训练三十四 直线与圆锥曲线的位置关系-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练测（人教B版2019）

高中数学·选择性必修第一册(RJB) 训练三十四 直线与圆锥曲线的位置关系 7.(2022·泸州高二期中)抛物线C:y2=4x 基础练/现固应周 的焦点为F,过C上一点P作C的准线I 1.设抛物线y=8x的准线与x轴交于点Q, 的垂线，垂足为A,若直线AF的斜率为 若过点Q的直线1与抛物线有公共点，则 一2，则△PAF的面积为 直线1的斜率的取值范围是 () 8.已知椭圆乏+=1(a>6>0),且短轴的 A[-2] B.[-2,2] 上端点B与两个焦点F1(一2,0)，F2(2,0) C.[-1,1] D.[-4,4] 构成了一个等边三角形 2.(2022·临沂高二期中)已知抛物线x2= (1)求椭圆的方程； 4y内一点P(1,1),过点P的直线1交抛 (2)若过点F1,B的直线与椭圆的另一个 物线于A,B两点，且点P为弦AB的中 交点为M,求弦长MB. 点，则直线！的方程为 A.x+2y-3=0 B.x-2y+1=0 C.2x-y+1=0 D.x+y-2=0 (2022·德州高三期中)已知椭圆E: 片=1(a>b>0)的右焦点是F3,0),过息 F的直线交椭圆E于A,B两点，若AB中 点M的坐标为(1，一1)，则椭圆E的方程 为 () 后+0- 且设椭圆后+发=1(@>6>0)的短轴长为 c+器-1 n若+茶-1 4,离心率为号 4下列直线中与双曲线C专-菁-1有两 (1)当直线y=x十m与椭圆有公共点时， 个不同交点的是 ( 求实数m的取值范围： (2)设点M(2,1)是直线1被椭圆所截得的 A.y=x B.x-√2y+√2=0 线段AB的中点，求直线I的方程. C.y=2x D.y=x-3 5.过抛物线y2=4x的焦点F引斜率为1的直 线，交抛物线于A,B两点，则IAB=( A.4 B.6 C.8 D.10 6.已知直线1：y=kz+1与椭圆号+y=1 交于M,N两点，且IMN=4 3,则 68 (1)求椭圆C的方程； 能力练赶移远用 (2)求四边形ABF2F1的面积. 1n(多选)已知双曲线C话- =1(a>0,b> 0)的实轴长为12，焦距为20，左、右焦点分别 为F,F2,下列结论正确的是 A双曲线C的离心率为 B,双曲线C的渐近线方程为y=士子 C.F2到一条渐近线的距离是8 D.过R,的最短弦长为号 创新练人 素能培优 1.(多选)已知椭圆号+-1，不经过原点 14.如图，圆M:(x+√3) O且斜率为k的直线1与椭圆相交于A, B两点，M为线段AB的中点.下列结论 +y2=16,N(3,0)是 正确的是 ) 圆M内一个定点，P A.直线AB与OM垂直 是圆上任意一点，线段 PN的垂直平分线L和 B.若点M坐标为1，)，则直线1的方 半径MP相交于点Q,当点P在圆M上 程为x+2y-2=0 运动时，点Q的轨迹为曲线E C.若直线l的方程为y=x十1，则点M (1)求曲线E的方程； 坐标为日·号》) (2)抛物线y=一x上是否存在直线m D.若直线1的方程为y=x十2，则|AB 与曲线E交于G,H,使得G,H中点F -4 落在直线y一2x上，并且与抛物线相切？ 若直线m存在，求出直线m的方程；若不 12.(多选)已知直线l:x=ty十2与抛物线 存在，说明理由. C:y=8x交于A,B两点，若线段AB的 中点是M(m,2),则 A=号 B.m=3 C.|AB|=8 D.点（一2,2）在以AB为直径的圆内 3.已知EF2是椭圆C:名+名=1(a>b2 0)的左、右两个焦点，|F,F2|=4,长轴长 为6，A,B分别是椭圆C上位于x轴上方 的两点，且满足AF1=2BF2 69训练三十四直线与圆锥曲线的位置关系 1.