第23讲 平行四边形的判定（1个知识点+6大考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（华东师大版）

第23讲 平行四边形的判定 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握平行四边形的判定定理；(重点) 2．综合运用平行四边形的性质与判定定理1、2解决问题．(难点) 知识点01 平行四边形的判定定理 平行四边形的判定：主要根据平行四边形的定义、性质进行，如下图，有四边形ABCD： （1）判定方法1（定义）：两组对边平行的四边形，即AD∥BC，AB∥DC. （2）判定方法2（边的性质）：两组对边相等的四边形，即AD=BC，AB=DC. （3）判定方法3（边的性质）：一组对边相等且平行的四边形，即AD∥BC且AD=BC；AB∥DC且AB=DC. （4）判定方法4（角的性质）：两组对角相等的四边形，即∠BAD=∠BCD且∠ABC=∠ADC. （5）判定方法5（对角线的性质）：两组对角线相互平分的四边形，即AO=CO且BO=DO. 注：①平行四边形的判定，需要边、角、对角线相关的2个条件（相等、平行）； ②判定方法3中，必须要求是同一对边平行且相等判定为平行四边形.若四边形中，一对边平行，另一对边相等，是无法判定为平行四边形的. 考点一：判断能否构成平行四边形 例题：（23-24八年级下·广东珠海·阶段练习）如图，四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）如图，在四边形中，对角线与相交于点，下列四个选项中不能判定四边形 是平行四边形的是（     ） A．， B．， C．， D．， 2．（2024·河北石家庄·一模）如图， 已知线段和射线， 且， 在射线上找一点C， 使得四边形是平行四边形，下列作法不一定可行的是 （    ） A．过点D作与交于点C B．在下方作与交于点C， 使 C．在上截取， 使， 连接 D．以点D为圆心，长为半径画弧，与交于点C，连接 考点二：添一个条件成为平行四边形 例题：（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，在四边形中，，请添加一个条件： ，使四边形成为平行四边形． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在四边形中，，请再添加一个条件，使四边形是平行四边形．添加的条件是 ． 2．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，在四边形中，是边上一点，连接并延长，与的延长线相交于点．请你再添加一个条件： ，使四边形是平行四边形（写出一种情况即可）． 考点三：证明四边形是平行四边形 例题：（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在中，E、F为对角线上两点，．求证：四边形是平行四边形． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）如图，四边形对角线交于点O，且O为中点，，，求证：四边形是平行四边形．    2．（2024·湖南岳阳·二模）如图，在中，点，分别在，上，，分别交，于点，．求证：四边形是平行四边形． 考点四：利用平行四边形的判定和性质求解 例题：（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在四边形中，，点E在上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，平分，，求的长． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·吉林·期末）如图，在中，，于点D，延长到点E，使，过点E作交的延长线于点F，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，直接写出的长． 2．（22-23八年级下·江西宜春·阶段练习）如图所示，将的边延长至点，使，连接，是边的中点，连接．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 考点五：利用平行四边形的判定和性质证明 例题：（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知：如图，四边形为平行四边形，点E，A，C，F在同一直线上，． (1)求证：； (2)连接、，求证：四边形为平行四边形． 【变式训练】 1．（2024·广东江门·一模）如图，，E、F分别是边上一点，且，直线分别交延长线、延长线于O、H、G． (1)求证：． (2)分别连接，试判断与的关系，并证明． 2．（2024·贵州·一模）如图，中，，点是边上一点，且，点是延长线上一点，且，点在上，且．    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求四边形的周长； (3)过点作交于点，判断和的大小关系并说明理由． 考点六：平行四边形的判定和性质的应用 例题：（23-24八年级下·陕西渭南·期末）问题背景：如图，在等边中，、两点分别在边、上，，以为边作等边，连接，，．    问题探究： (1)求证：为等边三角形； (2)求证：四边形为平行四边形； (3)若，求四边形的面积． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·福建漳州·期末）如图，在中，，为边上一点（），过点，分别作射线的垂线，垂足分别为点，．点在的延长线上，且．    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，的周长为24，求的长． 2．（23-24八年级下·山西太原·阶段练习）已知：在中，于点．    (1)尺规作图：作线段，使交于点；（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的基础上，连接，，求证：四边形是平行四边形； (3)连接，若，，，则______． 一、单选题 1.（2023·四川达州·模拟预测）如图，是的边延长线上一点，连接，，，交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在等腰中，腰长为5，，，，分别是，，上的点，并且，，则四边形的周长是（   ） A．5 B．10 C．15 D．13 3．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，已知线段和射线，且，在射线上找一点C，使得四边形是平行四边形，下列作法不一定可行的是（  ） A．过点D作与交于点C B．在下方作与交于点C，使 C．在上截取，使，连接 D．以点D为圆心，长为半径画弧，与交于点C，连接 4．（23-24八年级下·全国·期末）如图，已知，，，给出下面四个结论：其中正确的有（      ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，点是线段的中点，分别以为边作等腰和等腰，，连接，且相交于点，交于点，则下列说法中，不正确的是（   ）    A．