4.1.3 独立性与条件概率的关系-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册同步练测（人教B版2019）

第四章概率与统计 山规律方法川 (1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品 “化整为零”求多事件的全概率问题 都是次品的概率； (1)如图，P(B)=P(A)P(BA). (2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中， 然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这 BA BA 个产品是正品的概率。 RAz A (2)已知事件B的发生有各种可能的清形A,(i= 1,2,…,n),事件B发生的可能性，就是各种可能情形 A,发生的可能性与已知在A,发生的条件下事件B发 生的可能性的乘积之和 ☑跟踪训练 3.甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱 的产品中有4个正品和3个次品. 随堂巩固促应用 验证反情迁移运用 1.若PAB)=),PB)=则PAB的值是 3.已知P(A)=0.8,P(BA)=0.6,P(B|A) =0.1,则P(B)= 4,开元通宝是我国唐代的一 A司 种货币，向如图所示的开 元通宝上任意投掷一粒芝 c Di 麻，第一次投进方空的概 率约为0.5，在第一次投进 2.若P(B)=0.3,P(BA)=0.1,则P(BA)= 方空的条件下第二次也投进方空的概率约 ( 为0.3，则像这样连续两次都把芝麻投进方 A.0.1 B.0.2 空的概率约为 C.0.3 D.0.4 提示请完成《素能提升训练》训练九 4.1.3 独立性与条件概率的关系 [学习任务 1.结合条件概率理解相互独立事件的充要条件，会对事件的独立性进行判断. 2.会求相互独立事件同时发生的概率。 3.能运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解题. 自主学习探新知 谋前预习双巷落实 知识点事件A与B独立的充要条件 是P(AIB)= ,事实上，“A与B独 当P(B)>0时，A与B独立的充要条件 立”也经常被说成“A与B ” 27 高中数学·选择性必修第二册(RJB) 达微判断 (2)若事件A与B相互独立，则B与B相互 判断正误（正确的画“√”，错误的画“X”) 独立，A与B也相互独立. () (1)若事件A与事件B相互独立，且P(A) (3)如果两个事件是对立事件，那么它们一 >0时，有P(BA)=P(B). 定是相互独立事件. () 自主学习探新知 课前预习双基落实 探究一 相互独立事件的判断 D.A=“人能活到20岁”，B=“人能活到 [例1门（多选）有6个相同的球，分别标有数 50岁” 字1,2,3,4,5,6，从中有放回的随机取两 2.(多选)甲盒中有3个红球，2个白球；乙盒 次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出 中有2个红球，3个白球.从甲盒中随机取 的球的数字是1”：乙表示事件“第二次取出 出一球放人乙盒.用事件A表示“从甲盒中 的球的数字是2”：丙表示事件“两次取出的 取出的是红球”，用事件B表示“从甲盒中 球的数字之和是8”：丁表示事件“两次取出 取出的是白球”；再从乙盒中随机取出一球， 的球的数字之和是7”，则 用事件C表示“从乙盒中取出的是红球”，则 A.甲与丙不相互独立 下列结论正确的是 B.甲与丁不相互独立 A.事件B与事件C是互斥事件 C.乙与丙不相互独立 B.事件A与事件C是独立事件 D.丙与丁不相互独立 C.PC- 川规律方法川 (1)南个事件是否相互独立的判断方法 ①意义法：出事件本身的性质直接判定两个事件 nPCA=号 的发生是否相互影物， ②充要条件法：事件A,B相互独立的充要条件是 探究二 相互独立事件的概率 P(B)>0且P(AB)=P(A), [例2]生产同一种产品，甲机床的废品率为 (2)互斥事件与相互独立事件的区别 互斥事件不可能同时发生，而相互独立事件以能 0.04,乙机床的废品率为0.05，从甲、乙机 够同时发生为前提， 床生产的产品中各任取1件，求： @跟踪训练 (1)至少有1件废品的概率： 1.(多选)下列事件A,B不是独立事件的是 (2)恰有1件废品的概率. ( A.一枚硬币掷两次，A=“第一次为正面向 上”，B=“第二次为反面向上” B袋中有两个白球和两个黑球，不放回地 摸两球，A=“第一次摸到白球”，B=“第 二次摸到白球” C.掷一枚骰子，A=“出现点数为奇数”，B “出现点数为偶数” 28 第四章概率与统计 川规律方法川 求相互独立事件同时发生的概率的关注点 川规律方法川 (1)条件：各个事作是相互独立的，而且它们同时 相互独立事件概率的综合问题的解题策略 发生， (1)正难划反.灵活应用对立事件的概率关系（即 (2)公式：P(A,A.…A)=P(A)P(A)…P(A). P(A)十P(A)=1)简化间题，是求解概率何最常用 的方法， 跟踪训练 (2)化繁为简.将复乘事件的概率转化为简单事件 3.2020年初，新冠肺炎疫情肆虑全球，各国医 的概事，即寻找所求事件与已知事件之问的关系.“所求 事件”分几类（考虑加法公式转化为互斥事件）还是分几 疗科研机构都在加紧研制疫苗.