专题7.1 平行线的证明（4大知识点13类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题7.1 平行线的证明（4大知识点13类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知点梳理与题型目录】 【知识点1】定义、命题与证明 1定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义. 2命题：判断一件事情的句子，叫做命题. 要点： （1）每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项. （2）正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题. （3）公认的真命题叫做公理. （4）经过证明的真命题称为定理. 3证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这种演绎推理的过程称为证明. 要点： （1）实验、观察、操作所得出的结论不一定都正确，必须推理论证后才能得出正确的结论. （2）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等. （3）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明：判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可. 【知识点2】平行线的判定与性质 1.平行线的判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行. 判定方法2：内错角相等，两直线平行. 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行. 要点：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有： （1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行. （4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 2.平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补 要点：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有： （1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点 （2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直 【知识点3】三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°. 推论：(1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. （2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 要点： （1）由一个公理或定理直接推出的真命题，叫做这个公理或定理的推论. （2）推论可以当做定理使用. 【知识点4】三角形外角的性质 三角形一个外角等于与它不相邻两个内角的和. 知识点与题型目录 【知识点一】为什么要证明 【题型1】写出一个命题的已知、求证及证明过程................................3 【题型2】已知证明过程填写理论依据..........................................4 【题型3】根据给出的论断组命题并证明........................................5 【知识点二】定义与命题 【题型4】命题的真假........................................................5 【题型5】命题的题设与结论..................................................6 【题型6】互逆命题（定理）..................................................6 【题型7】反证法............................................................6 【知识点三】平行线的性质与判定 【题型8】平行线的性质......................................................6 【题型9】根据平行线的性质与判定进行证明....................................7 【知识点四】三角形的内角和定理 【题型10】三角形内角和定理的证明...........................................8 【题型11】与平行线有关的三角形内角和问题...................................9 【题型12】与角平分线有关的三角形内角和问题................................10 【题型13】三角形折叠中的角度问题..........................................11 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】写出一个命题的已知、求证及证明过程 【例1】（22-23七年级下·河北石家庄·阶段练习）试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 【变式1】根据下图和命题“等腰三角形底边上的中线是顶角的角平分线”写出： 已知： 求证： ． 【变式2】（24-25八年级上·上海·期中）求证：不等边三角形一边的两端到这边的中线所在直线的距离相等． （要求：根据命题，画出图形，再写出已知、求证，完成证明） 【题型2】已知证明过程填写理论依据 【例2】（22-23七年级下·河北石家庄·期末）老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 【题型3】根据给出的论断组命题并证明 【例3】（17-18八年级上·四川自贡·期末）证明：如果两个三角形有两边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形全等． 