌握函数图象与实际生活的联系． 3．（2024•恩施市二模）将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度h（cm）与注水时间t（min）的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水，即可求出小水杯内水面的高度h（cm）与注水时间t（min）的函数图象． 【解答】解：将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，小玻璃杯内的水原来的高度一定大于0，则可以判断A、D一定错误，用一注水管沿大容器内壁匀速注水，水开始时不会流入小玻璃杯，因而这段时间h不变，当大杯中的水面与小杯水平时，开始向小杯中流水，h随t的增大而增大，当水注满小杯后，小杯内水面的高度h不再变化． 故选：B． 【点评】本题考查了函数的图象．正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小． 4．（2024•建昌县二模）如图，某容器的底面水平放置，匀速地向此容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h与时间t的函数关系的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据图象可知，容器底部直径较大，上部直径较小，故注水过程的水的高度是先慢后快． 【解答】解：因为根据图象可知，容器底部直径较大，上部直径较小， 故注水过程的水的高度是先慢后快，故选项C符合题意， 故选：C． 【点评】本题主要考查函数图象的知识，根据t与h的变化规律排除不合适的选项是解题的关键． 题型三 从函数图象中获取信息解决问题 1．（2023春•道里区校级月考）某油库有一储油量为40吨的储油罐，在开始的一段时间内只开进油管，不开出油管；在随后的一段时间内既开进油管，又开出油管直至储油罐装满油，若储油罐中的储油量（吨）与时间（分）的函数关系如图所示．现将装满油的储油罐只开出油管，不开进油管，则放完全部油所需的时间是（　　） A．16min B．20min C．24min D．44min 【分析】首先由已知函数关系计算出每分钟进油量，再由函数图象计算出既开进油管，又开出油管的每分钟进油量，那么能求出每分钟的出油量，从而求出放完全部油所需的时间． 【解答】解：由已知函数图象得： 每分钟的进油量为：24÷8＝3（吨）， 每分钟的出油量为：3﹣（40﹣24）÷（24﹣8）＝2（吨）， 所以放完全部油所需的时间为：40÷2＝20（分钟）． 故选：B． 【点评】此题考查的是一次函数的应用，关键是根据函数图象先计算出每分钟的进油量，在计算出出油量求解． 2．（2023春•嵩县期中）小李和小陆从A地出发，骑自行车沿同一条路行驶到B地，小李先出发行驶0.5h后小陆出发，他们离出发地的距离s（km）和行驶时间t（h）之间的关系图象如图所示，根据图中的信息，有下列说法：①他们都行驶了20km；②小陆全程共用了2h；③小陆出发后1h，小陆和小李相遇；④小李在途中停留了0.5h；其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 【解答】解：①根据图象的纵坐标可得：他们都行驶了20km，故原说法正确； ②根据图象可得：小陆全程共用了：2﹣0.5＝1.5h，故原说法错误； ③根据图象可得：小陆出发后1﹣0.5＝0.5h，小陆和小李相遇，故原说法错误； ④根据图象可得：表示小李的图象从0.5时开始到1时结束，时间在增多，而路程没有变化，说明此时在停留，停留了1﹣0.5＝0.5h，故原说法正确． 故选：B． 【点评】此题主要考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势． 3．（2024春•康县期末）在一辆小汽车行驶过程中，小汽车离出发地的距离s（km）和行驶时间t（h）之间的函数关系如图，根据图中的信息，下列说法错误的是（　　） A．小汽车共行驶240km B．小汽车中途停留0.5h C．小汽车出发后前3小时的平均速度为40千米/时 D．小汽车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度在逐渐减小 【分析】要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 【解答】解：根据题意和图象可知： 小汽车共行驶：2×120＝240（km），故选项A说法正确，不符合题意； 小汽车中途停留0.5h，故选项B说法正确，不符合题意； 小汽车出发后前3小时的平均速度为：120÷3＝40（千米/时），故选项C说法正确，不符合题意； 小汽车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度不变，故选项D说法错误，符合题意． 故选：D． 【点评】此题考查了函数的图象以及学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”． 4．（2024•巴彦县校级模拟）甲、乙二人从学校出发去科技馆，甲步行一段时间后，乙骑自行车沿相同的路线行进，两人均匀速前行，他们的路程差s（米）与甲出发时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，下列结论：①乙先到达科技馆；②乙的速度是甲的速度的2.5倍；③b＝480；④a＝24．其中正确结论的个数为（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据甲步行720米，需要9分钟，进而得出甲的运动速度，利用图形得出乙的运动时间以及运动距离，进而分别判断得出答案． 【解答】解：由图象得出甲步行720米，需要9分钟， 所以甲的运动速度为：720÷9＝80（米/分）， 当第15分钟时，乙运动15﹣9＝6（分钟）， 运动距离为：15×80＝1200（米）， ∴乙的运动速度为：1200÷6＝200（米/分）， ∴200÷80＝2.5，故②正确； 当第19分钟以后两人之间距离越来越近，说明乙已经到达终点，则乙先到达青少年宫，故①正确； 此时乙运动19﹣9＝10（分钟）， 运动总距离为：10×200＝2000（米）， ∴甲运动时间为：2000÷80＝25（分钟）， 故a的值为25，故④错误； ∵甲19分钟运动距离为：19×80＝1520（米）， ∴b＝2000﹣1520＝480，故③正确． 故正确的有：①②③． 故选：C． 【点评】此题主要考查了函数的图象，利用数形结合得出乙的运动速度是解题关键． 题型四 正比例函数的定义 1．（2023秋•织金县校级期中）下列y关于x的函数中，是正比例函数的是（　　） A．y＝﹣2x﹣1 B．y＝x C． D．y＝x2 【分析】正比例函数的定义：一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 【解答】解：A．y＝﹣2x﹣1，是y关于x的一次函数，故此选项不符合题意； B．y＝x，是y关于x的正比例函数，故此选项符合题意； C．yx﹣2，是y关于x的一次函数，故此选项不符合题意； D．y＝x2，是y关于x的二次函数，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查正比例函数的定义，掌握正比例函数的定义是解题的关键． 2．（2023秋•文昌校级期末）下列函数（其中x是自变量）中，不是正比例函数的个数有（　　） ①y＝﹣x；②y+2＝2（x+1）；③y＝k2x（k是常数）；④y2＝x2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】形如y＝kx（k为常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，由此判断即可． 【解答】解：①y＝﹣x是正比例函数； ②y+2＝2（x+1），整理得y＝2x，是正比例函数； ③y＝k2x（k是常数），当k＝0时，不是函数，当k≠0时，是正比例函数； ④y2＝x2，不是函数； 所以不是正比例函数的个数有2个， 故选：B． 【点评】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键． 3．（2023秋•江州区期末）若函数y＝（k+2）x+k2﹣4是正比例函数，则k的值是（　　） A．k≠﹣2 B．k＝±2 C．k＝2 D． 【分析】根据正比例函数的定义得出k+2≠0且k2﹣4＝0，再求出k即可． 【解答】解：∵y＝（k+2）x+k2﹣4是正比例函数， ∴k+2≠0且k2﹣4＝0， 解得：k＝2． 故选：C． 