2.2.4 点到直线的距离&专题2 对称问题-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练测（人教B版2019）

高中数学·选择性必修 第一册(RJB) D跟踪训练 I|I规律方法I 3.若直线2x+y+5-0与直线x+2y=0互 (1)与直线Ax十By+C-0垂直的直线方程可设为Bx ~ 一Ay十m-0(m为参数). 相垂直,则它们的交点坐标为 _ (2)与直线y一x十m平行的直线方程可设为y=k A.(-1,-3) B.(-2,-1) 十b(bm);与它垂直的直线方程可设为y-- C.(-,-1) D.(-1,-2) 十n(h字0). 4.(多选)已知直线4:(m-3)x-2y+2-0和直 ( C跟踪训练 线:3mx-3y-5-0垂直,则m= __ A.-1 B.1 C.2 D.-2 5.经过直线2x-y=0与x+y-6=0的交 探究三 由两直线的垂直求直线方程 点,且与直线2x十y-1-0垂直的直线方 程为 [例3](1)过点(一2,3)且垂直于直线mx十 ) A.x+2-8-0 3my-3-0(m字0)的直线的方程为( B.x-2y-6-0 A.3x-y+9-0 C.x+2y-10-0 B.3x+y+3-0 D.x-2y+6-0 C.x-3y+11-0 D.x+3y-7-0 6.已知点A(1,2),B(-7,4),则线段AB的垂 (2)过点(2,1)且与点(1,3)距离最大的直线 ( 直平分线的方程为 ) 方程是 ( ) A.x+4y-9-0 B$4x-y+15-0 A.2x-y-1-0 B.2x+-3-0 C.2x-y+1-0 D.x-2y-1-0 C.x-2y-0 D.x+2y-4-0 D随堂巩固促应用 验证反 迁移运用 1.已知直线l:x+y+2=0与l:x-y-1= 3.下列直线中与直线x-2y十1-0垂直的一 ,△ _~ 条是 0,则这两条直线的位置关系是 A.重合 B.平行 A.2x++1-0 B.2x-4v+2-0 C.2x+4y+1-0 C.垂直 D.不能确定 D.2x-y+1-0 4.已知三角形的三个顶点是A(4,0); $.已知直线:2x+my=2,l:m^{}x+2y=1, B(6,7),C(0,3),则AB边上的高所在的直 且乙1乙。,则n的值为 ) 线方程为 {. A.0 B.1 提示请完成《素能提升训练》训练二十 C.0或1 D.0或-1 2.2.4 点到直线的距离 [学习任务] 1. 了解点到直线的距离公式的推导方法 2.掌握点到直线距离的公式,并能灵活应用于求平行线间的距离等问题 3.初步掌握解析法研究何间题的方法 56 第二章 平面解析几同 D自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点一 点到直线的距离 2.图示: 1.定义:平面内点到直线的距离,等于过这个 点作直线的垂线所得 的长度. 2.图示: PO0o 3.公式: o d1A。+By。+Cl 3.求法:转化为点到直线的距离 Ax+By+C-0 A十B{ 4.公式:两条平行直线1..Ax十By+C.=0与 知识点二 两条平行直线间的距离 :Ax+By+C。=0之间的距离d 1.定义:两条平行线之间的距离等于其中一条 lC-C1 直线上 到另一条直线的距离 D互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 点到直线的距离 C跟踪训练 [例1] (1)若点P(2,1)到直线1:ax+by=0 1.点P在直线3x十y-5-0上,且点P到直 ( 的距离为2,则直线(的方程为 _ 线x-y-1-0的距离为/2,则点P的坐标 A.2-0 为 ( ) B.3x+4y-0 A.(1,2) B.(2,-1) C.x-0或3x+4y-0 C.(1,2)或(-2.1) D.x-0或3x-4y-0 D.(1,2)或(2,-1) (2)已知点A(1,3)和点B(5,2)到直线/的 2.已知点A(-1,2),B(1,4),若直线/过点 距离相等,且/过点(3,一1),则直线/的方 M(一2,一3),且A,B到直线/的距离相等, ) 程为 ( 则直线/的一般式方程为 A.x+4y+1-0或x-3 探究二 两平行直线的距离 B.x+4y-1-0或x-3 [例2](1)若直线:x+by+6=0与: C.x+4v+1-0 (-2)x+3y+26=0平行,则4与。间的 D.x+4y-1-0 距离为 0 _ I|I规律方法|I D## B.8、2 A.2 C.