解析y=8.x,∴.Q(一2,0)(Q为准线与x轴的交 所以x,十x= 1+2kx1c:=0. 点)，设过Q点的直线l方程为y=k(x+2),:1与抛物 由1MN=1,得红-)P+y-= 线有公共点，方程红少=8， 3 9 有解， y=k(x+2), 即kx2+(4k2-8)x十4k2=0有解， 所以1+)一x)=号所以1+[+)- ∴4=(4k2-8)-16k≥0，即k≤1， 琴1+)（券）广-器化简得+龙 红]= ,一1≤k1,故选C. 答案C 一2=0，所以k=1,所以k=士1. 答案士1 x=4y1 2.解析设A(1y),B(x),则 7,解析由抛物线的方程可得 ri=4y. F(1,0),准线方程为x= 两式相减得(x一x)(工，十x)=4(y一y), -1, 即kw=出二兰=十凸=1 设P(m,n),则A(一1，n), 则直线方程为y一1=号女一D:即一2y1=0. 所以e=气=一2， 所以n=4, 答案B 代入抛物线方程得4=4→ 3.解析设A(xy1),B(xy) m=4,即P(4,4), 则西十=2，y1十为=一2， 所以|PA=1十4=5， ① 所以S.w-号PAX4=10 +- 答案10 ② 8.解(1)由题得c=2,|BF,|=a=2c=4, ①-②样+-)+y+)y-2=0. 所以公=-2=12，所以精周的方程为后十适-1。 b ∴km=y二当=-(x十西) (2)由题得直线BF,的斜率为20=5 a(y十y)a 0+2 0+11.b1 所以直线BF,的方程为y=,3x+25, 联立 解得公=9心=18，描周方程为后+号-1.北选取 13x+4g=48·得5+16x=0, y=3x+23, 答案B 所以孩长MB1=√1+(W3).256=0_32 5 51 4.解析双曲线C专-兰-1的潮近线方程为x士区y 9解I)周为离心率e=S=③】 a2·所以c=3a =0.因为直线x一√2y十2=0y=√2x与渐近线平行， 又因为椭圈的短半轴长b=2,a-6=c2, 故与双曲线只有一个交点： 联主后一号-1”得一青-1，无解，北与双南线无 所以。=16,6=4，即精同方程为后十号=1 (y= 联主层+片-1释5+8mr十m-16=0. 交点： 3y=x十m (x v 因为直线y=x十加与描圆有公共点， 联立8一=1·得x2-12r+26=0. 所以△=64m-4×5×(4m2-16)≥0， y=x-3, 即m≤20，解得一25≤m≤2√5. △=(-12)°-4×26>0，故与双曲线有两个交点. (2)设A(x1y,),B(xy),由M(2,1)在椭园内， 答案D 过点M(2,1)的直线与椭国有两个交点， 5.解析由y=4x可得：焦点F(1,0),直线AB的方程 再由精國的对称性可痛定直线AB的斜率一定存在 为y=x一1，设A(x,y),B(x2,y2),由 y=x1,可 x+4y=16. y2=4x, 则 1x号+4y=16 →(x,-x)(x,十x)+4(y,-y)· 得x2一6x十1=0，则有x,十x,=6. (y1+y2)=0, 由超扬线的定义可得：AB时=AF+BF=五十专 整理得，出一丛=十王 1 x西4y+y)=-2 十名十号-十红十力=6+2=8. 所以斜率k=一之，所以直线1的方程为x十2y一1=0 答案C [y=kx+1, 10.解析依题意可知a=6,c=10,所以b=√C一a=8. 6解折设M.N,由号+y=1: 离心率一后-号，故八正确： 消去y并化简得(1十2k)x十4kx=0, 新近线方程为)户士，故B错误： 101 F(10,0),不妨设渐近线为4x十3y=0,则F:到渐近 13.