精品解析：江苏省南京市栖霞区八校联考2024-2025学年九年级上学期12月数学月考试卷

精耕联盟2024－2025学年度第一学期12月学情分析九年级数学 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共6小题，共12分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 某市决定改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加，这两年平均每年绿地面积的增长率是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在半径为的中，圆心到弦的距离为，则弦的长是( ) A. B. C. D. 4. 一组数据：1、2、2、3，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是　　 A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 5. 如图， 别切⊙O于点A，B，，那么弦的长是（ ） A. 4 B. 8 C. D. 6. 已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③方程有两个相等的实数根；④方程的两根是，．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分， 7. 设、是方程 的两个根，则________． 8. 二次函数的图像的顶点坐标是________． 9. 如图，外接圆的圆心坐标是________． 10. 如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2 m时，水面宽度为4 m；那么当水位下降1m后，水面的宽度为_________m. 11. 已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 … y … 2 3 2 … 则当时，x的取值范围是____________． 12. 已知圆锥的底面半径为3，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为________°． 13. 如图，A、B、C是⊙O上的三点，且四边形OABC是菱形.若点D是圆上异于A、B、C的另一点，则∠ADC的度数是___________________． 14. 已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是_____． 15. 某数学兴趣小组研究二次函数的图像时发现:无论如何变化，该图像总经过一个定点，这个定点的坐标是________. 16. 已知关于x的一元二次方程的两根分别为x1，x2，且﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，则实数a的取值范围是_____． 三、解答题：本题共9小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程 （1） （2） 18. 某篮球队对队员进行定点投篮测试，每人每次投篮10次，现对甲、乙两名队员在五次中进球数（单位：个）进行统计，结果如表： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 10 6 10 6 8 乙 7 9 7 8 9 经过计算，甲进球的平均数为8，方差为3.2． （1）求乙进球的平均数和方差； （2）如果综合考虑平均成绩和成绩稳定性两方面的因素，从甲、乙两名队员中选出一人去参加定点投篮比赛，应选谁？为什么？ 19. 如图，已知二次函数的图象经过点． （1）求二次函数的解析式； （2）判断点是否在该二次函数的图象上，如果在，请求出的面积；如果不在，试说明理由． 20. 如图，学校准备修建一个面积为48m2的矩形花园．它的一边靠墙，其余三边利用长20m的围栏．已知墙长9m，问围成矩形的长和宽各是多少？ 21. 请用直尺与圆规按要求完成下列作图． （1）如图：已知两个半径不同的圆，请用不同的方法分别画出两个圆的直径． （2）请再画出一个圆使得它的面积等于已知两个圆面积的和 （3）请再画出一个圆使得它的周长等于已知两个圆周长和的倍． 22. 如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分， ，垂足为E （1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若⊙O的半径为2，，求线段EF的长． 23. “一结千年意蕴丰，相看时对吉祥红”，“中国结”是深受国人喜爱的节庆装饰物。某款“中国结”成本为30元/件，每天销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）如果规定每天该款“中国结”的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润w最大，最大利润是多少？ 24. 已知二次函数为常数 若，求证该函数图象与x轴必有交点 求证：不论m为何值，该函数图象的顶点都在函数的图象上 当时，y的最小值为，求m的值 25. 如图，是的直径，点C、D是上的点，且 ，分别与、相交于点E、F． （1）求证：点D为的中点； （2）若， ，求的长； （3）若的半径为5， ，点P是线段上任意一点，试求出 的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 精耕联盟2024－2025学年度第一学期12月学情分析九年级数学 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共6小题，共12分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、该方程中含有2个未知数且未知数的最高次数为1，是二元一次方程，故本选项错误； B、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确； C、该方程不是整式方程，故本选项错误； D、由原方程整理，得x＝-1，属于一元一次方程，故本选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 2. 