1.直接开平方法和因式分解法-【勤径学升】2025-2026学年九年级上册数学同步练测（华东师大版）

九年级数学·华师版（上册） 22.2一元二次方程的解法 1.直接开平方法和因式分解法 课时1直接开平方法 《基础明固练， [答案P10] 跟点①解形如x=p(P≥0)的方程 画限息②解形如(+n尸=p(m0p≥0)的方程 (唐山期中)张老师给出方程x2-4=0,四位同 ⑦（天津红桥区期中）若一元二次方程(x+6)?=64 学给出了以下答案.小丽：x=2:子航：x=-2; 可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一 帆：x1=2,x2=-2:萱萱：x=±4.你认为谁的答 次方程是x+6=8,则另一个一元一次方程是 案正确？一你的选择是 ( () A.小丽B.子航C.一帆 D.营萱 A.x-6=-8 B.x-6=8 2(绥化期中)一元二次方程4x2-9=0的根是 C.龙+6=8 D.x+6=-8 ( 8方程(x-3)2=8的根是 A.=3 A.x=3+22 Bx=-3 2 B.x=3-22 3 Γ2 2 C.x1=3+2、2,x1=3-22 3若关于x的一元二次方程x2+3=a有实数根， D.x1=-3+2、2,x2=-3-22 则a的值可以为 ·(写出一个即可) 9如图是一个简单的数值运算程序，若输出的值 ④（江苏扬州质检）若一元二次方程ax2=b(ab> 为-27.则输入的x的值为 0)的两个根分别是m+1与2m-4,则b 输入X一(x-1)月一×(-3)一输出 9题图 10解下列方程： ⑤（上海浦东新区调研）方程x2-√64=0的两根 为x1= (1)-9=0: 6解方程： -g=0: (2)(x-3)2=7: (3)4(x-2)2-3=0. (2)2x2+3=-2x2+4. ⊙题型变式 讲本PI3答案PI1 ①（题型1·典例1(1）变式)2(x+1)2=18. 18g 见此图标服抖音/疑信扫码氯取配套资源稳步提升成绩 第22章一元二次方程 课时2因式分解法 [客案PI1门 《基佛明固练， 细腰点①用因式分解法解一元二次方程 细暝点②用合适的方法解一元二次方程 ①（教村P22倒2变式）一元二次方程x(x-4)=0 ⑦（责州责阳期末）解一元二次方程(x-1)2=2(x 的根是 -1)最适宜的方法是 A.x1=1,x2=4 B.x1=1,x2=-4 A.直接开平方法 B.公式法 C.x1=0,x3=4 D.x1=0,x2=-4 C.因式分解法 D.配方法 2(红桥区糊末)一元二次方程x2+2x-8=0的根8下列方程，不适合用因式分解法求解的是(） 为 ( A.x2+5x=0 B.4x2=2x A.x1=-4,x3=2 B.x1=-5,x2=3 C.x2+6x+10=0D.x2+(1+2)x=0 C.x1=-2,x2=4 D.x1=-3,x2=5 9解下列方程：①3x2-27=0:②2x2-3x-1=0: 3(兰州中考)一元二次方程x(x-2)=x-2的根 ③2x2-5x+2=0:④2(3x-1)2=3x-1.较简便 是 ( 的方法是 () A.x1=2=0 B.x1=2=1 A.①公式法，②配方法，③直接开平方法，④因 C.x1=0,x2=2 D.x1=1,x2=2 式分解法 ④（四川眉山期中）一个三角形的两边长分别为3 B.①因式分解法，②公式法，③配方法，④直接 和6，第三边的边长是方程(x-2)(x-4)=0的 开平方法 根，则这个三角形的周长是 ( C.①②直接开平方法，③公式法，④因式分解法 A.11 B.11或13 D.①直接开平方法，②公式法，③④因式分解法 C.13 D.