是的中线 B．四边形是平行四边形 C． D．平分 二、填空题 6．（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在四边形中，与相交于点O，，添加条件 ，可得四边形为平行四边形（只需添加一个条件）    7．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）如图，两条对边平行且宽为的纸条交叉重叠在一起，其中较小交叉角为，则重叠四边形的面积为 ． 8．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在中，点分别在的延长线上，且满足．若，则的长为 ． 9．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点A是函数 （）图象上的点，过点A与y轴垂直的直线交y轴于点B，点C、D在x轴上，且．若四边形的面积为3，则k值为 ． 10．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在四边形中，，，为上一点，，垂足为如果四边形的面积为，，那么 ． 三、解答题 11．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在中，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，求的周长． 12．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，在中，，，将绕点A按逆时针方向旋转90°得到． (1)线段的长是______，的度数是______°； (2)连接，求证：四边形是平行四边形． 13．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平行四边形 中， 是它的一条对角线，过 ， 两点作 ，，垂足分别为 ，，延长 ， 分别交 ， 于点 ，． (1)求证：四边形 是平行四边形； (2)当 ， 时，求 的长． 14．（24-25八年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在四边形中，连接，交于点O，，且，E为线段上一点，连接并延长交于点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，，求平行四边形面积． 15．（23-24九年级上·广东清远·阶段练习）如图，双曲线经过的顶点和的中点．轴，点的坐标为，连接交轴于点，连接． (1)确定的值； (2)求直线的解析式； (3)判断四边形的形状，并说明理由． 16．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）在四边形中，对角线交于点O． (1)如图1，若，求证：四边形是平行四边形； (2)在（1）的条件下，将对角线绕点O顺时针旋转一个角度，分别交于点（如图2），求证：四边形是平行四边形； (3)如图3，若，求的最小值． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第23讲 平行四边形的判定 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握平行四边形的判定定理；(重点) 2．综合运用平行四边形的性质与判定定理1、2解决问题．(难点) 知识点01 平行四边形的判定定理 平行四边形的判定：主要根据平行四边形的定义、性质进行，如下图，有四边形ABCD： （1）判定方法1（定义）：两组对边平行的四边形，即AD∥BC，AB∥DC. （2）判定方法2（边的性质）：两组对边相等的四边形，即AD=BC，AB=DC. （3）判定方法3（边的性质）：一组对边相等且平行的四边形，即AD∥BC且AD=BC；AB∥DC且AB=DC. （4）判定方法4（角的性质）：两组对角相等的四边形，即∠BAD=∠BCD且∠ABC=∠ADC. （5）判定方法5（对角线的性质）：两组对角线相互平分的四边形，即AO=CO且BO=DO. 注：①平行四边形的判定，需要边、角、对角线相关的2个条件（相等、平行）； ②判定方法3中，必须要求是同一对边平行且相等判定为平行四边形.若四边形中，一对边平行，另一对边相等，是无法判定为平行四边形的. 考点一：判断能否构成平行四边形 例题：（23-24八年级下·广东珠海·阶段练习）如图，四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的判定．解题的关键是掌握平行四边形的判定方法：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；④两组对角分别相等的四边形是平行四边形；⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形，据此依次对各选项逐一分析即可作出判断． 【详解】解：A．，，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可以判定这个四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； B．，，不能判定这个四边形是平行四边形，故此选项符合题意； C．，，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可以判定这个四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； D．，，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形” 可以判定这个四边形是平行四边形，故此选项不符合题意． 故选：B． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）如图，在四边形中，对角线与相交于点，下列四个选项中不能判定四边形 是平行四边形的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定定理，结合选项逐项分析，即可求解． 【详解】解：A. ∵，，    ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； B. 根据，，不能判断四边形是平行四边形，故该选项符合题意； C. ∵， ∴四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；     D. ∵， ∴， 又 ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．（2024·河北石家庄·一模）如图， 已知线段和射线， 且， 在射线上找一点C， 使得四边形是平行四边形，下列作法不一定可行的是 （    ） A．过点D作与交于点C B．在下方作与交于点C， 使 C．在上截取， 使， 连接 D．