【变式】已知以下基本事实：①对顶角相等；②一条直线截两条平行线所得的同位角相等；③两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，则这两条直线平行；④经过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线． (1)在利用以上基本事实作为依据来证明命题“两直线平行，内错角相等”时，必须要用的基本事实有____（填入序号即可）； (2)根据在(1)中的选择，结合所给图形，请你证明命题“两直线平行，内错角相等”， 已知：如图，_____________________________． 求证：________. 证明：____________________. 【题型4】命题的真假 【例4】（22-23七年级下·福建泉州·期中）要判断命题“一个正数的立方根小于它的算术平方根”是假命题，请你举出一个反例，这个数可以是 ． 【变式1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）下列四个命题中，是真命题的是（   ） A．三角形的一个外角大于任何一个内角 B．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 C．有理数与数轴上的点一一对应 D．平面内点与点关于轴对称 【变式2】（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）给出命题：“如果，那么．” (1)写出命题的条件和结论并判断命题是真命题还是假命题． (2)请直接判断命题的逆命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例（只举例，不必详细说明理由）． 【题型5】命题的题设与结论 【例5】（23-24八年级下·全国·单元测试）“如果，那么与都不为零”这个命题的条件是 ，结论是 【变式1】（22-23八年级上·河南郑州·期末）下列说法不正确的是（    ） A．“相等的角是对顶角”是假命题 B．“两直线平行，同位角相等”是真命题 C．命题“三个内角都相等的三角形是等边三角形”的条件是“一个三角形是等边三角形” D．“若，则”是假命题的反例可以是 【变式2】（24-25八年级上·福建泉州·期中）命题：两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等． (1)请将上述命题改写成“如果．．．，那么．．．”的形式； (2)上述命题是真命题还是假命题？若为真命题，请证明；若为假命题，请举反例说明． 【题型6】互逆命题（定理） 【例6】（23-24八年级下·全国·课后作业）写出下列命题“若p，则q”的形式，写出它的逆命题并判断它们的真假． (1)全等三角形的对应边相等； (2)互为相反数的两个数的和为零． 【变式】（22-23八年级上·河南南阳·阶段练习）判断下列命题：①对顶角相等；②两条直线平行，同位角相等；③全等三角形的各边对应相等；④全等三角形的各角对应相等．其中有逆定理的是  (      ) A．①② B．①④ C．②④ D．②③ 【题型7】反证法 【例7】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）用反证法证明“已知，在中，，．求证：”，第一步应先假设 ． 【变式1】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）用反证法证明“三角形中必有一个内角不大于”时，应假设（　　） A．有一个内角小于 B．每一个内角都小于 C．有一个内角大于 D．每一个内角都大于 【变式2】（23-24九年级下·江苏南京·自主招生）证明：是无理数． 【题型8】平行线的判定 【例8】（陕西省汉中市2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试题）如图，已知，点，分别在射线，上，点为内一点，连接，，不添加辅助线，请添加一个条件使得，则可添加为 ．（写出一个即可） 【变式1】（贵州省三联教育集团毕节赫章乌蒙山2024—2025学年上学期期中考试八年级数学试题）如图，是的中线，，下列说法：；；和面积相等；；． 其中正确的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，， ， ， 平分， 平分，若， 且，则 ． 【题型9】根据平行线的性质与判定进行证明 【例9】（21-22七年级下·福建厦门·期末）如图，将长方形纸片沿EF折叠后，点A，B分别落在，B的位置，再沿边将折叠到处，已知，则 ． 【变式1】如图，，记，，当时，与之间的数量关系为（   ）    A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·贵州·阶段练习）在中，是的平分线，交于E，交于F，试问是的角平分线吗？说说你的理由．    【题型10】三角形内角和定理的证明 【例10】（23-24七年级下·四川德阳·期末）如图，，，，则 ． 【变式1】（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）“三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·四川南充·阶段练习）证明三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于． 已知：△ABC，求证：． (1)证明：如图①，作边的延长线，过点C作． 所以____________（____________）， ____________（____________）． 因为（平角的定义）， 所以（等量代换）． (2)请利用图②中给出一种不同于以上思路的证明方法，并写出证明过程． 【题型11】与平行线有关的三角形内角和问题 【例11】（21-22八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，的外角和的平分线交于点，则的度数为 ． 【变式1】（2024·四川眉山·一模）如图，在中，，，平分，交于D，，交于E，则的大小是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）如图，已知，，点，分别在，上，交于点，交的延长线于点，，，求证：． 