第18讲 难点探究专题：一次函数的综合问题与新定义型探究问题（2个知识点+7大考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（华东师大版）

第18讲 难点探究专题：一次函数的综合问题与新定义型探究问题 知识点01 一次函数的图象与性质 1） 一次函数图象是一条直线； 2）已知两点可以作图，也可求出解析式； 3）交y轴于点（0，b），交x轴于点（，0）； 4）过象限、增减性 　 （过一、二象限） （过三、四象限） （过原点） （过一、三象限） 随的增大而增大 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限 （过二、四象限） 随的增大而减小 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限 5）函数图象大小比较：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的（x、y），x的值是点的横坐标，纵坐标就是与这个x的值相对应的y的值，因此，观察x或y的值就是看函数图象上点的横、纵坐标的值，比较函数值的大小就是比较同一个x的对应点的纵坐标的大小，也就是函数图象上的点的位置的高低. 知识点02 一次函数的实际应用 1）数学建模的一般思路 数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 2）正确认识实际问题的应用 在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解. 注：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点. 3）选择最简方案问题 分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 考点一：一次函数图象共存综合问题 例题：（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数与（，为常数，的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2024八年级上·全国·专题练习）一次函数（，是常数）与（、是常数且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A．B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）一次函数和（a，b为常数且）在同一直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 考点二：一次函数含参数中的图象和性质 例题：（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）下列关于一次函数的判断，正确的是（       ） A．当时，该函数图象经过一、三、四象限 B．点，点在该函数的图象上，若，则 C．若该函数的图象向右平移2个单位后经过原点，则 D．若关于的方程的解是，则的图象恒过点 【变式训练】 1．（23-24八年级下·山东临沂·期末）关于直线，下列说法错误的是（    ） A．图象与轴交于点 B．当时，点、在图象上，则 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象经过定点 2．（2024八年级上·全国·专题练习）关于的函数，给出下列结论： ①当时，此函数是一次函数； ②无论取什么值，函数图象必经过点； ③若图象经过二、三、四象限，则的取值范围是； ④若函数图象与轴的交点始终在正半轴，则的取值范围是． 其中正确结论的序号是（　　） A．①③④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 考点三：一次函数中的规律探究问题 例题：（2024·山东东营·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线交于点，过作x轴的垂线，垂足为，过作的平行线交于，过作轴的垂线，垂足为，过作的平行线交于，过作轴的垂线，垂足为按此规律，则点的纵坐标为 ． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·贵州贵阳·期末）如图，已知直线，过点作轴的垂线交直线于点，以为边作正方形，过点作轴的垂线交直线于点，以为边作正方形，按此规律进行，则点的坐标为 ．    2．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在直线图象上，过点作轴平行线，交直线于点，以线段为边在右侧作正方形，所在的直线交的图象于点，交的图象于点，再以线段为边在右侧作正方形依此类推．按照图中反映的规律，则点的坐标是 ；第个正方形的边长是 ． 考点四：一次函数中求线段和最值问题 例题：（23-24八年级下·湖北孝感·期末）平面直角坐标系内，已知点和点，点为轴上一动点，当最小时．点的坐标为 ． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）一次函数的图象交轴、轴分别于点，，点，分别是，的中点，若是上一动点．当周长最小时，的坐标是 ． 2．（23-24八年级下·河南南阳·期中）如图，直线与轴，轴分别交于点和点，点在线段上，且点坐标为，点为线段的中点，点为上一动点，当的周长最小时，点的坐标为 ． 考点五：一次函数与三角形的综合问题 例题：（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，与轴交于点，直线经过点，，已知， ，直线与相交于点． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； 【变式训练】 1．（23-24八年级下·湖南益阳·期末）如图，直线与x轴交于点A，与直线交于点B． (1)求点A，B的坐标； (2)判断是什么特殊三角形，并说明理由． 2.（2023八年级下·全国·专题练习）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，于点C，点P在直线上运动，点Q在y轴的正半轴上运动．    (1)求点A，B的坐标； (2)求的长； (3)若以O，P，Q为顶点的三角形与全等，求点Q的坐标． 3．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）如图，过点的直线与坐标轴相交于、两点，已知点是第二象限的点，设的面积为．    (1)写出与之间的函数关系，并写出的取值范围； (2)当的面积为时，求出点的坐标； (3)在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点，使得与、、中任意两点形成的三角形面积也为，若存在，请直接写出点的坐标． 考点六：一次函数中生一次函数综合问题 例题：（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，三角形的边在轴上，点的坐标是，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，它们的坐标分别为、，且，． (1)求、两点的坐标； (2)动点从点出发，以每秒2个单位的速度，沿射线运动，点运动时间为秒，连接，三角形的面积为，请求出与之间的关系式； (3)在（2）的条件下，当点在线段上运动时，是否存在某一时刻，使三角形的面积是三角形面积的，若存在，请求出的值和点坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·四川泸州·期末）如图①，在平面直角坐标系中，交轴和轴于两点，其坐标分别为，满足． (1)求点的坐标； (2)如图②，过点作，截取，点在第一象限内，过点作轴于点，点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿轴向下运动，连接，若点运动的时间为秒，三角形的面积为，请用含的式子表示，并直接写出的取值范围； (3)在（2）的条件下，连接，在坐标轴上是否存在点，使与全等?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在x轴的负半轴上，射线交y轴正半轴于点B，，三角形的面积为12．    (1)求点A，点B的坐标： (2)点C是射线上一点，连接，点C的横坐标为n． ①当点C（不与点B重合）在线段上时，请用含n的式子表示三角形的面积； ②当时，点P从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿射线方向运动，同时点Q从点O出发以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动连接，若三角形的面积是三角形面积的，请直接写出点P的坐标及运动时间． 考点七：一次函数中的新定义型综合问题 例题：（23-24八年级下·广西桂林·阶段练习）我们规定：如果两个一次函数的图像都经过坐标轴上的同一个点，那么就称这两个一次函数互为“交轴一次函数”，如：一次函数与的图像都经过轴上的同一个点，所以这两个函数为“交轴一次函数”，又如一次函数与的图像都经过轴上的同一个点，所以这两个函数为“交轴一次函数”． (1)一次函数与是否是“交轴一次函数”？若是，请说明理由；若不是，也请说明理由，并写出其中一个函数的一个“交轴一次函数”． (2)已知一次函数，，若与互为“交轴一次函数”，求的值． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）定义：在平面直角坐标系中，我们称直线，为常数）是点的关联直线，点是直线的关联点；特别地，当时，直线的关联点为． 如图，直线与轴交于点，与轴交于点． 【定义辨析】 （1）直线的关联点的坐标是（   ） A．    B．    C．    D． 【定义延伸】 （2）点的关联直线与直线交于点，求点的坐标；； 【定义应用】 （3）点的关联直线与轴交于点，，求的值． 一、单选题 1．（2022九年级上·吉林长春·学业考试）已知一次函数的图象与y轴交于点A，与正比例函数的图象交于点，那么的面积是（   ） A．3 B．6 C．7 D．14 2．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）将一次函数与的图象画在同一坐标系中，它们的图象可能是（    ） A．B．C．D． 3．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴相交所成的锐角为．若是轴上的点，是上的点，，的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·河南·阶段练习）如图，直线与直线相交于点，直线与y轴交于点A，一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线上的处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于x轴的方向运动，达到直线上的点处后，仍沿平行于x轴的方向运动…，照此规律运动，动点C依次经过点，则当动点C从A到达处时，运动的总路径的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知直线为常数，且．当变化时，下列结论正确的有 ． ①当，图象经过一、三、四象限； ②当时，随的增大而减小； ③坐标原点到定点的距离是； ④直线必过定点． 6．（24-25八年级上·河南郑州·期中）已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是y轴正半轴上一动点，是以为腰的等腰三角形，则满足条件的点C的坐标为 ． 7．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点，点的坐标为，点，分别是线段，上的动点，且，则的长为 ；当的值取最小值时，点的坐标为 ． 8．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）对于平面直角坐标系中的点，若，满足，则点就称为“奇妙点”．若是“奇妙点”，则 ；已知一次函数（为常数）图象上有一个“奇妙点”的坐标是，则一次函数图象上另一 “奇妙点”的坐标是 ． 三、解答题 9．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B． (1)求A，B两点的坐标； (2)过B点作直线与x轴交于点P，若的面积为10，试求点P的坐标． 10．（22-23八年级下·四川内江·期中）在平面直角坐标系中，已知一次函数（，都是常数，且）的图象经过点和． (1)求和的值； (2)当时，求的取值范围； (3)是在轴上的一动点，当取得最小值时，求点的坐标． 11．（24-25八年级上·四川达州·期中）如图，长方形在平面直角坐标系中，若、的长满足，把沿对折 ，点B落在点处 ，线段与x轴交于点D． (1)求B、C两点的坐标 ； (2)求直线的表达式 ； (3)在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在 ，请直接写出点的坐标 ； 若不存在 ，请说明理由． 12．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）在平面直角坐标系中，如果一个点到两坐标轴的距离相等，那么这个点称为“等距点”，例如，，，都称为“等距点”． (1)如图1，点，线段的垂直平分线l上在第一象限内的“等距点”P的坐标为________． (2)如图2，点，点B是第一象限内的“等距点”，若点Q是第四象限内的“等距点”，是否存在点Q，使直线把分成面积之比为的两部分？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图3，点，点，点D是坐标系内与原点O不重合的“等距点”，连接，，当时，求“等距点”D的坐标． 13．（24-25八年级上·江西吉安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴的正半轴交于点A，与x轴交于点，的面积为2．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度在射线上运动，动点Q从O出发，沿x轴的正半轴于点P同时以相同的速度运动，过P作轴交直线于M． (1)求直线的解析式． (2)当点P在线段上运动时，设的面积为S，点P运动的时间为t秒，求S与t的函数关系式（直接写出自变量的取值范围）． (3)过点Q作轴交直线于N，在运动过程中（P不与B重合），是否存在某一时刻t（秒），使是等腰三角形？若存在，求出时间t值． 14．（21-22八年级上·四川成都·期末）如图，平面直角坐标系中，直线：交y轴于点，交x轴于点B． (1)求直线的表达式和点B的坐标； (2)直线l垂直平分交于点D，交x轴于点E，点P是直线l上一动点，且在点D的上方，设点P的纵坐标为n． ①用含n的代数式表示的面积； ②当时，求点P的坐标； ③在②的条件下，在坐标轴上，是否存在一点Q，使得与面积相等？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 15．（24-25八年级上·全国·期末）如图，直线过点，且与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式及点的坐标； (2)如图，作直线，点P在直线上，当的面积为面积的倍时，求点的坐标； (3)如图，点为第二象限内的一点，连接，以为边在的左侧作等边，当，时，求线段的长． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18讲 难点探究专题：一次函数的综合问题与新定义型探究问题 知识点01 一次函数的图象与性质 1） 一次函数图象是一条直线； 2）已知两点可以作图，也可求出解析式； 3）交y轴于点（0，b），交x轴于点（，0）； 4）过象限、增减性 　 （过一、二象限） （过三、四象限） （过原点） （过一、三象限） 随的增大而增大 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限 （过二、四象限） 随的增大而减小 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限 5）函数图象大小比较：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的（x、y），x的值是点的横坐标，纵坐标就是与这个x的值相对应的y的值，因此，观察x或y的值就是看函数图象上点的横、纵坐标的值，比较函数值的大小就是比较同一个x的对应点的纵坐标的大小，也就是函数图象上的点的位置的高低. 