解1)由题意知2a=6所以{a=3, 线的距离d=14X10+3X0=8.故C正确： 12c=4, 1c=2. /4+3 六b=Va一=5，所以描围C的方程为 过F.的最短弦长为2a=12,故D错误. 9+ 答案AC =1. 11,解析当直线！的斜率存在且不为零时，直线/与椭回 (2)设A(y),B(y) 因为F(-2,0),F(2,0), 方=1相交于不同A,B两点，M为钱较A 所以AF=(-2-,一y),BF:=(2-x,一y) 点，对于精圆，有熟知的结论ku·kw=一 ,于是对 由AF=2BF,可得-2一工=2(2-x),-=一24· 是长AB交x轴于H,因为AF=2BF,,所以AF川 于本题，有u·k=- BF,且|AF,I=21BFI, 17 对于A项，当直线的斜率k=0时，由椭圆的对称性可 知线段AB的中点M在y轴上，直线AB与O八M垂直， 当直线的斜率≠0时，根据椭圆的中点孩的性质 kw·k=一≠-1，而当两直线的鲜率存在且不为 零时，它们垂直的充分必要条件是斜率之积为一1，故 直线AB与OM不垂直，故A错误： 对于B项，由于点M的横坐标，纵坐标都不在坐标轴 所以线段BF,为△AFH的中位线，即F,为线段 上，可知直线l的斜率存在且不为零，根据km·m一 FH的中点，所以H(6,0), ,kw=之，所以k如=一合，由直线方程的点钟式 1 设直线AB的方程为x=my十6， (x=my十6， 1 可得直线1的方程为y-之=一2(x一1)，即r十2y- 联立x 。消去r并整理得(5mm+9)y+ 2=0,故B正确：对于C项，若直线1的方程为y=x十 60my+135=0, 1点M(-号，号)则kw·kw=1X(-2≠- 4=60m°-4×135×(5m2+9)=180(5m-27)>0, C错误： 解得m<-3压或m>3 5 对于D项，若直线1的方报为y=x十2，与精国方程号 由韦达定理可得十y:= 60m 十y=1联立，消去y,得到x十4(x十2)一4=0，整理 6m+g-3y, 135 得：5x+16x+12=0,解得x=-2,4=-6 ,所以 5m+9 =2y, AB1=中T×-2+引=4号所以D痛故 所以2=2×( 20n 135 5m+9/ 5m+g·可得m=27X9 25 5 选BD 结合题意可得m=一95 5 答案BD S电物ur5=S△，H一SaE月 12.解析对于A,设A(x1y),B(无4y), 由{2得y-8一16=0，y,+头=8. =专E 名F·%=4一2%=8影-2 1y=8.x :线段AB的中点为M(m,2),出兰=41=2，解得 =6y:= 120m=153 5m+94 2 14.解(1)由题意可知，Q在PN的垂直平分线上， 1=名A正确： 所以QV=1QP,又因为QM+QP1=r=4, 所以|QM+|QP1=4>|MN|, 对于B.:Mm,2)在直线1：x=号十2上m=1计 所以Q,点的轨迹为随回，且2a=4,即a=2, 由题意可知c=√5，所以b=1, 2=3,B正确： 对于C,l:x=2y+2过点(2,0)，(2.0)为抛物线 所以南线E的方程为号十y=1 y=8x的焦点， (2②)已知抛物线方程是矿=一之。 AB1=x十x十4-=2十y)+8=10,C错误： 若直钱斜率存在，设直线与曲线E的交点坐标为 G(x,y),H(王，），满足曲线E的方程 对于D,设P(-2,2),则|MP列=√/(-2-3)+(2-2)= x 5,又AB=10, 十=1， 两式作差可得 MP=ABI..APLBP,P(-2,2)在以AB 4+y=1, 为直径的圈上，D错误。 