专题05 勾股定理（8大考点+真题感知）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（华东师大版）

专题05 勾股定理 考点聚焦：核心考点+期末考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 目录 考点一：勾股数的判断 2 考点二：用勾股定理解三角形 4 考点三：以直角三角形三边为边长的图形面积 6 考点四：利用等面积法求直接斜边上的高问题 8 考点五：判断能否构成直角三角形 10 考点六：在网格中判断直角三角形 12 考点七：利用勾股定理的逆定理求解 15 考点八：勾股定理及逆定理的实际应用 17 【知识点01】勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式：，， . 【知识点02】勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以. 　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.　　　　　 　　　　，所以. 【知识点03】勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1）首先确定最大边（如）. （2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 【知识点04】勾股数 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 。 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 【知识点05】勾股定理应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．　本专题分类进行巩固解决以下生活实际问题 考点剖析 考点一：勾股数的判断 例题：（23-24八年级下·广东广州·期末）下列各组数据中，是勾股数的是（    ） A．，， B．6，7，8 C．1，2，3 D．9，12，15 【变式训练】 1．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）下列是勾股数的一组是（    ） A．4，5，6 B．1，， C．5，12，13 D．1，， 2．（23-24八年级下·云南昭通·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．2，3，5 B．7，8，9 C．6，8，10 D．5，12，11 考点二：用勾股定理解三角形 例题：（24-25八年级上·全国·期末）（1）已知某直角三角形的两边为3，4，则第三边长等于 ； （2）若直角三角形斜边上的高和中线分别是，则它的面积是 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·江西九江·期末）如图，在中，，平分，，，则点D到的距离是 ． 2．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，点是、的角平分线的交点，且于，则 ． 考点三：以直角三角形三边为边长的图形面积 例题：（23-24八年级上·宁夏银川·期末）如图，分别以直角三角形各边为一边向三角形外部作正方形，其中两个正方形的面积分别为10cm2和16cm2，则正方形A的边长是 cm． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·山西大同·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为，，，．若，，则 ． 2．（23-24八年级下·河南洛阳·期末）如图，已知中，以的三边为直径向外作3个半圆，以为直径的半圆面积分别为9和5，则以为直径的半圆面积为 ． 考点四：利用等面积法求直接斜边上的高问题 例题：（23-24八年级下·湖北武汉·期末）在中，，则高 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·云南楚雄·期末）如图在的方格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点（网格线的交点）上，则边上的高为 ．    2．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）如图，在的网格中，每个格点小正方形的边长均为1，的三个顶点A，B，C都在网格点的位置上，则的边上的高为 ．    考点五：判断能否构成直角三角形 例题：（24-25八年级上·全国·期末）已知分别为的三条边，下列条件不能判别为直角三角形的是（  ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·期末）下列各组长度的线段中，能构成直角三角形的是（   ） A．4，6，8 B．，， C．，， D．，， 2．（24-25八年级上·全国·期末）根据下列条件，能判断是直角三角形的是（　　） A． ，， B． C． ，， D．， 考点六：在网格中判断直角三角形 例题：（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，的顶点在格点上．    (1)直接写出　　，　　，　　； (2)判断的形状，并说明理由； (3)直接写出边上的高为 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·广东汕头·期末）如图，在如图网格中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上． (1)请判断的形状，并说明理由； (2)若点为的中点，则线段的长为__________． 2．（23-24八年级上·河北张家口·期末）如图，已知的正方形网格（每个小正方形的边长均为1），A、B、C、D四点都在小方格的格点上． (1)作点B关于的对称点，连接，； (2)判断的形状，并说明理由； (3)直接写出的值． 考点七：利用勾股定理的逆定理求解 例题：（23-24八年级下·全国·期末）如图，在四边形中，，，，，，求的度数． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，四边形中，，，，， (1)求的长． (2)请问是直角三角形吗？请说明你的理由． 2．（23-24八年级下·广东肇庆·期末）【再读教材】我们八年级下册数学课本第页介绍了“海伦秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为． 【解决问题】已知，在中，，，． (1)请你用“海伦秦九韶公式”求的面积； (2)除了利用“海伦秦九韶公式”求的面积外，你有其它解法吗？请写出你的解法． 考点八：勾股定理及逆定理的实际应用 例题：（22-23八年级上·四川遂宁·期末）2021年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且，， ．