【题型12】与角平分线有关的三角形内角和问题 【例12】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，中，，边上有一点D，使得，将沿翻折得到，此时，则 ． 【变式1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知，，，分别是和的平分线，过点，且平行于，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·贵州黔南·阶段练习）在中，，，，平分，求的度数． 【题型13】三角形折叠中的角度问题 【例13】（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）如图，在折纸活动中，小李制作了一张的纸片，点D，E分别在边，上，将沿着折叠压平，A与重合． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． (3)猜想：与的关系，请直接写出其关系式． 【变式1】（21-22八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，将沿翻折后，点落在边上的点处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7.1 平行线的证明（4大知识点13类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知点梳理与题型目录】 【知识点1】定义、命题与证明 1定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义. 2命题：判断一件事情的句子，叫做命题. 要点： （1）每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项. （2）正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题. （3）公认的真命题叫做公理. （4）经过证明的真命题称为定理. 3证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这种演绎推理的过程称为证明. 要点： （1）实验、观察、操作所得出的结论不一定都正确，必须推理论证后才能得出正确的结论. （2）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等. （3）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明：判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可. 【知识点2】平行线的判定与性质 1.平行线的判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行. 判定方法2：内错角相等，两直线平行. 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行. 要点：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有： （1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行. （4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 2.平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补 要点：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有： （1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点 （2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直 【知识点3】三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°. 推论：(1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. （2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 要点： （1）由一个公理或定理直接推出的真命题，叫做这个公理或定理的推论. （2）推论可以当做定理使用. 【知识点4】三角形外角的性质 三角形一个外角等于与它不相邻两个内角的和. 知识点与题型目录 【知识点一】为什么要证明 【题型1】写出一个命题的已知、求证及证明过程................................3 【题型2】已知证明过程填写理论依据..........................................5 【题型3】根据给出的论断组命题并证明........................................6 【知识点二】定义与命题 【题型4】命题的真假........................................................7 【题型5】命题的题设与结论..................................................9 【题型6】互逆命题（定理）.................................................10 【题型7】反证法...........................................................11 【知识点三】平行线的性质与判定 【题型8】平行线的性质.....................................................13 【题型9】根据平行线的性质与判定进行证明...................................16 【知识点四】三角形的内角和定理 【题型10】三角形内角和定理的证明..........................................19 【题型11】与平行线有关的三角形内角和问题..................................22 【题型12】与角平分线有关的三角形内角和问题................................24 【题型13】三角形折叠中的角度问题..........................................26 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】写出一个命题的已知、求证及证明过程 【例1】（22-23七年级下·河北石家庄·阶段练习）试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 【答案】C 【分析】写出正确的推理过程，进行排序即可． 