以上选项都不正确 0已知下列方程，请把它们的序号填在最适当的 5(山西大同期末)用因式分解法解一元二次方程 解法后的横线上 (4x-1)(x+3)=0时，可将原方程转化为两个 ①2(x-1)2=6:②(x-2)2+x2=4:③(x-2) 一元一次方程，其中一个方程是4x-1=0,则另 (x-3)=3:④x2-2x-1=0:⑤x2-2x-99=0. ,个方程是 (1)直接开平方法： 6用因式分解法解下列方程： (2)配方法： (1)x(x+4)=3x+12: (3)公式法： (4)因式分解法： 门（山东泰安岱岳区期末）按照指定方法解下列方程： (1)x(x-23)+3=0:(自选方法) (2)x2-4-2(2-x)=0: (2)3x2-6x-2=0:(配方法) (3)9(x+1)2-(2x-5)2=0. (3)x2-9=2x+6.(因式分解法) 见此图标服抖音/微信扫码领取配套资源稳步提升成绩 九年级数学·华师版（上册） [客案P川I] 《能力提升练 (山东临诉中考)方程x2-x=56的根是( )⑦[核心素养]阅读下面材料然后解答问题： A.x1=7,1=8 B.x1=7,x2=-8 解方程：(x2-6)2-(x2-6)-2=0. C.x1=-7,x2=8 D.x1=-7,x3=-8 分析：本题实际上为一元四次方程，若展开按常 2(北京朝阳期中）一元二次方程(x+2)(x-4)= 规方法解答，对于同学们来说具有一定的挑战 x-4的解是 性.解高次方程的基本方法是“降次”，我们发现 A.-2 B.-1 本方程是以x2-6为基本结构搭建的，所以我们 C.-1和4 D.-2和4 可以把x2-6视为一个整体，设为另外一个未知 3(丹东中考)若实数kb是一元二次方程(x+3) 数，可以把原方程降次为一元二次方程来继续 (x-1)=0的两个根，且k<b,则一次函数y= 解答.我们把这种换元解方程的方法叫做换 x+b的图象不经过 元法 A.第一象限 B.第二象限 解：设x2-6=m, C.第三象限 D.第四象限 则原方程换元为m2-m-2=0. ④（潍坊中考）若菱形两条对角线的长度是方程x2 ∴.(m-2)(m+1)=0, -6x+8=0的两根，则该菱形的边长为( ∴.m-2=0或m+1=0, A.5 B.4 C.25D.5 解得m1=2,m2=-1, ⑤（东营期中）根据图中的程序，当输入一元二次 x2-6=2或x2-6=-1. 方程x2-2x=0的根x时，输出结果y的值为 解得x1=22,x2=-22,x1=5,x4=-5 请参考例题解法，解下列方程： (1)x-5x2+6=0: y=x-4(x至1)】 输入x 输出)y =-x44(x>1 5题图 6解方程： (1)2(x-3)2=x2-9: (2)x2+3x-√x+3x-2=0. ②题型变式 讲本I3音案2。 ①（题型1·典例1(2）变式)3x(x-2)=2(x-2). (2)2-5x-=0 20g 见此图标跟抖音/縱信扫码领取配套资源稳步是升成绩九年级数学·华师版（上册） 5.c 2.C[解析]移项，得4x2=9,二次项系数化为1，得 62 上=骨两边直接开平方，得写号6=一号 21 7.等腰[解析]把x=-1代入(a+c)x2+2bx+(a3.3.5(答案不唯一，只要a≥3即可) -c)=0,得a+c+(-2b)+a-c=0,所以a=b,所 [解析]原方程可化为x=-3.因为方程有实数 以△ABC为等腰三角形. 根，所以a-3≥0，所以a≥3.故a的值可以是3.5. 8.-2[解析]设方程x2+mr+1=0和x2+x+m=0 (答案不唯一，只要a≥3即可) 2+mt+1=0,① 的公共根为1，则{ +1+m=0,②①-②得(m- 4.4[解析]由题意得两根不相等.：x2=b 1)=m-1.如果m=1,那么两个方程均为x2+x+ ,方程的两个根互为相反数，.m+1+2m 1=0,不符合题意；如果m≠1，那么t=1,把1=1代 4=0,解得m=1,∴.一元二次方程x2=b的两个根分 入①，得1+m+1=0,解得m=-2.故常数m的值 为-2. 2=4故答案为4 别是2与-2√ 9.解：该三角形是直角三角形.理由如下： 5.22 -22[解析]移项，得x2=8.