知识点02 一次函数的实际应用 1）数学建模的一般思路 数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 2）正确认识实际问题的应用 在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解. 注：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点. 3）选择最简方案问题 分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 考点一：一次函数图象共存综合问题 例题：（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数与（，为常数，的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正比例函数的图象、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查正比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据一次函数的性质和正比例函数的性质，可以判断哪个选项中的图象符合题意． 【详解】解： A．一次函数中的，∴，则，正比例函数中的，故选项A符合题意； B．一次函数中的，∴，则，正比例函数中的，故选项B不符合题意； C．一次函数中的，∴，则，正比例函数中的，故选项C不符合题意； D．一次函数中的，∴，则，正比例函数中的，故选项D不符合题意； 故选：A． 【变式训练】 1．（2024八年级上·全国·专题练习）一次函数（，是常数）与（、是常数且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A．B． C． D． 【答案】B 【知识点】正比例函数的图象、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题主要考查了一次函数图象和正比例函数与其系数的关系；根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得、的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否正确，进而比较可得答案． 【详解】解：A、由一次函数图象可知，， ∴， 由正比例函数经过二四象限，则，矛盾，故该选项不正确，不符合题意； B、由一次函数图象可知，， ∴， 由正比例函数经过二四象限，则，故该选项正确，符合题意； C、由一次函数图象可知，， ∴， 由正比例函数经过二四象限，则，矛盾，故该选项不正确，不符合题意； D、没有正比例函数图象，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）一次函数和（a，b为常数且）在同一直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题． 根据直线判断出a、b的符号，然后根据a、b的符号判断出直线经过的象限即可，做出判断． 【详解】解：A、若，， ∴一次函数与都是经过一、二、三象限，故A错误； B、若，， ∴直线经过一、二、四象限，直线经过一、三、四象限，故B正确； C、若，， ∴直线经过一、二、四象限，直线经过一、三、四象限，故C错误； D、若，， ∴直线与都是经过二、三、四象限，故D错误． 故选：B． 考点二：一次函数含参数中的图象和性质 例题：（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）下列关于一次函数的判断，正确的是（       ） A．当时，该函数图象经过一、三、四象限 B．点，点在该函数的图象上，若，则 C．若该函数的图象向右平移2个单位后经过原点，则 D．若关于的方程的解是，则的图象恒过点 【答案】D 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象平移问题、一次函数图象与坐标轴的交点问题、已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数的增减性，一次函数的平移等知识，利用一次函数的性质判断选项A；利用一次函数的增减性判断选项B；利用一次函数的平移判断选项C；利用一次函数与一元一次方程的关系判断选项D即可． 【详解】解：一次函数中，，则函数图象经过二、四象限，当时，该函数图象与y轴交于负半轴，该函数图象经过二、三、四象限，故选项A错误； 一次函数中，，则y随x的增大而减小，由，得，但是、的值与0的大小不能比较，故选项B错误； 函数的图象向右平移2个单位后，新函数解析式为，由新函数图象经过原点，得，解得，故选项C错误； 若关于的方程的解是，则的图象恒过点，故选项D正确． 故选：D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·山东临沂·期末）关于直线，下列说法错误的是（    ） A．图象与轴交于点 B．当时，点、在图象上，则 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象经过定点 【答案】C 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、判断一次函数的增减性、根据一次函数解析式判断其经过的象限、比较一次函数值的大小 【分析】本题主要考查了求一次函数值、判断一次函数图像的增减性、比较函数值大小、判断一次函数图像经过的象限等知识，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题关键．将代入函数解析式并计算的值，即可判断选项A；结合，易得该一次函数图像的增减性，再进行比较即可判断选项B；根据该函数的的值，即可确定该函数图象经过的象限，即可判断选项C；计算当时的函数值，即可判断选项D． 【详解】解：A、对于函数，当时，，即图象与轴的交于点，故选项正确，不符合题意； B、对于函数，因为，所以随着的增大而减小，点、在图象上，且，则，故本选项正确，不符合题意； C、当时，则函数的图象经过第二、三、四象限，但是当时，则函数的图象经过第一、二、三象限，本选项错误，符合题意； D、 对于函数，当时，，即图象经过定点，故选项正确，不符合题意； 故选：C． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）关于的函数，给出下列结论： ①当时，此函数是一次函数； ②无论取什么值，函数图象必经过点； ③若图象经过二、三、四象限，则的取值范围是； ④若函数图象与轴的交点始终在正半轴，则的取值范围是． 其中正确结论的序号是（　　） A．①③④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征；①根据一次函数定义即可求解；②根据即可求解；③图象经过二、三、四象限，则，，即可求解；④函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则，即可求解． 【详解】①根据一次函数定义：当时，， 所以函数为一次函数，故①正确； ②，故函数过，故②正确； ③图象经过二、三、四象限，则，， 解得：，故③正确； ④函数图象与轴的交点始终在正半轴，则， 解得：，故④正确． 综上所述正确结论的序号是①②③④； 故选：D． 考点三：一次函数中的规律探究问题 例题：（2024·山东东营·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线交于点，过作x轴的垂线，垂足为，过作的平行线交于，过作轴的垂线，垂足为，过作的平行线交于，过作轴的垂线，垂足为按此规律，则点的纵坐标为 ． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索、一次函数的规律探究问题 【分析】本题考查了坐标规律探究，两直线的交点，一次函数图象性质．总结归纳出点A纵坐标变化规律是解题的关键． 联立直线与直线的表达式并解得：，，故，依次求出：点的纵坐标为、的纵坐标为，…，的纵坐标为即可求解． 【详解】解：联立直线与直线的表达式并解得：，，故； 则点，则直线的表达式为：， 将点坐标代入上式并解得：直线的表达式为：， 将表达式与直线的表达式联立并解得：，，即点的纵坐标为； 同理可得的纵坐标为， 的纵坐标为 按此规律，则点的纵坐标为， 故答案为：． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·贵州贵阳·期末）如图，已知直线，过点作轴的垂线交直线于点，以为边作正方形，过点作轴的垂线交直线于点，以为边作正方形，按此规律进行，则点的坐标为 ．    【答案】 【知识点】一次函数的规律探究问题 【分析】先根据一次函数方程式求出点的坐标，再根据点的坐标求出、的坐标，以此类推总结规律便可求出点的坐标． 【详解】解：直线，点坐标为，过点作x轴的垂线交直线于点，可知点的坐标为； ∴以为边作正方形，则， ∴，点的坐标为，的坐标为， 根据这种方法可求得的坐标为，故点的坐标为，的坐标为， 以此类推便可求出点的坐标为， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，做题时要注意数形结合思想的运用，是各地的中考热点，学生在平常要多加训练，属于中档题． 2．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在直线图象上，过点作轴平行线，交直线于点，以线段为边在右侧作正方形，所在的直线交的图象于点，交的图象于点，再以线段为边在右侧作正方形依此类推．按照图中反映的规律，则点的坐标是 ；第个正方形的边长是 ． 【答案】 【知识点】一次函数的规律探究问题 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型问题，根据线段的和即可得出第一个正方形的边长为，再根据正方形的性质及线段的和即可求出第二个正方形的边长为，依次得出第三个正方形的边长为，以此类推，可得，，从而得到答案． 【详解】解：由题意，，， ， 则第一个正方形的边长为， 即， ，， ， 则第二个正方形的边长为， 即， ，， ， 则第三个正方形的边长为， 即， ，， 以此类推， 可得，， 第2020个正方形的边长为． 故答案为：；． 考点四：一次函数中求线段和最值问题 例题：（23-24八年级下·湖北孝感·期末）平面直角坐标系内，已知点和点，点为轴上一动点，当最小时．点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用)、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了利用轴对称求最短路径，一次函数的实际应用； 作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，根据轴对称求最短路径的方法可知此时点P即为最小时点的位置，然后利用待定系数法求出直线的解析式，进而可求点的坐标． 【详解】解：如图，作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接， 则， ∴， ∴与x轴的交点P即为最小时点的位置， ∵， ∴ 设直线的解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，解得：， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）一次函数的图象交轴、轴分别于点，，点，分别是，的中点，若是上一动点．当周长最小时，的坐标是 ． 【答案】 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用)、线段问题(轴对称综合题) 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及轴对称最短路线问题，由点，的坐标及点，分别是，的中点，可得出点，的坐标，作点关于轴的对称点，连接交于点，此时周长最小，由点的坐标可得出点的坐标，由点，的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出当周长最小时点的坐标． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为，点是的中点，点为的中点， 点的坐标为，点的坐标为． 作点关于轴的对称点，连接交于点，此时周长最小，如图所示． 点的坐标为， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得：， 直线的解析式为． 当时，， 此时点的坐标为． 故答案为： ． 2．（23-24八年级下·河南南阳·期中）如图，直线与轴，轴分别交于点和点，点在线段上，且点坐标为，点为线段的中点，点为上一动点，当的周长最小时，点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用)、线段问题(轴对称综合题) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，解题的关键是求出直线的解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．根据一次函数解析式求出点、的坐标，再求出点、的坐标，根据对称的性质找出点的坐标，结合点、的坐标求出直线的解析式，令即可求出的值，从而得出点的坐标． 【详解】解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时值最小，如图． 令中，则 点的坐标为； 令中，则，解得：， 点的坐标为． 点分别为线段的中点， 点． ∵点在线段上， ∴， 解得：，即点， 点和点关于轴对称， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 直线过点，， ，解得：， 直线的解析式为． 令，则，解得：， 点的坐标为，． 故选：，． 考点五：一次函数与三角形的综合问题 例题：（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，与轴交于点，直线经过点，，已知， ，直线与相交于点． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； 【答案】(1) (2) 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，三角形的面积公式，掌握待定系数法是解题的关键． （1）根据待定系数法求解； （2）先求出点、的坐标，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 直线经过点， ， ， 解得：， 直线的解析式为：； （2）当时，有， 解得：， ， ， ， 联立：， 得：， ， ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·湖南益阳·期末）如图，直线与x轴交于点A，与直线交于点B． (1)求点A，B的坐标； (2)判断是什么特殊三角形，并说明理由． 【答案】(1)， (2)是直角三角形，理由见解析 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用)、用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式，勾股定理及逆定理，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质及勾股定理及逆定理． （1）由，得，可得，再联立方程组求得点B的坐标； （2）过点B作轴于点C，先求得，，，在中，由勾股定理得：，同理可得，再用勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】（1）由，得， ∴， 由得． ∴； （2）是直角三角形，理由如下： 如图，过点B作轴于点C， ∵点A，B的坐标分别为，， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， 同理：， ∴， 又， ∴， ∴是直角三角形． 2.（2023八年级下·全国·专题练习）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，于点C，点P在直线上运动，点Q在y轴的正半轴上运动．    (1)求点A，B的坐标； (2)求的长； (3)若以O，P，Q为顶点的三角形与全等，求点Q的坐标． 