第5章 一次函数（单元测试·培优卷）-2024-2025学年八年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

第5章 一次函数（单元测试·培优卷） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（23-24八年级下·广东汕尾·期末）下列各点中，在一次函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·宁夏银川·一模）已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（　　） A． B． C． D． 3．（21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）图象如图则（     ） A．， B．， C．， D．， 4．（2024·陕西西安·三模）若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度，得到点N，点N在直线上．如果一次函数的图象与线段有公共点，则n的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）已知一次函数（、为常数，）的图象经过点，，则下列说法不正确的是（   ） A．图象不经过第三象限 B．随着的增大而减小 C．图象与轴交于 D．图象与轴交于 7．（24-25八年级上·河北保定·期中）直线与直线在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点、、的坐标分别为、、，点是直线与轴的交点，点在直线上，若点关于直线的对称点恰好落在四边形内部（不包括正好落在边上），则的取值范围为（   ） A． B． C．或 D．或 9．（23-24九年级下·云南昆明·开学考试）如图，直线交x轴、y轴分别于、两点，直线交y轴于B点，过B作x轴的平行线交直线于，过作y轴的平行线交直线于，过作x轴的平行线交直线于，…如此反复，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级下·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴、轴于，两点，以为边在直线右侧作正方形，连接，过点作轴于点，交于点，连接．则下列说法中正确的有（    ）个 ①点的坐标为 ② ③点的坐标为） ④的周长为    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（22-23八年级下·四川内江·阶段练习）函数中自变量x的取值范围是 ． 12．（24-25八年级上·上海·阶段练习）若k为任意实数，直线．必过一定点，此定点坐标为 ． 13．（24-25八年级上·四川成都·期中）已知正比例函数的值随x的增大而增大，则m的取值范围为 ． 14．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）一次函数的图象不经过第三象限，现将该函数图象向下平移个单位，使其不经过第一象限，则m的取值范围为 ． 15．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，，，的面积等于10，则a的值 ． 16．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知直线与直线相交于点，则方程组的解为 ． 17．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）如图①，在、两地之间有汽车站，客车由地驶往站，货车由地驶往地．两车同时出发，匀速行驶．图②是客车、货车离站的路程、与行驶时间之间的函数图象，则点的坐标为 ． 18．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点A是直线在第一象限上的一点，线段在x轴上，且是等边三角形，直线l上存在一动点P，已知的最大值为，则点A的横坐标是（   ） A．3 B．4 C． D．6 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（23-24八年级下·福建福州·期末）已知与成正比例，且当时，． (1)求关于的函数解析式； (2)若点关于轴的对称点恰好落在该函数的图象上，求的值． 20．（本小题满分8分）（22-23七年级下·湖北·期末）运输化肥，装载了节火车车厢和辆汽车；运载化肥，装载了节火车车厢和10辆汽车． (1)求每节火车车厢与每辆汽车平均各装多少吨化肥？ (2)若有化肥吨，现用辆汽车，节火车共同运输，当时，估计这批化肥有多少吨？直接写出可能的范围___________； 21．（本小题满分10分）（24-25八年级上·四川达州·期中）如图 ，直线与x轴相交于点 A，与y轴相交于点B． (1)求的面积 ； (2)已知点C在x轴上 ，连接，若的面积是16 ，求点C的坐标 ； (3)若P是坐标轴上的一点 ，且，求点P的坐标． 22．（本小题满分10分）（2024八年级上·安徽·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，且直线与轴交于点，直线与轴交于点． (1)求与直线的函数解析式； (2)如果点在直线上，且，求点的坐标； (3)如果点在直线上，且点的横坐标为，点在直线上，且轴，，直接写出的值． 23．