以点D为圆心，长为半径画弧，与交于点C，连接 【答案】D 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了平行四边形的判定．根据基本作图和平行四边形的判定方法对各选项进行判断． 【详解】解：A．由作法得，而，则四边形是平行四边形，所以A选项不符合题意； B．由作法得，由得，则，所以，则四边形是平行四边形，所以B选项不符合题意； C．由作法得，而，则四边形是平行四边形，所以C选项不符合题意； D．由作法得，而，则四边形不一定是平行四边形，所以D选项符合题意． 故选：D． 考点二：添一个条件成为平行四边形 例题：（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，在四边形中，，请添加一个条件： ，使四边形成为平行四边形． 【答案】（答案不唯一）． 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定方法是解题的关键． 由平行四边形的判定即可得出结论． 【详解】添加条件为：，理由如下： ∵，， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在四边形中，，请再添加一个条件，使四边形是平行四边形．添加的条件是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．根据对角线互相平分的四边形为平行四边形解题即可． 【详解】解：由于对角线互相平分的四边形为平行四边形， ， 故添加条件为：． 故答案为：． 2．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，在四边形中，是边上一点，连接并延长，与的延长线相交于点．请你再添加一个条件： ，使四边形是平行四边形（写出一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】略 考点三：证明四边形是平行四边形 例题：（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在中，E、F为对角线上两点，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，结合条件活用对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题的关键．连接，交于点，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明． 【详解】如图，连接，交于点，    ∵四边形是平行四边形， ，， ∵， ， ， ∵， ∴四边形是平行四边形． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）如图，四边形对角线交于点O，且O为中点，，，求证：四边形是平行四边形．    【答案】见详解 【分析】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的判定方法，证明三角形全等得出对应边相等是解决问题的关键． 由已知条件和平行线的性质得出，，由证明，得出对应边相等，即可证出四边形是平行四边形． 【详解】证明：为中点， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 又， 四边形是平行四边形． 2．（2024·湖南岳阳·二模）如图，在中，点，分别在，上，，分别交，于点，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，先利用平行四边形的性质得，，又然后，从而可得，由平行四边形的判定即可得出结论，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， 又∵ ∴四边形是平行四边形． 考点四：利用平行四边形的判定和性质求解 例题：（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在四边形中，，点E在上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，平分，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、角直角三角形的性质和勾股定理等知识，证明四边形为平行四边形是解题的关键． （1）首先根据得到，然后结合即可证明出四边形是平行四边形； （2）利用角直角三角形的性质求得的长，再利用角直角三角形的性质和勾股定理求得，再根据平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵，，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 由勾股定理得，即， 解得， ∵四边形是平行四边形， ∴． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·吉林·期末）如图，在中，，于点D，延长到点E，使，过点E作交的延长线于点F，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答本题的关键． （1）证，得，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得，再由等腰三角形的性质得，则，进而由勾股定理得，然后利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）证明：， ， 在与中， ， ， , 又， 四边形是平行四边形； （2）解：由（1）可知四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 2．（22-23八年级下·江西宜春·阶段练习）如图所示，将的边延长至点，使，连接，是边的中点，连接．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平行四边形的性质得出，，进而利用已知得出，，进而得出答案； （2）首先过点作于点，再利用平行四边形的性质结合勾股定理得出的长，进而得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，是边的中点， ，， 四边形是平行四边形 （2）解：过点作于点，    由（1）得：四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形，， ，，， ， ， 在中，， ， 又是边的中点， ， ， 在中，， ． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理等、直角三角形的性质，熟练应用平行四边形的判定方法是解题关键． 考点五：利用平行四边形的判定和性质证明 例题：（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知：如图，四边形为平行四边形，点E，A，C，F在同一直线上，． (1)求证：； (2)连接、，求证：四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据四边形为平行四边形，得到，继而得到，结合得到，证明即可． （2）根据，得到，继而得到即可证明四边形为平行四边形．