【点评】本题考查了正比例函数的定义，能熟记正比例函数定义是解此题的关键，注意：形如y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数叫一次函数，当b＝0时，函数也叫正比例函数． 4．（2023秋•丰顺县期末）已知y关于x的函数y＝4x+m﹣3． （1）若y是x的正比例函数，求m的值； （2）若m＝7，求该函数图象与x轴的交点坐标． 【分析】（1）根据正比例函数的定义即可得出m的值； （2）当m＝7时，函数为一次函数，令y＝0，即可得出图象与x轴的交点坐标． 【解答】解：（1）∵y是x的正比例函数，∴m﹣3＝0， 解得m＝3． 故m的值为：3． （2）当m＝7时，该函数的表达式为y＝4x+4， 令y＝0，得4x+4＝0， 解得x＝﹣1，∴当m＝7时，该函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0）． 【点评】本题主要考查了正比例函数和一次函数，熟悉正比例函数和一次函数的特点是解题的关键． 题型五 正比例函数的图象与性质 1．对于正比例函数y＝﹣3x，当自变量x的值增加1时，函数y的值增加（　　） A．﹣3 B．3 C． D． 【分析】根据题意，可以先出x＝a时的函数值，然后再写出x＝a+1时的函数值，再作差，即可得到当自变量x的值增加1时，函数y的值增加多少，本题得以解决． 【解答】解：当x＝a时，y＝﹣3a， 当x＝a+1时，y＝﹣3（a+1）， ∵﹣3（a+1）﹣（﹣3a）＝﹣3a﹣3+3a＝﹣3， ∴当自变量x的值增加1时，函数y的值增加﹣3， 故选：A． 【点评】本题考查正比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用正比例函数的性质解答． 2．已知正比例函数yx，下列结论：①y随x的增大而增大；②y随x的减小而减小；③当x＞0时，y＞0；④当x＞1时，y＞1．其中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】正比例函数y＝kx，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小，进而判断①②是否正确；再运用上述正比例函数的单调性即可得到当x＞0时与当x＞1时，y的取值范围，进而再判断③④是否正确． 【解答】解：∵正比例函数yx中0， ∴y随x的增大而增大，y随x的减小而减小，故①正确，②正确； ③当x＞0时，y＞0，正确；④当x＞1时，y，错误， ∴正确的是①②③， 故选：C． 【点评】本题考查正比例函数的性质应用，掌握正比例函数的性质是解题的关键． 3．（2023•金山区二模）已知函数y＝kx（k≠0，k为常数）的函数值y随x值的增大而减小，那么这个函数图象可能经过的点是（　　） A．（0.5，1） B．（2，1） C．（﹣2，4） D．（﹣2，﹣2） 【分析】由函数y＝kx（k≠0，k为常数）的函数值y随x值的增大而减小，可得出k＜0，进而可得出正比例函数y＝kx（k≠0，k为常数）的图象经过第二、四象限，再对照四个选项即可得出结论． 【解答】解：∵函数y＝kx（k≠0，k为常数）的函数值y随x值的增大而减小， ∴k＜0， ∴正比例函数y＝kx（k≠0，k为常数）的图象经过第二、四象限， ∴这个函数图象可能经过的点是（﹣2，4）． 故选：C． 【点评】本题考查了正比例函数的性质，牢记“当k＞0时，函数图象位于第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，函数图象位于第二、四象限，y随x的增大而减小”是解题的关键． 4．（2023•东胜区模拟）一次函数y＝（1﹣m）x的图象如图所示，则化简的结果是（　　） A．2m﹣1 B．1﹣2m C．2m D．1 【分析】根据正比例函数的图象确定m的取值范围，再化简即可． 【解答】解：由题意得，1﹣m＞0， 解得，m＜1， 原式＝|1﹣m|+m ＝1﹣m+m ＝1． 故选：D． 【点评】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，二次根式的性质与化简，解题的关键是求出m的取值范围． 题型六 一次函数的定义 1．（2023春•渝中区校级期中）下列函数中，是一次函数的是（　　） A． B． C．y＝3x+5 D． 【分析】根据一次函数的定义即可即可． 【解答】解：A、此函数是二次函数，故此选项不符合题意； B、此函数是反比例函数，故此选项不符合题意； C、此函数是一次函数，故此选项符合题意； D、此函数不是一次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数．解题的关键是掌握一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1． 2．下列函数①y＝﹣x+3；②y；③y＝x2﹣1；④y＝x（x﹣1）﹣x2，是关于x的一次函数的有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据一次函数的定义进行判断即可． 【解答】解：由“形如y＝kx+b（k≠0）的函数，y是x的一次函数”可知， ①y＝﹣x+3，y是x的一次函数； ②y，y是x的反比例函数； ③y＝x2﹣1，y是x的二次函数； ④y＝x（x﹣1）﹣x2＝﹣x，y是x的一次函数； 因此是一次函数的有①④，共2个， 故选：B． 【点评】本题考查一次函数的定义，理解“形如y＝kx+b（k≠0）的函数，y是x的一次函数”是正确判断的关键． 3．（2024春•利通区期末）已知是y关于x的一次函数，则m＝　 　． 【分析】根据一次函数的定义“若两个变量x，y间的对应关系可以表示成y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数”计算即可． 【解答】解：根据一次函数的定义，得m2﹣8＝1且m﹣3≠0， 解得m＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查一次函数的定义，掌握一次函数的定义是解题的关键． 4．（2024秋•蓝田县期中）已知关于x的函数y＝（m+1）x|m|+n﹣3 （1）m和n取何值时，该函数是关于x的一次函数？ （2）m和n取何值时，该函数是关于x的正比例函数？ 【分析】（1）根据一次函数的定义可得，|m|＝1且m+1≠0，然后进行计算即可解答； （2）根据正比例函数定义可得，|m|＝1且m+1≠0，n﹣3＝0，然后进行计算即可解答． 【解答】解：（1）由题意得： |m|＝1且m+1≠0， ∴m＝±1且m≠﹣1， ∴m＝1， ∴当m＝1，n为任意实数时，该函数是关于x的一次函数； （2）由题意得： |m|＝1且m+1≠0，n﹣3＝0， ∴m＝±1且m≠﹣1，n＝3， ∴m＝1，n＝3，该函数是关于x的正比例函数． 【点评】本题考查了一次函数的定义，正比例函数定义，熟练掌握这些数学概念是解题的关键． 题型七 一次函数的图象 1．已知一次函数y＝kx+b（k≠0），若k•b＜0，则该函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】由k•b＜0且k≠0可知，y＝kx+b的图象在一、三、四象限或一、二、四象限，观察四个选项即可得出结论． 【解答】解：∵在一次函数y＝kx+b中k•b＜0， ∴y＝kx+b的图象在一、三、四象限或一、二、四象限． 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，由k•b＜0且k≠0找出一次函数图象所在象限是解题的关键． 2．（2024春•河北期末）已知一次函数y＝kx+m2+1，且y随着x的增大而减小，则在直角坐标系内它的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据一次函数y＝kx+m2+1，y随着x的增大而减小判断出k的符号，进而可得出结论． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+m2+1，y随着x的增大而减小， ∴k＜0， ∴函数图象经过第一、二、四象限． 故选：D． 【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性与k的关系是解题的关键． 3．（2024春•白云区期末）一次函数y＝kx+b（b≠0）不经过第三象限，则y＝bx+k的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一次函数y＝kx+b（b≠0）不经过第三象限，可知k＜0，b＞0，然后即可得到y＝bx+k的图象经过哪几个象限． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（b≠0）不经过第三象限， ∴k＜0，b＞0， ∴y＝bx+k的图象经过第一、三、四象限， 故选：A． 