（本小题满分10分）（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）在2024年，国家出台政策减免新能源汽车的购置税与车船税，一系列优惠政策如同春风拂面．某新能源汽车经销商购进中级和紧凑两种型号的新能源汽车，据了解6辆中级型汽车、4辆紧凑型汽车的进价共计208万元；3辆中级型汽车比2辆紧凑型汽车的进价多40万元． (1)求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； (2)由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，已知中级型汽车的售价为27万元/辆，紧凑型汽车的售价为20万元辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于25辆，设购进a辆中级型汽车，100辆车全部售完获利W万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆．才能使W最大？W最大为多少万元？（利润=售价-进价） 24．（本小题满分12分）（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，直线的图像与轴、轴分别交于，两点，且． （1）求点坐标和值． 【问题探究】 （2）点在直线的图像上，当点的横坐标是时，求的面积； 【问题发现】 （3）若点是直线图像上在第二象限内的一个动点，求的面积与的函数关系式； 【问题拓展】 （4）①问题（3）中当点运动到某位置时，的面积为，求此时点坐标； ②在①成立的情况下，轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有点坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D D A C C C A A 1．C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，分别代入、、及求出值，对照各选项中点的纵坐标后即可得出结论．解题的关键是牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式． 【详解】解：A、当时，， ∴点不在一次函数的图象上，故选项不符合题意； B． 当时，， ∴点不在一次函数的图象上，故选项不符合题意； C． 当时，， ∴点在一次函数的图象上，故选项符合题意； D． 当时，， ∴点不在一次函数的图象上，故选项不符合题意； 故选：C． 2．D 【分析】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键．点，，在同一个函数图象上在同一个函数图象上，可得N、P关于y轴对称，当时，y随x的增大而增小，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴得N、P关于y轴对称， ∴选项A、B错误， ∵，在同一个函数图象上，且当时，，y随x的增大而减少， ∴选项C错误，选项D正确． 故选：D． 3．D 【分析】本题考查的是一次函数的图象，根据一次函数的图象解答即可求解，掌握一次函数的图象特点是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， 又∵一次函数的图象与轴的交点在轴的正半轴上， ∴， ∴，， 故选：． 4．D 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，一次函数的性质等等，先把代入方程中得到，进而得到当时，，据此可得答案． 【详解】解：∵关于x的方程的解是， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∴当时，，即直线一定经过点， 故选：D． 5．A 【分析】本题考查一次函数图象及性质，点坐标平移，一元一次方程等．根据题意将点N表示出，再代入中即可求出和点N的坐标，再利用一次函数图象及性质即可得到本题答案． 【详解】解：∵点向左平移4个单位长度，得到点N， ∴点N的坐标为：， ∵点N在直线上， ∴，解得：， ∴，， ∵一次函数的图象与线段有公共点， ∴将点代入中得：， 将点代入中得：， ∴， 故选：A． 6．C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、求一次函数的解析式，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．先利用待定系数法求出一次函数的解析式，再根据一次函数的图象与性质逐项判断即可得． 【详解】解：将点，代入一次函数得：，解得， 则一次函数的解析式为， ∵， ∴这个函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，随着的增大而减小，选项A和选项B说法都正确； 当时，，解得， 则这个函数的图象与轴交于，选项C说法不正确； 当时，， 则这个函数的图象与轴交于，选项D说法正确； 故选：C． 7．C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质，数形结合是本题的关键．根据两个一次函数的图象逐一分析系数符号即可解决． 【详解】解：A、直线中，，中，，k的取值相矛盾，故本选项不符合题意； B、直线中，，中，，b的取值相矛盾，故本选项不符合题意； C、直线中，，中，，故本选项符合题意； D、直线中，，中，，k，b的取值相矛盾，故本选项不符合题意； 故选：C． 