经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)海港C会受到台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【变式训练】 1．（23-24八年级下·河北张家口·期末）某游乐场部分平面图如图所示，点D，C，A在同一直线上，点A，B在同一直线上，，测得，，． (1)求入口B到大摆锤C的距离； (2)现要在距离大摆锤的E处修建游乐项目旋转木马，点B，C，E在同一直线上，且使旋转木马E到过山车D的距离最近． ①与的位置关系为______； ②求过山车D到旋转木马E的距离． 2．（23-24八年级下·四川广安·期末）如图，某区有A，B，C，D四个景点，景点A，D，C依次在东西方向的一条直线上，现有公路，已知，，，． (1)通过计算说明公路是否与垂直； (2)市政府准备在景点B，C之间修一条互通大道（即线段），并在大道上的E处修建一座凉亭方便游客休息，同时D，E之间也修建一条互通大道（即线段），且．若修建互通大道的费用均是每千米17万元，请求出修建互通大道的总费用． 真题感知 一、单选题 1．（23-24八年级下·重庆荣昌·期末）由下列条件不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，，D是上一动点，则的长度不可能为（　　） A．5 B．12 C．13 D．15 3．（23-24七年级上·山东东营·期末）《九章算术》中记载：今有户不知高，广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，不知其长、短．横放，竿比门长出4尺；竖放，竿比门高出2尺；斜着放，竿与门对角线恰恰相等．问门高、宽、对角线长分别是多少．若设门对角线长为x尺，则可列方程为（      ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·天津津南·期末）如图，在中，，，，将绕点A顺时针旋转得到，连接，则的长为（　　） A． B． C． D． 5．（22-23八年级上·浙江舟山·期末）教材赏析：在欧几里得时代，人们就已经知道了勾股定理的一些拓展．例如，《原本》第六卷命题31就曾介绍：“在一个直角三角形中，在斜边上所画的任何图形的面积，等于在两条直角边上所画的与其相似的图形的面积之和．”（备注：相似指的是图形形状相同）以下4个图形中符合的有（        ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 6．（23-24八年级下·重庆荣昌·期末）如图，中，，则 ． 7．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知x，y是直角三角形的两边长，且满足，则此直角三角形的第三边长为 ． 8．（23-24八年级上·四川眉山·期末）如图，圆柱的底面周长是，圆柱高为，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为 ．    9．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在平行四边形纸片中，， 将纸片沿对角线对折，交边于点E，则折叠后图中重合部分的面积是 ． 10．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在中，，D为边上的动点，点D从点C出发，沿边往点A运动，当运动到点A时停止．已知点D运动的速度为每秒2个单位长度，设点 D 运动的时间为，当是直角三角形时，t的值为 ． 三、解答题 11．（22-23八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，交于点，，． (1)若，则___________， ___________； (2)若，求的长． 12．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，小区A与公路l的距离米，小区B与公路l的距离米，已知米． (1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求的长； (2)现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区的路程之和最短，求的最小值，求出此最小值． 13．（22-23八年级上·四川达州·期末）如图，小明家A和地铁口B两地恰好处在东西方向上，且相距，学校C在他家A正北方向的处，公园D与地铁口B和学校C的距离分别和． (1)若，求的大小； (2)计算公园D与小明家A的距离． 14．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，已知是的平分线，，过点B作于点E，与交于点F． (1)求证： (2)若，，求的面积 15．（23-24八年级下·贵州遵义·期末）如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，每个小正方形的边长为1． (1)在图①中，A，B，C在格点上，则的度数为__________； (2)在（1）的条件下，连接，请判断的形状，并说明理由； (3)从数据，，，4中选三个数据作为三角形的三边长，在图②中画出此三角形，使三角形的顶点均在格点上． 16．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，是的中线，是边上的高，，且． (1)求的度数； (2)已知的周长比少，求的长度； (3)若，求的长度． 17．（23-24七年级下·山东济南·期末）如下图，实验中学位于一条南北向公路l的一侧A处，门前有两条长度均为100米的小路、通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C两点相距120米． (1)为方便学生出入，现在打算修一条从实验中学到公路l的新路（点D在l上），使得学生从学校走到公路路程最短，应该如何修路（请在图中画出）?并计算新路的长度． (2)为保证学生的安全，在公路l上的点E和点C处设置了一组区间测速装置，点E在点B的北侧，且距实验中学A处170米．一辆汽车经过区间共用时21秒，若此段公路限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由． 18．（23-24八年级上·四川眉山·期末）问题发现：如图1，是等边三角形，点是边上的一点，过点作交于，则线段与有何数量关系？ 拓展探究：如图2，将绕点A逆时针旋转角，上面的结论是否仍然成立？ 如果成立，请就图中给出的情况加以证明． 问题解决：如果的边长等于，，直接写出当旋转到与所在的直线垂直时的长． 19．（23-24八年级上·四川成都·期末）定义：如图1，点把线段分割成和，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割点． (1)已知点M，N是线段的勾股分割点，若，求的长． (2)如图2，在等腰直角中， ，点为边上两点，满足，求证：点是线段的勾股分割点；阳阳同学在解决第（2）小题时遇到了困难，陈老师对阳阳说：要证明勾股分割点，则需设法构造直角三角形，你可以把绕点逆时针旋转试一试．