如果A,B, 步组成（考虑乘法公式转化为相互独立事件）， C三个独立的研究机构在一定的时期内能 口跟踪训练 研制出疫面的概率分别是号，子·了·求。 4.为了纪念2017年在德国波恩举行的联合国 (1)他们都研制出疫苗的概率： 气候大会，某社区举办《“环保我参与”有奖 (2)只有A机构研制出疫苗的概率. 问答比赛》活动.某场比赛中，甲、乙、丙三个 家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已 知甲家庭回答正确这道题的概率是子，甲、 丙两个家庭都回答错误的概率是2，乙、丙 两个家庭都回答正确的概率是，假定各家 庭回答是否正确互不影响. (1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题 探究三相互独立事件概率的综合问题 的概率： [例3]某田径队有三名短跑运动员，根据平 (2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭 时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑（互 回答正确这道题的概率。 不影响)的成绩在13s内（称为合格）的概 率分别为号，是，号若对这三名短跑运动员 的100米跑的成绩进行一次检测，则求： (1)三人都合格的概率： (2)三人都不合格的概率： (3)出现几人合格的概率最大 29 高中数学·选择性必修第二册(RJB) 随堂巩固促应用 整证反馈迁移运用 1.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷2次，出现 响.现规定：投进两个得4分，投进一个得 “2次正面向上”的概率是 ( 2分，一个未进得0分，则其中一名同学得 A号 R号 2分的概率为 () A.0.5 B.0.48 c C.0.4 D.0.32 4.(多选)设M,N为两个随机事件，给出以下 2.甲射击命中目标的概率是2，乙射击命中目 命题，其中正确的命题为 () 标的概率是？，丙射击命中目标的概率是 A.P(M)P(N)-3P(MN)- },三人是否命中目标相互独立。现在三人 则M,N为相互独立事件 同时射击同一目标，则目标被击中的概率为 BP()-P(N)-P(MN)- 则M,N为相互独立事件 A B号 C若PM=2PN)=3,PMN=合： c 7 0. 则M,N为相互独立事件 3.某校在秋季运动会中，安排了篮球投篮比 D若P0=2PN)=3,P(MN)= 6 赛.现有20名同学参加篮球投篮比赛，已知 则M,N为相互独立事件 每名同学投进的概率均为0.4，每名同学有 提示请完成《素能提升训练》训练十 2次投篮机会，且各同学投篮之间没有影 4.2 随机变量 4.2.1随机变量及其与事件的联系 [学习任务 1.理解随机变量及离散型随机变量的含义. 2.能写出离散型随机变量的可能取值，并能解释其表示的事件. 3.理解随机变量之间的关系，会求简单的离散型随机变量的概率， 30跟踪训练 对于A,P(甲丙)=0≠P(甲)P(丙)： 3解)从甲箱中任取2个产品的样本点有C=8X☑ 2 对于B,P(甲T)=品-P(甲)P(T): =28(个)， 对于CP(乙丙)=高≠P(乙)P(两)： 这2个产品都是次品的样本点有C=3(个)， 对于D,P(丙丁)=0≠P(丙)P(丁)，故选ACD “这2个产品都是次品的瓶率为器 [答案]ACD (2)设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事 跟踪训练 件B,为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B,为 1.BCD对于A选项，A,B两个事件发生，没有关系，故 “从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B为“从甲箱 是相互独立事件：对于B选项，A事件发生时，影响到B 事件，故不是相互独立事件：对于C选项，由于投的是一 中取出2个产品都是次品”，则事件B,、事件B、事件 个酸子，A,B是对立事件，所以不是相互独立事件：对 B彼此互斥， 于D选项，能活到20岁的，可能也能活到50岁，故A,B P(B)-C 3 C C28 不是相互独立事件，故选BCD 2.CD对于A,事件B与事件C能同时发生，故A错误： PAB)=号，PAB)=号PAB)=音， 、对于C,P(C)-之×兰士是×二=器·故C正骑：对于D.】 CC CC .P(A)=P(B )P(A B )+P(B.)P(A B:)+P(B,) 3×3 P(CIA)-P(AC)_5X6 1 P(A) 2 ,故D正确：对于B,因为 随堂巩固促应用 5 1.APAB)=PAB)PB)=号×号-=7 PA0--品PP-号×3-品所以 2.BP(BA)=P(B)-P(BA)=0.3-0.1=0.2. P(AC)≠P(A)P(C),所以事件A与事件C不是独立事 3.解析P(B)=P(A)P(BA)十P(A)P(B引A)=0.8× 件，故B错误.故选CD. 0.6+0.2×0.1=0.5. 探究二 答案0.5 [例2][解]从甲，乙机床生产的产品中各取1件是废 品分别记为事件A,B,则事件A,B相互独立， 4.解析设A表示第次把芝麻投进方空，=1,2， 且P(A)=0.04,P(B)=0.05. 则由已知可得P(A)=0.5, (1)设“至少有1件废品”为事件C, P(A|A,)=0.3,因此由乘法公式可得 P(C)=1-P(AB)=1-P(A)P(B) P(A.A,)=P(A)P(A.A,)=0.5×0.3=0.15, =1-(1-0.04)×(1-0.05)=0.088. 