第7章 平行线的证明（单元测试·综合卷）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

第7章 平行线的证明（单元测试·综合卷） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）对于命题“如果与互补，那么”，能说明这是假命题的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线、被直线所截，平分交于点．下列条件中，不能判定的是（） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，已知与上的点，点，现进行如下操作：①以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接；②以点为圆心，长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，交第步中所画的弧于点，连接．下列结论不能由上述操作结果得出的是（   ） A． B． C． D． 5．（17-18八年级·天津河东·期末）如图，，记，，当时，与之间的数量关系为（   ）    A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，在一副直角三角板中，两块三角板（和）各有一条直角边与直线重合，，，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（19-20八年级上·广西贵港·期末）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，若，则（　　） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·海南儋州·期中）下列命题∶ ①若，，则； ②若恰好是另一个整式的平方，则常数的值为； ③若图是由个全等的小正方形拼成，则； ④有一个角及两条边分别对应相等的两个三角形全等，其中假命题的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 10．（2024·辽宁·模拟预测）如图，作线段，以点B、A为圆心，大于的长为半径分别作弧交于Q、R，连接交于点M．以M为圆心，长为半径作弧，在弧上取一点C，连接、．在上取一点N，以为半径作弧交于点O，连接，以O、N为圆心、大于的长为半径作弧交于一点P，连接并延长交于D．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级上·河北承德·期中）命题“两个全等图形的面积相等”的逆命题是 ． 12．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）用反证法证明“已知，在中，，．求证：”，第一步应先假设 ． 13．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，正方形的四个顶点分别在四条互相平的直线，，，上，这四条直线中，相邻两条之间的距离依次为，，．若，，则正方形的面积等于 ． 14．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，线段，过端点作射线，点为射线上定点，且，点为射线上动点，关于对称的图形为（点的对称点为点），连接．若是直角三角形，则的长为 ． 15．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，是的中点，是边上一动点，将沿翻折，使点落在点处，当时， ．    16．（24-25八年级上·江西南昌·期中）如图，已知，在射线上取一点A，过点A作交于点B，以A为端点画射线交线段于点C（点C不与点O、点B重合）．若中，有一个内角度数是另一个内角度数的2倍，则的度数是 ． 17．（23-24七年级下·江苏南京·期末）如图，，的平分线相交于点．点分别在上，，交于点．设，则 ．(用含有的代数式表示) 18．（23-24七年级下·全国·阶段练习）将一幅三角板（，，）如图放置，则下列结论： ①若，则； ②若，则 ③若，则； ④若，则 ； ⑤ ． 其中正确的有 （填序号）． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）如图，已知点、、、在同直线上，有下列关系式：①，②，③，④ (1)请从中选择三个作为已知条件，余下一个作为结论，写出一个真命题：如果_______________，那么_______________．（填写序号） (2)证明（1）中命题的正确性． 20．（本小题满分8分）（24-25七年级上·山东济宁·期中）已知：如图，F、C是上的两点，且．求证： (1)； (2)． 21．（本小题满分10分）（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知于点D，于点A，，试说明． 解：∵（已知）， ∴（______）． 同理． ∴（______）． 即． ∵（已知）， ∴______（等式的性质1）． ∴（______）． 22．（本小题满分10分）（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，，平分，平分，点在上，且，． (1)与垂直吗？说明你的理由； (2)若，，试求出四边形的面积． 23．（本小题满分10分）（22-23七年级下·四川内江·期末）如图1，，点C、D分别在射线上，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点F． (1)当时，求的度数； (2)当C、D在射线上任意移动时（不与点O重合），的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出的度数； (3)当在的三个内角中，有一个角是另一个角的3倍时，求的度数． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级上·河南周口·期中）综合与探究 (1)如图1，直线经过正方形的顶点，分别过正方形的顶点，作于点，于点，若，．则的长为______； (2)如图2，在中，，，过点C在外作直线，于点，于点．求证：； (3)在（2）的条件下，过点作直线与线段相交，直接写出线段，和之间的数量关系．    