专题03 全等三角形（12大考点+真题感知）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（华东师大版）

专题03 全等三角形 考点聚焦：核心考点+期末考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 目录 考点一：全等三角形的性质 3 考点二：添加一个条件使两三角形全等 4 考点三：用HL证明两直角三角形全等 6 考点四：三角形全等的判定与性质 9 考点五：利用三角形全等求时间或线段长的多解问题 13 考点六：与全等三角形有关的多结论问题 15 考点七：全等三角形中的动点综合问题 19 考点八：三角形全等之一线三等角模型 23 考点九：三角形全等之手拉手模型 28 考点十：三角形全等之倍长中线模型 32 考点十一：三角形全等之截长补短模型 36 考点十二：三角形全等之新定义型综合问题 41 【知识点01】全等三角形的性质 对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 【知识点02】角平分线 1.角的平分线的性质 （一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 3、画射线OC，射线OC即为所求。 （二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 2. 角的平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 几何表示：∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线OC上。 【知识点03】三角形全等的判定 1.判定全等三角形（边边边） 三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 2.判定全等三角形（边角边） 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。 3. 判定全等三角形（角边角） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 4. 判定全等三角形（角角边） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。 5. 判定全等三角形（直角边、斜边） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。 考点剖析 考点一：全等三角形的性质 例题：（23-24八年级上·江苏苏州·期末）如图，已知，，，则 ． 【变式训练】 1.（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，，则 ． 2.（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图，，且点B，D，C在一条直线上，点F在上，延长交于点E． (1)试说明：． (2)若，，求的长． 考点二：添加一个条件使两三角形全等 例题：（23-24八年级上·贵州遵义·期末）如图，线段是四边形的对角线，，请添加一个条件使得，添加的条件为 ． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·甘肃白银·期末）如图，已知，要使，只需添加一个条件： （写一个即可）． 2.（23-24八年级上·湖北咸宁·期末）如图已知，， (1)添加下列条件：①；②； ③；④． 其中能证明与全等的有______（直接填序号）； (2)在（1）中选择一个进行证明． 考点三：用HL证明两直角三角形全等 例题：（23-24八年级上·广东肇庆·期末）如图，中，为上一点，为延长线上一点，且，过点作于点，过点作交的延长线于点，且，连交边于．求证： (1)； (2)． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·四川甘孜·期末）如图，已知，，，，与交于点O． (1)求证：． (2)求． 2.（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图，等腰中，是腰上的高，在底边上截取，过点E作交于F． (1)求证： (2)若，求的度数． 考点四：三角形全等的判定与性质 例题：（22-23七年级下·重庆·期末）如图，，点E为上一点，且，延长交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【变式训练】 1.（23-24八年级上·安徽·期末）如图，在四边形中，，为对角线上一点，，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 2.（23-24八年级上·广东东莞·期末）如图，在中，是边上的高，点E在上，，，连接并延长交于点F． (1)求证：； (2)若恰好平分，，求的长 考点五：利用三角形全等求时间或线段长的多解问题 例题：（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，在四边形中，，．动点P以的速度从点A出发沿边向点D匀速移动，动点Q以的速度从点B出发沿边向点C匀速移动，动点M从点B出发沿对角线向点D匀速移动，三点同时出发．连接，当动点M的速度为 时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与全等． 【变式训练】 1.（23-24八年级上·河南商丘·期末）如图，，E、F分别为线段和射线上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发沿射线运动，二者速度之比为2：3，当点E运动到点A时，两点同时停止运动．在射线上取一点G，使与全等，则的长为 ． 2.（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图，在长方形中 ，，，，，延长至点E，使，连接．动 点P 从 点A  出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，回到点A 停止运动，运动时间为：t秒，当t 的值为 时，和全等． 考点六：与全等三角形有关的多结论问题 例题：（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，为边上一点，，点在的延长线上，平分，且．连接交于，为边上一点，满足，连接交于．以下结论：①；②；③．正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式训练】 1.（23-24七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在与中，，，，分别交，于点，，交于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2.（23-24八年级上·云南红河·期末）如图所示，，，，点F是的中点．①；②；③；④；⑤．以上结论，正确的是（    ） A．①③④⑤ B．②③④⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤ 考点七：全等三角形中的动点综合问题 例题：（23-24七年级下·全国·期末）如图，在中，，D为射线上一动点（不与点B、C重合），在的右侧作，使得，连接． (1)当点D在线段上时，求证：； (2)若点D运动到线段上某一点时，恰好有，问：线段与线段有什么位置关系并说明理由； (3)在点D的运动过程中，当垂直于的某边时，则 （用含α的代数式表示）． 【变式训练】 1.（23-24八年级上·贵州遵义·期末）在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 考点八：三角形全等之一线三等角模型 例题：（23-24七年级下·山东济南·期末）【模型呈现】 （1）如图1，，，于点，于点． 求证：． 【模型应用】 （2）如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． 【深入探究】 （3）如图3，，，，连接、，且于点，与直线交于点． ①求证； ②若，，求的面积． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东日照·期末）问题情境：如图①，在中，于点D． 可知：（不需要证明）； (1)特例探究：如图②，，射线在这个角的内部，点B、C在的边上，且于点F，于点D．证明：； (2)归纳证明：如图③，点B，C在的边上，点E，F在内部的射线上，分别是的外角．已知，．求证：； (3)拓展应用：如图④，在中，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为，则与的面积之和为 ．