请根据陈老师的提示完成第（2）小题的证明过程． 20．（23-24七年级下·山东济南·期末）（1）【基础巩固】 如图1，在和中，点D在线段上，，．线段与的数量关系为 ，位置关系为 ； （2）【变式训练】 如图2，当点D在线段的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由． （3）【拓展提高】 如图3，在和中，点D在线段上，如果，，，．求的值．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 勾股定理 考点聚焦：核心考点+期末考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 目录 考点一：勾股数的判断 2 考点二：用勾股定理解三角形 4 考点三：以直角三角形三边为边长的图形面积 6 考点四：利用等面积法求直接斜边上的高问题 8 考点五：判断能否构成直角三角形 10 考点六：在网格中判断直角三角形 12 考点七：利用勾股定理的逆定理求解 15 考点八：勾股定理及逆定理的实际应用 17 【知识点01】勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式：，， . 【知识点02】勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以. 　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.　　　　　 　　　　，所以. 【知识点03】勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1）首先确定最大边（如）. （2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 【知识点04】勾股数 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 。 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 【知识点05】勾股定理应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．　本专题分类进行巩固解决以下生活实际问题 考点剖析 考点一：勾股数的判断 例题：（23-24八年级下·广东广州·期末）下列各组数据中，是勾股数的是（    ） A．，， B．6，7，8 C．1，2，3 D．9，12，15 【答案】D 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查勾股定理逆定理，两条较短线段的平方和等于较长线段的平方． 根据勾股定理逆定理判断即可． 【详解】解：A、，不能组成直角三角形，不符合题意； B、，不能组成直角三角形，不符合题意； C、，不能组成三角形，不符合题意； D、，能组成直角三角形，符合题意； 故选：D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）下列是勾股数的一组是（    ） A．4，5，6 B．1，， C．5，12，13 D．1，， 【答案】C 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数组的定义，如果为正整数，且满足，那么，、、叫做一组勾股数． 欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、，不是勾股数，故此选项不合题意；         B、不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意； C、，都是正整数，是勾股数，故此选项符合题意； D、，不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意； 故选：C． 2．（23-24八年级下·云南昭通·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．2，3，5 B．7，8，9 C．6，8，10 D．5，12，11 【答案】C 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股数的定义，三个正整数，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组勾股数，进行判定即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，符合题意； D、，不符合题意； 故选C． 考点二：用勾股定理解三角形 例题：（24-25八年级上·全国·期末）（1）已知某直角三角形的两边为3，4，则第三边长等于 ； （2）若直角三角形斜边上的高和中线分别是，则它的面积是 ． 【答案】 5或 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半的性质，物理掌握知识点是解题的关键． （1）运用勾股定理即可求解，注意分类讨论； （2）利用直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半的性质求出斜边长，即可求解面积． 【详解】解：（1）当长度为3，4的两边为直角边时，则斜边为， 当长度为4的边为斜边时，则第三边为， 故答案为：5或； （2）∵直角三角形斜边上的中线为， ∴斜边为， ∵直角三角形斜边上的高为， ∴面积为， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·江西九江·期末）如图，在中，，平分，，，则点D到的距离是 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查解平分线的性质，勾股定理．过点D作于点E，由角平分线性质定理得，由勾股定理求出，最后根据三角形面积可求出． 【详解】解：如图，过点D作于点E，    ∵平分， ∴， 在中，由勾股定理得， ， 又， ∴， ∴， 解得，， 即：点D到的距离是， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，点是、的角平分线的交点，且于，则 ． 【答案】2 【知识点】用勾股定理解三角形、角平分线的性质定理 【分析】先根据勾股定理求出的长，再过点作，垂足分别为，连接，再利用三角形的面积公式求解即可． 本题考查的是勾股定理及角平分线的性质，根据题意作出辅助线，利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等求解是解题的关键． 【详解】解：， ， 过点作，垂足分别为，连接， 点是、的角平分线的交点，且于， ， ，即， 解得， 故答案为：2． 