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D A D B B C C A 1．D 【分析】本题考查了举例说明假命题．熟练掌握举例说明假命题是解题的关键． 由 ，，可知是说明命题“若，则”是假命题的反例，然后作答即可． 【详解】解：∵ ，， ∴是说明命题“若，则”是假命题的反例， 故选：D． 2．C 【分析】此题考查的知识点是命题与定理，理解能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键． 说明某命题为假命题，可举反例，但反例要满足命题的条件，不符合结论．再根据选项解答即可． 【详解】解：A、不满足条件“与互补”，也不满足结论，故不符合题意； B、不满足条件“与互补”，也不满足结论，故不符合题意； C、满足条件“与互补”，不满足结论“”，故符合题意； D、不满足条件“与互补”，也不满足结论，故不符合题意； 故选：C． 3．D 【分析】本题主要考查了平行线的判定及角平分线的定义，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．根据平行线的判定及角平分线的定义进行判断即可． 【详解】解：A．根据内错角相等，两直线平行，由可得，故本选项不符合题意； B．∵平分交于点． ， ∵， ， 根据内错角相等，两直线平行，由可得，故本选项不符合题意； C．∵，， ∴， 根据同位角相等，两直线平行，由可得，故本选项不符合题意； D．不能得出，故本选项符合题意． 故选：D． 4．A 【分析】本题考查了平行线的判定，尺规作图，全等三角形的判定与性质，根据图形的作法得到相等的线段，证明是关键．证明，根据全等三角形的性质以及平行线的判定定理即可得出结论． 【详解】解：由题意可得：，， ，故B正确，不符合题意； ，，故A错误，符合题意；C正确，不符合题意； ，故D正确，不符合题意； 故选：A． 5．D 【分析】本题考查了全等三角形的性质、等腰三角形两底角相等的性质以及平行线的性质，根据全等三角形对应边相等可得，全等三 角形对应角相等可得，然后求出 ，再根据等腰三角形两底角相等求出，然后根据两直线平行，同旁内角互补表示出，整理即可． 【详解】解： 在中， 整理得， 故选：D． 6．B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据直角求出，然后根据三角形内角和求解即可，掌握三角形的内角和为是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意知：， ∴， 故选：B． 7．B 【分析】本题考查的是三角形内角和定理的应用，熟练掌握三角形内角和定理是解题关键，先求，进而求出，再根据即可求出结论． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 8．C 【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出的度数，根据补角的定义求出的度数，根据三角形的内角和即可求出的度数，即可求出结果．本题考查了角平分线的定义，三角形的外角性质，三角形内角和性质，难度适中． 【详解】解：是中的平分线，是的外角的平分线，且， ， ， ． ， ， 故选C． 9．C 【分析】本题考查了命题的真假，涉及全等三角形的判定与性质，完全平方公式，代数式求值，解题的关键是掌握相关知识．根据全等三角形的判定与性质，完全平方公式，代数式求值，逐一判断即可． 【详解】解：①若，， 则， ，故为①假命题； ②若恰好是另一个整式的平方，则常数的值为，故②为假命题； ③若图是由个全等的小正方形拼成， ，，， ，， ， ，故③为真命题； ④有一个角及两条边分别对应相等的两个三角形不一定全等，当角为两边的夹角时相等，故④为假命题； 综上，假命题有个， 故选：C． 10．A 【分析】本题考查了作图﹣基本作图：作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线．也考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质． 根据作图可知，垂直平分，是的平分线，，从而得出，，根据三角形外角的性质得出，根据三角形内角和以及等腰三角形的性质得出，根据角平分线定义得出，即可求解； 【详解】解：根据作图可知，垂直平分，是的平分线，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 11．面积相等的两个图形是全等形 【分析】本题考查命题概念，弄清楚命题的条件和结论是写出逆命题的关键． 根据逆命题的定义，即可解答． 【详解】解：命题“两个全等图形的面积相等”的逆命题是：面积相等的两个图形是全等形， 故答案为：面积相等的两个图形是全等形． 12． 【分析】本题考查的是反证法的应用，用反证法证明问题的关键是清楚结论的反面是什么，写出与结论相反的假设即可 【详解】用反证法证明，应先假设； 故答案为 13．52 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质，过点作分别交、于点、，过点作分别交、于点、，根据正方形的性质和平行线的性质，证即可；易证，且两直角边长分别为、，四边形是边长为的正方形，所以，将，代入，即可解决问题，本题的关键在于作好辅助线，根据已知找到全等三角形即可． 【详解】解：如图，过点作分别交、于点、，过点作分别交、于点、， 四边形是正方形，， ，， ， ， ， 同理可得，， ， ， 在和中， ， ， ， 即， 四边形是正方形， ， ，， ，且两直角边长分别为、， 四边形是边长为的正方形， 正方形的面积， ，， ． 故答案为：52． 14．或2或 【分析】①当时，根据折叠的性质得，，设，则，，可判定A，D和C三点共线，在中，求得，得，在中即可求得；②当时，过点D作，交于点H，则，即有，在中解得，在中即可求得；③当时，则，有，可得到，则有． 【详解】解：①当时，如图， 根据题意知，， 设，则，， ∵， ∴A，D和C三点共线， 在中，，即，解得， 则， 在中，，即，解得， 则； ②当时，过点D作，交于点H，如图， 则， ∴， 在中，，即，解得， ∴， 在中，，即，解得； ③当时，如图， 则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则的长为或2或， 故答案为：或2或． 