③ (1)利用点到直线的距离公式解决相关问题时,不管设 直线方程的何种形式,都要化成一般式方程后才可 (2)(多选)已知直线4:2x+3v-1=0和 用公式. (2)求直线的方程一般用待定系数法,此时要考虑到直 :4x十6y-9=0,若直线/到直线1.的距 线的适用范围,关键是考虑斜率是否存在. 离与到直线1。的距离之比为1:2,则直线 (3)综合运用直线的相关知识,充分发挥几何图形的直 1的方程为 C ) 观性,用运动观点看待点、直线,有时会起到事半功 A.2x+3-8-0 B.4x+6y+5-0 倍的作用. C.6x+9-10-0 D.12x+18-13-0 57 高中数学·选择性必修 第一册(RJB) -Il|I规律方法lI (1)求d的取值范围 求两平行线间的距离,一般是直接利用两平行线 (2)求d取最大值时,两条直线的方程 间的距离公式. 当直线l.y-kx+b,l.y=kx+b,且bb.时 _1b-6,1 ## 当直线l:Ax+By+C =0,l:Ax+By+C=0 A.B不全为o且CC.时,d-]C-Cl #4#但必注 意两直线方程中工,y的系数对应相等. C跟踪训练 3.若P,Q分别为3x+4y-10=0与6x+8y 士5-0上任意一点,则 PQl的最小值为 ( B.6 C.3 _ 方程为 ~ I|I规律方法| A.2x+y-0 (1)解决距离问题要注意“数”与“形”之问的相互转化。 B.2x+y-2-0 (2)两平行线间的距离可转化为两点间的距离或转化 为点到直线的距离. C.2x+y-0或2x+y-2-0 D.2x+y-0或2x+y+2-0 D跟踪训练 探究三 与距离公式有关的最值问题 5.两平行直线分别过(1.5).(一2.1)两点,设 [例3] 两条互相平行的直线分别过点A(6,2), 两直线间的距离为d,则d的最大值是 ( B(一3,一1),并且各自绕着点A,B旋转,如 _~ A.25 B.15 C.10 果两条平行直线间的距离为d,则 D.5 D随堂巩固促应用 验证反愤 迁移运用 1.点(0,5)到直线2x二-0的距离是 3.已知直线1:4x-3y+20=0,直线m:ax- ##### B.5 3y=0与直线/平行,则直线/与n之间的 。_ 距离为 ( ) D# A. 12 C.4 D.2 2.已知P(-1,2),Q(2,4),直线l:y=hx+3. 4.若直线:x+3y+m=0(m>0)与直线 若P点到直线/的距离等于Q点到直线/ 2x+6y-3-0的距离为v10,则m= ( 的距离,则一 ##### ) B D.0 提示请完成《素能提升训练》训练二十一 C.0 58 第二章 平面解析几同 专题2 对称问题 在解析几何中,对称问题主要分为两类:一 B(5,8).求: 是中心对称,二是轴对称,在本章中,对称主要 (1)反射光线所在直线的方程; 有以下四种;点点对称、点线对称、线点对称、线 (2)光线从点A到点B经过的路程 线对称,其中后两种可以化归为前两种类型,所 以“点关于直线对称”是最重要的类型 题型一 几种常见的对称问题 [例1 已知直线1:y-3x十3,求; (1)点P(4,5)关于(的对称点坐标; (2)直线y=x一2关于/的对称直线的 方程; (3)直线1关于点A(3,2)的对称直线的 -I|I规律方法lI 方程. 解答本题的关键是求一个点关于直线的对称点的 坐标,然后用两点间距离公式计算. [例3] 某地A,B两村庄在同一直角坐标系 中的位置分别为A(1,2),B(4,0),一条河 所在直线/的方程为x十2v-10=0.若在 河边建一座供水站P,使P到A,B两村庄 的管道长度之和最小,则该最小值等于 多少? I规律方法 对称问题的解决方法 (1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式. 点P(x,y)关于Q(a,b)的对称点为P(2a-x,2b-y) (2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点 来求。 设 的方程为Ax +Bx+C-0(A+B右0)和 P(2,), 则1关于P点的对称直线方程为A(2x。一x)十 B(2.-y)+C-0. (3)点关于直线的对称点,要抓住“垂直”和“平分” 设P(x,y),l;Ax+By+C-0(A’+B0),P关 于1的对称点Q可以通过条件①PQ11;②PQ的 中点在1上来求得. (4)求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关 于直线的对称问题. I|I规律方法|I 题型二 对称问题的应用 直线的同一侧的两点到直线上一点距离和最小问 [例2] 已知光线从点A(一2,4)射出,经直 题,可利用点关于直线对称,转化为两点间的距离最小 问题. 