证明：因为，（已知）， 所以，（等式的性质）； 因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以（等量代换）． ∴排序顺序为：②→③→①→⑤→④． 故选C． 【点拨】本题考查推理过程．熟练掌握推理过程，是解题的关键． 【变式1】根据下图和命题“等腰三角形底边上的中线是顶角的角平分线”写出： 已知： 求证： ． 【答案】 已知：△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线 求证：AD平分∠BAC. 【分析】结合几何图形写出已知条件和结论． 解：已知：△ABC中，AB=AC，D为BC中点（或BD=DC）； 求证：AD平分∠BAC． 故答案为△ABC中，AB=AC，D为BC中点（或BD=DC）；AD平分∠BAC． 【点拨】本题考查了命题与定理：命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 【变式2】（24-25八年级上·上海·期中）求证：不等边三角形一边的两端到这边的中线所在直线的距离相等． （要求：根据命题，画出图形，再写出已知、求证，完成证明） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是画出图形构造全等三角形，本题利用“”证明两个三角形全等即可． 已知：如图，是不等边的中线 求证：B点和C点到的距离相等． 证明：分别过B点和C点作于，于， ∴ ∵是不等边的中线 ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴B点和C点到的距离相等． 【题型2】已知证明过程填写理论依据 【例2】（22-23七年级下·河北石家庄·期末）老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】阅读证明可以得到答案． 解：根据证明过程可知，证明的真命题是，且，则， 故选：A． 【点拨】本题考查命题与定理，解题的关键是能分清命题的题设与结论． 【题型3】根据给出的论断组命题并证明 【例3】（17-18八年级上·四川自贡·期末）证明：如果两个三角形有两边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形全等． 【分析】由HL证明Rt△ABH≌Rt△DEK得∠B=∠E，再用边角边证明△ABC≌△DEF． 已知：如图所示，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，AH⊥BC，DK⊥EF，且AH＝DK．    求证：△ABC≌△DEF， 证明：∵AH⊥BC，DK⊥EF， ∴∠AHB＝∠DKE＝90°， 在Rt△ABH和Rt△DEK中， ， ∴Rt△ABH≌Rt△DEK（HL）， ∠B＝∠E， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS） 【点拨】本题综合考查了全等三角形的判定与性质和命题的证明方法，重点掌握全等三角形的判定与性质，难点是将命题用几何语言规范书写成几何证明格式． 【变式】已知以下基本事实：①对顶角相等；②一条直线截两条平行线所得的同位角相等；③两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，则这两条直线平行；④经过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线． (1)在利用以上基本事实作为依据来证明命题“两直线平行，内错角相等”时，必须要用的基本事实有____（填入序号即可）； (2)根据在(1)中的选择，结合所给图形，请你证明命题“两直线平行，内错角相等”， 已知：如图，_____________________________． 求证：________. 证明：____________________. 【答案】详见解析. 解：试题分析：（1）利用图示：根据平行线的性质，证明“两直线平行，内错角相等”的过程解答； （2）根据“两直线a∥b，判定同位角∠1=∠3”，然后由对顶角∠3=∠2及等量代换证得 ∠1=∠2． 试题解析： (1)①②；(2)已知：a∥b，直线a、b被直线c所截． 求证：∠1=∠2． 证明：∵a∥b，∴∠1=∠3． ∵∠3 =∠2，∴∠1 =∠2. 【题型4】命题的真假 【例4】（22-23七年级下·福建泉州·期中）要判断命题“一个正数的立方根小于它的算术平方根”是假命题，请你举出一个反例，这个数可以是 ． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】找到一个立方根大于或等于它的算术平方根的数即可． 解：1的立方根是1，算术平方根也是1， ∴该命题是假命题， 故答案为：1（答案不唯一）． 【点拨】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何找到一个反例证明一个命题是假命题． 【变式1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）下列四个命题中，是真命题的是（   ） A．三角形的一个外角大于任何一个内角 B．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 C．有理数与数轴上的点一一对应 D．平面内点与点关于轴对称 【答案】D 【分析】此题考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义、性质定理及判定定理．直接根据数学常识分别判断即可． 解：A．三角形的一个外角大于任何与它不相邻的内角，故原命题为假命题； B．两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故原命题为假命题； C．