本题考查了三角形全等的判定，平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】（1）∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． ． 【变式训练】 1．（2024·广东江门·一模）如图，，E、F分别是边上一点，且，直线分别交延长线、延长线于O、H、G． (1)求证：． (2)分别连接，试判断与的关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，，理由见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，三角形全等的判定与性质． （1）根据平行四边形的性质得到，利用即可证明； （2）由（1）知，得到，根据，即可得到四边形是平行四边形，即可得出结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ； （2）证明：如图，连接， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，． 2．（2024·贵州·一模）如图，中，，点是边上一点，且，点是延长线上一点，且，点在上，且．    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求四边形的周长； (3)过点作交于点，判断和的大小关系并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形的周长为 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定与性质． （1）根据平行四边形的对角线互相平分即可求解； （2）根据平行四边形的对边分别相等，结合，，即可求解； （3）根据直角三角形的两个锐角互余和等腰三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形； （2）四边形是平行四边形， ，， ，， ， 平行四边形的周长为：； （3）， ， 即， 中，， ， ， ， ． 考点六：平行四边形的判定和性质的应用 例题：（23-24八年级下·陕西渭南·期末）问题背景：如图，在等边中，、两点分别在边、上，，以为边作等边，连接，，．    问题探究： (1)求证：为等边三角形； (2)求证：四边形为平行四边形； (3)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】（）证，得，， 再证，即可得出结论； （）由等边三角形的性质得，， 再证， 然后证，即可得出结论； （）过作于，由（）可知，再由等边三角形的性质得，然后用面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，，                            ∵是等边三角形， ∴，，                                             ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，，               ∵， ∴， ∴是等边三角形； （2）证明：由（）可知，是等边三角形， ∴，， ∴，              ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）解：如图，过作于，则，    由（）可知，， ∵是等边三角形， ∴，                  ∴， ∴， ∴，                       ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定定理、平行四边形的判定定理、解直角三角形、含角的直角三角形的性质，解题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·福建漳州·期末）如图，在中，，为边上一点（），过点，分别作射线的垂线，垂足分别为点，．点在的延长线上，且．    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，的周长为24，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的判定可得，，根据平行四边形的判定即可求证； （2）根据全等三角形的判定和性质可得，根据平行四边形的性质可得，推得，设，则，根据的周长列式求得，根据勾股定理求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． （2）解：∵，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴． 设，则， ∴，． ∵的周长为， ∴， 在中，， ∴． 解得：，（不合题意，舍去） ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键． 2．（23-24八年级下·山西太原·阶段练习）已知：在中，于点．    (1)尺规作图：作线段，使交于点；（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的基础上，连接，，求证：四边形是平行四边形； (3)连接，若，，，则______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）由，，可得，再证明，可得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证； （3）由直角三角形的性质可得，利用勾股定理求得，由（2）可知，则，进而求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求作，    （2）证明：如图，    ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形． （3）解：四边形是平行四边形， ， ， ， 在中，， 由（2）知，， ， ， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． 一、单选题 1.（2023·四川达州·模拟预测）如图，是的边延长线上一点，连接，，，交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质；添加条件后可证明，得到，进而可得结论，A不符合题意；添加条件，可证明，进而得到，从而证明结论，B不符合题意；添加条件，可证，进而证明结论，C不符合题意；添加条件，无法得到四边形为平行四边形，D符合题意． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，不符合题意； C、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，不符合题意； D、添加条件，无法证明四边形为平行四边形，符合题意； 故选：D． 