某市决定改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加，这两年平均每年绿地面积的增长率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】可设这两年平均每年的增长率为x，因为经过两年时间，让市区绿地面积增加44%，则有（1+x）2=1+44%，解这个方程即可求出答案． 【详解】设这两年平均每年的绿地增长率为x，根据题意得， （1+x）2=1+44%， 解得x1=-2.2（舍去），x2=0.2． 答：这两年平均每年绿地面积的增长率为20%． 故选A． 【点睛】本题考查了增长率的问题，一般公式为：原来的量×（1±x）2=现在的量，增长用+，减少用-．但要注意解的取舍，及每一次增长的基础． 3. 如图，在半径为的中，圆心到弦的距离为，则弦的长是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据垂径定理和勾股定理即可求解． 【详解】解：连接， 由题意得： cm， ∴cm， 故选C． 【点睛】本题主要考查垂径定理和勾股定理，构造直角三角形是关键． 4. 一组数据：1、2、2、3，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是　　 A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．原来数据的平均数是2，添加数字2后平均数仍为2，故A与要求不符； B．原来数据的中位数是2，添加数字2后中位数仍为2，故B与要求不符； C．原来数据的众数是2，添加数字2后众数仍为2，故C与要求不符； D．原来数据的方差==， 添加数字2后的方差==， 故方差发生了变化． 故选D． 5. 如图， 别切⊙O于点A，B，，那么弦的长是（ ） A. 4 B. 8 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查切线长定理，等边三角形的判定和性质，根据切线长定理，推出为等边三角形，即可得出结果． 【详解】解：∵ 别切⊙O于点A，B， ∴ ， ∵， ∴为等边三角形， ∴； 故选B． 6. 已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③方程有两个相等的实数根；④方程的两根是，．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系，二次函数的图象和性质，特殊点判断①，对称轴判断②，图象法判断③和④即可． 【详解】解：由图象可知：，对称轴为直线，顶点坐标为，图象过点， ∴图象与轴的另一个交点坐标为：， ∴，故①正确； ∵对称轴为直线， ∴， ∴，故②正确； 由图象可知：二次函数的图象和直线只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根；故③正确； ∵图象与轴的两个交点坐标为：，， ∴的两个解为：， ∴方程的两根是或，即：，；故④正确； 故选D． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分， 7. 设、是方程 的两个根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系公式，可直接求得 和. 【详解】如果方程的两个实数根是，那么，. 可知：，所以． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系. 8. 二次函数的图像的顶点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】将二次函数一般式整理为顶点式即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线顶点坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标，能够熟练运用配方法将二次函数一般式整理为顶点式是解本题的关键． 9. 如图，外接圆的圆心坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的外接圆，根据三角形的外接圆的圆心是三角形三边中垂线的交点，结合网格的特点，画出圆心，即可． 【详解】解：如图， 点即为外接圆的圆心； 故答案为：． 10. 如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2 m时，水面宽度为4 m；那么当水位下降1m后，水面的宽度为_________m. 【答案】2 【解析】 【详解】试题解析：如图，建立平面直角坐标系， 设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式 ，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当y=﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出：，解得：x=，所以水面宽度增加到米，故答案为米． 11. 已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 … y … 2 3 2 … 则当时，x的取值范围是____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据表格数据可知：利用二次函数的对称性判断出对称轴，在对称轴的左边y随着x的增大而减小，在对称轴的右边y随着x的增大而增大，进一步得出，利用二次函数的对称性判断出 ，4时，，然后写出，x的取值范围即可．． 【详解】解：由表可知，二次函数的对称轴为直线， ∴ ，4时，， ∴当时，x的取值范围为或． 故答案为：或． 12. 已知圆锥的底面半径为3，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为________°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆锥的侧面积，以及扇形面积，解决本题的关键是掌握圆锥的侧面积公式，以及扇形面积公式．设侧面展开扇形的圆心角的度数为度，根据“圆锥的侧面积扇形面积”建立等式求解，即可解题． 