（直接写出结果） 考点九：三角形全等之手拉手模型 例题：（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图1，已知和都是等腰三角形，点和点分别在和上，，易知和的数量关系是． (1)观察猜想 若，将绕点旋转到如图2所示的位置，连结和，猜想和的数量关系是，请说明理由；若延长和交于点，则______； (2)类比探究 若，将绕点旋转到如图3所示的位置，连结和交于点和的数量关系为______，则______； (3)拓展应用 如图3，在“类比探究”的条件下，已知，若连结和，则四边形的面积是______． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·山东济南·期末）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： (1)观察猜想 如图，在中，分别以，为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，，则与的数量关系为 ，位置关系为 ； (2)类比探究 如图 ，在中，分别以，为边作等腰直角和等腰直角，， 点，，在同一直线上，为中边上的高，猜想，，之间的数量关系并说明理由； (3)解决问题 运用（）（）中所积累的经验和知识，完成下题：如图，要测量池塘两岸相对的两点，的距离，已经测得，，，米，米，的长为 米． 考点十：三角形全等之倍长中线模型 例题：（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，求证：． 【理解与运用】 （2）如图2，是的中线，若，求的取值范围； （3）如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围； （2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 考点十一：三角形全等之截长补短模型 例题：（23-24八年级上·福建南平期末）【问题背景】 如图1，在四边形中，，点E、F分别是边上的点，且，试探究图中线段之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连结，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_____． 【探索延伸】 如图2，若在四边形中，，点E、F分别是边上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·贵州毕节·期末）如图①，在四边形中，，点E，F分别是边，上的点，且，求线段之间的数量关系．小明提供了这样的思路：延长到点G，使，连接．    (1)根据小明的思路，请直接写出线段之间的数量关系：___________； (2)如图②，在四边形中，，点E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立说明理由． (3)如图③，在四边形中，，点E，F分别是边延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 考点十二：三角形全等之新定义型综合问题 例题：（23-24七年级下·陕西宝鸡·期末）【阅读理解】 定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直的直线与过点B垂直的直线交于点Q，则我们把称为的“边垂角”． 【迁移运用】 (1)如图1，，分别是的两条高，两条高交于点F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是______； (2)若是的“边垂角”，则与的数量关系是______； (3)若是的“边垂角”，且．如图2，交于点E，点C关于直线对称点为点F，连接，，且，求证：． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·江苏南京·期末）定义：只有一组对角相等的四边形叫做等角四边形．如：在四边形中，若，且，则称四边形为等角四边形，记作等角四边形． 【初步认识】 （1）如图，四边形是等角四边形，，，则_____； 【继续探索】 （2）如图，四边形是等角四边形，平分，平分，求证：； （1）如图，已知，点分别在边上．在的内部求作一点，使四边形是等角四边形，且． （要求：用无刻度直尺和圆规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明．） 真题感知 一、单选题 1．（24-25八年级上·河南信阳·期末）如图，，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）如图，下列条件中，不能证明的是（   ） A． B． C． D． 4．（16-17八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在长方形中，，，延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为（　　）秒时，与全等． A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7 5．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，过点C作交的平分线于点O，点P是延长线上一点，，现有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 6．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，是上一点，，，，三点共线，请添加一个条件： ，使得．（只添一种情况即可） 7．（24-25八年级上·山东·期末）如图，，，，，，则的度数是 ． 8．（24-25八年级上·全国·期末）如图，，点D在边上，延长交边于点F，若，则 度． 9．（24-25八年级上·全国·期末）如图，于点A，于点B，且．点P从A向B运动，每分钟走，点Q从A向D运动，每分钟走2m，P，Q两点同时出发，运动 分钟后，与全等． 10．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，在直角三角形中，，，将绕点A逆时针旋转得到，点E落在上，延长交于点F．给出下面四个结论： ①；②；③；④若，，连接，则的面积是4．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 三、解答题 11．（23-24八年级上·安徽六安·期末）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 12．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）如图，在四边形中，E为上一点，F为上一点，，． (1)求证：； (2)求证：平分，平分． 13．（24-25八年级上·全国·期末）小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究．在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂个小球A，小球A可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置，当小明用发声物体靠进小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，且测得到点B到的距离为；当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的A，B，O，C在同一平面上），过点C作于点E，测得点C到的距离为． (1)判断与的数量关系，并证明； (2)求两次摆动中点B和C的高度差的长． 14．（22-23八年级上·福建莆田·期末）数学活动课中，老师给出以下问题： (1)如图1，在中，D是边的中点，若，则中线长度的取值范围 ． (2)如图2，在中，为锐角，D是边的中点，过D点的射线交边于E，再作交边于点F，连接，请探索由三条线段构成的三角形的形状，并说明理由． (3)已知：如图3，，且，F是线段的中点．求证：． 15．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，为锐角，点D为直线上一动点，以为直角边且在的右侧作等腰直角三角形，，． (1)如果，． ①当点D在线段上时，如图1，线段、的位置关系为________，数量关系为________； ②当点D在线段的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由． (2)如图3，如果，，点D在线段上运动． 探究：当多少度时，？请说明理由． 16．（23-24八年级上·四川达州·期末）如图，，，点为中点，连接并延长，交于点． (1)当时，求的长度． (2)如图，将的角度都调整为，其余条件不变，求此时的长度． (3)如图，当的角度都变为，其余条件不变，动点在线段上，从点向点运动，动点在线段上，从点向点运动，并且运动速度相同，连接，探究的数量关系并说明理由． 17．（23-24八年级上·四川成都·期末）在中，，点D是平面内一点（不与点A，B，C重合），连接，连接．将沿直线翻折，得到，连接． (1)如图1，点D在内部，交于点E，点F是上一点，且，连接． ①求证：； ②若，，求点G到直线的距离． (2)如图2，点D在的内部，试探究之间的数量关系并说明理由． 