答案AB x,十x)x-2+(y+)(y-y)=0, 102 因为G,H的中点F落在直线y=2x上 则有十头=2(x,十x)代入可得”二当=-、 +4 8· ∴直线MN的斜率kw= =4 出4- 故直线方程可以设为y=一言r十6，与抛物线方程联 4y 1 直线MN的方程为y一y,= 产(-) 立 消元可得方程y一4y十4b=0. =-g+6 整理可得：y= 4(x-1D.直线MN过定点(，0)， y-4 直线与抛物线相切则有△=16一16b=0,所以b=1, 4.解(1)由 y=k虹一2.符x+2pkx-4p=0, 则直线的方程为x十8y一8=0，与轴圈方程联立： x2=-2py, 学十y=1,消元可得方程17y-32+15=0, 设A(x),B(xy). 则x1十x=一2k,y:十%=k(十)-4=一2k一4， x十8y-8=0, QA十OB=(x十无，y+y)=(-2k,-2pk-4) △=322-4×17×15>0， =(-4,-12), 所以直线x十8y一8=0满足题意. 若直线钟率不存在时，直线x一0满足题意 所以一2pk=-4, 1-2k2一4=-12 2.解得伦2 综上，这样的直线存在，方程是x十8y一8=0或x=0. 所以直线1的方程为y=2x一2， 训练三十五直线与圆锥曲线位置关系的综合问题 抛物线C的方程为x2=一2y. 1.解(1)A(0,一b),由△APB是等腰直角三角形得， AP=BP, (2)由/y=2x-2. x=-2y: AB1=2(1+b)=3√2→b=2,.B(3,1), 得，x2+4x-4=0,x,=-2-22,x2=-2+2/2, 援P(,-2）(-2-2<<-2+2) (2)由题意A(0,-b).AP|=1+b,AB引=√2(t十b) P到直线（的距离为d, 32,b=3->0,1<3, 96 2+2-22u+2-4 、B(3).B在椭圆上·则号十行=1，解得a一方· d /2+(-1) 5 > 因为一2一22<1<-2十22，所以当1=一2时， 首先6-f=(8--=9-6>0K号 d=45此时P(-2,-2. 5 其次9>b-1=9-6t,1>0, 5,解(1)抛物线x=ay的焦点坐标为(0，） 0<1<受即1的范周是(0，受) 所以=1 2.解(1)由题意，可设抛物线C:y=2p.x,焦点 1=2,所以a=2,故得方程为=2 F(台0)，别PF=4十号一=号，解得=1，因光，鹅物 (2②)设P(,专)A),BG 线C的标准方程为y=2x. 由于直线斜率一定存在，故设1：y=(x十2)十4， (2)证明设过，点V(2,0)的直线1：x=1y+2(t∈R), 联立/r=2y, 点A(xy),B(Ey), y=kr+2k+4.得r-2kx-k-8=0, 联立T-十2·消去，得y-21y-4=0, 则/3十工，=2k. 1y=2x, x1·x=一4k一8， △>0，由韦达定理可得y十y=21,yy=一4 骨意益品 +一1 由题知·6m=-1,即名二.乞 =-1. t-x I-x _214+(4-0(y十y)-8=-27-8=-1 即，=-4， y+41(y十y)+1641+16 2 1一1-x 因此，k十2为定位 即(1+x)·(u十x)=-4,化简可得1十2k(1一2)-4=0， 3.解(1)，动圆过定点A(1,0),且与直线x=一1相切 当1=2时等式恒成立，故存在定点(2,2) .曲线C是以点A(1,0)为焦点，直线x=一1为准线的 6.解(1)设M(y,则/2+立_25 抛物线，其方程为：y=4x 5 (2)证明设M(兰y)水%≠0).则直线OM的方程为： 化简得号+y=1.敢动点M的轨连方程为号+y了=1. y-4t (2)由题知F(2,0)且直线【斜率存在，设为k,则直线 H(-1,-)N() I方程为y=k(r一2) y=k(x-2), 南+y=1,得6+1)x-20r十20k-5=0 103