8．C 【分析】本题考查了一次函数的图象及性质，解题的关键是明白该题涉及直线垂直时“”之间的关系；直线的交点坐标与对应方程组的解之间的关系；中点坐标公式需要熟悉． 【详解】解：∵点在直线上， ∴，得到， 于是直线的表达式是． 于是过点与直线垂直的直线解析式为． 联立方程组， 解得，则交点． 根据中点坐标公式可以得到点， ∵点在长方形的内部， ∴， 解得或者． 本题答案：或者． 故选：C． 9．A 【分析】本题考查一次函数的有关知识，等腰直角三角形的性质，掌握探究规律题目的方法，从特殊到一般，归纳出规律，先找到的、的横坐标的规律，然后求出点坐标． 【详解】解：∵直线交x轴、y轴分别于、两点，直线交y轴于B点， ∴，， ∵过B作x轴的平行线交直线于， ∴， ∵过作y轴的平行线交直线于， ∴， ∵过作x轴的平行线交直线于， ∴ ∴的横坐标为1，的横坐标为，的横坐标为， 的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为， 点在直线上， 点的纵坐标为64， 点． 故选：A． 10．A 【分析】根据一次函数解析式，令x、y分别为0，即可求出A、B两点坐标，再利用勾股定理即可算出的长，过点D作x轴垂线交x轴于点H，构造三角形全等即可推出点D的坐标；求出的解析式，可得点E的坐标，可得出，则，过点C作y轴垂线交y轴于点N，构造三角形全等即可推出点C的坐标；将利用全等转换为即可求出的周长． 【详解】解：∵一次函数的图象交x轴、y轴与A、B两点， ∴当，则，故， 当，则，故， ∴， 在中，， 故的长为13； 过点D作x轴垂线交x轴于点H，过点C作y轴垂线交y轴于点N，如图所示：    ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为，①错误； ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵轴， ∴， ∴C的坐标为，③正确； 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴，E点的坐标为， ∴， ∵轴， ∴，②错误； 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，④错误． 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数性质的综合应用，熟练一次函数图象的基本性质并能结合全等三角形逐步推理细心运算是解题关键． 11．且 【分析】此题考查了函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分式分母不为是解题的关键．根据二次根式的被开方数是非负数、分式分母不为列出不等式组，解不等式组得到答案． 【详解】由可得： ， 解得：且． 故答案为：且． 12． 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式．由变形为，则当时无论取什么值，都等于，所以对任意实数，直线必过一定点． 【详解】解： 当时，， 此定点坐标为， 故答案为． 13． 【分析】本题考查了正比例函数的性质，由正比例函数的性质可得，求解即可得解． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数系数与图象的关系是解题关键．根据图象在坐标平面内的位置关系确定m的取值范围，从而求解． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第三象限， ∴经过第一、二、四象限， ∴， 将该函数图象向下平移个单位，使其不经过第一象限， ， 解得： 故答案为：． 15．或2 【分析】由可知点在直线上，当点在的左侧且的面积等于10时，求得的值，当点在的右侧且的面积等于10时，求得的值．本题考查了三角形的面积，正比例函数的图象性质，坐标与图形性质，数形结合是解题的关键． 【详解】解：如图， 点的坐标为， 点在直线上， 当点在的左侧且的面积等于10时，即点， ∵， ， 解得， 当点在的右侧且的面积等于10时，即点， ∵， ， 解得， 的面积等于10，则或． 故答案为：或2． 16． 【分析】此题主要考查了二元一次方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解． 首先把代入直线即可求出m的值，从而得到P点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次方程组的解可得答案． 【详解】解：∵直线经过点， ∴， 解得， ∴， ∴关于x，y的方程组的解为． 故答案为：． 17． 【分析】本题考查一次函数的应用，根据图象可以分别求得和所在直线的解析式，然后联立方程组即可求得点的坐标，根据题意可以得到点代表的实际意义． 【详解】解：由图象可得，， 设客车由到对应的函数解析式为，代入， 解得： 即客车由到对应的函数解析式为， 货车由地到地的所用的时间是：(小时)，则 货车由到对应的函数解析式为，代入， 得 解得： 即货车由到对应的函数解析式为， 联立 解得： 点的坐标为， 故答案为：． 18．C 【分析】本题考查了一次函数与几何图形的综合，最短路径的计算，掌握一次函数图象的性质，等边三角形的性质是解题的关键． 根据题意，当点三点共线时，有最大值，最大值为的长，根据一次函数图象的性质可得，根据等边三角形的性质，如图所示，过点作于点，可得，当时， 解得，，由此即可求解． 