实数与数轴上的点是一一对应的，故原命题为假命题； D．平面内点与点关于x轴对称，故原命题为真命题． 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）给出命题：“如果，那么．” (1)写出命题的条件和结论并判断命题是真命题还是假命题． (2)请直接判断命题的逆命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例（只举例，不必详细说明理由）． 【答案】(1)条件为：，结论为：；该命题是真命题；(2)逆命题是假命题，举例见解析 【分析】本题考查的真假命题的判断，逆命题的含义． （1）“如果”后面的部分为条件，“那么”后面的部分为结论； （2）交换题目中命题的结论和题设的位置并进行判断；再举出反例即可． 解：（1）命题“如果，那么．”的条件为：， 结论为：； 该命题是真命题； （2）此命题的逆命题为：如果，那么； 此命题的逆命题是假命题， 当为相反数时，它们的平方相等，但本身不相等， 如时，，而． 【题型5】命题的题设与结论 【例5】（23-24八年级下·全国·单元测试）“如果，那么与都不为零”这个命题的条件是 ，结论是 【答案】 与都不为零 和至少有一个等于0 【分析】本题考查了命题和反证法，根据命题的结构特征和反证法的定义解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键 解：“如果，那么与都不为零”这个命题的条件是，结论是与都不为零，故答案为：，与都不为零． 【变式1】（22-23八年级上·河南郑州·期末）下列说法不正确的是（    ） A．“相等的角是对顶角”是假命题 B．“两直线平行，同位角相等”是真命题 C．命题“三个内角都相等的三角形是等边三角形”的条件是“一个三角形是等边三角形” D．“若，则”是假命题的反例可以是 【答案】C 【分析】根据对顶角的概念，平行线的判定，等边三角形的定义，绝对值的定义判断各项，即可得出结论． 解：A．“相等的角是对顶角”是假命题，正确，故A选项不符合题意； B．“两直线平行，同位角相等”是真命题，正确，故B选项不符合题意； C．命题“三个内角都相等的三角形是等边三角形”的条件是“三角形的三个内角都相等”，错误，故C选项符合题意； D．，，故“若，则”是假命题的反例可以是正确，故D选项不符合题意； 故选：C． 【点拨】本题考查了判断命题的真假，命题的条件，用反例法证明命题的真假，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式2】（24-25八年级上·福建泉州·期中）命题：两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等． (1)请将上述命题改写成“如果．．．，那么．．．”的形式； (2)上述命题是真命题还是假命题？若为真命题，请证明；若为假命题，请举反例说明． 【答案】(1)条件为：两个三角形的两边及其中一边的对角对应相等；结论为：这两个三角形全等；改写为：如果两个三角形的两边及其中一边的对角对应相等，那么这两个三角形全等； (2)此命题是假命题，理由见解析 【分析】本题主要考查了命题的条件和结论，判断命题的真假，全等三角形的判定，熟练掌握命题是指判断一件事情的句子；命题由条件和结论构成，一般情况下：如果后面是条件，那么后面是结论是解题的关键． （1）根据命题由条件和结论构成，一般情况下：如果后面是条件，那么后面是结论，即可求解； （2）根据题意，画出图形，即可求解． 解：（1）由题意，命题的条件为：两个三角形的两边及其中一边的对角对应相等；结论为：这两个三角形全等； 改写为：如果两个三角形的两边及其中一边的对角对应相等，那么这两个三角形全等； （2）此命题是假命题，理由如下： 如图， 在与中，，既是的对角，也是的对角，即，但与并不全等， 故两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等是假命题． 【题型6】互逆命题（定理） 【例6】（23-24八年级下·全国·课后作业）写出下列命题“若p，则q”的形式，写出它的逆命题并判断它们的真假． (1)全等三角形的对应边相等； (2)互为相反数的两个数的和为零． 【分析】本题考查命题书写及判断真假： （1）先根据题意找到题设结论，写出命题，根据是否能得到判断真假即可得到答案； （2）先根据题意找到题设结论，写出命题，根据是否能得到判断真假即可得到答案； 解：（1）由题意可得， “若p，则q ”的形式：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应边相等， ∵三角形全等对应边相等， ∴该命题是真命题， 逆命题：若两个三角形的对应边相等，则这两个三角形全等，是真命题； （2）由题意可得， “若p，则q”的形式：若两个数互为相反数，则它们的和为零， ∵两个互为相反的数和为0， ∴是真命题， 逆命题：若两个数的和为零，则它们互为相反数，是真命题． 【变式】（22-23八年级上·河南南阳·阶段练习）判断下列命题：①对顶角相等；②两条直线平行，同位角相等；③全等三角形的各边对应相等；④全等三角形的各角对应相等．其中有逆定理的是  (      ) A．①② B．①④ C．②④ D．②③ 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般一个命题可以写成如果那么的形式． 根据对顶角的定义对①进行判断；根据平行线的判定定理对②进行判断；根据全等三角形的判定方法对③④进行判断． 解：①对顶角相等没有逆定理； ②两直线平行，同位角相等的逆定理为：同位角相等，两直线平行； ③全等三角形的各边对应相等的逆定理为：各边对应相等的三角形全等； ④全等三角形的各角对应相等没有逆定理． 其中有逆定理的是：②③． 故选：D． 【题型7】反证法 【例7】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）用反证法证明“已知，在中，，．求证：”，第一步应先假设 ． 【答案】 【分析】本题考查的是反证法的应用，用反证法证明问题的关键是清楚结论的反面是什么，写出与结论相反的假设即可 解：用反证法证明，应先假设； 故答案为 【变式1】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）用反证法证明“三角形中必有一个内角不大于”时，应假设（　　） A．有一个内角小于 B．