线7:2x-y-7-0反射,反射光线过点 59探究二 [例2](1)[解析]当a=2时，直线1：2x+3y-1=0, 3.解析已知直线x一2y十1=0的斜率为号，而直线 1:3x一2y十3=0，k1·k1=一1，所以1⊥2，满足充 2x十y十1=0的斜率为一2，它与已知直线的斜率之积 分性. 等于一1，故它和已知直线垂直，故A满足条件：直线2x 当L⊥l2时，(a+1)a-2(a+1)=0,解得a=一1或a= 2,不满足必要性. 一4y十2=0的斜率为2，它与已知直线的斜率之积不 所以“a=2”是“L1⊥I2”的充分不必要条件，故选A. 等于一1，故它和已知直线不垂直，故B不满足条件直 [答案]A (2)[解析]由两直线垂直得m·2十4×（一5）=0， 线2x十4y十1=0的斜率为一2，它与已知直线的斜率 解得m=10,所以原直线可写为10x十4y一2=0，又因 之积不等于一1，故它和已知直线不垂直，故C不满足条 为垂足(1，p)同时满足两直线方程， 件；直线2x一y十1=0的斜率为2，它与已知直线的斜 所以代入得。年释仁一.年以 率之积不等于一I,故它和已知直线不直，故D不满足 1n=-12, 条件，故选A. m十n-p=10-12十2=0，故选D. 答案A [答案]D 跟踪训练 4解折国为A(4,0),B(6,7),放-名-子，故 3.解析由直线2x十y+5=0与直线kx十2y=0互相垂 直，可得2k十2=0，即k=一1，所以直线x+2y=0的 AB边上的高所在的直线的韩率为一号，所以该直线的 方程为x-2y=0.由2红十5=0，一x一2即它 2 方程为y=-7x+3=2x十7y-21=0. x-2y=0, y=-1, 们的交点坐标为（一2，一1）， 答案2x+7y-21=0 答案B 2.2.4点到直线的距离 4.解析直线1：(m-3)x-2y+2=0和直线4：3mx- 【自主学习探新知】 知识点一 3y-5=0垂直，直线1的斜率为k=m,3,直线5，的 1.垂线段 斜率为点，=m,则点·点，=一1，即，3.m=一1，解得 知识点二 2 1.任意一点 m=1或2，经检脸成立. 【互动探究解疑难】 答案BC 探究一 探究三 [例1](1)[解析] 由2a+b=2,化蔺得4ab-36= √a+ [例3】(1)[解析]由mr+3my一3=0得y=3mx+ 0,所以b=0或4a=3b,所以，直线l的方程为x=0或 品=-弓十品(m≠0)，则所表直线的针丰为3，所以 3 3x+4y=0. [答案]C 直线的方程为y一3=3(x十2)，即3x一y十9=0，故 (2)[解析]，点A(1,3)和点B(5,2), 选A, 2-3 1 [答案]A 六kw-写一子 (2)[解析]由题意已司 一2，所以所求直线斜率为 :点A(1,3)和点B(5,2)到直线l的距离相等，且l过 点(3，一1)， 1 2,直线方程为y一1=2(x-2),即x-2y=0. ,直线【与直线AB平行，且直线l过点(3，一1)，或直 线I的方程为x=3(过线段AB中点)， [答案]C 跟踪训练 “直线1的方程为y十1=-号c-3)或x=3, |2x-y=0, r+y60,解得x=2, 整理得：x十4y十1=0或x=3. 5.解析由题意，联立方程组 [答案]A y=4,即交点为P(2,4),设与直线2x+y一1=0垂直的 跟踪训练 直线方程为x一2y十m=0,把，点P(2,4)代入x一2y十m 1.解析：点P在直线3x十y-5=0上， =0,即2一8十m=0,解得m=6,即所求直线方程为x .设P(x,-3x+5), -2y+6=0. 利用点到直线的距离公式得： 答案D 2=x-(-3x+5)-11 6解折直线AB的针率为号-一子，线段AB的中 √2 解得：x=1或x=2,.点P的坐标为(1,2)或(2，一1). 点坐标为（一3,3），则线段AB的垂直平分线的方程为 答案D y-3=4(x十3)，整理为4x-y+15=0. 2.解析设直线1的斜率为k,因为点A(一1,2)，B(1,4) 答案B 到直线l的距离相等，直线I过点M(一2，一3)， 【随堂巩固促应用】 1,解析因为直线41：x十y十2=0的斜牵为k:=一1，直 若AB两点在直线！