考点三：以直角三角形三边为边长的图形面积 例题：（23-24八年级上·宁夏银川·期末）如图，分别以直角三角形各边为一边向三角形外部作正方形，其中两个正方形的面积分别为10cm2和16cm2，则正方形A的边长是 cm． 【答案】 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理的运用，考查了正方形面积的计算，本题中解直角是解题的关键．根据正方形可以计算斜边和一条直角边，则另一条直角边根据勾股定理就可以计算出来． 【详解】解：由题意知，，，且， ∴． ∴正方形A的面积为． ∴正方形A的边长是cm． 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·山西大同·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为，，，．若，，则 ． 【答案】86 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据正方形面积计算公式得到，，，，再由勾股定理推出，据此可得答案． 【详解】解：如图，连接． 由题意，得，，，． 在中，由勾股定理得． 在中，由勾股定理得． ． ， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·河南洛阳·期末）如图，已知中，以的三边为直径向外作3个半圆，以为直径的半圆面积分别为9和5，则以为直径的半圆面积为 ． 【答案】4 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】题目主要考查勾股定理解三角形及圆的面积，根据题意得出，，然后求解即可． 【详解】解：∵中， ∴， ∵以为直径的半圆面积分别为9和5， ∴， 即， ∴以为直径的半圆面积为：， 故答案为：4． 考点四：利用等面积法求直接斜边上的高问题 例题：（23-24八年级下·湖北武汉·期末）在中，，则高 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，由勾股定理得，再根据三角形的面积即可求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·云南楚雄·期末）如图在的方格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点（网格线的交点）上，则边上的高为 ．    【答案】 【知识点】勾股定理与网格问题、与三角形的高有关的计算问题 【分析】此题考查了勾股定理，以及三角形的面积，易求的面积，再根据勾股定理可求出的长，进而根据面积公式即可求得边上的高的长． 【详解】解：由题意可得， 又， 边上的高为， 故答案为：． 2．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）如图，在的网格中，每个格点小正方形的边长均为1，的三个顶点A，B，C都在网格点的位置上，则的边上的高为 ．    【答案】/ 【知识点】勾股定理与网格问题、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．先根据勾股定理求出的长，再由三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：由图可知，， 设的边上的高为，则． 故答案为：． 考点五：判断能否构成直角三角形 例题：（24-25八年级上·全国·期末）已知分别为的三条边，下列条件不能判别为直角三角形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了勾股定理逆定理和三角形内角和定理，解题关键是根据三角形内角和求出内角的度数，或根据三角形的三边长判断是否是直角三角形． 【详解】解：A. ∵ ， ∴，符合题意； B. ∵， ∴，不符合题意； C. ∵， ∴，不符合题意； D. ∵，设， ∴，不符合题意； 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·期末）下列各组长度的线段中，能构成直角三角形的是（   ） A．4，6，8 B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用．熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 用勾股定理的逆定理进行判断，看较短两边的平方和是否等于长边的平方即可． 【详解】解：A．，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形； B．，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形； C．，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形； D．，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形； 故选B． 2．（24-25八年级上·全国·期末）根据下列条件，能判断是直角三角形的是（　　） A． ，， B． C． ，， D．， 【答案】C 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、三角形内角和定理的应用 【分析】利用直角三角形的定义，三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答． 本题考查了直角三角形的定义，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握定义，以及三角形内角和定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴不是直角三角形， 故A不符合题意； ∵， ∴， 不符合勾股定理的逆定理， 无法判定直角， 故B不符合题意； ∵，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故C符合题意； ∵，，， ∴， ∴， ∴最大角为， ∴不是直角三角形， 故D不符合题意； 故选：C． 考点六：在网格中判断直角三角形 例题：（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，的顶点在格点上．    (1)直接写出　　，　　，　　； (2)判断的形状，并说明理由； (3)直接写出边上的高为 ． 【答案】(1) (2)直角三角形，理由见解析 (3) 【知识点】在网格中判断直角三角形、勾股定理与网格问题、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理，进行计算即可解答； （2）利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答； （3）利用面积法，进行计算即可解答． 