每一个内角都小于 C．有一个内角大于 D．每一个内角都大于 【答案】D 【分析】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 解：第一步应假设结论不成立，即每一个内角都大于． 故选：D． 【变式2】（23-24九年级下·江苏南京·自主招生）证明：是无理数． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了反证法，假设是有理数，设（m、n互质），则两边同时平方推出，则n一定是3的倍数，设，则，可得，同理可得m一定是3的倍数，则m、n一定有公因数3，故m、n不互质，这与假设矛盾，据此可证明题设． 证明：假设是有理数， 设（m、n互质）， ∴， ∴， ∴是3的倍数， ∴n一定是3的倍数， 设，则， ∴， 同理可得m一定是3的倍数， ∵m、n同时是3的倍数， ∴m、n一定有公因数3， ∴m、n不互质，这与假设矛盾， ∴假设不成立， ∴是无理数． 【题型8】平行线的判定 【例8】（陕西省汉中市2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试题）如图，已知，点，分别在射线，上，点为内一点，连接，，不添加辅助线，请添加一个条件使得，则可添加为 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解答本题的关键是熟练掌握平行线的判定定理．平行线判定方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．据此可得结论． 解：添加利用同位角相等，两直线平行判定； 添加利用内错角相等，两直线平行判定； 添加利用同旁内角互补，两直线平行判定． 故答案为：(答案不唯一)· 【变式1】（贵州省三联教育集团毕节赫章乌蒙山2024—2025学年上学期期中考试八年级数学试题）如图，是的中线，，下列说法：；；和面积相等；；． 其中正确的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，由三角形中线的性质可判断；证明，可判断；由全等三角形的性质得，从而可判断熟练掌握相关知识是解题的关键． 解：∵是的中线， ∴， ∴和等底同高， ∴和面积相等；故正确； 在和中， ， ∴，故正确； ∴，，正确； ∴，故正确； ∵是的中线， ∴与不一定相等，故错误； 综上可知：说法正确的有正确，共个， 故选：． 【变式2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，， ， ， 平分， 平分，若， 且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质和判定、垂线的性质等知识， 解题的关键是学会添加常用辅助线， 构造平行线解决问题，属于中考常考题型． 如图中， 作，得出，即可得出，根据，得出，结合，得出，设．得出，，，，，即可得出，再根据，得出，求出，即可求解． 解：如图中， 作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， 设． 平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， 即， ， ， ， ， 即， ，即， ， ． ， 故答案为：． 【题型9】根据平行线的性质与判定进行证明 【例9】（21-22七年级下·福建厦门·期末）如图，将长方形纸片沿EF折叠后，点A，B分别落在，B的位置，再沿边将折叠到处，已知，则 ． 【答案】15 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的判定和性质，三角形内角和定理等知识，根据折叠的性质，得到，再根据平行线的性质，得到，过点作，根据平行线的性质，得到，，然后利用三角形内角和定理，求得，进而得到，即可求出的度数．熟练掌握折叠的性质是解题关键． 解： 由折叠的性质可知，，，，，， ， ， ， ， ， 过点作， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：15． 【变式1】如图，，记，，当时，与之间的数量关系为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质、等腰三角形两底角相等的性质以及平行线的性质，根据全等三角形对应边相等可得，全等三 角形对应角相等可得，然后求出 ，再根据等腰三角形两底角相等求出，然后根据两直线平行，同旁内角互补表示出，整理即可． 解： 在中， 整理得， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·贵州·阶段练习）在中，是的平分线，交于E，交于F，试问是的角平分线吗？说说你的理由．    【答案】是的角平分线，理由见解析． 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的判定与性质等知识，由角平分线的定义和平行线的性质得到，再根据平行线的性质得到，，进而得到，即可得结论，掌握相关知识是解题的关键． 解：是的角平分线，理由如下： ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是的角平分线． 【题型10】三角形内角和定理的证明 【例10】（23-24七年级下·四川德阳·期末）如图，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的以及角的和差计算，连接，设，，，，由平行线的性质得，进一步得出，从而可得结论 解：连接，如图， ， 设，，，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ； ， ∴ 故答案为： 【变式1】（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）“三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决即可． 解：A．由，则，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意 B．由于D，则，无法证得“三角形内角和是”，符合题意． C．由，得，．由，得，，所以．由，得：，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意 D．