【点评】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 4．（2023秋•东营期末）直线l1：y＝kx+b和l2：y＝bx﹣k．在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】先看一条直线，得出k和b的符号，然后再判断另外一条直线是否正确，这样可得出答案． 【解答】解：A、直线l1：y＝kx+b中k＞0，b＞0，直线l2：y＝bx﹣k中k＜0，b＜0，k、b的取值相矛盾，故本选项不符合题意； B、直线l1：y＝kx+b中k＞0，b＞0，直线l2：y＝bx﹣k中k＞0，b＞0，k、b的取值一致，故本选项符合题意； C、直线l1：y＝kx+b中k＜0，b＞0，直线l2：y＝bx﹣k中k＞0，b＜0，k、b的取值相矛盾，故本选项不符合题意； D、直线l1：y＝kx+b中k＜0，b＞0，直线l2：y＝bx﹣k中k＞0，b＜0，k、b的取值相矛盾，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点评】此题考查了一次函数图象与k和b符号的关系，关键是掌握当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 题型八 一次函数的性质 1．（2024春•合江县期末）已知点，（1，y2），（﹣2，y3）都在直线上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y2＜y3＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y1 【分析】由k0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合2＜1，即可得出y2＜y3＜y1． 【解答】解：∵k0， ∴y随x的增大而减小， 又∵点，（1，y2），（﹣2，y3）都在直线上，且2＜1， ∴y2＜y3＜y1． 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键． 2．（2023秋•兰州期末）已知一次函数y＝kx﹣2，若k＜0，则它的图象经过（　　） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 【分析】根据一次函数的性质求解，即可得到答案． 【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣2，k＜0， ∴函数图象经过第二、四象限， ∵b＝﹣2＜0， ∴函数图象经过第三象限， ∴函数图象经过第二、三、四象限． 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数的性质，解题关键是掌握一次函数的图象和性质：①当k＞0，y随x的增大而增大，若b＞0，则图象经过一、二、三、象限；若b＜0，则图象经过一、三、四象限②当k＜0时，y随x的增大而减小，若b＞0，则图象经过一、二、四象限；若b＜0，则图象经过二、三、四象限． 3．（2024秋•汝州市期中）已知一次函数y＝﹣3x+4，则下列说法中不正确的是（　　） A．该函数的图象经过点（1，1） B．该函数的图象不经过第三象限 C．y的值随x的值的增大而减小 D．该函数的图象与x轴的交点坐标为（，0） 【分析】将x＝1代入一次函数解析式求出y值即可得出A正确；由一次函数解析式结合一次函数系数与图象的关系即可得出B正确；由一次函数一次项系数k＝﹣3＜0即可得出C正确；将y＝0代入一次函数解析式中求出x值即可得出D不正确．此题得解． 【解答】解：A、令y＝﹣3x+4中x＝1，则y＝1， ∴该函数的图象经过点（1，1），即A正确； B、∵在y＝﹣3x+4中k＝﹣3＜0，b＝4＞0， ∴该函数图象经过第一、二、四象限，即B正确； C、∵在y＝﹣3x+4中k＝﹣3＜0， ∴y的值随x的值的增大而减小，即C正确； D、令y＝﹣3x+4中y＝0，则﹣3x+4＝0，解得：x， ∴该函数的图象与x轴的交点坐标为（，0），即D不正确． 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，解题的关键是逐条分析四个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题时，熟悉一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象与系数的关系是解题的关键． 4．（2024春•亳州月考）已知关于x的一次函数y＝mx+2m﹣10（m≠0）． （1）当m为何值时，这个函数为正比例函数？ （2）当m为何值时，这个函数y的值随着x值的增大而减小？ （3）若该一次函数的图象经过第一、三、四象限，直接写出m的取值范围． 【分析】（1）根据正比例函数的性质得出2m﹣10＝0，求出方程的解即可； （2）根据一次函数的性质得出不等式m＜0； （3）根据一次函数的图象经过第一、三、四象限，列出关于m的不等式组，解不等式组即可． 【解答】解：（1）y＝mx+2m﹣10（m≠0）． ∵函数为正比例函数， ∴2m﹣10＝0， 解得：m＝5， 答：当m＝5时，这个函数为正比例函数， （2）一次函数y＝mx+2m﹣10（m≠0）， ∵函数y的值随着x值的增大而减小， ∴m＜0， 答：当m＜0时，函数y的值随着x值的增大而减小． （3）∵一次函数y＝mx+2m﹣10（m≠0）的图象经过第一、三、四象限， ∴， 解得：0＜m＜5， 答：当0＜m＜5时，函数的图象经过第一、三、四象限． 【点评】本题主要考查对解一元一次方程，一元一次不等式，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地根据一次函数的性质和已知得出不等式或方程是解此题的关键． 题型九 待定系数法求一次函数 1．（2024春•萨尔图区校级月考）已知一次函数y＝kx+b，当x＝1时，y＝﹣2，且它的图象与y轴交点纵坐标是﹣5，则它的解析式是（　　） A．y＝3x+5 B．y＝﹣3x﹣5 C．y＝﹣3x+5 D．y＝3x﹣5 【分析】直接利用待定系数法求出一次函数解析式得出答案． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b，当x＝1时，y＝﹣2，且它的图象与y轴交点纵坐标是﹣5， ∴， 解得：， 故它的解析式是：y＝3x﹣5． 故选：D． 【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，正确将已知点代入是解题关键． 2．（2024秋•资中县校级月考）如图，过点A的一次函数的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于点B，则这个一次函数的解析式是（　　） A．y＝﹣x+3 B．y＝﹣2x+3 C．y＝2x﹣3 D．y＝﹣x﹣3 【分析】根据正比例函数图象确定B点坐标，再根据图象确定A点的坐标，设出一次函数解析式，代入一次函数解析式，即可求出． 【解答】解：∵B点在正比例函数y＝2x的图象上，横坐标为1， ∴y＝2×1＝2， ∴B（1，2）， 设一次函数解析式为：y＝kx+b， 可得出方程组 ， 解得 ， 则这个一次函数的解析式为y＝﹣x+3， 故选：A． 【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，解决问题的关键是利用一次函数的特点，来列出方程组，求出未知数，即可写出解析式． 3．（2024春•望城区期末）已知直线y＝kx﹣4（k＜0）与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线的解析式为（　　） A．y＝﹣x﹣4 B．y＝﹣2x﹣4 C．y＝﹣3x+4 D．y＝﹣3x﹣4 【分析】首先求出直线y＝kx﹣4（k＜0）与两坐标轴的交点坐标，然后根据三角形面积等于4，得到一个关于k的方程，求出此方程的解，即可得到直线的解析式． 【解答】解：直线y＝kx﹣4（k＜0）与两坐标轴的交点坐标为（0，﹣4）（，0）， ∵直线y＝kx﹣4（k＜0）与两坐标轴所围成的三角形面积等于4， ∴4×（）×0.5＝4，解得k＝﹣2， 则直线的解析式为y＝﹣2x﹣4． 故选：B． 【点评】主要考查了用待定系数法求一次函数的解析式．根据三角形面积公式及已知条件，列出方程，求出k的值，即得一次函数的解析式． 4．（2023秋•渭城区期末）已知点A（0，4），C（﹣2，0）在直线l：y＝kx+b的图象上，直线l和一次函数y＝﹣4x+a的图象交于点B． （1）求直线l的表达式； （2）若点B的横坐标是1，求点B的坐标，并直接写出关于x，y的方程组的解； （3）在（2）的条件下，若点A关于x轴的对称点为P，求△BPC的面积． 