的同，测ABL,即长=6e号1， 线l2:x一y-1=0的斜率为k=1,所以k1·k2=一1， 所以贞线1的方程为：y十3=x十2，即x一y一1=0： 所以这两条直线的位置关系是垂直，故选C 若A,B两点在直线l的不同侧，则直线1必过AB中点 答案C 2.解析因为L1⊥L,,所以2m十2n=0,解得m=0 (0,3,即6-8+2-3 或m=一1. 所以直线1的方程为：y=3x+3,即3x一y十3=0. 答案D 答案x一y-1=0或3x-y+3=0 26 探究二 2.解析 由题可知一+3-2=2k+3-41,解得k=0 [例2](1)[解析]因为直线b1:x十by+6=0与b: /1+k √1十k (b一2)x十3y十2b=0平行，所以b(b一2)=3，解得：b= -1或b=3,当b=3时，l1:x+3y+6=0,l2:x+3y+6 =0,此时(1与L2重合，不符合题意；当b=一1时，l1:x 答案D y+6=0,4:-3x+3y-2=0,即x-y+3 2 =0,此时 3解析国为1∥m,所以号-子，得a=4,所以直线1与 2 63 82 m之间的距离为20-0=4. 与l间的距离为d ,故选B. 1+1 3 4+3 答案C [答案]B (2)[解析]设直线l:4x十6y十m=0,m≠一2且m≠ 4.解析，直线l1:x+3y十m=0(m>0)与直线l2:2x+ 6y一3=0平行，直线L:2x十6y-3=0可化为x十3y -9, 直线1到直线l1和l2的距离分别为d1,d2, =0,利用两直线平行的距离公式：d=9一6 由题知：d,=m+2L VA+B √16+361 ,=m+9 √V16+361 因为d=上，所以m=m十9 1 + V而，可求得m=-号或m= 1 2 2,因为m> /16+36/16+36 0,故答案为 17 即2到m十2到-m+9引，解得m=5或m=-13 即直线l为4x+6y+5=0或12x+18y-13=0. 答案 17 [答案]BD 2 跟踪训练 专题2对称问题 3.解析直线3x十4y一10=0的方程为6x+8y一20=0， 题型一 所以直线3x十4y一10=0与6x+8y十5=0平行， [例1门[解](1)设，点P关于直线1的对称点为P'(x', 直线3x+4y一10=0与6x十8y+5=0之间的距离为 y),则线段PP的中点在直线l上，且直线PP垂直于 d=- 25 直线l, 6+8 号，因此，PQ的最小值为受 5=3×+4+3 答案D 2 2 即 解得，2P点的坐 4.解析因为所求直线与直线2x十y十1一0的距离 ×3=-1 y'=7. 为 标为（一2,7） 所以可得所求直线与已知直线平行，设所求直线方程为 x=5 2x+y+c=0(c≠1)， (2)解方程组y3x+3,得 “d=lc-1L=5 y=x-2, 9 V2+市=号，解得c=0浅c=2, =-2: 在所求直线上. 故所求直线方程为2x十y=0或2x十y十2=0. 在直线y=x一2上任取一点M(2,0),设点M关于直线 答案D l的对称点为M(x,y) 探究三 [例3][解](1)设经过点A和，点B的直线分别为 学=3×+2+3， 2 12 2×3=-1, 解得 显然当/凸LAB, 9 时，山1和2的距离最大， y= IL2⊥AB 且最大值为1AB-√(-3-6)+(-1-2)-310， 点M(一吕，号)也在所求直线上。 ∴.d的取值范国为(0,3√10]. 9 x+ 1=一3， y+2 (2)由(1)知，d=3√而，此时k=一 由两点式得直线方程为9旦 5+2 17 5 利用，点斜式可求得两直线的方程分别为3江十y一20=0 和3x+y+10=0. 十y十22=0，即为所求直线方程， 跟踪训练 (3)在直线1上取两点E(0,3),F(一1,0)， 5.解析设两点分别为A(1,5),B(-2,1),则|AB|= 则E,F关于点A(3,2)的对称点分别为E(6,1),F(7,4). √1-(-2)]了+(5-1)=5，当分别过A,B的两平行 因为点E,F在所求直线上， 线与AB垂直时，两平行线间距离最大为5，显然这两条 所以由两点式得所求直线方程为号-即3江-y 平行线可以无限接近，，0<d≤5. -17=0. 答案D 题型二 【随堂巩固促应用】 [例2][解](1)设点A关于1的对称点为A'(x,y),则 1.解析点(0,5)到直线2x-y=0的距离d=0-51 2.2-4-7=0, 2 2 √5，故选B 即 /2x-y-22=0, y-4 x+2y-6=0, 答案B +2 2· 27 解得A'(10,一2).