【详解】（1）由题意得： ， ， ， ，，， 故答案为：，，； （2）是直角三角形， 理由：，， ， 是直角三角形； （3）设边上的高为， 的面积， ， ， 故答案为： 【变式训练】 1．（23-24八年级下·广东汕头·期末）如图，在如图网格中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上． (1)请判断的形状，并说明理由； (2)若点为的中点，则线段的长为__________． 【答案】(1)为直角三角形；理由见解析 (2) 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理及其逆定理，解题的关键是数形结合，熟练掌握勾股定理的逆定理． （1）根据勾股定理和网格的特点求出三边长，然后根据勾股定理逆定理判断三角形形状即可； （2）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半进行求解即可． 【详解】（1）解：为直角三角形；理由如下： ∵，，， ∴， ∴为直角三角形； （2）解：∵，为直角三角形，点为的中点， ∴． 2．（23-24八年级上·河北张家口·期末）如图，已知的正方形网格（每个小正方形的边长均为1），A、B、C、D四点都在小方格的格点上． (1)作点B关于的对称点，连接，； (2)判断的形状，并说明理由； (3)直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)等腰直角三角形，理由见解析 (3) 【知识点】画轴对称图形、在网格中判断直角三角形、勾股定理与网格问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查轴对称作图，勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）利用勾股定理求出边长，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可得到结论； （3）根据轴对称的性质解题即可． 【详解】（1）如图，点即为所作； （2）解：，，， ∴，且， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）∵点B关于的对称点， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴． 考点七：利用勾股定理的逆定理求解 例题：（23-24八年级下·全国·期末）如图，在四边形中，，，，，，求的度数． 【答案】． 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理．直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，先求出边的长度，再利用勾股定理逆定理判断出为直角三角形． 【详解】解：，， ， 设，则， 又， ， 或（舍去）， ，， 又，， ，， ， 是直角三角形， ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，四边形中，，，，， (1)求的长． (2)请问是直角三角形吗？请说明你的理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形 【分析】（1）首先在中，利用勾股定理求出的长； （2）结合（1）的结论，再根据勾股定理逆定理在中，证明是直角三角形． 此题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形． 【详解】（1）解：在中， ， ； （2）解：是直角三角形， 理由：由（1）得出 在中，，， ， ∴是直角三角形． 2．（23-24八年级下·广东肇庆·期末）【再读教材】我们八年级下册数学课本第页介绍了“海伦秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为． 【解决问题】已知，在中，，，． (1)请你用“海伦秦九韶公式”求的面积； (2)除了利用“海伦秦九韶公式”求的面积外，你有其它解法吗？请写出你的解法． 【答案】(1) (2)有，见解析 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查了代数式求值，勾股定理逆定理，准确计算是解题关键． （1）直接用海伦—秦九韶公式计算面积即可； （2）计算得到，即为直角三角形，直接两直角边的积除以求面积． 【详解】（1）解：，，， ， ， 即的面积为； （2），，， ，，， ， ， ． 考点八：勾股定理及逆定理的实际应用 例题：（22-23八年级上·四川遂宁·期末）2021年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且，， ．经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)海港C会受到台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港受台风影响，理由见解析 (2)8小时 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用)、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数；利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：海港受台风影响，理由如下： ，，， ， 是直角三角形，且； 过点作于， 是直角三角形， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受台风影响； （2）解：如图所示，分别在上取一点E和F，当，时，正好影响港口， 在中，由勾股定理， 同理可得， ， 台风的速度为25千米小时， （小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为8小时． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·河北张家口·期末）某游乐场部分平面图如图所示，点D，C，A在同一直线上，点A，B在同一直线上，，测得，，． (1)求入口B到大摆锤C的距离； (2)现要在距离大摆锤的E处修建游乐项目旋转木马，点B，C，E在同一直线上，且使旋转木马E到过山车D的距离最近． ①与的位置关系为______； ②求过山车D到旋转木马E的距离． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)、解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，垂线段最短： （1）在中，根据，即可求解； （2）①根据垂线段最短，即可求解；②在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， 即入口B到大摆锤C的距离为； （2）解：①由“垂线段最短”得：当时，最短， 即旋转木马E到过山车D的距离最近时，； 故答案为： ②在中，， ∴， 即过山车D到旋转木马E的距离为． 