2．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在等腰中，腰长为5，，，，分别是，，上的点，并且，，则四边形的周长是（   ） A．5 B．10 C．15 D．13 【答案】B 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定；根据题意得出四边形是平行四边形，进而根据等边对等角以及平行线的性质可得，得出，则，进而根据平行四边形的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形的周长为； 故选：B． 3．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，已知线段和射线，且，在射线上找一点C，使得四边形是平行四边形，下列作法不一定可行的是（  ） A．过点D作与交于点C B．在下方作与交于点C，使 C．在上截取，使，连接 D．以点D为圆心，长为半径画弧，与交于点C，连接 【答案】D 【知识点】判断能否构成平行四边形、根据平行线判定与性质证明、作线段(尺规作图) 【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了平行四边形的判定． 根据基本作图和平行四边形的判定方法对各选项进行判断． 【详解】解：A．由作法得，而，则四边形是平行四边形，所以A选项不符合题意； B．由作法得，由得，则，所以，则四边形是平行四边形，所以B选项不符合题意； C．由作法得，而，则四边形是平行四边形，所以C选项不符合题意； D．由作法得，而，则四边形也可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，所以D选项符合题意． 故选：D． 4．（23-24八年级下·全国·期末）如图，已知，，，给出下面四个结论：其中正确的有（      ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，同底等高面积相等等知识，先证明四边形是平行四边形，可判断①②，再根据同底等高面积相等判断③④即可 【详解】解：∵，即且 ∴四边形是平行四边形， ∴故①正确； ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 又，即 ∴四边形是平行四边形， ∴故②正确； 设间的距离为， ∴ ∴故③正确； 又 ∵ ∴故④正确； 综上，正确的绪论是①②③④，共4个， 故选：D 5．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，点是线段的中点，分别以为边作等腰和等腰，，连接，且相交于点，交于点，则下列说法中，不正确的是（   ）    A．是的中线 B．四边形是平行四边形 C． D．平分 【答案】D 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据三线合一证明、证明四边形是平行四边形 【分析】此题主要考查平行四边形、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握，即可解题，根据平行四边形、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形三线合一的性质，逐一判定即可． 【详解】解：∵点是线段的中点， ∴ ∵等腰和等腰，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形，故B选项正确； 在和中， ∴ ∴，故C选项正确； ∴ ∴ ∵ ∴ ∴是的中线，故A选项正确； ∵， ∴， ∴不可能平分，故D选项错误； 故选：D． 二、填空题 6．（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在四边形中，与相交于点O，，添加条件 ，可得四边形为平行四边形（只需添加一个条件）    【答案】 【知识点】添一个条件成为平行四边形 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．根据平行四边形的判定方法添加条件即可． 【详解】解：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 故可添加， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）如图，两条对边平行且宽为的纸条交叉重叠在一起，其中较小交叉角为，则重叠四边形的面积为 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，含度角的直角三角形的性质，由题意可得得，，cm，可证四边形是平行四边形，由直角三角形的性质可求的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于，过点作于， 由题意可得，，cm， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴重叠四边形的面积（）， 故答案为：． 8．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在中，点分别在的延长线上，且满足．若，则的长为 ． 【答案】6 【知识点】根据等角对等边求边长、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定． 根据平行四边形的性质得出，通过证明出四边形是平行四边形，以及，即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 9．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点A是函数 （）图象上的点，过点A与y轴垂直的直线交y轴于点B，点C、D在x轴上，且．若四边形的面积为3，则k值为 ． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，平行四边形的判定与性质，明确四边形的面积是解题的关键． 根据已知条件得到四边形是平行四边形，于是得到四边形的面积 得到四边形的面积，即可得到结论． 【详解】解：过点作轴于点，如图： 轴， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， 四边形的面积， ∴四边形的面积 故答案为：． 10．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在四边形中，，，为上一点，，垂足为如果四边形的面积为，，那么 ． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，根据题意可推出四边形是平行四边形，连接，作，由、即可求解. 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 连接，作， ∵ ∴ ∵， ∴， 解得： 故答案为： 三、解答题 11．