18．（23-24八年级下·辽宁盘锦·期末）通过类比联想、引中拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整． 原题：如图1，点、分别在正方形的边、上，，连接，则，试说明理由． (1)思路梳理 ， 把绕点逆时针旋转至，可使与重合． ， ，点、、共线． 根据 ，易证 ，得． (2)类比引申 如图，四边形中，，，点、分别在边、上，．若、都不是直角，则当与满足等量关系，求证：． (3)联想拓展 如图，在中，，，点、均在边上，且．猜想、、应满足的等量关系，并写出推理过程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 全等三角形 考点聚焦：核心考点+期末考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 目录 考点一：全等三角形的性质 3 考点二：添加一个条件使两三角形全等 4 考点三：用HL证明两直角三角形全等 6 考点四：三角形全等的判定与性质 9 考点五：利用三角形全等求时间或线段长的多解问题 13 考点六：与全等三角形有关的多结论问题 15 考点七：全等三角形中的动点综合问题 19 考点八：三角形全等之一线三等角模型 23 考点九：三角形全等之手拉手模型 28 考点十：三角形全等之倍长中线模型 32 考点十一：三角形全等之截长补短模型 36 考点十二：三角形全等之新定义型综合问题 41 【知识点01】全等三角形的性质 对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 【知识点02】角平分线 1.角的平分线的性质 （一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 3、画射线OC，射线OC即为所求。 （二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 2. 角的平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 几何表示：∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线OC上。 【知识点03】三角形全等的判定 1.判定全等三角形（边边边） 三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 2.判定全等三角形（边角边） 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。 3. 判定全等三角形（角边角） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 4. 判定全等三角形（角角边） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。 5. 判定全等三角形（直角边、斜边） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。 考点剖析 考点一：全等三角形的性质 例题：（23-24八年级上·江苏苏州·期末）如图，已知，，，则 ． 【答案】/60度 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的对应角相等，并注意运用了三角形的内角和定理，做题时要找准对应关系． 先利用，得到对应角相等，然后在中依据三角形内角和定理，求出的大小． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 【变式训练】 1.（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，，则 ． 【答案】/105度 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质：对应角相等，可得，最后根据三角形内角和即可求解； 【详解】解：∵， ∴ ∴ 故答案为： 2.（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图，，且点B，D，C在一条直线上，点F在上，延长交于点E． (1)试说明：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，对应角相等． （1）根据全等三角形的对应角相等可得，，再由等量代换即可证明； （2）根据全等三角形的对应边相等可得，，再由等量代换即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵点B，D，C在一条直线上， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 考点二：添加一个条件使两三角形全等 例题：（23-24八年级上·贵州遵义·期末）如图，线段是四边形的对角线，，请添加一个条件使得，添加的条件为 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理．根据全等三角形的判定定理，即可解答． 【详解】解：①当时，根据可判定； ②当时，根据可判定； ③当时，根据可判定； 故答案为：（或或）． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·甘肃白银·期末）如图，已知，要使，只需添加一个条件： （写一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据题意可知，推出，，则可添加条件，利用即可证明． 【详解】解：添加条件，理由如下： ∵， ∴，， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 2.（23-24八年级上·湖北咸宁·期末）如图已知，， (1)添加下列条件：①；②； ③；④． 其中能证明与全等的有______（直接填序号）； (2)在（1）中选择一个进行证明． 【答案】(1)②③ (2)见解析 【知识点】用SSS间接证明三角形全等（SSS）、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了添加条件使三角形全等及证明； （1）根据全等三角形的判定定理即可解答； （2）根据（1）所选取的条件，证明三角形全等即可． 【详解】（1）解：已知，，要使与全等可以添加的条件为或，能得到这些条件的有②③， 故答案为：②③； （2）证明：选③， ∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴． 考点三：用HL证明两直角三角形全等 例题：（23-24八年级上·广东肇庆·期末）如图，中，为上一点，为延长线上一点，且，过点作于点，过点作交的延长线于点，且，连交边于．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等三角形综合问题、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质．熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题的关键． （1）由“”可证； （2）先由（1）可知，证，从而由三角形全等的性质可得，然后由线段的和差即可得证． 【详解】（1）证明：∵，， ∴在与中， ， ； （2）证明：由（1）知， ， ∵，， ， 在与中， ， ， ， ， ． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·四川甘孜·期末）如图，已知，，，，与交于点O． (1)求证：． (2)求． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质， （1）根据证明两个三角形全等即可； （2）根据三角形全等的性质和三角形外角的性质可得结论； 解题的关键是掌握三角形全等的判定． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∵， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 2.（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图，等腰中，是腰上的高，在底边上截取，过点E作交于F． (1)求证： (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质、全等三角形的性质、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质， （1）直接利用证明，根据全等三角形的性质可得结论； （2）先根据直角三角形的性质求出，再根据全等三角形的性质求出，然后根据等边对等角得，进而求出，可得答案. 【详解】（1）证明：∵是腰上的高，， ∴. 又∵，， ∴， ∴； （2）∵，， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵是等腰三角形， ∴. ∵是的外角， ∴， ∴． 