【详解】解：已知直线l上存在一动点P，已知的最大值为， 如图所示，设直线与轴交于点， 在中，， ∴当点三点共线时，有最大值，最大值为的长， ∴点与点重合时，， 直线， 令，则，令，则， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， 如图所示，过点作于点， ∴， ∴， ∴， 当时，， 解得，， ∴点A的横坐标是， 故选：C ． 19．(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，关于y轴对称点的坐标特征等知识，解题的关键是： （1）设，把，代入求解即可； （2）利用轴对称性求出对称点的坐标，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：设， 把，代入，得， 解得， ∴ （2）解：点关于轴的对称点为， ∵在的图象上， ∴． 20．(1)每节火车车厢装吨化肥，每辆汽车平均装吨化肥； (2) 【分析】（1）根据题意∶运输化肥，装载了节火车车厢和辆汽车；运载化肥，装载了节火车车厢和辆汽车，列出方程组即可得解； （2）根据车辆数与化肥总量的关系列出一次函数，代入及即可得解 【详解】（1）解∶设每节火车车厢装吨化肥，每辆汽车平均装吨化肥，根据题意得， ， 解得 答：每节火车车厢装吨化肥，每辆汽车平均装吨化肥； （2）解：∵每节火车车厢装吨化肥，每辆汽车平均装吨化肥，有化肥吨，现用辆汽车，节火车共同运输， ∴， 当时，，当时，， ∵中，随的增大而增大， ∴当时，， 故答案为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组及一次函数的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组及函数关系式是解题的关键． 21．(1)12 (2)或 (3)或 【分析】（1）先求出点，点坐标，由三角形的面积公式可求解； （2）由三角形的面积公式可求解； （3）分两种情况：当点P在x轴上时，设点P的坐标为，当点P在y轴上时，设点P的坐标为，分别列出方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 把代入得：， 解得：， 点，点， ，， 的面积； （2）解：设点， 的面积是16， ， ， ，， 点坐标为或； （3）解：当点P在x轴上时，设点P的坐标为， ∵，， ∴， 解得：， ∴此时点P的坐标为； 当点P在y轴上时，设点P的坐标为， ∵，， ∴， 解得：， ∴此时点P的坐标为； 综上分析可知：点P的坐标为：或． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积公式，勾股定理，坐标与图形等知识，解答此题的关键是熟知一次函数与坐标轴的交点坐标的求法． 22．(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴交点问题，待定系数法求解析，线段垂直平分线的性质等知识点， （1）利用待定系数法即可解决问题； （2）首先推出点P的纵坐标为3，再根据待定系数法即可解决问题； （3）由题意设，则， 由题意可得， 解方程即可； 熟练掌握一次函数的图象与性质是解决此题的关键． 【详解】（1）解：把代入中，得到， ， 把代入直线中，得到，， 直线的解析式为； （2）解：与轴交于点A， ∴， ， 与轴交于点， ∴， ， ， 点的纵坐标为， ， 则， ； （3）解：设，而轴， ∴， ， ， 解得或． 23．(1)中级型汽车进货单价为24万元和紧凑型汽车进货单价为48万元 (2)该经销商应购进中级型汽车25辆，紧凑型汽车75辆时，W最大为375万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用； （1）设中级型汽车进货单价为x元和紧凑型汽车进货单价为y元．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）根据题意得出，，进而根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设中级型汽车进货单价为x万元和紧凑型汽车进货单价为y万元． ， 解得， 答：中级型汽车进货单价为24万元和紧凑型汽车进货单价为48万元； （2）由题可得， ∵ ∴W随a的增大而减小， ∴当时，W有最大值为375万元， 答：该经销商应购进中级型汽车25辆，紧凑型汽车75辆时，W最大为375万元． 24．（1）点坐标为，；（2）的面积为；（3）；（4）①点坐标为时，的面积为；②存在一点，使是等腰三角形，满足条件的所有点坐标为或或或，理由见解析 【分析】本题考查了一次函数的应用，涉及三角形的面积，等腰三角形的性质，解题的关键是分类讨论． （1）由与轴相交于点，可得，根据，求出，即可求出点坐标，将点坐标代入，即可求出值； （2）求出，根据即可求解； （3）由即可求解； （4）①当时，，求出，再将代入中即可求解；②设，则，，，当时，；当时，；当时，；分别解方程即可求解． 【详解】（1）与轴相交于点， ， ， ， 点坐标为， 把点坐标代入， 得，； （2）由（1）知， 把代入 得， ， ； （3）， ； （4）①当时，， 解得，则， 点坐标为时，的面积为； ②存在一点，使是等腰三角形，理由如下： 设， ，，， 当时，， 解得：， ； 当时，， 解得：（不合题意，舍去）或， ； 当时，， 解得：或， 或； 综上所述，点坐标为或或或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$