【分析】（1）由于点A、C在直线上，可用待定系数法确定直线l的表达式； （2）先求出点B的坐标，即得方程组的解； （3）由于S△BPC＝S△PAB+S△PAC，分别求出△PBC和△PAC的面积即可． 【解答】解：（1）∵点A（0，4）、C（﹣2，0）在直线l：y＝kx+b上， ∴， 解得， 所以直线l的表达式为：y＝2x+4； （2）由于点B在直线l上，当x＝1时，y＝2+4＝6， ∴点B的坐标为（1，6）， ∴关于x，y的方程组的解为； （3）∵点A与点P关于x轴对称， ∴点P（0，﹣4）， ∴AP＝4+4＝8，OC＝2， ∴S△BPC＝S△PAB+S△PAC 8×18×2 ＝4+8 ＝12． 【点评】本题考查了待定系数法确定函数解析式、三角形的面积、直线与方程组的关系等知识点．熟知待定系数法是解题的关键． 题型十 一次函数的平移 1．（2023秋•埇桥区校级期中）将直线y＝2x向上平移3个单位长度后得到直线y＝kx+b，则下列关于直线y＝kx+b的说法正确的是（　　） A．函数的图象与y轴的交点坐标是（3，0） B．函数图象经过第一、二、三象限 C．点（﹣2，1）在函数图象上 D．若A（x1，y1），B（x2，y2）两点在该函数图象上，且x1＜x2，则y1＞y2 【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出函数解析式，再逐一分析即可． 【解答】解：将直线y＝2x向上平移3个单位长度后得到直线y＝2x+3， A．x＝0时，y＝x+3＝3，直线y＝2x+3与y轴交于（0，3），错误； B．直线y＝2x+3经过第一、二、三象限，正确； C．x＝﹣2时，y＝2x+3＝﹣1，点（﹣2，﹣1）在函数图象上y，错误； D．k＝2＞0，直线y＝2x+3随x的增大而增大， 若A（x1，y1），B（x2，y2）两点在该函数图象上，且x1＜x2，则y1＜y2，错误． 故选：B． 【点评】此题主要考查了一次函数图象的几何变换和性质，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 2．（2024秋•长安区校级月考）将直线y＝2x﹣6沿x轴向右平移3个单位长度后，所得直线经过点（m，8），则m＝ 　 ． 【分析】根据“左加右减”的平移法则得出直线y＝2x﹣6平移后的直线函数解析式，再将点（m，8）代入即可解决问题． 【解答】解：将直线y＝2x﹣6沿x轴向右平移3个单位长度后所得直线的函数解析式为y＝2（x﹣3）﹣6＝2x﹣12， ∵平移后的直线经过点（m，8）， ∴2m﹣12＝8， 解得m＝10． 故答案为：10． 【点评】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，熟知“左加右减”的平移法则是解题的关键． 3．（2023秋•射阳县校级月考）将一次函数y＝2x﹣4的图象先向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是 　 　． 【分析】根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【解答】解：将一次函数y＝2x﹣4的图象先向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是y＝2（x+4）﹣4﹣3＝2x+1， 故答案为：y＝2x+1． 【点评】本题主要考查了一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解题的关键． 4．（2023春•萨尔图区校级期中）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A、B． （1）根据图象，求一次函数y＝kx+b（k≠0）的表达式； （2）将直线AB向下平移5个单位后经过点（m，﹣5），求m的值． 【分析】（1）根据待定系数法求得即可； （2）求得平移后的直线的解析式，代入点（m，﹣5），即可求得m的值． 【解答】解：（1）由图象可知，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（2，6）、B（﹣4，﹣3）， ∴， 解得， 所以一次函数的表达式为：yx+3； （2）将直线AB向下平移5个单位后得到yx+3﹣5，即yx﹣2， ∵经过点（m，﹣5）， ∴﹣5m﹣2， 解得m＝﹣2． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 题型十一 一次函数与几何变换 1．（2023•兴义市校级模拟）一次函数y＝﹣kx+3的图象关于x轴对称后经过（2，﹣1），则k的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5 【分析】首先把（2，1）代入y＝﹣kx+3可得关于k的方程，再解即可． 【解答】解：∵（2，﹣1）关于x轴对称点为（2，1）， ∴一次函数y＝﹣kx+3的图象过点P（2，1）， ∴1＝﹣2k+3， 解得：k＝1， 故选：A． 【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，关键是掌握凡是函数图象经过的点，必能满足解析式． 2．（2023•渭滨区一模）将直线y＝2x﹣1绕原点旋转180°后，所得直线的函数表达式为（　　） A．y＝2x+1 B．y＝﹣2x+1 C． D．y＝2x﹣1 【分析】先求出直线y＝2x﹣1与坐标轴的交点坐标，再求出该交点绕原点旋转180°后的坐标，利用待定系数法即可得出其解析式． 【解答】解：∵直线y＝2x﹣1， ∴直线与x轴的交点为（，0），与y轴的交点为（0，﹣1）． ∵两点绕原点旋转180°后对应的点坐标为（，0），（0，1）， ∴设旋转后的直线解析式为y＝kx+b（k≠0）， ∴， 解得， ∴直线解析式为y＝2x+1． 故选：A． 【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，明确关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 3．（2023•福州模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0），点A′（﹣2，4）．若点A与点A′关于直线l成轴对称，则直线l的解析式是（　　） A．y＝2 B．y＝x C．y＝x+2 D．y＝﹣x+2 【分析】设直线AA′的解析式为y＝kx+b，用待定系数法求出直线AA′，然后确定直线l即可． 【解答】解：设直线AA′的解析式为y＝kx+b， 把点A（2，0），点A′（﹣2，4）代入y＝kx+b得： ， 解得， 所以直线AA′为y＝﹣x+2， ∵点A与点A′关于直线l成轴对称， ∴直线l的解析式为y＝x+2． 故选：C． 【点评】本题考查了用待定系数法求函数解析式，待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 4．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx+3分别与x轴y轴交于点A和点B，将直线AB绕点A顺时针旋转90°后，所得直线与y轴的交点坐标为（　　） A．（0，﹣1） B．（0，） C．（0，） D．（0，） 【分析】设B旋转后的对应点为B′，作B′D⊥x轴于D，通过三角形全等即可求得B′D＝OA＝2，AD＝OB＝3，得到B′的坐标，进而全等直线AB′，进一步全等C点的坐标． 【解答】解：如图，设B旋转后的对应点为B′，作B′D⊥x轴于D， ∵直线yx+3分别与x轴y轴交于点A和点B， ∴A（2，0），B（0，3）， ∴OA＝2，OB＝3， ∴B′D＝OA＝2，AD＝OB＝3， ∵AB⊥AC， ∴∠OAB+∠DAB′＝90°＝∠OAB+∠OBA， ∴∠DAB′＝∠OBA， ∵AB＝B′A， ∵∠ADB′＝∠BOA＝90°， ∴△AOB≌△DB′A（AAS）， ∴B′D＝OA＝2，AD＝OB＝3， ∴B′（﹣1，﹣2）， ∴直线AB′yx， ∴C（0，）， 故选：B． 【点评】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，熟知三角形全等是解题的关键． 题型十二 一次函数与一元一次方程 1．（2024秋•广西期中）若关于x的方程2x﹣b＝0的解为x＝1，则直线y＝2x﹣b一定经过点（　　） A．（1，0） B．（0，1） C．（2，0） D．（0，2） 【分析】根据方程可知x＝1时，y＝0，即直线过点（1，0）． 【解答】解：由方程解可知：直线y＝2x﹣b一定经过某点的坐标为（1，0）， 故选：A． 