考点四：三角形全等的判定与性质 例题：（22-23七年级下·重庆·期末）如图，，点E为上一点，且，延长交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角 【分析】（1）利用平行线的性质得到，然后根据三角形全等的判定证明即可； （2）根据全等的性质得到，然后运用三角形内角和定理计算即可； 【详解】（1）解： 在和中 （2） 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练运用这些知识解决问题是关键． 【变式训练】 1.（23-24八年级上·安徽·期末）如图，在四边形中，，为对角线上一点，，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，由全等三角形得到线段相等是解题的关键． （1）由补角的性质得到，由平行得，由即可证明三角形全等； （2）由全等三角形得，，进而求得，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． ∴ 2.（23-24八年级上·广东东莞·期末）如图，在中，是边上的高，点E在上，，，连接并延长交于点F． (1)求证：； (2)若恰好平分，，求的长 【答案】(1)详见解析 (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，三角形的内角和定理． （1）证明即可得证结论； （2）由得到，又，从而，因此，再由，即可证明，进而得到，． 【详解】（1）证明：∵是边上的高， ∴． 在和中 ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点五：利用三角形全等求时间或线段长的多解问题 例题：（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，在四边形中，，．动点P以的速度从点A出发沿边向点D匀速移动，动点Q以的速度从点B出发沿边向点C匀速移动，动点M从点B出发沿对角线向点D匀速移动，三点同时出发．连接，当动点M的速度为 时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与全等． 【答案】或 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)、全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的性质，解二元一次方程组，设运动的时间为，动点M的速度为，则，进而得到，再分当时，当时，两种情况根据全等三角形对应边相等建立方程组求解即可． 【详解】解：设运动的时间为，动点M的速度为， 由题意得，， ∴． ∵， ∴． 当时，则， ∴， 解得， ∴， 解得． 当时，则， ∴， 解得， ∴， 解得． 综上所述，动点M的速度为或， 故答案为：或． 【变式训练】 1.（23-24八年级上·河南商丘·期末）如图，，E、F分别为线段和射线上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发沿射线运动，二者速度之比为2：3，当点E运动到点A时，两点同时停止运动．在射线上取一点G，使与全等，则的长为 ． 【答案】8或15 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，掌握分类讨论思想是解题的关键． 设，则，使与全等；然后分和两种情况解答即可． 【详解】解：设，则，使与全等 ①当时， ∵， ∴，解得：， ∴． ②当时， ∵， ∴，解得：， ∴， 综上所述，或． 故答案为：8或15． 2.（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图，在长方形中 ，，，，，延长至点E，使，连接．动 点P 从 点A  出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，回到点A 停止运动，运动时间为：t秒，当t 的值为 时，和全等． 【答案】或 10 【知识点】全等三角形的性质 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，根据题意分两种情况：和，然后根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图所示，当时， ∴ ∵在长方形中，，， ∴， ∴ ∵点P的运动时间为每秒2个单位 ∴（秒）； 如图所示，当时， ∴， ∴， ∴（秒） 综上所述，当t的值为或10秒时，与全等． 故答案为：3.5或10． 考点六：与全等三角形有关的多结论问题 例题：（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，为边上一点，，点在的延长线上，平分，且．连接交于，为边上一点，满足，连接交于．以下结论：①；②；③．正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． 先根据邻补角的定义可得，再根据角平分线的定义可得，然后利用定理证明出，进而判断①；利用证明出进而可判断②；得到，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】， ， 平分， ， ， 在和中， ， ，故①正确； ∵，， ∴，故②正确； ∴ 又∵ ∴，故③正确． 综上所述，正确的有3个． 故选：D． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在与中，，，，分别交，于点，，交于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，利用可证明，即可得，，，进而可判断①②正确，再利用可证明，即可判断④正确，再证明，，可知，根据题目条件，不能判断出与的大小关系，因此不能判断与是否相等，进而可知③不正确，理解并掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：，，， ， ，，，故②正确， ， 即，故①正确， ，，， ，故④正确， ，，， ， ， 又， ，即， ，，， ， ， 根据题目条件，不能判断出与的大小关系，因此不能判断与是否相等，故③错误， 综上，正确的有①②④； 答案：B． 2.（23-24八年级上·云南红河·期末）如图所示，，，，点F是的中点．①；②；③；④；⑤．以上结论，正确的是（    ） A．①③④⑤ B．②③④⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤ 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、两直线平行内错角相等 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，三角形中线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 根据题意证明出，进而判断①；然后根据全等三角形的性质可判断②③；然后根据三角形中线的性质可判定④；然后根据直角三角形斜边中线的性质可判断⑤． 【详解】解：∵ ∴ 又∵，， ∴，故①正确； ∴ ∴，故②正确； ∵ ∴， ∴，即 又∵ ∴ ∴ ∴，故③正确； ∵点F是的中点 ∴，故④正确； ∵ ∴，故⑤错误． 综上所述，正确的是①②③④． 故选：C． 考点七：全等三角形中的动点综合问题 例题：（23-24七年级下·全国·期末）如图，在中，，D为射线上一动点（不与点B、C重合），在的右侧作，使得，连接． (1)当点D在线段上时，求证：； (2)若点D运动到线段上某一点时，恰好有，问：线段与线段有什么位置关系并说明理由； (3)在点D的运动过程中，当垂直于的某边时，则 （用含α的代数式表示）． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析； (3)或 【知识点】等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）由得，利用即可得出结论； （2）由（1）知，根据全等三角形的性质得，，则，可得为等边三角形，则，可得，得出，根据平行线的判定可得； （3）分两种情形：当时，当时，利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质求解即可． 本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考压轴题． 【详解】（1）证明：如图， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：，理由如下： 由（1）知， ，， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ； （3）解：如图，当时， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； 如图，当时， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ，， ， ， ． 综上所述，当垂直于的某边时，则或． 故答案为：或． 【变式训练】 1.