2．（23-24八年级下·四川广安·期末）如图，某区有A，B，C，D四个景点，景点A，D，C依次在东西方向的一条直线上，现有公路，已知，，，． (1)通过计算说明公路是否与垂直； (2)市政府准备在景点B，C之间修一条互通大道（即线段），并在大道上的E处修建一座凉亭方便游客休息，同时D，E之间也修建一条互通大道（即线段），且．若修建互通大道的费用均是每千米17万元，请求出修建互通大道的总费用． 【答案】(1)公路与垂直，计算见解析 (2)818万元 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、求河宽(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理进行求解即可得到结论； （2）根据勾股定理及面积法求得，于是得到结论． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴，即， 是直角三角形，且， 公路与垂直． （2）解：由（1）知， ． 在中，，， ， ， ，即， 解得， （万元）． 答：修建互通大道的总费用是818万元． 真题感知 一、单选题 1．（23-24八年级下·重庆荣昌·期末）由下列条件不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．利用三角形内角和定理求得的值，即可判断选项A、C；利用勾股定理的逆定理判断选项B、D即可． 【详解】解：A. ∵， ∴， ∴， 解得，可判定该三角形为直角三角形，故本选项不符合题意； B. ∵， ∴，可判定该三角形为直角三角形，故本选项不符合题意； C. ∵，可设， 则有， ∴， ∴该三角形不是直角三角形，故本选项符合题意； D. ∵，可设， 则有，可判定该三角形为直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，，D是上一动点，则的长度不可能为（　　） A．5 B．12 C．13 D．15 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段的性质，勾股定理，根据勾股定理求出，结合垂线段最短可得，进而可得出答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵D是上一动点， ∴， ∴的长度不可能为15． 故选：D． 3．（23-24七年级上·山东东营·期末）《九章算术》中记载：今有户不知高，广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，不知其长、短．横放，竿比门长出4尺；竖放，竿比门高出2尺；斜着放，竿与门对角线恰恰相等．问门高、宽、对角线长分别是多少．若设门对角线长为x尺，则可列方程为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键． 由题意可知：竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，然后运用勾股定理列方程即可． 【详解】解：设门对角线长为x尺，则门宽为尺，高为尺， 根据勾股定理可得：． 故选：B． 4．（24-25九年级上·天津津南·期末）如图，在中，，，，将绕点A顺时针旋转得到，连接，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查旋转变换和勾股定理，在中，由勾股定理解得的长，再根据旋转的性质得到， ，在 中再利用勾股定理解得的长即可． 【详解】解：， 在中， ， 由旋转的性质得 ， 在 中，， 故选：B． 5．（22-23八年级上·浙江舟山·期末）教材赏析：在欧几里得时代，人们就已经知道了勾股定理的一些拓展．例如，《原本》第六卷命题31就曾介绍：“在一个直角三角形中，在斜边上所画的任何图形的面积，等于在两条直角边上所画的与其相似的图形的面积之和．”（备注：相似指的是图形形状相同）以下4个图形中符合的有（        ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】等边三角形的性质、用勾股定理解三角形 【分析】此题主要考查了勾股定理，第1幅图利用正方形面积公式以及勾股定理即可证明；第2幅图利用等边三角形的面积以及勾股定理即可证明；第3幅图利用圆面积公式以及勾股定理即可证明；第4幅图根据计算即可． 【详解】解：如图，设，，， 第1幅图，由勾股定理可得， ． 第2幅图，由勾股定理可得， ，，， ． 第3幅图，由勾股定理可得， ，，， ． 故答案为． 第4幅图，由勾股定理可得， ． 故选：D． 二、填空题 6．（23-24八年级下·重庆荣昌·期末）如图，中，，则 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理的知识，理解并掌握勾股定理是解题关键．勾股定理：在直角三角形中，两条直角边长的平方之和等于斜边长的平方．据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 7．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知x，y是直角三角形的两边长，且满足，则此直角三角形的第三边长为 ． 【答案】或 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了非负数的性质，勾股定理．首先利用非负数的性质求得，然后对分类讨论：分是直角边和是斜边两种情况，进行计算即可得到答案． 【详解】解：是直角三角形的两边，且满足， ， ， 当是直角边时，第三边为：， 当是斜边时，第三边为：， 综上所述，此直角三角形的第三边长为：或， 故答案为：或． 8．（23-24八年级上·四川眉山·期末）如图，圆柱的底面周长是，圆柱高为，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为 ．    【答案】/13厘米 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的应用—最短路径问题，将圆柱体展开，利用勾股定理求出最短路径的长即可． 【详解】解：把圆柱沿母线展开，点B展开后的对应点为，利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为，如图所示：    由题意，得：， 在中，由勾股定理，得：； 故答案为：． 9．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在平行四边形纸片中，， 将纸片沿对角线对折，交边于点E，则折叠后图中重合部分的面积是 ． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行四边形的性质，勾股定理，首先推导出为等边三角形，由，求得，再证明出点E为的中点，得到，可求出面积 【详解】解：∵折叠至处，，， ∴为等边三角形， ∴ 又∵四边形为平行四边形， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点E为的中点， ∴折叠重合部分的面积为：， 故答案为： 10．