【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系式解题的关键． 2．（2024秋•驿城区校级月考）若一次函数y＝kx﹣b（k为常数且k≠0）的图象经过点（﹣3，0），则关于x的方程k（x﹣7）﹣b＝0的解为（　　） A．x＝﹣5 B．x＝﹣3 C．x＝4 D．x＝5 【分析】由y＝k（x﹣7）﹣b与y＝kx﹣b可得直线y＝kx﹣b向右平移7个单位得到直线y＝k（x﹣7）﹣b，从而可得直线y＝k（x﹣7）﹣b与x轴交点坐标，进而求解． 【解答】解：直线y＝k（x﹣7）﹣b是由直线y＝kx﹣b向右平移7个单位所得， ∵y＝kx﹣b与x轴交点为（﹣3，0）， ∴直线y＝k（x﹣7）﹣b与x轴交点坐标为（4，0）， ∴k（x﹣7）﹣b＝0的解为x＝4， 故选：C． 【点评】本题考查一次函数图象的平移规律、一次函数与一元一次方程的关系． 3．（2023秋•宁德期末）已知一次函数y＝ax+b的图象如图所示，则关于x的方程ax+b+2＝0的解是 　　． 【分析】观察图象，y＝﹣2时，x的值即为关于x的方程ax+b+2＝0的解，据此求解． 【解答】解：∵一次函数y＝ax+b的图象与y轴交点的纵坐标是﹣2， ∴当x＝0时，ax+b＝﹣2，即ax+b+2＝0， ∴关于x的方程ax+b+2＝0的解为x＝0， 故答案为：x＝0． 【点评】本题考查了一元一次方程可利用一次函数的图象求解，数形结合是关键． 4．（2023秋•长清区期中）如图，已知直线y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣4），B（3，2），且与x轴交于点C． （1）求一次函数的解析式； （2）观察图象，直接写出方程kx+b＝0的解为 　 ； （3）求△AOB的面积． 【分析】（1）把点A（0，﹣4），B（3，2）代入直线y＝kx+b，得到关于k，b的方程组，解方程组，求出k，b即可； （2）先求出点C的坐标，然后根据一次函数与一元一次方程的关系，求出方程的解即可； （3）先根据点O和点A的坐标，求出OA，然后根据点B的坐标，利用三角形的面积公式，求出答案即可． 【解答】解：（1）把点A（0，﹣4），B（3，2）代入直线y＝kx+b得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式为：y＝2x﹣4； （2）∵点C在x轴上， ∴点C的纵坐标y＝0， 把y＝0代入y＝2x﹣4得： 2x﹣4＝0， 2x＝4， x＝2， ∴点C坐标为：（2，0）， ∴方程kx+b＝0的解为：x＝2， 故答案为：x＝2； （3）∵O（0，0），A（0，﹣4）， ∴OA＝|﹣4﹣0|＝4， ∵B（3，2）， ∴ ＝6． 【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系和利用待定系数法求一次函数的解析式． 题型十三 一次函数与二元一次方程（组） 1．（2023秋•大观区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+4与直线l2：y＝mx+n交于点A（﹣1，b），则关于x，y的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【分析】将点点A（﹣1，b）代入l1：y＝x+4得出A（﹣1，3），即可求解． 【解答】解：由条件可知：当x＝﹣1时，y＝﹣1+4＝3， ∴A（﹣1，3）， ∴关于x，y的方程组的解为， 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的解，熟练掌握方程组的解与交点坐标对应是关键． 2．（2024秋•迎泽区校级月考）如图中的两直线l1、l2的交点坐标可以看作哪个方程组的解（　　） A． B． C． D． 【分析】根据图象，用待定系数法求出两条直线的解析式即可得到答案． 【解答】解：直线l1经过（0，﹣1），（4，﹣2）， 设直线l1解析式为y＝kx﹣1， 则﹣2＝4k﹣1， 解得k， ∴直线l1解析式为yx﹣1， 直线l2经过（3，0），（4，﹣2）， 设直线l2解析式为y＝k'x+b， 则， 解得， ∴直线l2解析式为y＝﹣2x+6， ∴两直线l1、l2的交点坐标可以看作方程组的解； 故选：A． 【点评】本题考查一次函数与二元一次方程，解题的关键是掌握待定系数法求出两条直线的解析式． 3．（2023秋•三原县期末）如图，在直角坐标系中有两条直线，l1：y＝x+1和l2：y＝ax+b，这两条直线交于y轴上的点（0，1），那么方程组的解是　 ． 【分析】根据两条直线交于轴上的点（0，1），于是得到结论． 【解答】解：∵l1：y＝x+1和l2：y＝ax+b，这两条直线交于轴上的点（0，1）， ∴方程组的解是， 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 4．（2023秋•靖边县期末）如图，正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P（m，3），一次函数图象经过点B（1，1），与y轴的交点为D，与x轴的交点为C． （1）求一次函数表达式； （2）求D点的坐标； （3）求△COP的面积； （4）不解关于x、y的方程组，直接写出方程组的解． 【分析】（1）将点P（m，3）代入y＝﹣3x，求出m，得到P（﹣1，3）．把P、B两点的坐标代入y＝kx+b，利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）根据一次函数的解析式即可求出D点的坐标； （3）根据三角形的面积公式列式即可求出△COP的面积； （4）两函数图象的交点坐标即为两函数解析式组成的二元一次方程组的解． 【解答】解：（1）∵正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P（m，3）， ∴﹣3m＝3，m＝﹣1， ∴P（﹣1，3）． 把（1，1）和（﹣1，3）代入一次函数y＝kx+b， 得， 解得，， ∴一次函数解析式是y＝﹣x+2； （2）由（1）知一次函数表达式是y＝﹣x+2， 令x＝0，则y＝2， 即点D（0，2）； （3）由（1）知一次函数解析式是y＝﹣x+2， 令y＝0，得﹣x+2＝0，解得x＝2， ∴点C（2，0）， ∴OC＝2， ∵P（﹣1，3）， ∴△COP的面积OC•|yp|2×3＝3； （4）由图象可知，正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P（﹣1，3）， 所以方程组的解为． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．也考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积． 题型十四 一次函数与一元一次不等式（组） 1．（2024春•仓山区期末）一次函数y＝ax+b的图象如图所示，则不等式ax+b≥0的解集是（　　） A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2 【分析】根据函数图象找到一次函数图象在x轴上方或x轴上时，自变量的取值范围即可． 【解答】解：由函数图象可知，当一次函数图象在x轴上方或x轴上时，自变量的取值范围为x≤2， ∴不等式ax+b≥0的解集是x≤2， 故选：D． 【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象，能根据函数图象得出不等式的解集是解题的关键． 2．（2024秋•长沙期中）直线y1＝ax与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，关于x的不等式的解集为 　 　． 【分析】根据图象，找直线y1在y2下方部分的x的取值范围即可． 【解答】解：由图可知：两条直线的交点横坐标为﹣2， 由知，直线y1在直线y2的下方， ∵当x＞﹣2时，直线l1在直线l2的下方， ∴关于x的不等式的解集为x＞﹣2． 故答案为：x＞﹣2． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，根据不等式的问题转化为比较函数值大小的问题是解答本题的关键． 3．（2023春•砀山县校级期中）如图，根据图中信息解答下列问题： （1）求关于x的不等式mx+n＜1的解集； （2）当y1≤y2时，求x的取值范围； （3）当0＜y2＜y1 时，求x的取值范围． 【分析】（1）在图形中找到y1＜1时x的取值范围即可； （2）在图形中找到y1≤y2时对应的x的范围即可； （3）在图形中找到0＜y2＜y1 时对应的x的范围即可 【解答】解：（1）由图形知，在y1＝mx+n中，当y1＜1，即mx+n＜1时，x＜0； （2）由图知，当y1≤y2时，x≤2； （3）由图知，当2＜x＜4时，0＜y2＜y1． 