（23-24八年级上·贵州遵义·期末）在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 【答案】(1) (2)的大小不变， (3) 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、全等三角形综合问题、旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】此题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识． （1）由，得，而，所以，于是得到问题的答案； （2）作交于点F，则，而，即可证明，得，则，所以的大小不改变，； （3）作交于点G，作于点H，可证明，得，由，得，则，由，得，则，所以，即可推导出． 【详解】（1）∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）的大小不改变， 如图①，作交于点F，则，    ∴， 由（1）得， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴的大小不改变，． （3）， 理由：如图②，作交于点G，作于点H，则    ∴， ∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点八：三角形全等之一线三等角模型 例题：（23-24七年级下·山东济南·期末）【模型呈现】 （1）如图1，，，于点，于点． 求证：． 【模型应用】 （2）如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． 【深入探究】 （3）如图3，，，，连接、，且于点，与直线交于点． ①求证； ②若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）①见解析； 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】（1）证明，即可得证； （2）同（1）法得到，，分割法求出图形面积即可； （3）①过点作于，过点作交的延长线于，易证，，得到，，再证明，即可得出结论； ②根据全等三角形的性质，求出的长，进而利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：（1）证明：， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ． （2）由模型呈现可知，，， ，，，， 则 ． （3）①过点作于，过点作交的延长线于． 图3 由【模型呈现】可知，，， ， ， ， ， 在和中， ， ． ②由①可知，，， ， ， ， ， 由①得 ， ， ， ， ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东日照·期末）问题情境：如图①，在中，于点D． 可知：（不需要证明）； (1)特例探究：如图②，，射线在这个角的内部，点B、C在的边上，且于点F，于点D．证明：； (2)归纳证明：如图③，点B，C在的边上，点E，F在内部的射线上，分别是的外角．已知，．求证：； (3)拓展应用：如图④，在中，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为，则与的面积之和为 ．（直接写出结果） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)8 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）先运用直角三角形的两个锐角互余以及角的等量代换得，证明，即可作答． （2）先运用三角形的外角性质以及角的和差关系得出，证明，即可作答． （3）这运用等高算面积，则底的比就是它们的面积的比列式计算，再结合全等三角形的性质，即可作答． 本题考查了全等三角形的性质以及三角形的外角性质，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图： ∵， ∴ ∵ ∴ ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：如图： 易得， ∵ ∴ ∴， 在和中， ， ∴； （3）解：如图： ∵的面积为24，，且分别以为底来运算面积 ∴此时它们的高是相等的，即的面积是：， 由（2）可知，， ∴与的面积之和等于与的面积之和， 即等于的面积是8， 答案为：8． 考点九：三角形全等之手拉手模型 例题：（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图1，已知和都是等腰三角形，点和点分别在和上，，易知和的数量关系是． (1)观察猜想 若，将绕点旋转到如图2所示的位置，连结和，猜想和的数量关系是，请说明理由；若延长和交于点，则______； (2)类比探究 若，将绕点旋转到如图3所示的位置，连结和交于点和的数量关系为______，则______； (3)拓展应用 如图3，在“类比探究”的条件下，已知，若连结和，则四边形的面积是______． 【答案】(1)理由见解析；60 (2)；90 (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）证明，，，根据三角形内角和，即可求解， （2）证明，，，根据三角形内角和，即可求解， （3）由，，得到，整理代入厚即可求解， 本题考查了，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【详解】（1）解：长和交于点P， ∵，    即， 在和中，，，， ∴， ∴，， ∴ 故答案为：60； （2）解：∵，    即， 在和中，，，， ∴， ∴，， ∴ 故答案为：；90， （3）解：∵，， ∴， 故答案为：8． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·山东济南·期末）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： (1)观察猜想 如图，在中，分别以，为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，，则与的数量关系为 ，位置关系为 ； (2)类比探究 如图 ，在中，分别以，为边作等腰直角和等腰直角，， 点，，在同一直线上，为中边上的高，猜想，，之间的数量关系并说明理由； (3)解决问题 运用（）（）中所积累的经验和知识，完成下题：如图，要测量池塘两岸相对的两点，的距离，已经测得，，，米，米，的长为 米． 【答案】(1)；； (2)，理由见解析； (3)米． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形 【分析】（）证即可证出，再根据“”字型得； （）先 证，再证，最后通过线段和差即可得证； （）按照前问思路构造“手拉手模型”全等，作，使，连接，则为等腰直角三角形，证明，则，最后利用勾股定理求即可； 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等内容，熟练掌握相关知识和添加合适的辅助线是解题关键． 【详解】（1）解：∵和都是等腰直角三角形, ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 设与交于点，与交于点， ∵， ∴， ∴； 故答案为：，； （2），理由如下： ∵和均为等腰直角三角形， ∴，， ∵ ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图，作，使，连接，则为等腰直角三角形， 同（）同理可证：， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴（米）， ∴米， 故答案为：． 考点十：三角形全等之倍长中线模型 例题：（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，求证：． 【理解与运用】 （2）如图2，是的中线，若，求的取值范围； （3）如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析 【知识点】三角形三边关系的应用、根据三角形中线求长度、全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，涉及中点性质、三角形三边关系等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）延长至点，使，连接，如图所示，根据题意，由三角形全等的判定得到，从而根据全等三角形性质即可得证； （2）延长至点，使，连接，如图所示，由三角形全等的判定与性质得到，设，在中，由三边关系即可得到答案； （3）延长至点，使，连接，如图所示，得到，再由三角形全等的判定与性质得到，进而可确定，再由全等性质即可得证． 