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在中，，D为边上的动点，点D从点C出发，沿边往点A运动，当运动到点A时停止．已知点D运动的速度为每秒2个单位长度，设点 D 运动的时间为，当是直角三角形时，t的值为 ． 【答案】或 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理，直角三角形的性质，三角形的面积，难点在于要分情况讨论．分两种情况讨论即可． 【详解】解：， ， 当时，则点与点重合， ； 当时，则， ， ， ， ； 综上，当t为或10时，是直角三角形． 故答案为：或． 三、解答题 11．（22-23八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，交于点，，． (1)若，则___________， ___________； (2)若，求的长． 【答案】(1)8，15； (2)． 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． （1）由勾股定理计算即可得出答案； （2）设，则，由勾股定理得出，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：8，15； （2）解：设，则， ∵，， ∴， ∴， 解得， ∴． 12．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，小区A与公路l的距离米，小区B与公路l的距离米，已知米． (1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求的长； (2)现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区的路程之和最短，求的最小值，求出此最小值． 【答案】(1)475米 (2)1000米 【知识点】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)、根据成轴对称图形的特征进行求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，坐标与图形的性质，勾股定理，确定出Q、P的位置是本题的关键． （1）设，则，根据利用勾股定理即可得出结果． （2）作A关于l的对称点，连接，交l于P，由对称性得的最小值为线段的长，作于点E，在中，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：如图1， 根据题意得：， 设，则， ， 解得， 即的长为475米； （2）如图，作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点P． 则， ， 的最小值为， 如图，作于点E， 在中， 米，米， 米， 的最小值为1000米． 13．（22-23八年级上·四川达州·期末）如图，小明家A和地铁口B两地恰好处在东西方向上，且相距，学校C在他家A正北方向的处，公园D与地铁口B和学校C的距离分别和． (1)若，求的大小； (2)计算公园D与小明家A的距离． 【答案】(1) (2) 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、与方向角有关的计算题、判断三边能否构成直角三角形 【分析】（1）根据方位角概念可知，利用勾股定理得到，再结合勾股定理逆定理推出，利用等腰三角形性质得到，最后根据求解，即可解题； （2）过点作的延长线于点，证明，得到、的长，再利用勾股定理求解即可解题． 【详解】（1）解：由题知，，，， ， ，， 即满足， ， ， ， ， ； （2）解：过点作的延长线于点， ，， ，， ， ，， ， ，， ， ， 公园D与小明家A的距离为． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，方位角，等腰三角形性质，全等三角形性质和判定，解题的关键在于作辅助线构造全等三角形． 14．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，已知是的平分线，，过点B作于点E，与交于点F． (1)求证： (2)若，，求的面积 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、内错角相等两直线平行、根据等边对等角证明 【分析】（1）根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到，根据平行线的判定定理证明即可； （2）作于G，先证明，得，，则，在中，由勾股定理求得，设，则，在中，由勾股定理，得，解得：，即，然后由求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：作于G， ∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴ ∵ ∴ ∴，， ∴ 在中，由勾股定理，得 设，则， 在中，由勾股定理，得 ， 解得：， 即， ∴． 【点睛】本题考查的是平行线的判定，角平分线的定义，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 15．（23-24八年级下·贵州遵义·期末）如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，每个小正方形的边长为1． (1)在图①中，A，B，C在格点上，则的度数为__________； (2)在（1）的条件下，连接，请判断的形状，并说明理由； (3)从数据，，，4中选三个数据作为三角形的三边长，在图②中画出此三角形，使三角形的顶点均在格点上． 【答案】(1) (2)是等腰直角三角形，理由见解析 (3)见解析 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形、格点作图题 【分析】（1）根据勾股定理逆定理推出是直角三角形，再结合，得到，从而可求出的度数； （2）根据勾股定理逆定理推出是直角三角形，再结合，即可判定是等腰直角三角形； （3）选数据，，，作出即可． 【详解】（1）解：连接， ∵，，， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． （2）解：是等腰直角三角形． 理由：如图， ∵，，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形． （3）解：选数据，，，就是所求． 16．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，是的中线，是边上的高，，且． (1)求的度数； (2)已知的周长比少，求的长度； (3)若，求的长度． 