【点评】本题主要考查一次函数与一元一次方程的关系，一元一次方程 的根就是它所对应的一次函数函数值为0时，自变量的值．即一次函数图象与x轴交点的横坐标． 4．（2024春•广安区校级期中）如图，请根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）交点P的坐标（1，1）是二元一次方程组：　　的解； （2）不等式kx+b＜0的解集是 　 　； （3）当x 　 　时，kx+b≥mx﹣n； （4）直线l1分别交x轴、y轴于点M、A，直线l2分别交x轴、y轴于点B、N，求点M的坐标和四边形OMPN的面积． 【分析】（1）根据函数图象即可求解； （2）根据函数图象即可求解； （3）根据函数图象即可求解； （4）利用待定系数法求出直线l1、l2的解析式，求出点N、M的坐标，再根据计算即可求解． 【解答】解：（1）由图象可得，交点P的坐标（1，1）是一元二次方程组的解， 故答案为：； （2）由图象可得，不等式kx+b＜0的解集是x＞3， 故答案为：x＞3； （3）由图象可得，当x≤1时，kx+b≥mx﹣n， 故答案为：x≤1； （4）把P（1，1），B（3，0）代入y＝kx+b得， ， 解得， ∴直线l2的解析式为， ∴， ∴， 同理可得直线l1的解析式为y＝2x﹣1， 当y＝0时，0＝2x﹣1， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形OMPN的面积． 【点评】本题考查了一次函数的交点问题，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键． 题型十五 一次函数的实际应用 1．（2023春•滦州市期末）某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x（kg）与其运费y（元）由如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量为（　　） A．20kg B．25kg C．28kg D．30kg 【分析】根据图中数据，用待定系数法求出直线解析式，然后求y＝0时，x对应的值即可． 【解答】解：设y与x的函数关系式为y＝kx+b， 由题意可知， 解得， 所以函数关系式为y＝30x﹣600， 当y＝0时，即30x﹣600＝0，所以x＝20． 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数的图象及一次函数的应用，是一道难度中等的题目．正确求出函数解析式是解题的关键． 2．（2024秋•五河县期末）甲葡萄采摘园推出周末采摘葡萄优惠活动，已知采摘的葡萄的标价为20元/千克，若一次性采摘不超过3千克，则按原价付款，若采摘超过3千克，则超过部分按标价的六折付款． （1）求付款金额y（元）关于采摘葡萄的重量x（千克）的函数表达式； （2）当天，旁边的乙葡萄采摘园也在进行采摘葡萄优惠活动，同样采摘的葡萄的标价也为20元/千克，但全部按标价的八折付款，小唯如果想用120元用于采摘葡萄，请问她在哪个葡萄园采摘的葡萄更多？ 【分析】（1）根据题意分0≤x≤3和x＞3两种情况写出函数解析式即可； （2）通过两种付款方式比较那个葡萄采摘园采摘的葡萄重量更多即可． 【解答】解：（1）由题意得： 当0≤x≤3时，y＝20x， 当x＞3时，y＝3×20+（x﹣3）×20×0.6＝12x+24， ∴付款金额y关于购买苹果的重量x的函数解析式为：； （2）小唯在甲葡萄采摘园采摘120元葡萄：12x+24＝120， 解得x＝8（kg）， 小唯在乙葡萄采摘园采摘120元葡萄：20×0.8x＝120， 解得x＝7.5（kg）， ∵8＞7.5， ∴小唯应该在甲葡萄采摘园采摘更划算． 【点评】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是写出分段函数的解析式． 3．（2023秋•六安月考）某电信公司手机的A类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费12元，另外，通话费按0.2元/min计；B类收费标准如下：没有月租费，但通话费按0.6元/min计．按照此类收费标准完成下列各题： （1）直接写出每月应缴费用y（元）与通话时长x（分）之间的关系式： A类： B类：　 （2）若每月平均通话时长为300分钟，选择 　 　类收费方式较少． （3）求每月通话多长时间时，按 A．B两类收费标准缴费，所缴话费相等． 【分析】（1）根据题目中收费标准可列出函数关系式； （2）根据两种收费方式，计算结果比较得出答案即可； （3）设每月通话时间x分钟，按A、B两类收费标准缴费，所缴话费相等列出方程解答即可． 【解答】解：（1）根据题意得， A类：y＝0.2x+12， B类：y＝0.6x； 故答案为：y＝0.2x+12；y＝0.6x． （2）A类收费：12+0.2×300＝72元； B类收费：0.6×300＝180元； 180＞72， 所以选择A类收费方式， 故答案为A； （3）设每月通话时间x分钟，由题意得 12+0.2x＝0.6x， 解得：x＝30． 答：每月通话时间30分钟，按A、B两类收费标准缴费，所缴话费相等 【点评】本题主要考查一次函数的应用，由条件列出相应的函数关系式是解题的关键． 4．（2023春•清河区校级期末）某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元． （1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． ①求y关于x的函数关系式； ②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？ 【分析】（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；然后根据销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元列出方程组，然后求解即可； （2）①根据总利润等于两种电脑的利润之和列式整理即可得解； ②根据B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍列不等式求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出利润的最大值即可． 【解答】解：（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元； 根据题意得， 解得． 答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元； （2）①根据题意得，y＝100x+150（100﹣x）， 即y＝﹣50x+15000； ②据题意得，100﹣x≤2x， 解得x≥33， ∵y＝﹣50x+15000， ∴y随x的增大而减小， ∵x为正整数， ∴当x＝34时，y取最大值，则100﹣x＝66， 此时最大利润是y＝﹣50×34+15000＝13300． 即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大，最大利润是13300元． 【点评】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，读懂题目信息，准确找出等量关系列出方程组是解题的关键，利用一次函数的增减性求最值是常用的方法，需熟练掌握． 题型十六 一次函数与图象的面积 1．如图，已知△ABC中，AC＝3，BC＝4，直线AB的函数解析式是yx+4． （1）求证：△ABC≌△BAO； （2）求△ABC的面积． 【分析】（1）求出AC＝3，BC＝4，根据全等三角形的判定定理SSS可证明△ABC≌△BAO； （2）由全等三角形的性质得出∠ACB＝∠AOB＝90°，根据三角形面积公式可得出答案． 【解答】（1）证明：令x+4＝0， ∴x＝3， ∴OB＝3， 令x＝0，y＝4， ∴OA＝4， ∵AC＝3，BC＝4， ∴AC＝OB，BC＝OA， 在△ABC和△BAO中， ， ∴△ABC≌△BAO（SSS）； （2）解：∵△ABC≌△BAO， ∴∠ACB＝∠AOB＝90°， ∵AC＝3，BC＝4， ∴S△ABC3×4＝6． 【点评】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 2．（2023秋•榆中县期末）如图所示，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，4）． （1）求过A，B两点直线的函数表达式； （2）过点B作直线BP与x轴交于点P，且使OP＝2OA，求△ABP的面积． 