【点睛】本题主要考查折叠得性质、勾股定理、平行线的判定和性质和等腰三角形的性质，解题的关键是熟悉折叠的性质和分类讨论思想的应用． 15．或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质．分当在上方，时，当在下方，时，两种情况，先利用平行线的性质得到，再由折叠的性质即可求出的度数． 【详解】解：如图，当在上方，时，    ∴， 由翻折可知：； 如图，当在下方，时，    ∴， ∴ 由翻折可知：． 故答案为：或． 16．或1或 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，根据题意，对“有一个内角度数是另一个内角度数的2倍”这个条件进行分类讨论，结合三角形的内角和进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ①当是的2倍时，则， ∴， ∴； ②当是的2倍时，则点C与点B重合，不符合题意； ③当是的2倍时，则， ∴， ∴； ④当是的2倍时，则， ∴， ∴； 综上所述，的度数为：或1或． 故答案为：或1或． 17． 【分析】本题主要考查了列代数式及三角形的内角和定理．根据角平分线的定义，令，，结合三角形的内角和定理即可解决问题． 【详解】解：连接， 因为，的平分线相交于点， 则令，， 因为， 所以， 同理可得，， 所以， 则， 即． 因为， 所以， 所以 ， 所以． 故答案为：． 18．①②③⑤ 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角板中角度的计算，根据得到，可得，据此可判断①；先证明，进而得到，则，再证明，即可判断②；根据题意得到，则，可得，据此可判断③；由平行线的性质得到，则，据此可判断④；根据，，即可判断⑤． 【详解】解：∵， ∴， 当时，则， ∴此时有， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， 若，则， ∴， 又∵， ∴， ∴，故②正确； 若，则， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； 若，则， ∵， ∴， ∴，故④错误； ∵，， ∴，故⑤正确； 故答案为：①②③⑤． 19．(1)①②③，④ (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，平行线判定． （1）根据题意利用①②③即可判定出，再利用全等性质及平行线性质即可得到④结论． （2）利用（1）中条件证明即可． 【详解】（1）解：真命题：如果，，，那么； ∴①②③，④； （2）解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（SSS）， ∴， ∴． 20．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据，得，由，可得，通过即可证明； （2）由全等三角形的性质得，从而． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 即， 在和中， ， ； （2）， ， ． 21．垂直的定义；等量代换；；内错角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查了垂直定义和平行线的判定的应用，根据垂直定义得出，求出，根据平行线的判定推出即可，熟练掌握平行线的判定是解题关键． 【详解】∵（已知）， ∴（垂直的定义）． 同理． ∴（等量代换）． 即． ∵（已知）， ∴（等式的性质1）． ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：垂直的定义，等量代换，，内错角相等，两直线平行． 22．(1)垂直，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是要熟练掌握全等三角形的判定和性质； （1）由平行线的性质得出，由角平分线的性质得出，，由三角形内角和定理可得出答案； （2）证明，得出，同理得出，则可求出答案． 【详解】（1）解：结论：； 理由：， ， 又平分，平分， ，， ， ， ， ； （2）解：，， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ． 23．(1) (2)不变化， (3)或 【分析】本题考查了角平分线的计算，三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，以及三角形的内角和是180°的定理．解决本题的关键是熟练掌握了三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和． （1）根据三角形的内角和是，可求，所以，再根据三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，可得答案． （2）先求得．再由是的平分线，是的平分线，可得．最后由三角形外角性质可得答案； （3）设．由（2）知，，可得，再由平分可得．由得出，解得　，从而求出．即　，最后分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵是的平分线，是的平分线， ∴． ∵， ∴． （2）解：不变化，． ∵∠AOB=90°， ∴． ∵是的平分线，是的平分线， ∴． ∵， ∴， ， ； （3）解：设． 由（2）知，， ∴， ∵平分， ∴． ∵， ∴，解得　， ∴． ∴． 即　， 当时，即，解得　． ∴； 当时，即，解得　，不合题意，舍去； 当时，即，解得　． ∴． 综上所述，的度数为或． 24．(1)3 (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，平角的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先证明，得到，，最后通过算出答案． （2）先证明，得到，，最后通过得证； （3）①当在内部，在外时，易证，得到，，推出；②当在外，在内部时，易证易证得，得到，，推出． 【详解】（1）解：四边形为正方形 ， 于点，于点 在和中 ， , ， 故答案为：3． （2）证明：， 于点，于点 在和中 ， （3）解：或 ①如图1，易证得 ， ②如图2，易证得 ，    1 学科网（北京）股份有限公司 $$