【详解】（1）证明：延长至点，使，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：延长至点，使，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， 在中，由三边关系可得，即， ∴； （3）证明：延长至点，使，连接，如图所示： ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围； （2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）；（2），见解析；（3），见解析 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形三边关系的应用、全等三角形综合问题、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】（1）由已知得出，即为的一半，即可得出答案； （2）延长至点M，使，连接，可得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论； （3）延长交于点G，根据平行和角平分线可证，也可证得，从而可得，即可得到结论． 【详解】解：（1）如图①，延长到点E，使，连接， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： 延长至点M，使，连接，如图②所示． 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， 在中，由三角形的三边关系得： ， ∴； （3），理由如下： 如图③，延长交于点G， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ ． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系，作辅助线—倍长中线法、全等三角形的判定与性质，角的关系等知识点，所以本题的综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键． 考点十一：三角形全等之截长补短模型 例题：（23-24八年级上·福建南平期末）【问题背景】 如图1，在四边形中，，点E、F分别是边上的点，且，试探究图中线段之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连结，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_____． 【探索延伸】 如图2，若在四边形中，，点E、F分别是边上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【答案】【问题背景】；【探索延伸】仍然成立，理由见解析 【知识点】全等三角形综合问题、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构建全等三角形是解题的关键． 问题背景：先利用“”判断得到，，再证明，接着根据“”判断，所以，从而得到； 探索延伸：结论仍然成立，证明方法与（1）相同． 【详解】问题背景：，证明如下： 如下图，延长到点，使得，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； 探索延伸：结论仍然成立，理由如下： 如下图，延长到点，使得，连接，    ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·贵州毕节·期末）如图①，在四边形中，，点E，F分别是边，上的点，且，求线段之间的数量关系．小明提供了这样的思路：延长到点G，使，连接．    (1)根据小明的思路，请直接写出线段之间的数量关系：___________； (2)如图②，在四边形中，，点E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立说明理由． (3)如图③，在四边形中，，点E，F分别是边延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)（1）中的结论仍然成立，理由见解析 (3)结论不成立，应当是，理由见解析 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线． （1）如图中，延长到，使，连接．利用全等三角形的性质解决问题即可． （2）思路和作辅助线的方法与（1）完全一样，如图中，延长至M，使，连接．只不过证明三角形和全等中，证明时，用到的等角的补角相等，其他的都一样．因此与（1）的结果完全一样． （3）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在上截取，使，连接．根据（1）的证法，我们可得出，那么．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的． 【详解】（1）解：如图中，延长到G，使，连接，   ，， ． ． ． ． 又， ， ， ． ． 故答案为：； （2）解：（1）中的结论仍然成立． 证明：如图中，延长至M，使，连接．   ，， ， 在与中， ， ． ． ， ． ，即． 在与中， ， ． ，即， ． （3）解：结论不成立，应当是． 证明：如图中，在上截取，使，连接．   ，， ． 在与中 ， ． ． ． ． ， ∴． ， ， ． 考点十二：三角形全等之新定义型综合问题 例题：（23-24七年级下·陕西宝鸡·期末）【阅读理解】 定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直的直线与过点B垂直的直线交于点Q，则我们把称为的“边垂角”． 【迁移运用】 (1)如图1，，分别是的两条高，两条高交于点F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是______； (2)若是的“边垂角”，则与的数量关系是______； (3)若是的“边垂角”，且．如图2，交于点E，点C关于直线对称点为点F，连接，，且，求证：． 【答案】(1) (2)或 (3)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，四边形内角和定理： （1）根据“边垂角”的定义即可得到答案； （2）分两种情况画出图形，根据四边形的内角和定理以及等角的余角相等即可得出结论； （3）延长交于点，先证明，再证明，依据题意得出，即可得到结论． 【详解】（1）解：根据“边垂角”的定义，的“边垂角”是； （2）解：若是的“边垂角”，分两种情况 ①如图，是的“边垂角”， ， ， ， ，    ②如图， 是的“边垂角”， ， ， ， ，    综上所述，与的数量关系是或； （3）解：延长交于点， 是的“边垂角”， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点关于直线对称点为点， ， ， ； 【变式训练】 1.（23-24七年级下·江苏南京·期末）定义：只有一组对角相等的四边形叫做等角四边形．如：在四边形中，若，且，则称四边形为等角四边形，记作等角四边形． 【初步认识】 （1）如图，四边形是等角四边形，，，则_____； 【继续探索】 （2）如图，四边形是等角四边形，平分，平分，求证：； （1）如图，已知，点分别在边上．在的内部求作一点，使四边形是等角四边形，且． （要求：用无刻度直尺和圆规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明．） 【答案】（1）135；（2）证明见解析；（3）见解析 【知识点】尺规作一个角等于已知角、同位角相等两直线平行、角平分线的有关计算 【分析】（1）由题意得出，再由计算即可得出答案； （2）设，由角平分线的定义得出，，求出，在计算出，得出，即可得证； （3）根据等角四边形的定义作图即可． 【详解】（1）解：∵四边形是等角四边形，，， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是等角四边形， ∴， 设， ∵在四边形中，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，连接，作，作射线，作，，、交于点，点即为所求， ， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是等角四边形， ∴点即为所求． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、作图—设计与应用作图、三角形内角和定理、平行线的判定等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 真题感知 一、单选题 1．（24-25八年级上·河南信阳·期末）如图，，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】本题考查三角形的内角和定理，全等三角形的性质．根据全等三角形的性质可得，根据三角形的内角和定理可求出的度数，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ． 故选：A 2．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定；根据图形可知两角及夹边是已知条件即可判断． 