【答案】(1)，； (2) (3)Q的坐标为或或 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、几何问题(一次函数的实际应用)、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形 【分析】（1）将和分别代入求解即可； （2）首先根据点A和点B的坐标得到，然后利用勾股定理求出，然后利用代入求解即可； （3）首先根据题意得到是的斜边，Q为直角顶点，然后设，则，然后分3种情况讨论，分别根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）在中，令得，令得， ∴，； （2）由（1）知，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）∵以O，P，Q为顶点的三角形与全等， ∴是的斜边，Q为直角顶点， 设，则， 当，P在C下方时，如图：    则， ∴， ∴， ∴， ∴； 当，P在C上方时，如图：    ∵， ∴． ∴， ∴， ∴； 当时，如图：    则， ∴； 综上所述，Q的坐标为或或． 【点睛】此题考查了一次函数与三角形综合题，全等三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 3．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）如图，过点的直线与坐标轴相交于、两点，已知点是第二象限的点，设的面积为．    (1)写出与之间的函数关系，并写出的取值范围； (2)当的面积为时，求出点的坐标； (3)在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点，使得与、、中任意两点形成的三角形面积也为，若存在，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)存在， ， ， ， ， ， ． 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、几何问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）先求出点A坐标，由可求函数关系式， （2）将代入函数解析式可求得点； （3）根据三角形三个顶点不同分类讨论求出点M． 【详解】（1）解：点在第二象限，则因为 当时，x，则 （) （2）由（1）可知 当 则 此时： 所以 （3）存在点M满足条件， I．当M点在y轴时，若，即， ∴， ∴， ∴当点M在原点上方时，点M坐标为， ∴当点M在原点下方时，点M坐标为， II．当M点在y轴时，若，即， ∴， ∴， ∴当点M在原点上方时，点M坐标为， ∴当点M在原点下方时，点M坐标为； III．当M点在y轴时，若，即，      ， ∴， ∴当点M在点B上方时，点M坐标为， ∴当点M在点B下方时，点M点M与点O重合，不合题意舍去；； IV．当M点在x轴时，若，即， ∴， ∴， ∴当点M在原点右侧时，点M坐标为， ∴当点M在原点左侧时，点M坐标为，与点A重合，不合题意舍去； V．当M点在x轴时，若，即， ∴， ∴， ∵点A坐标为， ∴当点M在点A左侧时，点M坐标为， ∴当点M在点A右侧时，点M与点O重合，不合题意舍去； 综上所述：点M坐标为， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、解一元一次方程，解题的关键是分类讨论的数学思想． 考点六：一次函数中生一次函数综合问题 例题：（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，三角形的边在轴上，点的坐标是，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，它们的坐标分别为、，且，． (1)求、两点的坐标； (2)动点从点出发，以每秒2个单位的速度，沿射线运动，点运动时间为秒，连接，三角形的面积为，请求出与之间的关系式； (3)在（2）的条件下，当点在线段上运动时，是否存在某一时刻，使三角形的面积是三角形面积的，若存在，请求出的值和点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)存在，，，理由见解析 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、坐标与图形、几何问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案； （2）分类讨论：P在线段上，P在线段的延长线上，根据三角形的面积公式，可得t的值，根据线段的和差，可得的长，然后根据三角形面积公式求解即可； （3）首先求出的面积，然后根据三角形的面积是三角形面积的，得出，，过点作轴于点，轴于点，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）∵、 ∴， 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴，； （2）过点作于点， ∵， ∴， ∴， 当点在线段上时， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点在线段延长线上时， 同理可得：， （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 过点作轴于点，轴于点， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数综合题，三角形的面积，坐标与图形性质等知识点的综合运用，解题的关键是（2）（3）需要求出符合条件的所有情况，是一道比较容易出错的题目． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·四川泸州·期末）如图①，在平面直角坐标系中，交轴和轴于两点，其坐标分别为，满足． (1)求点的坐标； (2)如图②，过点作，截取，点在第一象限内，过点作轴于点，点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿轴向下运动，连接，若点运动的时间为秒，三角形的面积为，请用含的式子表示，并直接写出的取值范围； (3)在（2）的条件下，连接，在坐标轴上是否存在点，使与全等?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)与全等时，点M的坐标为或 【知识点】绝对值非负性、坐标与图形、几何问题(一次函数的实际应用)、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）利用绝对值和平方的非负性求解； （2）过点D作于H，证明，分和两种情况，列分段函数； （3）点M可能在x轴上，也可能在y轴上，因此需要分两种情况分别计算． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图①，过点D作于H， ， ， 在和中， ， ， 当时， 由题意得：则， ； 当时，， ， 则 （3）解：如图②， ， ， ， ， 当时，， ， ∴点M在x轴上． ， ， 当时，， ∵点在轴上， ， ， ， 综上所述：与全等时，点M的坐标为或． 【点睛】本题考查坐标与图形，非负数的性质，全等三角形的判定和性质，动点问题的函数解析式，熟练运用分类讨论思想是解题的关键． 2．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在x轴的负半轴上，射线交y轴正半轴于点B，，三角形的面积为12．    (1)求点A，点B的坐标： (2)点C是射线上一点，连接，点C的横坐标为n． ①当点C（不与点B重合）在线段上时，请用含n的式子表示三角形的面积； ②当时，点P从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿射线方向运动，同时点Q从点O出发以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动连接，若三角形的面积是三角形面积的，请直接写出点P的坐标及运动时间． 【答案】(1)， (2)①；②，秒；，秒 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、坐标与图形、几何问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了坐标与图形、一次函数图像与性质及一元一次方程的应用， （1）根据三角形面积及两直角边关系可直接求出； （2）①根据坐标与图形关系表示面积即可； ②先用待定系数法求出直线表达式，即可求出点C坐标，分两种情况：当点P在Q左侧时，当点P在Q右侧时，分别列方程求出即可． 