【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法，可求出过A，B两点直线的函数表达式； （2）由点A，B的坐标，可得出OA，OB的长，结合OP＝2OA，可求出AP的长，再利用三角形的面积公式，即可求出结论． 【解答】解：（1）设过A，B两点直线的函数表达式为y＝kx+b（k≠0）， 将A（﹣1，0），B（0，4）代入y＝kx+b（k≠0）得： ， 解得：， ∴过A，B两点直线的函数表达式为y＝4x+4； （2）∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，4）， ∴OA＝1，OB＝4． ∵OP＝2OA， ∴OP＝2， ∴AP＝OP﹣OA＝2﹣1＝1或AP＝OP+OA＝2+1＝3， ∴S△ABPAP•OB1×4＝2或S△ABPAP•OB3×4＝6． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）利用三角形的面积公式，求出△ABP的面积． 3．（2024春•正定县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，m）在直线y＝4x﹣5上，过点A的另一条直线交y轴于点B（0，6）． （1）求直线AB的函数表达式； （2）求△ABC的面积； （3）若点P（t，y1）在线段AB上（可与点A，B重合），点Q（t﹣1，y2）在直线y＝4x﹣5上，求y1﹣y2的最小值． 【分析】（1）待定系数法求出直线AB解析式即可； （2）先求出线段BC长，再根据三角形面积公式计算即可； （3）根据题意列出y1﹣y2的函数解析式，由t的取值范围和一次函数性质确定最值即可． 【解答】解：（1）∵点A（2，m）在直线y＝4x﹣5上， ∴m＝8﹣5＝3， ∴A（2，3）， 设直线AB的解析式为y＝kx+6，将点A（2，3）代入解析式得：3＝2k+6， 解得k， ∴直线AB的解析式为y． （2）在直线y＝4x﹣5中，C（0，﹣5）， ∴BC＝6+5＝11， ∴S△ABC11． （3）∵点P（t，y1）在线段AB上， ∴0≤t≤2， 根据题意，y1．，y2＝4（t﹣1）﹣5＝4t﹣9， ∴y1﹣y24t+9t+15， ∵0， ∴函数值随t增大而减小， 当t＝2时．y1﹣y2取最小值，最小值为4． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式及三角形面积问题，解决问题的关键是求出y1﹣y2的表达式，利用t的最值求出答案． 4．（2024秋•舒城县校级月考）如图，点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（2，0），过点C（﹣2，0）作直线l交AO于D，交AB于E，且使△ADE和△DCO的面积相等． （1）求△AOB的面积． （2）求直线l的函数解析式． 【分析】（1）由点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（2，0），结合三角形的面积公式可得答案； （2）证明△AOB和△CBE的面积相等，可得，可得E的纵坐标，再求解直线AB的解析式可得E的横坐标，再设直线l为：y＝mx+n，把E，C坐标代入求解即可． 【解答】解：（1）∵点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（2，0）， ∴． （2）∵△ADE和△DCO的面积相等， ∴△AOB和△CBE的面积相等， ∵C（﹣2，0），B（2，0）， ∴， ∴点E纵坐标为， 设直线AB为y＝kx+b，点B（2，0），A（1，3）在一次函数图象上， ∴， 解得：， ∴直线AB解析式为：y＝﹣3x+6， 将点E纵坐标代入直线解析式得：， 解得：， ∴， 设直线l解析式为：y＝mx+n，点E、点C在一次函数图象上， ∴， 解得：， ∴直线l为：． 【点评】本题考查的是坐标与图形面积，求解一次函数的解析式，熟练掌握一次函数性质是关键． 题型十七 一次函数与动点运动问题 1．如图，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，y关于x的函数图象如图2所示，若b﹣2a＝5，则长方形ABCD的周长为（　　） A．20 B．18 C．16 D．24 【分析】根据函数的图象、结合图形可知BC＝a，AB×BC＝10，所以AB，根据b﹣2a，b﹣2a＝5，得5，求出a的值即可得出答案． 【解答】解：根据图2的点（a，10），可知BC＝a，AB×BC＝10， ∴AB， ∴BC+CD+DA＝2ab， ∴b﹣2a， ∵b﹣2a＝5， ∴5， ∴a＝4， ∴AB＝5，BC＝4， ∴长方形ABCD的周长为2×（5+4）＝18． 故选：B． 【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，在解题时要能根据函数的图象求出有关的线段的长度，从而得出长方形的周长是本题的关键． 2．（2023春•朝阳区校级月考）如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据动点从点A出发，首先向点D运动，此时y不随x的增加而增大，当点P在DC上运动时，y随着x的增大而增大，当点P在CB上运动时，y不变，据此作出选择即可． 【解答】解：当点P由点A向点D运动，即0＜x≤4时，y的值为0； 当点P在DC上运动，即4＜x≤8时，y随着x的增大而增大； 当点P在CB上运动，即8＜x≤12时，y不变； 当点P在BA上运动，即12＜x≤16时，y随x的增大而减小． 故选：B． 【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决动点问题的函数图象问题关键是发现y随x的变化而变化的趋势． 3．如图，长方形ABCD中，AB＝1，AD＝2，M是CD的中点，点P在矩形的边上沿A→B→C→M运动，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系用图象表示大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据每一段函数的性质，确定其解析式，特别注意根据函数的增减性，以及几个最值点，确定选项比较简单． 【解答】解：点P由A到B这一段中，三角形的AP边上的高不变，因而面积是路程x的正比例函数， 当P到达B点时，面积达到最大，值是1， 在P由B到C这一段，面积随着路程的增大而减小， 到达C点，即路程是3时，最小是， 由C到M这一段，面积越来越小， 当P到达M时，面积最小变成0， 因而选项B符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了分段函数的画法，是难点，要细心认真． 4．如图，图甲是一个大长方形剪去一个小长方形后形成的图形，已知动点P以2cm/s的速度沿图甲的边框按B→C→D→E→F→A的路径运动，相应的△ABP的面积S与时间t之间的关系如图乙所示．若AB＝6cm，试回答下列问题： （1）图甲中的BC长为多少？ （2）图甲中的图形的面积是多少？ （3）图乙中的a，b 的值各是多少？ 【分析】（1）通过图象可知，0～4为点在线段BC运动的过程，也就是BC＝2×4＝8cm， （2）通过图象可得到BC＝8cm，CD＝4cm，DE＝6cm，EF＝AB﹣CD＝2cm，AF＝BC+DE＝14cm，图甲的面积即为AB×AF﹣CD×DE＝60cm2， （3）图中的a值就是线段BC的长，即为8，图中的B为到达A点的时间，即9+（EF+AF）÷2＝17． 【解答】解：（1）由图象可知，BC的长为图中0～4段， 即BC＝2×（4﹣0）＝8（cm）； （2）由图象可知：CD＝2×（6﹣4）＝4（cm），DE＝2×（9﹣6）＝6（cm）， ∴EF＝AB﹣CD＝4（cm），AF＝BC+DE＝14（cm）， ∴S图甲＝AB•AF﹣CD•DE＝6×14﹣4×6＝60（cm2）； （3）图中的a就是线段BC的长度， ∴a＝8， 图中b为P点运动到A点的时间， ∴b＝（BC+CD+DE+EF+FA）÷2＝（8+4+6+2+14）÷2＝17（s）． 【点评】本题考查动点问题的函数图象的解读，不规则图形的面积求法． 题型十八 一次函数的综合应用问题 1．（2023秋•铁岭期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B． （1）求点A、B的坐标； （2）M是x轴上一点，当△ABM的面积为5时，求点M的坐标； （3）N是y轴上的一点，当△ABN为等腰三角形时，直接写出点N的坐标． 