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在中，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，求的周长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【知识点】根据等角对等边求边长、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． （）由平行四边形的性质和中点的性质可得，即可得结论； （）由角平分线的定义和平行线的性质可证，即可求解； 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 12．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，在中，，，将绕点A按逆时针方向旋转90°得到． (1)线段的长是______，的度数是______°； (2)连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)2；135 (2)见解析 【知识点】根据旋转的性质求解、证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查了旋转的性质和平行四边形的判定，掌握旋转前后的图形对应边相等，对应顶点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题关键． （1）利用旋转可以直接求出，再利用即可求解； （2）利用旋转得出，，即可求证． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， 由旋转可得，， ∴； 故答案分别为：2；135； （2）证明：由旋转可得，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 13．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平行四边形 中， 是它的一条对角线，过 ， 两点作 ，，垂足分别为 ，，延长 ， 分别交 ， 于点 ，． (1)求证：四边形 是平行四边形； (2)当 ， 时，求 的长． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质和判定是解题的关键； （1）只要证明，即可． （2）先证明得，再在中，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）四边形是平行四边形， ， ，， ， ，， ∴四边形是平行四边形． （2）∵四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， ，， ∴， 在和中， ， ， 在中， ，，， ， ． 14．（24-25八年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在四边形中，连接，交于点O，，且，E为线段上一点，连接并延长交于点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，，求平行四边形面积． 【答案】(1)见解析； (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定． （1）依据，即可得出，再根据，即可得到，进而判定四边形是平行四边形； （2）依据是等腰直角三角形，即可得到的长，再根据的面积，即可得出的面积，进而由平行四边形面积得出结果． 【详解】（1）证明：∵，交于点O， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴的面积=， 平行四边形面积． 15．（23-24九年级上·广东清远·阶段练习）如图，双曲线经过的顶点和的中点．轴，点的坐标为，连接交轴于点，连接． (1)确定的值； (2)求直线的解析式； (3)判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)直线的解析式为 (3)平行四边形，理由见解析 【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用、证明四边形是平行四边形、求反比例函数解析式、求一次函数解析式 【分析】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定反比例、一次函数解析式，坐标与图形性质，平行四边形的判定，以及线段中点坐标，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． （1）把的坐标代入反比例解析式求出的值即可； （2）由与轴平行，且纵坐标为6，得到纵坐标为6，再由为中点，确定出纵坐标为3，代入反比例解析式确定出坐标，利用待定系数法确定出直线解析式即可； （3）四边形为平行四边形，理由为：由的坐标确定出的坐标，进而确定出的长，由直线与轴的交点为，确定出坐标，得出的长，由与平行且相等，得到四边形为平行四边形． 【详解】（1）解：将代入表达式，得． （2）解：轴，点的纵坐标是6，点为的中点， ∴点的纵坐标为3， 把代入反比例函数表达式得， 即点的坐标为． 设直线的表达式为， 将与代入得， 解得， 直线的解析式为． （3）解：四边形为平行四边形． 理由： 点的坐标为， 点的坐标为，即． 把代入中得，即， ， ． ， 四边形为平行四边形． 16．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）在四边形中，对角线交于点O． (1)如图1，若，求证：四边形是平行四边形； (2)在（1）的条件下，将对角线绕点O顺时针旋转一个角度，分别交于点（如图2），求证：四边形是平行四边形； (3)如图3，若，求的最小值． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)的最小值是13 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、证明四边形是平行四边形、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】（1）利用内错角相等证得，即可根据一组对边平行且相等得到结论； （2）证明，推出，由此证得结论； （3）过点D作，连接得到四边形是平行四边形，由此得到，利用勾股定理求出，即可得到． 【详解】（1）证明∶， ． 又， 四边形是平行四边形． （2）证明：由（1）可得四边形是平行四边形， ， ． 又， ， 四边形是平行四边形． （3）解∶如图，过点D作，连接 四边形是平行四边形， ． 又， ， ， ． ， 的最小值是13． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各定理并应用解决问题是解题的关键． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$