【详解】解：由图可知，左上角和左下角可测量，为已知条件， 两角的夹边也可测量，为已知条件， 故可根据即可得到与原图形全等的三角形，即小亮画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（）， 故选：B． 3．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）如图，下列条件中，不能证明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 依据全等三角形的判定定理解答即可． 【详解】解：A、依据可知，故A不符合要求； B、依据可知，故B不符合要求； C、依据可知，故C不符合要求； D、依据无法判定，故D符合要求． 故选：D． 4．（16-17八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在长方形中，，，延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为（　　）秒时，与全等． A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7 【答案】C 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．根据题意，分两种情况进行讨论，根据题意得出和即可求得． 【详解】解：由题意得：， 若，， 根据证得， ，即， 若，， 根据证得， ，即． 当t的值为1或7秒时．与全等． 故选：C． 5．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，过点C作交的平分线于点O，点P是延长线上一点，，现有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题 【分析】三线合一，角平分线的定义，结合平角的定义，求出，判断①；过点作，角平分线的性质，得到，证明，推出，判断②；证明，根据，即可得出，判断③；连接，证明，推出，得到，判断④；连接，勾股定理判断⑤． 【详解】解：∵， ∴， ∵过点C作交的平分线于点O， ∴平分，，， ∴平分， ∴，， ∴，故①错误； 过点作，则：，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③错误； 连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点和点到直线的距离相等， ∴，故④正确； 连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；故⑤正确； 综上：正确的有3个； 故选C． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理等知识点，综合性强，难度较大，属于选择题中的压轴题，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键． 二、填空题 6．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，是上一点，，，，三点共线，请添加一个条件： ，使得．（只添一种情况即可） 【答案】或（答案不唯一） 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定解答．根据题目中的条件和全等三角形的判定，可以写出添加的条件，注意本题答案不唯一． 【详解】， ，． 添加条件，可以使得，可得； 添加条件，可以使得，可得． 故答案为或（答案不唯一）． 7．（24-25八年级上·山东·期末）如图，，，，，，则的度数是 ． 【答案】/75度 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，先根据证明，得出，根据三角形内角和求出，再根据，求出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵在和中 ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·全国·期末）如图，，点D在边上，延长交边于点F，若，则 度． 【答案】138 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质、对顶角相等 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据得出，，再根据三角形内角和定理可求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， 又∵，，且， ∴， ∴． 故答案为：138． 9．（24-25八年级上·全国·期末）如图，于点A，于点B，且．点P从A向B运动，每分钟走，点Q从A向D运动，每分钟走2m，P，Q两点同时出发，运动 分钟后，与全等． 【答案】6 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质，设运动分钟后，与全等，分两种情况，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设运动分钟后，与全等，则：； ①当时，则：， 则：，满足题意； ②当时，则：， ∴， 解得：，不符合题意； 故答案为：6． 10．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，在直角三角形中，，，将绕点A逆时针旋转得到，点E落在上，延长交于点F．给出下面四个结论： ①；②；③；④若，，连接，则的面积是4．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的性质、三角形内角和及面积公式等问题．根据题干得出，再根据全等三角形的性质一一判断即可． 【详解】解：①∵旋转，∴，故①正确； ②∵，∴， ∴，故②错误； ③∵， ∴， ∵， ∴，故③正确． ④∵， ∴，， ，故④正确． 综上，①③④正确， 故答案为：①③④． 三、解答题 11．（23-24八年级上·安徽六安·期末）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、两直线平行内错角相等 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． （1）先根据平行线的性质得到，进而利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，则． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）解：∵，， ， 又， ． 12．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）如图，在四边形中，E为上一点，F为上一点，，． (1)求证：； (2)求证：平分，平分． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）延长至点，使，连接，证，得到，再证明，得到，即可证明结论； （2）由得，得到平分，根据，即可证明结论． 【详解】（1）证明：延长至点，使，连接． ∵， ， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴； （2）证明：由得， ∴平分； ∵，， ∴， 平分． 13．（24-25八年级上·全国·期末）小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究．在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂个小球A，小球A可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置，当小明用发声物体靠进小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，且测得到点B到的距离为；当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的A，B，O，C在同一平面上），过点C作于点E，测得点C到的距离为． (1)判断与的数量关系，并证明； (2)求两次摆动中点B和C的高度差的长． 【答案】(1)．理由见解析； (2)． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握相关结论即可． （1）证即可求解； （2）由题意得：，根据得出，即可求解； 【详解】（1）解：．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ （2）解：由题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴两次摆动中点B和C的高度差的长为． 14．（22-23八年级上·福建莆田·期末）数学活动课中，老师给出以下问题： (1)如图1，在中，D是边的中点，若，则中线长度的取值范围 ． (2)如图2，在中，为锐角，D是边的中点，过D点的射线交边于E，再作交边于点F，连接，请探索由三条线段构成的三角形的形状，并说明理由． (3)已知：如图3，，且，F是线段的中点．