开平方，得x 根据三角形的三边关系可得1<a<7. =±22，即x1=22,x=-22 又因为a为整数， 所以a可能的取值为2,3,4.5,6. 6.解：（)移项，得宁= 1 当a=2时，2a2-9a-5=2×22-9×2-5=8-18 二次项系数化为1，得=49 -5=-15≠0， 所以a=2不满足方程2a2-9a-5=0. 根据平方根的意义，得x=±， 同理可知， 当a=3,4,6时均不满足方程2a2-9a-5=0, 即名=7=7 当a=5时，满足方程2a2-9a-5=0. (2)移项、合并同类项，得4x2=1. 即三角形的第三条边的长为5cm. 二次项系数化为1，得2= 因为32+42=5，所以该三角形是直角三角形. 题型变式 根据平方根的意义，得x=士 1.0[解析](m-4)x-1+3x-1=0是关于x的 即=4= 1 一元二次方程，|m-21=2且m-4≠0，解得 7.D m=0. 2.8[解析]把x=1代入6x2-2a=0,得6-2a=0, 8.C[解析]两边直接开平方，得x-3=±2,2，所以 解得a=3,所以3a-1=8. x-3=22或x-3=-22,所以x1=3+2,2,x 3.D[解析]根据题意列方程为2500+2500(1+x) 3-22 +2500(1+x)2=9100. 9.4或-2[解析]根据题意，得(x-1)2×(-3)= 22.2一元二次方程的解法 -27,两边都除以-3，得(x-1)2=9,所以x-1= 1.直接开平方法和因式分解法 ±3，解得x1=4,x2=-2. 课时1直接开平方法 10.解：(1)将方程变形，得x2=27 【基础巩固练】 直接开平方，得x=±33。 1.C[解析]将方程x2-4=0移项，得x2=4,两边直 所以x1=33,2=-33。 接开平方，得x=2,。=-2,所以一帆的答案正确. (2)直接开平方，得x-3=±万， ·10- 参考答案及解析 所以x=3±7， 即(5x-2)(x+8)=0, 所以x1=3+万，x=3-7 于是得5x-2=0或x+8=0, (3)将方程变形，得(x-2)'= 2 4 =5名=-8 7.C[解析]解一元二次方程(x-1)2=2(x-1)最 直接开平方，得x-2=±气， 适宜的方法是因式分解法.故选C 所以x=2±号 8.C9.D 10.(1)①(2)④⑤(3)③(4)② 所以x,=2+ 22 11.解：(1)方程整理得x2-25x+3=0. 2 配方，得(x-5)2=0, 题型变式 开方，得x-5=0, 1.解：两边同时除以2，得(x+1)2=9. 解得x,=x=√3. 开方，得x+1=±3. 即x+1=3或x+1=-3, (2)方程整理得2-2x= 3 解得x1=2,2=-4. 5 课时2因式分解法 配方，得x-2x+1=3, 【基础巩固练】 即(x-1户=号开方，得-1=± 3 1.C2.A 3.D[解析]移项，得x(x-2)-(x-2)=0,因式分 3,=15 解得，=1+ 3 解，得(x-2)(x-1)=0,∴x-2=0或x-1=0, (3)方程整理得x2-2x-15=0 x1=1,x2=2 因式分解，得(x-5)(x+3)=0. 4.C[解析]由方程(x-2)(x-4)=0,可得x-2=0 可得x-5=0或x+3=0, 或x-4=0,解得x=2或x=4.当x=2时，2,3,6不 解得x1=5,x2=-3. 能构成三角形，舍去：则x=4,此时三角形的周长为 【能力提升练】 3+4+6=13.故选C. 1.C[解析]：x2-x=56,.x2-x-56=0,则(x- 5.x+3=0[解析](4x-1)(x+3)=0,.4x-1 8)(x+7)=0,∴x-8=0或x+7=0,解得x1=-7, =0或x+3=0,即一个方程是4x-1=0,则另一个 x3=8. 方程是x+3=0.故答策为x+3=0. 2.C[解析]移项，得(x+2)(x-4)-(x-4)=0.因 6.解：(1)原方程可化为x(x+4)=3(x+4) 式分解，得(x-4)(x+1)=0.