【分析】（1）在yx+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝4，即得A（4，0），B（0，3）； （2）由△ABM的面积为5，知AM•OB＝5，即AM×3＝5，解得AM，即得M的坐标为（，0）或（，0）； （3）设N（0，t），有AB2＝42+32＝25，AN2＝16+t2，BN2＝（t﹣3）2，分三种情况：①当AB＝AN时，25＝16+t2，②当AB＝BN时，25＝（t﹣3）2，③当AN＝BN时，16+t2＝（t﹣3）2，分别解方程可得答案． 【解答】解：（1）在yx+3中， 令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝4， ∴A（4，0），B（0，3）； （2）如图： ∵△ABM的面积为5， ∴AM•OB＝5， 即AM×3＝5， 解得AM， ∵A（4，0）， ∴M的坐标为（，0）或（，0）； （3）设N（0，t）， ∵A（4，0），B（0，3）； ∴AB2＝42+32＝25，AN2＝16+t2，BN2＝（t﹣3）2， ①当AB＝AN时，25＝16+t2， 解得t＝3（此时N，B重合，舍去）或t＝﹣3， ∴N（0，﹣3）； ②当AB＝BN时，25＝（t﹣3）2， 解得t＝8或t＝﹣2， ∴N（0，8）或（0，﹣2）； ③当AN＝BN时，16+t2＝（t﹣3）2， 解得t， ∴N（0，）； 综上所述，N的坐标为（0，﹣3）或（0，8）或（0，﹣2）或（0，）． 【点评】本题考查一次函数的应用，涉及函数图象上点坐标的特征，三角形面积，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用． 2．如图1，一次函数yx+3的图象与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，点D是直线AB上的一个动点，CD⊥x轴于点C，点P是射线CD上的一个动点． （1）求点A，B的坐标； （2）如图2，当点D在第一象限，且点D的横坐标为4时，将△ACP沿着AP翻折，当点C的对应点C′落在直线AB上时，求点P的坐标； （3）点D在运动过程中，当△OCD的面积是△OAD面积的2倍时，请直接写出点D的坐标． 【分析】（1）利用坐标轴上点的特点建立方程即可得出结论； （2）先求出C（4，0），D（4，6），进而求出AC＝8，CD＝6，AD＝10，由折叠知，AC'＝8，C'D＝2，再用勾股定理即可得出结论； （3）利用三角形面积关系求出点C坐标，即可得出结论． 【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3， ∴B（0，3）， 令y＝0，则x+3＝0， ∴x＝﹣4， ∴A（﹣4，0）； （2）∵点D的横坐标为4， ∴C（4，0）， ∵CD⊥x轴， ∴x＝4时，y＝6， ∴D（4，6）， ∴AC＝8，CD＝6，AD＝10， 由折叠知，AC'＝AC＝8， ∴C'D＝AD﹣AC'＝2， 设PC＝a， ∴PC'＝a，DP＝6﹣a， 在Rt△DC'P中，a2+4＝（6﹣a）2， ∴a， ∴P（4，）； （3）∵△OCD的面积是△OAD面积的2倍， ∴OC＝2OA， ∵A（﹣4，0）， ∴OC＝8， ∴C（8，0）或（﹣8，0）， ∴D（8，9）或（﹣8，﹣3）． 【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，轴对称的性质，勾股定理，三角形的面积，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 3．（2023秋•尤溪县期中）如图1，平面直角坐标系中，一次函数图象分别交x轴、y轴于点A，B，一次函数y＝﹣x+b的图象经过点B，并与x轴交于点C，点P是直线AB上的一个动点． （1）求b的值与点C的坐标； （2）如图2，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q，垂足为点H．探究直线AB上是否存在点P，使PQ＝BC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． （3）探究x轴上是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）求出A（﹣6，0），B（0，3），把B（0，3）代入y＝﹣x+b得3＝﹣0+b，故b＝3；在y＝﹣x+3中，令y＝0得x＝3，故C（3，0）； （2）求出BC3；设P（m，m+3），则Q（m，﹣m+3），PQ＝|m+3﹣（﹣m+3）|＝|m|，可得|m|＝3，即可解得P（2，3）或（﹣2，3）； （3）设M（t，0），可得AM2＝（t+6）2，BM2＝t2+9，AB2＝45，①当AM＝BM时，（t+6）2＝t2+9，②当AM＝AB时，（t+6）2＝45，③当BM＝AB时，t2+9＝45，分别解方程可得答案． 【解答】解：（1）在yx+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝﹣6， ∴A（﹣6，0），B（0，3）， 把B（0，3）代入y＝﹣x+b得：3＝﹣0+b， ∴b＝3； ∴y＝﹣x+3， 在y＝﹣x+3中，令y＝0得x＝3， ∴C（3，0）； ∴b的值为3，点C的坐标为（3，0）； （2）存在点P，使PQ＝BC，理由如下： ∵B（0，3），C（3，0）， ∴BC3； 设P（m，m+3），则Q（m，﹣m+3）， ∴PQ＝|m+3﹣（﹣m+3）|＝|m|， ∴|m|＝3， 解得m＝2或m＝﹣2， ∴P（2，3）或（﹣2，3）； （3）x轴上存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形，理由如下： 设M（t，0）， 又A（﹣6，0），B（0，3）， ∴AM2＝（t+6）2，BM2＝t2+9，AB2＝45， ①当AM＝BM时，（t+6）2＝t2+9， 解得t， ∴M（，0）； ②当AM＝AB时，（t+6）2＝45， 解得t＝36或t＝﹣36； ∴M（36，0）或（﹣36，0）； ③当BM＝AB时，t2+9＝45， 解得t＝6或t＝﹣6（此时M与A重合，舍去）， ∴M（6，0）； 综上所述，M的坐标为（，0）或（36，0）或（﹣36，0）或（6，0）． 【点评】本题考查一次函数的综合应用，涉及一次函数图象上点坐标的特征，等腰三角形性质及应用，两点间的距离公式等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 4．（2024秋•青羊区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y的图象与x轴、y轴分别交于D，B两点．直线y＝kx的图象与x轴交于C．直线l1与直线l2交于点A（a，3）． （1）求点A的坐标及直线l2的表达式； （2）若点E在直线l2上，且△ADE的面积为，求点E的坐标； （3）在x轴上是否存在点P，使得∠ACB＝2∠APC，若存在，求出点P坐标，若不存在，说明理由． 【分析】（1）当y＝3时，y3，得到点A（1，3），再由待定系数法即可求解； （2）当点E在y轴左侧时，由△ADE的面积DH×（xA﹣xE）（1﹣m），得到点E（﹣1，）；当点E（E′）在y轴右侧时，则此时点E、E关于点A对称，即可求解； （3）当点P在y轴左侧时，证明PC＝AC，设点P（x，0），即可求解；当点P（P′）在y轴右侧时，则点P′、P关于点A对称，即可求解． 【解答】解：（1）当y＝3时，y3， 解得：x＝1＝a，即点A（1，3）， 将点A的坐标代入函数表达式得：3＝k，则k， 则直线l2的表达式为：yx； （2）如图1，当点E在y轴左侧时， 设直线l2和y轴交于点H（0，），设点E（m，m），由函数的表达式知，点D（0，）， 则DH， 则△ADE的面积DH×（xA﹣xE）（1﹣m）， 解得：m＝﹣1，即点E（﹣1，）； 当点E（E′）在y轴右侧时， 则此时点E、E关于点A对称， 由中点坐标公式得：点E′（3，）， 即点E的坐标为：（﹣1，）或（3，）； （3）存在，理由：由函数的表达式知，点C（﹣3，0）， 当点P在y轴左侧时，如图2， ∵∠ACB＝2∠APC，则∠CPA＝∠CAP， 即PC＝AC，设点P（x，0）， 由点A、P、C的坐标得，AC＝5，PC＝﹣3﹣x＝5， 解得：x＝﹣8，即点P（﹣8，0）， 当点P（P′）在y轴右侧时， 则点P′、P关于点A对称， 由中点坐标公式得：点P′（10，0）， 综上，P（﹣8，0）或（10，0）． 【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算，数形结合和分类求解是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 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