·反射光线所在直线方程为十2 由圆的性质可得国心C在线段AB的中垂线上， 10 联主{工二y叶2=0，解得工=-1y=1, 二9，即2x+y-18=0. y=-x, 即国心C的坐标为（一1,1）， (2)光线从点A到点B经过的路程为|AP|+|PB引= 所以半径r=|AC=√(1+1)+(0-1)=√5， 1A'P|+|PB1=|A'B1=√/5+10=5√5. 所以圆C的标准方程为：(x十1)3+(y一1)2=5. [例3][解]作点A关于直线l的对称点A 答案(x十1)°+(y-1)2=5 设A(a,b),则线段AA'的中点在1上，且AA'⊥l,则 探究二 空2+2×空2-10=0 [例2][解](1)设圆心C(a,b),半径长为r,则由C为 P,P,的中点，得a=45=5,6=93=6 2 2 叉由两点间的距离公式得 解得日： A r=|CPI=√/(4-5)+(9-6)=√10， 0 故所求图的方程为(x一5)十(y一6)=10. 即A(3,6),所以所求的最小值为A'B| (2)由(1)知，圆心C(5,6),则分别计算点到圆心的 √(3-4)+(6-0)=√37. 距离： 2.3圆及其方程 1CM=√6-5)+(9-6)=√10， 2.3.1圆的标准方程 1CN=√(3-5)+(3-6)=√13>√10， 【自主学习探新知】 1CQ1=√(5-5)+(3-6)=3<√/10. 知识点一 1.集合圆心半径2.(x-a)2+(y-b)= 因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内。 跟踪训练 知识点二 3.解析由题意，1+(0+1)°<3,0+(1+1)>3，所以 = A在C内，B在C外. 【互动探究解疑难】 答案D 探究一 4.解析由题意，得(a+1一a)+(3-1)2>m,即m<5, [例1][解](1)圓的半径长r=√/(5-4)+(2+1) 又易知m>0,所以0<m<5. =/10, 答案C 故圆的标准方程为(x一4)2十(y十1)”=10. 探究三 (2)设圆心为C(0,b),则(3-0)2+(-4-b)=52, [例3][解](1)原方程表示以点(2,0)为國心，V3为半 解得b=0或b=一8，则圆心为(0,0)或(0，一8). 半径r=5, 径的圆，设义=k,即y=kx ∴国的标准方程为x2+y=25或x2+(y+8)2=25. 当直线y=kx与园相切时，斜率k取得最大值和最小 (3)直线CD的针率k如--1，线段CD中点E的 值，此时2张-0=5，解得=士3 √+1 坐标为(0,2)， 故线段CD的垂直平分线的方程为y一2=一x, 故义的最大值为√5，最小值为一√尽。 即y=一x十2，令y=0,得x=2, (2)设y-x=b,即y=x十b. 即圆心为(2,0).由两点间的距离公式， 当y=x十b与圆相切时，戴距b取得最大值和最小值， 得r=√(2-1)+(0-3)=√10. 此时2-0+h=3,即6=-2士√6. 所以所求圆的标准方程为(x一2)2+y2=10. 2 跟踪训练 故y一x的最大值为一2十√6，最小值为一2一√6， 1.解析如图所示， (3)x十y表示国上的点与原，点距离的平方， =2 由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线和圈的两 个交点处取得最大值和最小值，又因为圆心到原点的距 离为2， 2 故(x2+y)=(2+3)2=7+43,(x2+y) =(2-√3)2=7-45 跟踪训练 -21 5.解析x=√2+y-8x-8y十32=√(x-4)+(y一4)， -3 表示的是点P(x,y)到点(4,4)的距高， -4 因为点P(x,y)在国C:x+(y-1)=16上， 由图形知，与直线x=2相切于点(2,0)且半径为1的圆 所以x=√云十y一8x一8y十32的最小值为圆心到 (4,4)的距离减去半径， 的周心为(1,0)或(3,0) 所以圈的方程为(x一1)2+y=1成(x一3)2+y2=1. 即√4+(4-1)F-4=1 答案D 答案A 2.解析由A,B的坐标可得直线AB的斜率为1，所以直 【随堂巩固促应用】 线AB的中垂线的斜率为一1，且过线段AB的中点 1.解析由圆心在x十y一2-0，设圆心坐标为OXa,一a十2)， (合一)，所以线段AB的中垂战的方程为y十号 因为点A(1,1),B(一1,1)在圆上，所以r=OA|=OB →a=0,所以圆心为(0,2)，半径为√2.因此圆的方程是 -(-）即y=-x, x2+(y-2)3=2. 答案C 28