∴.x-4=0或x+1= 移项，得x(x+4)-3(x+4)=0. 因式分解，得(x+4)(x-3)=0. 0,解得x1=4,1=-1. 于是得x+4=0或x-3=0. 3.C[解析]解方程(x+3)(x-1)=0,解得x=-3 或x=1.实数k、b是该方程的两个根，且k<b, x1=-4,x2=3. k=-3,b=1,函数y=x+b,即y=-3x+1, (2)原方程可化为(x+2)(x-2)+2(x-2)=0 图象经过第一、第二、第四象限，不经过第三象限 因式分解，得(x-2)(x+2+2)=0, 4.A[解析]如答图，四边形 即(x-2)(x+4)=0, ABCD为菱形，解方程x2-6x 于是得x-2=0或x+4=0, +8=0,解得x=4或x=2, x1=2,2=-4 则AC=4,BD=2.四边形 (3)因式分解，得[3(x+1)+(2x-5)][3(x+1) 4题答图 ABCD是菱形，∴.∠A0D=90°，A0=0C=2,B0=D0 (2x-5)]=0, ·11· 九年级数学·华师版（上册） =L.在Rt△AOD中，由勾殷定理，得AD=2+1户 2.配方法 =5.故该菱形的边长为、5 【基础巩圈练】 5.-4或2[解析]解方程x2-2x=0,解得1=0，x 1.D[解析]x2+kx+64是一个完全平方式，x +x+64=(x+8)2或x2++64=(x-8)2, =2.当x=0时，y=x-4=-4:当x=2时，y=-x =±16. +4=2.所以输出结果y的值为-4或2. 6.解：(1)整理，得2(x-3)2-(x+3)(x-3)=0. 242(2)84(3)7(4g写 因式分解，得(x-3)(x-9)=0. 3.A[解析]x2-10x+m=0,移项，得x2-10x= 于是有x-3=0或x-9=0x1=3,x2=9. -m,配方，得x2-10x+25=-m+25,即(x-5)2= （2a=1.6=-5c=-4 25-m. ,关于x的一元二次方程x2-10x+m=0可以通过 4=(-5)-4x1×(-)=4>0. 配方写成(x-n)2=0的形式， .25-m=0,n=5,m=25.故选A 则x=-b±B-4ae-3±2 4.-1或-5[解析]根据题意，得x2+8+6x-3= 2a 21 0,即x2+6x+5=0,配方，得(x+3)2=4,解得x= 2 -1,3=-5. 2 5.解：(1)配方，得x2-2x+1=5+1, 7.解：(1)设x2=t,则原方程可变形为2-51+6=0， 即(x-1)2=6. .(t-2)(t-3)=0, 由此可得x一1=±√6， 1=2或t=3. 六=1+6,2=1-6 当x2=2时，x1=2,x=-2: (2②)移项，得+子=-山 当x2=3时，x=5,x=-5 原方程的解为 配方，得+子+写1+ 9 x,=2,书1=-2,1=5，x1=-3. +=-8 (2)设√+3x=y(y≥0)，则x2+3x=y2, 所以原方程无实数根 所以原方程可化为y2-y-2=0, (3)原方程可化为x2-23x=-3. .(y-2)(y+1）=0. 配方，得x2-23x+3=-3+3, .y=2或y=-1(舍去) 即(x-5)2=0. 当y=2时，x+3x=2 x=3=5 两边平方，得x2+3x=4. (4)原方程可化为x2+3x=-1. .x2+3x-4=0. 配方，得2+3+号=-1+ .(x+4)(x-1)=0. x1=-4,x2=1 经检验，x1=-4,2=1是原方程的解， 3 原方程的解为x,=-4,x2=1. 由此可得x女之二号， 题型变式 ,=53 Γ22 1.解：移项，得3x(x-2)-2(x-2)=0. 22-5、3 6.B[解析]移项，得2x+3x=1,二次项系数化为 因式分解，得(x-2)(3x-2)=0. .x-2=0或3x-2=0, 1将2+=号配方得++品 2 x=2,6=3 器+-品所以p==品 317 ·12·