【详解】（1）解：∵三角形的面积为12， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵点A，点B分别在x轴的负半轴上，y轴的正半轴上， ∴，； （2）解：①如图，过点C作轴于M．    ∵点C在线段上，点C的横坐标为n， ∴     ∴三角形的面积为： ， ∴三角形的面积为； ②设直线表达式为，由题意得： ， 解得：， 直线表达式为， 当时，，即， ， ， ， 设点P、Q运动时间为t秒， 当点P在Q左侧时，， 解得， 当点P运动的时间为秒时， 点P的坐标为； 当点P在Q右侧时，， 解得， 当点P运动的时间为秒时， 点P的坐标为； 综上所述，当点P运动的时间为秒时，点P的坐标为；当点P运动的时间为秒时，点P的坐标为． 考点七：一次函数中的新定义型综合问题 例题：（23-24八年级下·广西桂林·阶段练习）我们规定：如果两个一次函数的图像都经过坐标轴上的同一个点，那么就称这两个一次函数互为“交轴一次函数”，如：一次函数与的图像都经过轴上的同一个点，所以这两个函数为“交轴一次函数”，又如一次函数与的图像都经过轴上的同一个点，所以这两个函数为“交轴一次函数”． (1)一次函数与是否是“交轴一次函数”？若是，请说明理由；若不是，也请说明理由，并写出其中一个函数的一个“交轴一次函数”． (2)已知一次函数，，若与互为“交轴一次函数”，求的值． 【答案】(1)不是，理由见详解，一次函数与是“交轴一次函数” (2)与互为“交轴一次函数”时，的值为或 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】（1）根据一次函数以坐标轴的交点坐标的计算方法，“交轴一次函数”的定义即可求解； （2）根据与互为“交轴一次函数”，分类讨论，①当与的图像都经过轴上的同一个点时，即；②当与的图像都经过轴上的同一个点时，即；由此即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，在中，令时，；令时，； ∴一次函数与轴的交点为，与轴的交点为； 同理，一次函数中，令时，；令时，； ∴一次函数与轴的交点为，与轴的交点为； ∴一次函数与的图像与轴的交点不同，与轴的交点不同， ∴一次函数与不是“交轴一次函数”； 当时，则时，， ∴一次函数中，函数值，即一次函数与的图像都经过轴上的同一个点， ∴一次函数与是“交轴一次函数”． （2）解：∵一次函数，，若与互为“交轴一次函数”， ①当与的图像都经过轴上的同一个点时，即， ∴在中，， ∴一次函数，的图像都经过轴上的同一个点， ∴在中，，解得，； ②当与的图像都经过轴上的同一个点时，即， ∴在中，， ∴一次函数，的图像都经过轴上的同一个点， ∴在中，，解得，； 综上所述，与互为“交轴一次函数”时，的值为或． 【点睛】本题主要考查一次函数的定义新运算，掌握一次函数图形的性质，一次函数与坐标轴交点的计算方法代入求值是解题的关键． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）定义：在平面直角坐标系中，我们称直线，为常数）是点的关联直线，点是直线的关联点；特别地，当时，直线的关联点为． 如图，直线与轴交于点，与轴交于点． 【定义辨析】 （1）直线的关联点的坐标是（   ） A．    B．    C．    D． 【定义延伸】 （2）点的关联直线与直线交于点，求点的坐标；； 【定义应用】 （3）点的关联直线与轴交于点，，求的值． 【答案】（1）D；（2）C的坐标为；（3）的值为或． 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）根据题中所给新定义可直接进行求解； （2）求出点的坐标为，根据题中所给新定义可得点的关联直线为，联立直线即可求解； （3）根据题中所给新定义可得点的关联直线为，则点，分两种情况：①当点在直线左侧时，②当点在直线右侧时，分别求解即可． 【详解】解：（1）直线，为常数），点是直线的关联点， 直线的关联点的坐标是， 故答案为：D； （2）直线，当时，，解得， 点的坐标为， 直线，为常数）是点的关联直线， 点的关联直线为， 联立得，解得， 的坐标为； （3）点的关联直线为， 当时，， 点的坐标为， 当时，， 点的坐标为， ①如图1，当点在直线左侧时，过点作，交直线于点，过点作垂直轴于点． ， ， ， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，， 的坐标为， 把点代入得，； ②如图2，当点在直线右侧时， 同理可证， ，， 点的坐标为 把点代入得，， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题是一次函数的综合题，也是有关关联点和关联直线的新定义问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征、理解新定义、利用待定系数法求一次函数的解析式，本题中理解关联点和关联直线的定义，正确进行分类讨论是解题的关键． 一、单选题 1．（2022九年级上·吉林长春·学业考试）已知一次函数的图象与y轴交于点A，与正比例函数的图象交于点，那么的面积是（   ） A．3 B．6 C．7 D．14 【答案】C 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的交点问题．解题的关键在于根据函数图象的交点求出一次函数解析式． 将代入，求出，可知，然后将代入，求出，即可得到一次函数解析式，求出一次函数与y轴的交点，进而计算面积即可． 【详解】解：将代入得，解得 ∴ 将代入得，解得 ∴一次函数解析式为 令，则 ∴ ∴ 故选：C． 2．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）将一次函数与的图象画在同一坐标系中，它们的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断一次函数的图象 【分析】本题考查一次函数图象与性质，根据题中选项的图，假定其中一条之间的解析式为，由一次函数图象与性质得到符号，再判断另一条直线是否满足即可得到答案，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：A．由一次函数图象知：，，则，由正比例函数图象知：，故选项A不符合题意； B．由一次函数图象知：，，则，由正比例函数图象知：，故选项B不符合题意； C．是正比例函数，图象必经过原点，故选项C不符合题意； D．由一次函数图象知：，，则，由正比例函数图象知：，故选项D不符合题意； 故选：D． 3．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴相交所成的锐角为．若是轴上的点，是上的点，，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一次函数与几何综合、等边对等角 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，以及等腰三角形性质的应用，根据题意，得到，利用，构成等腰三角形，两底角相等，得到结果． 【详解】解：直线l：与x轴相交所成的锐角为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 4．（24-25八年级上·河南·阶段练习）如图，直线与直线相交于点，直线与y轴交于点A，一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线上的处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于x轴的方向运动，达到直线上的点处后，仍沿平行于x轴的方向运动…，照此规律运动，动点C依次经过点，则当动点C从A到达处时，运动的总路径的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一次函数的规律探究问题、一次函数与几何综合 【分析】由直线确定点，利用解析式确定，，计算得到，同理可证，由此可得，继而确定动点C从A到达处时，运动的总路径的长为，据此即可求解． 