求证：． 【答案】(1) (2)线段构成的三角形是钝角三角形，理由见解析. (3)证明见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形三边关系的应用、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）如图1，延长到E，使，连接，证明，则，由,可得，即，计算求解即可； （2）如图2，延长到点G，使，连接，证明，则，线段构成的三角形为，由，可判断三角形的形状； （3）如图3，延长至G，使，连接，同理（2），，则，由，，可得，证明，则，进而结论得证． 【详解】（1）解：如图1，延长到E，使，连接， ∵， ∴， ∴， 在中，, ∴，即， ∴， 故答案为：； （2）解：线段构成的三角形是钝角三角形，理由如下： 如图2，延长到点G，使，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴线段构成的三角形为， ∴， ∴当为锐角时，为钝角三角形，即由三条线段BE、EF、CF构成的三角形为钝角三角形； （3）证明：如图3，延长至G，使，连接， 同理（2），， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用，三角形内角和定理等知识．熟练掌握倍长中线构造全等三角形是解题的关键． 15．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，为锐角，点D为直线上一动点，以为直角边且在的右侧作等腰直角三角形，，． (1)如果，． ①当点D在线段上时，如图1，线段、的位置关系为________，数量关系为________； ②当点D在线段的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由． (2)如图3，如果，，点D在线段上运动． 探究：当多少度时，？请说明理由． 【答案】(1)①，；②仍然成立，理由见解析 (2)当时，，理由见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、垂线的定义理解 【分析】本题为三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质，解决问题的关键是证明全等三角形，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等进行求解． （1）①根据，，，运用“”证明，根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段、之间的关系； ②先根据“”证明，再根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到（1）中的结论仍然成立． （2）过点A作交的延长线于点G，证明，根据对应角相等即可得出结论． 【详解】（1）解：①与位置关系是，数量关系是． 理由： ，， ． 又，， ， 且． ， ，即． 故答案为：，； ②都成立 ， ， 在与中， ， ，， ，即． （2）解：当时，． 理由：过点A作交的延长线于点G，则， ∵， ∴， ∴ ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴，即． 16．（23-24八年级上·四川达州·期末）如图，，，点为中点，连接并延长，交于点． (1)当时，求的长度． (2)如图，将的角度都调整为，其余条件不变，求此时的长度． (3)如图，当的角度都变为，其余条件不变，动点在线段上，从点向点运动，动点在线段上，从点向点运动，并且运动速度相同，连接，探究的数量关系并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)，理由见解析． 【知识点】用勾股定理解三角形、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（）先求出，再证，即可得出结论； （）先求出，再证，即可得出结论； （）连接，过点作，交的延长线于点，证，得，，再证是等腰直角三角形，得，则，然后由勾股定理得，化简即可求解． 【详解】（1）解：∵点为中点，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ∴， ∴； （2）解：∵点为中点，， ∴， ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 如图，连接，过点作，交的延长线于点， ∵，， ∴, ∵动点在线段上，从点向点运动，动点在线段上，从点向点运动，并且运动速度相同， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴， ， ∴，即， ∴， ∵, ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， 即． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、余角性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形内角和定理以及勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 17．（23-24八年级上·四川成都·期末）在中，，点D是平面内一点（不与点A，B，C重合），连接，连接．将沿直线翻折，得到，连接． (1)如图1，点D在内部，交于点E，点F是上一点，且，连接． ①求证：； ②若，，求点G到直线的距离． (2)如图2，点D在的内部，试探究之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1)①详见解析；② (2) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查几何变换的综合应用，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）①根据全等三角形的判定即可证明； ②根据全等三角形的性质和折叠的性质求出即可解答． （2）过A作交的延长线于点H，证明，根据折叠的性质即可解答． 【详解】（1）解：①证明：∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ，​ ∴． ②解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由翻折，得，， ∴， ∴， ∵， ∴点B，D，G共线， ∴， 设点G直线的距离为h， 则， 解得， 即点G到直线的距离为． （2）解：如图，过A作交的延长线于点H， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由翻折，得：， ∴， ∴， ∵， ∴． 18．（23-24八年级下·辽宁盘锦·期末）通过类比联想、引中拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整． 原题：如图1，点、分别在正方形的边、上，，连接，则，试说明理由． (1)思路梳理 ， 把绕点逆时针旋转至，可使与重合． ， ，点、、共线． 根据 ，易证 ，得． (2)类比引申 如图，四边形中，，，点、分别在边、上，．若、都不是直角，则当与满足等量关系，求证：． (3)联想拓展 如图，在中，，，点、均在边上，且．猜想、、应满足的等量关系，并写出推理过程． 【答案】(1)； (2) (3)，推理过程见详解； 【知识点】根据旋转的性质求解、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等三角形综合问题 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线得出全等三角形，综合性比较强，有一定的难度． （1）把绕点逆时针旋转至，可使与AD重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （2）把绕点逆时针旋转90°至，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （3）把旋转到的位置，连接，证明，则，，是直角三角形，根据勾股定理即可作出判断． 【详解】（1）解：思路梳理 ， 把绕点逆时针旋转至，可使与重合，如图， ， ，点、、共线， 则，，，， 即， 在和中， ， ． ； 故答案为：；； （2）类比引申 时，；理由如下： ， 把绕点逆时针旋转至，可使与重合， 如图所示： ，， ，， ， ， ， ，点、、共线， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）联想拓展 猜想：． 理由如下：把绕点逆时针旋转到的位置，连接，如图所示： 则，， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， 是直角三角形， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$