【答案】(1) (2)8 (3) 【知识点】三角形内角和定理的应用、用勾股定理解三角形、与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，中线的性质，勾股定理的运用，掌握三角形内角和定理，勾股定理的运用是解题的关键． （1）根据三角形的内角和定理可得，由此即可求解； （2）根据是的中线，得到，由的周长比少，可得，由此即可求解； （3）由（1）可得是直角三角形，根据勾股定理可得，根据等面积法得，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的度数为； （2）解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比少，， ∴， ∵， ∴， ∴的长度为； （3）解：由（1）得：， 在中，， ∴， ∵， ∴的面积， ∴， ∴， 解得：， ∴的长度为． 17．（23-24七年级下·山东济南·期末）如下图，实验中学位于一条南北向公路l的一侧A处，门前有两条长度均为100米的小路、通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C两点相距120米． (1)为方便学生出入，现在打算修一条从实验中学到公路l的新路（点D在l上），使得学生从学校走到公路路程最短，应该如何修路（请在图中画出）?并计算新路的长度． (2)为保证学生的安全，在公路l上的点E和点C处设置了一组区间测速装置，点E在点B的北侧，且距实验中学A处170米．一辆汽车经过区间共用时21秒，若此段公路限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由． 【答案】(1)见解析，新路长度是80米 (2)该车没有超速，见解析 【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用)、垂线段最短、三线合一 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）根据垂线段最短，过点A作，交l于点D，则即为所求；根据等腰三角形和勾股定理求出即可； （2）根据勾股定理求出，得出，求出该车的速度为，然后再进行比较即可． 【详解】（1）解：过点A作，交l于点D，则即为所求，如图所示： ∵，，， ∴，， ∴在中，， 由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴新路长度是80米． （2）解：该车没有超速．     理由：在中，， 由勾股定理得， ∴，， ∴， ∴， 该车经过区间用时， ∴该车的速度为， ∵． ∴该车没有超速． 18．（23-24八年级上·四川眉山·期末）问题发现：如图1，是等边三角形，点是边上的一点，过点作交于，则线段与有何数量关系？ 拓展探究：如图2，将绕点A逆时针旋转角，上面的结论是否仍然成立？ 如果成立，请就图中给出的情况加以证明． 问题解决：如果的边长等于，，直接写出当旋转到与所在的直线垂直时的长． 【答案】问题发现：；拓展探究：仍成立，理由见详解；问题解决：的长为和7． 【知识点】用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、等边三角形的判定和性质 【分析】问题发现：如图1，由平行线分线段成比例定理可得：； 拓展探究：如图2，证明，得； 问题解决：分两种情况：①如图3，在直角三角形中，根据角所对的直角边等于斜边的一半求出，由勾股定理求出，得出，从而计算出的长． ②如图4，求的长和的长，根据勾股定理在中求的长，所以． 本题考查了三角形的几何变换，掌握等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定是解题的关键． 【详解】解：问题发现：如图1，， 理由是： 是等边三角形， ， ， ， ； 拓展探究：结论仍然成立， 由图1得，是等边三角形， ， 由旋转得：， ∵ ， ； 问题解决：当旋转到与所在的直线垂直时，有两种情况： ①如图3， 是等边三角形，， ， ， 过作，垂足为， ， ，， ， ， ． ②如图4，同理得：， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， 在中，， ， 综上所述，的长为和7． 19．（23-24八年级上·四川成都·期末）定义：如图1，点把线段分割成和，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割点． (1)已知点M，N是线段的勾股分割点，若，求的长． (2)如图2，在等腰直角中， ，点为边上两点，满足，求证：点是线段的勾股分割点；阳阳同学在解决第（2）小题时遇到了困难，陈老师对阳阳说：要证明勾股分割点，则需设法构造直角三角形，你可以把绕点逆时针旋转试一试．请根据陈老师的提示完成第（2）小题的证明过程． 【答案】(1)或 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）分当为最大线段时和当为最大线段时，两种情况利用勾股定理即可解决问题； （2）先证明，得，由勾股定理得即可解答． 【详解】（1）解：①当为最大线段时， ∵点 M , N是线段的勾股分割点， ∴； ②当为最大线段时， ∵点M , N是线段的勾股分割点， ∴， 综上所述：或； （2）证明：如图，把绕点C逆时针旋转，得到，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴点M，N是线段的勾股分割点． 20．（23-24七年级下·山东济南·期末）（1）【基础巩固】 如图1，在和中，点D在线段上，，．线段与的数量关系为 ，位置关系为 ； （2）【变式训练】 如图2，当点D在线段的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由． （3）【拓展提高】 如图3，在和中，点D在线段上，如果，，，．求的值．    【答案】（1） （2）仍成立；理由见解析  （3）128 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理等，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据证明，得出，从而得到； （2）根据证明，得出，从而得到； （3）由勾股定理得，过点A作，交于点F，证明得，求出，由勾股定理求出，进而可求出的值． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， 即； 故答案为：； （2）当点D在的延长线上时，（1）的结论仍成立． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （3）在中，， ∴ 过点A作，交于点F， ∴ ∴ ∵在中， ∴ ∴ 又∵， ∴， ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ ∴ ∴ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$