本题考查平行于坐标轴的直线上点的坐标特征、探究规律，正确分析出相关规律是本题解题关键． 【详解】解：由直线可知，根据题意， 当时，得， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∴，， ∴， 当时，得， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∴，， ∴， 由此可得，， ∴动点C从A到达处时，运动的总路径的长为， ∴动点C从A到达处时，运动的总路径的长为． 故答案为：C． 二、填空题 5．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知直线为常数，且．当变化时，下列结论正确的有 ． ①当，图象经过一、三、四象限； ②当时，随的增大而减小； ③坐标原点到定点的距离是； ④直线必过定点． 【答案】①③/③① 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查的是一次函数的性质，根据一次函数的图象与系数的关系及增减性判断①②；根据直线过定点得出定点坐标判断④；利用两点间的距离公式即可判断③． 【详解】解：当时，， 此时一次函数，经过一、三、四象限，故①正确； 对于直线为常数，且， 当时，即时，随的增大而增大；故②错误； 直线， 当时，， 直线过定点，故④错误； 由④知直线必过定点， 坐标原点到定点的距离是，故③正确． 故答案为：①③． 6．（24-25八年级上·河南郑州·期中）已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是y轴正半轴上一动点，是以为腰的等腰三角形，则满足条件的点C的坐标为 ． 【答案】或或 【知识点】一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及等腰三角形的定义，分为腰及为腰两种情况，求出点的坐标．利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点，的坐标，在中，利用勾股定理，可求出的长，分为腰及为腰两种情况考虑，当为腰时，利用等腰三角形的三线合一，可得出的长，进而可得出点的坐标；当为腰时，利用等腰三角形的性质，可得出的长，结合点的坐标，即可得出点的坐标，综上所述，即可得出结论． 【详解】解：如图， 当时，， 点的坐标为， ； 当时，， 解得：， 点的坐标为， ． 在中，，，， ． 当为腰时，， 点的坐标为； 当为腰时，， 又点的坐标为， 点的坐标为或． 综上所述，满足条件的点的坐标为或或． 故答案为：或或． 7．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点，点的坐标为，点，分别是线段，上的动点，且，则的长为 ；当的值取最小值时，点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、两点之间线段最短、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，待定系数法求解析式，两点之间线段最短，由一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点，求出，，作轴于，使得，连接，，证明，则，由，当在上时，最小，在求出直线为，直线为，联立得，求出，然后由线段和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点， ∴令，则；令，则， ∴，， 又∵点的坐标为，， ∴，， ∴， 如图，作轴于，使得，连接，， ∴， ∴． ∵，， ∴， 又∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当在上时，最小， 设直线解析式为， ∵，， ∴，解得：， ∴直线为， 同理可得：直线为， ∴联列方程组， ∴， ∴， ∴的纵坐标为：． ∴， 答案为：；． 8．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）对于平面直角坐标系中的点，若，满足，则点就称为“奇妙点”．若是“奇妙点”，则 ；已知一次函数（为常数）图象上有一个“奇妙点”的坐标是，则一次函数图象上另一 “奇妙点”的坐标是 ． 【答案】 或 【知识点】求一次函数解析式、坐标与图形综合 【分析】本题考查新定义下的一次函数的应用，掌握一次函数解析式的求法并理解新定义的计算方法是本题关键．先根据新定义可得，可得的值，把所给点代入，求解，再根据奇妙点定义求出两个奇妙点即可． 【详解】解：∵是“奇妙点”， ∴， 解得：或， 由点在一次函数图象上得：， 解得：， 故有：， 由奇妙点的定义得：， ∴， 解得：或 当时，；当时， 故另一奇妙点的坐标为， 故答案为：或；． 三、解答题 9．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B． (1)求A，B两点的坐标； (2)过B点作直线与x轴交于点P，若的面积为10，试求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或． 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式． （1）根据直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，令．求出的值；再令求出的值，即可得出结论； （2）直接根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】（1）解：直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B， 令，则； 令则， （2）解：由（1）知，， ， 的面积为10， ． 即， 或． 10．（22-23八年级下·四川内江·期中）在平面直角坐标系中，已知一次函数（，都是常数，且）的图象经过点和． (1)求和的值； (2)当时，求的取值范围； (3)是在轴上的一动点，当取得最小值时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到待定系数法求函数表达式、线段和的最值确定、点的对称性等，有一定的综合性，难度适中． （1）由待定系数法即可求解； （2）当时，，当时，，即可求解； （3）作点B关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则此时取得最小值，进而求解． 【详解】（1）解：将，代入得：， 解得：， 这个函数的解析式为：； （2）把代入得，， 把代入得，， 的取值范围是． （3）作点B关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则此时取得最小值， 设直线的解析式为， 把，代入解析式得，， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 的坐标为． 11．（24-25八年级上·四川达州·期中）如图，长方形在平面直角坐标系中，若、的长满足，把沿对折 ，点B落在点处 ，线段与x轴交于点D． (1)求B、C两点的坐标 ； (2)求直线的表达式 ； (3)在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在 ，请直接写出点的坐标 ； 若不存在 ，请说明理由． 【答案】(1)B点坐标为，C点坐标为 (2) (3)或 【知识点】一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形、已知两点坐标求两点距离、折叠问题 【分析】（1）先根据与满足的方程以及非负数的性质得出、的长，再由矩形对边相等可得出、的长，由A、C在坐标轴上即可得出B、C的坐标； （2）根据三角形全等，得出的长，再根据两点之间的距离公式即可得出的坐标，根据待定系数法可得出的解析式； （3）设，，得到，则，，，再根据勾股定理分情况列方程求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴B点坐标为，C点坐标为． （2）解：根据折叠可知：， ∴，， ∵，， 设的坐标为， ∵，， ∴， 解得：，（舍去）， ∴的坐标为， 设的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴的解析式为． （3）解：设直线的解析式为，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴， 设， ∵， ∴，， ， ①当为直角时，， 故， 解得，则； ②当为直角时，， 即 此时无解； ③当为直角时，， 即， 解得，则； 综上可得，P为或． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，两点间距离公式，勾股定理，轴对称的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握勾股定理． 12．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）在平面直角坐标系中，如果一个点到两坐标轴的距离相等，那么这个点称为“等距点”，例如，，，都称为“等距点”． (1)如图1，点，线段的垂直平分线l上在第一象限内的“等距点”P的坐标为________． (2)如图2，点，点B是第一象限内的“等距点”，若点Q是第四象限内的“等距点”，是否存在点Q，使直线把分成面积之比为的两部分？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图3，点，点，点D是坐标系内与原点O不重合的“等距点”，连接，，当时，求“等距点”D的坐标． 【答案】(1) (2)存在，或 (3)或 【知识点】求点到坐标轴的距离、一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）根据新定义和线段的垂直平分线的性质等求解即可； （2）分经过；经过两种情况讨论即可； （3）分点D在直线上；点D在直线上两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵点， ∴线段的垂直平分线l上在第一象限内的“等距点”P的坐标为， 故答案为：； （2）解∶设交于点P， ∵将的面积分为的两部分， ∴点P经过或． ∵点Q在第四象限， ∴点Q在直线上， ①当经过时，， 联立，解得 ∴Q的坐标为； ②当经过时，点Q在直线上， 联立，解得 ∴Q的坐标为， 综上，Q的坐标为或； （3）解∶①当点D在直线上时，过点D作轴，轴， 则， ∵， ∴， ∵点D是等距点， ∴， ∴， ∴， 设点，则，， ∴，解得， ∴点D的坐标为； 同理②当点D在直线上时 ∴， 设点，则，， ∴，解得， ∴点D的坐标为， 综上，点D的坐标为或． 13．（24-25八年级上·江西吉安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴的正半轴交于点A，与x轴交于点，的面积为2．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度在射线上运动，动点Q从O出发，沿x轴的正半轴于点P同时以相同的速度运动，过P作轴交直线于M． (1)求直线的解析式． (2)当点P在线段上运动时，设的面积为S，点P运动的时间为t秒，求S与t的函数关系式（直接写出自变量的取值范围）． (3)过点Q作轴交直线于N，在运动过程中（P不与B重合），是否存在某一时刻t（秒），使是等腰三角形？若存在，求出时间t值． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【知识点】利用平方根解方程、求一次函数解析式、已知两点坐标求两点距离、等腰三角形的定义 【分析】（1）根据三角形的面积公式求出，确定A的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）由等腰直角三角形的性质可得，再表示出，然后利用直角三角形的面积公式解答即可； （3）由题意可以确定t秒时，点M、N、Q的坐标分别为、、，再分别求出，最后分三种情况列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 则， ∴点 将点、的坐标代入一次函数表达式： 得：， 解得：， ∴直线的表达式为：； （2）解：∵v， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵点P、Q的速度都是每秒1个单位长度，时间为t， ∴， ∴， ∴； （3）解：存在，理由： ∵轴，， ∴也为等腰直角三角形， ∴， t秒时，点M、N、Q的坐标分别为、、， 则：，， 当时，即：，（负值已舍去）， 当时，同理可得：（负值已舍去）， 当时，同理可得：（舍去）， 故：当是等腰三角形时，或． 【点睛】本题是一次函数综合题型，主要利用了三角形的面积、待定系数法求一次函数解析式、等腰三角形的定义，两点之间距离公式，利用平方根解方程，解题的关键在于（3）对的三边情况分情况讨论． 14．（21-22八年级上·四川成都·期末）如图，平面直角坐标系中，直线：交y轴于点，交x轴于点B． (1)求直线的表达式和点B的坐标； (2)直线l垂直平分交于点D，交x轴于点E，点P是直线l上一动点，且在点D的上方，设点P的纵坐标为n． ①用含n的代数式表示的面积； ②当时，求点P的坐标； ③在②的条件下，在坐标轴上，是否存在一点Q，使得与面积相等？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点的坐标为 (2)①；②；③的坐标为或或． 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了一次函数的图象及性质，垂直平分线的性质等，熟练掌握一次函数的图象及性质，垂直平分线的性质及其应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解解析式，再求解B的坐标即可； （）由的长度结合直线的垂直平分，可求出，的长度，利用一次函数解析式求出点坐标，进而用含的式子表示点坐标，再利用面积公式即可求解； ②由①的结论，再建立方程求解即可； ③分点在轴和轴两种情况考虑，利用三角形面积即可求出点坐标； 【详解】（1）解：∵直线：交轴于点， ∴， ∴直线的表达式为， 当时，， ∴点的坐标为， （2）解：∵直线垂直平分，， ∴， 当时，， ∴点的坐标为， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ②∵， ∴， 解得：， ∴点； ③当点在轴上时，设其坐标为， ∵， ∴或， ∴点的坐标为或； 当点在轴上时，设其坐标为， ∵， ∴或， ∴点的坐标为或， 综上所述：在坐标轴上，存在一点，使得与面积相等，且点的坐标为或或． 15．（24-25八年级上·全国·期末）如图，直线过点，且与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式及点的坐标； (2)如图，作直线，点P在直线上，当的面积为面积的倍时，求点的坐标； (3)如图，点为第二象限内的一点，连接，以为边在的左侧作等边，当，时，求线段的长． 【答案】(1)，； (2)或； (3) 【知识点】一次函数与几何综合、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形 【分析】（）由待定系数法求出函数表达式，进而求解； （）取，过点作直线，则的面积为面积的倍，在的上方取，过点作，则此时的面积为 面积的倍，即可求解； （）证明，得到，则，则 ，即可求解． 【详解】（1）解：设的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：，则， 则直线的表达式为：， 令，则，即点； （2）解：由点的坐标得，直线的表达式为：， 取，过点作直线， 则的面积为面积的倍，则点， 则直线的表达式为：， 在的上方取，过点作， 则此时的面积为面积的倍，则点， 则直线的表达式为：， 分别将和的表达式和联立得：或， 解得：或， 则点或； （3）解：在上截取，连接，作轴于点，设交于点， ∵，则为等边三角形， ∵为等边三角形，则， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 则，，， 则， ∵，， ∴， 则，则， 则，则， 则． 【点睛】本题考查了一次函数性质，三角形全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行线的性质，面积的计算，掌握知识点的应用和分类求解是解题的关键． ( 5 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