即连续两次都把芝麻投进方空的概率约为0.15. (2)设“恰有1件废品”为事件D,则 答案0.15 P(D)=P(AB)+P(AB) =0.04×(1-0.05)+(1-0.04)×0.05=0.086 4.1.3 独立性与条件概率的关系 跟踪训练 3.解令事件A,B,C分别表示A,B,C三个独立的研究 自主学习探新知 机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事 知识点 P(A)互不影响 件A,B,C相互孩立，且P(A)=号，P(B)=,PC 微判断 (1)(√)(2)(×)(3)(×) (1)他们都研制出疫描，即事件A,B,C同时发生， 自主学习探新知 探究一 故PABC)=PAP(BPO=吉X×号-高 [例1门[解析]由题意可知，两点数和为8的所有可 (2)只有A机构研制出疫苗即事件A,B,C同时发生， 能为 (2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2) 以PUAC)=PAPBPC=吉X子X号- 两，点数和为7的所有可能为 探究三 (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1), [例3][解]记甲，乙、丙三人100来跑成策合格分别为 所以P(p)=,P乙)-名，P丙)=司表高 事件A,B,C,显然事件A,B,C相互独立， 则PA=号PB)=是，PO=子 P(T)=6X6-6 61 设恰有k人合格的概率为P,(k=0,1,2,3) 13 (1)三人都合格的概率 P,=PABO=PAP(BP(O-号X是Xg-d PMN)=言，则P(N)=1-PN)=号，PMPN) (2)三人都不合格的概率 合× 号=3≠P(MN),故M,N不相互立，故C错 3 P=PMC=不P团PO-号xX号-品 误：PM0=名，PN)=子，PMN)=吾则PMN) (3)恰有两人合格的概率 1-PM)=名-P(MP(N),故M,N为相互盘立 P,=P(ABC)+P(A BC)+P(ABC) 事件，故D正确. 4.2 随机变量 恰有一人合格的概率 R=1-P-P-A=1品器品需=高 4.2.1随机变量及其与事件的联系 综合(1)(2)可知P最大. 所以出现怡有一人合格的概幸最大 自主学习探新知 跟踪训练 知识点一 4.解(1)记“甲家庭回答正确这道题"“乙家庭回答正确 实数值结果所有可能的取值 这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件A,B,C, 微思考 则PA)=是，PAPC-立P(BPCO= 1 [提示]随机变量每取一个确定的值对应着试验的不 同结果，试验的结果对应着随机变量的值，即随机变量 (ACP(PC) 4 的取值实质上是试验结果所对应的数， 知识点二 所以P(B)=君，P(O=寻 (1)互斥 (2)相互对立 (2)有0个家庭1回答正确的概率 微练习 P=PABC=P不)PB)PC=×g×号品， 5 1,解析P(X>0)=1-P(X≤0)=1-0.23=0.77. 答案0.77 有1个家庭回答正确的概率 知识点三 P=PABC+BC+AB0-是××+片× 3 P(Y=at+b) 8 微练习 吉+片×营×号- 5×2=7 2.DY=2X-1,X=0,-1,1,Y=-1,1,故选D. 所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率 自主学习探新知 P1-P-R=1品-影 探究一 [例1](1)汇解析]对于A,小球滚出的最大距离不是离 随堂巩固促应用 散型随机变量，因为滚出的最大距离不能一一列出：对 1.心由题意，每次抛撕攻币正面向上的振率为了 于B,倒出小球所需的时间不是离散型随机变量，因为 所需的时间不能一一列出：对于C,3个小球的质量之和 故？次正面向上“附托率P-号×号一批选C 是一个定值，不是随机变量：对于D,例出的3个小球的 颜色的种数可以一一列出，是离散型随机变量。 2Λ由题可知，目标不被击中的能率是号×号×是 [答案]D ，所以目标被击中的概率为1一子-具，故选A 1 (2)[解析]A,C中的量均是随机变量，且其所有可能 的取值都是可以一一列举出来的，故A,C中的量是离 3.B设“第一次投进球”为事件A,“第二次投进球”为事 散型随机变量：B中的量是随机变量，其取值范国是一 件B,则得2分的概率为P=P(AB)+P(AB)=0.4× 个区间，故B中的量是连续型随机变量：D中的量是一 0.6+0.6×0.4=0.48.故选B. 个常量，不是随机变量， 4.ABDP(M)=名，P(N)=名P(MN)=G,则 [答案]AC 跟踪训练 P(MN)=P(MDP(N),故M,V为相互独立事件，故A 1,AB根据离散型随机变量的定义知，A,B是离散型随 正确：PM)=分，P(N)=号，PMN)=名，则P(M 机变量 2.C随机取值的变量就是随机变量，随机变量分为离散 =1-P(M=号P(MN)=P(MP(N),故M,N为相 型随机变量与连续型随机变量两种，随机变量的函数仍 互德主事件，故B正确：P(M)=名P(N)=子， 为随机变量，有些随机变量，它全部可能取到的不相同 的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称为“离 14