由，得，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意． 故选B． 【变式2】（24-25八年级上·四川南充·阶段练习）证明三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于． 已知：△ABC，求证：． (1)证明：如图①，作边的延长线，过点C作． 所以____________（____________）， ____________（____________）． 因为（平角的定义）， 所以（等量代换）． (2)请利用图②中给出一种不同于以上思路的证明方法，并写出证明过程． 【答案】(1)；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等 (2)见解析 【分析】本题考查了作图-复杂作图，平行线的判定与性质，三角形内角和定理． （1）根据平行线的性质和平角定义即可完成填空； （2）过A作，根据平行线的性质和平角定义即可完成证明． 解：（1）证明：如图①，作边的延长线，过点C作． 所以（两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）． 因为（平角定义）， 所以（等量代换）． 故答案为：；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等； （2）证明：如图②，过A作， ∴（两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）， ∵（平角的定义）， ∴（等量代换）． 【题型11】与平行线有关的三角形内角和问题 【例11】（21-22八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，的外角和的平分线交于点，则的度数为 ． 【答案】 【分析】先根据三角形内角和定理计算出，则利邻补角定义计算出，再根据角平分线定义得到，，所以，然后再利用三角形内角和计算的度数. 解：在中，， ， ，， ， 平分，平分， ， ． 故答案为： 【变式1】（2024·四川眉山·一模）如图，在中，，，平分，交于D，，交于E，则的大小是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是三角形内角和、角平分线的定义及平行线性质，解题关键是熟记相关概念与性质．先根据三角形内角和求出， 再根据角平分线定义及平行线性质可得，据此求解即可． 解：∵在中，，且，， ， 平分， ， ， ． 故选：． 【变式2】（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）如图，已知，，点，分别在，上，交于点，交的延长线于点，，，求证：． 【分析】本题主要考查平行线的判定，涉及到对顶角性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法．先根据三角形内角和定理以及对顶角的定义求出，再根据同旁内角互补，直线平行，即可证明结论． 证明：， ， ， ， ， ， ． 【题型12】与角平分线有关的三角形内角和问题 【例12】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，中，，边上有一点D，使得，将沿翻折得到，此时，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质和折叠的性质，掌握“折叠前后的两个图形全等”、“两直线平行内错角相等”及“三角形的内角和是”等知识点是解决本题的关键先由平行线的性质得到与的关系，再由折叠得到与、与的关系，最后利用三角形的内角和走理求出． 解： ， ． 沿翻折得到， ，． ， ． ， ． ， ． ． 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知，，，分别是和的平分线，过点，且平行于，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，角平分线的定义求出的度数，再根据三角形的内角和定理进行求解即可． 解：∵，，，分别是和的平分线， ∴， ∴； 故选D． 【变式2】（24-25八年级上·贵州黔南·阶段练习）在中，，，，平分，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查了三角形内角和的性质、外角的性质以及角平分线的定义，解题的关键是掌握并灵活运用相关性质进行求解． 根据外角的性质，求得，得到，根据三角形的内角和求得，角平分线的性质可得，根据三角形内角和即可求解． 解：∵， ∴， ∴， 由三角形内角和的性质可得，， ∵平分 ∴， 由三角形内角和的性质可得，． 【题型13】三角形折叠中的角度问题 【例13】（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）如图，在折纸活动中，小李制作了一张的纸片，点D，E分别在边，上，将沿着折叠压平，A与重合． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． (3)猜想：与的关系，请直接写出其关系式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理， （1）直接根据三角形内角和定理求解即可； （2）由折叠可得，，进而可得，结合，可得，即可求解； （3）同（2）求解即可得到答案． 解：（1）∵在中，， ∴； （2）∵将沿着折叠压平，与重合， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）∵将沿着折叠压平，与重合， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（21-22八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，将沿翻折后，点落在边上的点处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，根据折叠得出，，进而得出，根据三角形内角和定理得出，进而即可求解． 解：∵将沿翻折后，点落在边上的点处， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴, 故选：C． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$