【详解】解：设侧面展开扇形的圆心角的度数为度， 侧面展开扇形的面积为：， 解得， 故答案为：． 13. 如图，A、B、C是⊙O上的三点，且四边形OABC是菱形.若点D是圆上异于A、B、C的另一点，则∠ADC的度数是___________________． 【答案】60°或120° 【解析】 【详解】如图，连接OB，则AB=OA=OB=BC， 故可得出△AOB是等边三角形， 所以∠ADC=60°，∠AD′C=120°． 故答案为60°或120°． 考点：1、圆内接四边形的性质；2、菱形的性质；3、圆周角定理 14. 已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于列式计算即可得解． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ∵当时，随的增大而增大， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等式是解题的关键． 15. 某数学兴趣小组研究二次函数的图像时发现:无论如何变化，该图像总经过一个定点，这个定点的坐标是________. 【答案】(1,1) 【解析】 【分析】根据题意，图象要过定点，那么只需要想办法去掉解析式中的m即可，故可令x=1，可得出答案. 【详解】解：令x=1，则y=1-m+m=1 ∴图象一定过点(1,1) 故答案是：(1,1) 【点睛】本题主要考查二次函数过定点问题，正确分析是解题的关键. 16. 已知关于x的一元二次方程的两根分别为x1，x2，且﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，则实数a的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】把一元二次方程转化为二次函数抛物线，结合图像和x的取值范围，解答a的取值范围． 【详解】解：把关于x的一元二次方程的两根分别为x1，x2，转化为抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2， ∵抛物线经过点（0，﹣4），﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3， ∴抛物线开口向上，即a＞0，如图， ∵x＝﹣1时，y＞0，即a+a+1﹣4＞0，解得a＞； x＝2时，y＜0，即4a﹣2a﹣2﹣4＜0，解得a＜； x＝3时，y＞0，即9a﹣3a﹣3﹣4＞0，解得a＞； ∴实数a的取值范围为＜a＜3． 故答案为＜a＜3． 【点睛】此题考查的知识点：一元二次方程的根、二次函数图像、二次函数图像与x轴交点的取值范围；一元二次方程和二次函数图像的结合是解答问题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）提公因式法因式分解，进行求解即可； （2）十字相乘法进行因式分解，进行求解即可． 【小问1详解】 解： ， ∴； 【小问2详解】 ∴． 18. 某篮球队对队员进行定点投篮测试，每人每次投篮10次，现对甲、乙两名队员在五次中进球数（单位：个）进行统计，结果如表： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 10 6 10 6 8 乙 7 9 7 8 9 经过计算，甲进球的平均数为8，方差为3.2． （1）求乙进球的平均数和方差； （2）如果综合考虑平均成绩和成绩稳定性两方面的因素，从甲、乙两名队员中选出一人去参加定点投篮比赛，应选谁？为什么？ 【答案】（1）8，0.8；（2）乙，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据平均数、方差的计算公式计算即可； （2）根据平均数相同时，方差越大，波动越大，成绩越不稳定；方差越小，波动越小，成绩越稳定进行解答． 【详解】解：（1）乙进球的平均数为：（7+9+7+8+9）÷5=8， 乙进球的方差为：[（7-8）2+（9-8）2+（7-8）2+（8-8）2+（9-8）2]=0.8； （2）∵二人的平均数相同，而S甲2=3.2，S乙2=0.8， ∴S甲2＞S乙2， ∴乙的波动较小，成绩更稳定， ∴应选乙去参加定点投篮比赛． 【点睛】本题考查方差的定义和求法，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．也考查了平均数． 19. 如图，已知二次函数的图象经过点． （1）求二次函数的解析式； （2）判断点是否在该二次函数的图象上，如果在，请求出的面积；如果不在，试说明理由． 【答案】（1） （2）点在二次函数图象上，6 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）写出两点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）把代入，进行判断，利用三角形的面积公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线过， ∴抛物线的解析式为：， 把代入，得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴当时，， ∴点在二次函数图象上， ∵， ∴， ∴． 20. 如图，学校准备修建一个面积为48m2的矩形花园．它的一边靠墙，其余三边利用长20m的围栏．已知墙长9m，问围成矩形的长和宽各是多少？ 【答案】围成矩形的长为8m、宽为6m 【解析】 【详解】试题分析：设宽为xm，则长为（20﹣2x）m，然后根据48平方米的长方形即可列出方程，解方程即可解决问题． 解：设宽为x m，则长为（20﹣2x）m． 由题意，得 x•（20﹣2x）=48， 解得 x1=4，x2=6． 当x=4时，20﹣2×4=12＞9（舍去）， 当x=6时，20﹣2×6=8． 答：围成矩形的长为8m、宽为6m． 考点：一元二次方程的应用． 21. 请用直尺与圆规按要求完成下列作图． （1）如图：已知两个半径不同的圆，请用不同的方法分别画出两个圆的直径． （2）请再画出一个圆使得它的面积等于已知两个圆面积的和 （3）请再画出一个圆使得它的周长等于已知两个圆周长和的倍． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 （3）作图见解析 【解析】 【分析】（）方法一：画圆的一条弦，作弦的垂直平分线，与圆的交点构成的线段即为圆的直径；方法二：作圆周角，连接，则线段即为所求； （）分别作出两个圆的圆心，确定出两个圆的半径，再以为直角边作直角三角形，最后以斜边为半径画，可知的面积为，即等于已知两个圆面积的和； （）以为边长作等边，再作直角，与 的延长线相交于点，最后以半径，点为圆心画，由三角形函数可知，可得的周长为，即的周长等于已知两个圆周长和的倍； 本题考查了作圆及圆的直径，掌握圆的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：方法一：如图所示，线段即为所求； 方法二：如图所示，线段即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问3详解】 解：如图所示，即为所求． 22. 如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分， ，垂足为E （1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若⊙O的半径为2，，求线段EF的长． 【答案】（1）直线DE与⊙O相切；（2）. 【解析】 【分析】（1）欲证明DE是⊙O的切线，只要证明即可； （2）过O作于G，得到，根据直角三角形的性质得到，得到，推出四边形AODF是菱形，得到，，于是得到结论． 【详解】（1）直线DE与⊙O相切， 连结OD． ∵AD平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∵ ，即， ∴，即， ∴DE是⊙O的切线； （2）过O作于G， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形AODF是菱形， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 23. “一结千年意蕴丰，相看时对吉祥红”，“中国结”是深受国人喜爱的节庆装饰物。某款“中国结”成本为30元/件，每天销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）如果规定每天该款“中国结”的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润w最大，最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元 【解析】 【分析】本题考查一次函数，二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确列出函数关系式． （1）结合已知的图象，用待定系数法可得与之间的函数关系式为； （2）由每天“中国结”的销售量不低于240件，可得，设每天获取的利润为元，可得：，由二次函数性质即得当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为 ， 将，代入得： ， 解得， ； 【小问2详解】 每天“中国结”的销售量不低于240件， ， 解得， 设每天获取的利润为元， 根据题意得：， ，抛物线对称轴是直线， 时，取最大值，最大值是（元 ， 答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元． 24. 已知二次函数为常数 若，求证该函数图象与x轴必有交点 求证：不论m为何值，该函数图象的顶点都在函数的图象上 当时，y的最小值为，求m的值 【答案】证明见解析；证明见解析；m的值是1或5． 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的情况判断抛物线与x轴的交点情况； 先确定出抛物线的顶点坐标，即可得出结论； 利用抛物线的增减性，分三种情况讨论即可得出结论． 【详解】证明：令，则， ， ， 二次函数的图象与x轴必有交点； 证明：二次函数， 顶点坐标为， 令，， ， 不论m为何值，该函数图象的顶点都在函数的图象上； 解：由知，抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上， 当时，由题意得：当时，y最小值为， 代入抛物线解析式中得：，即舍或， 当时，由题意得：当时，y最小值为， 代入抛物线解析式中得：，即； 当时，由题意得：当时，y最小值为， 代入抛物线解析式中得：，即，此方程无解； 综上，m的值是1或5． 【点睛】二次函数综合题，主要考查了抛物线的顶点坐标的确定，抛物线与x轴交点个数的判定，极值的确定，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 25. 如图，是的直径，点C、D是上的点，且 ，分别与、相交于点E、F． （1）求证：点D为的中点； （2）若， ，求的长； （3）若的半径为5， ，点P是线段上任意一点，试求出 的最小值． 【答案】（1） ∵是的直径， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴， 即点D为的中点； （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理得到，再证明，然后根据垂径定理得到点D为的中点； （2）证明为△ACB的中位线得到 ，然后计算 即可； （3）作C点关于的对称点，交于P，连接，如图，利用两点之间线段最短得到此时 的值最小，再计算出 ，作于H，如图，然后根据等腰三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系求出 ，从而得到 的最小值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴ ， 而， ∴为 的中位线， ∴ ， ∴ ； 【小问3详解】 解：作C点关于的对称点，交于P，连接，如图， ∵， ∴， ∴此时 的值最小， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵点C和点关于对称， ∴ ， ∴ ， 作于H，如图， 则 ， 则 ， 在 中，， ∴， ∴， ∴ 的最小值为． 【点睛】此题是圆与三角形的综合题，考查了圆周角定理、垂径定理、轴对称最短路径问题、三角形中位线定理等知识，熟练掌握相关的定理内容并灵活应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $