训练三十一 平面向量的坐标及其运算-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测（人教B版2019）

高中数学·必修第二册(RJB) 训练三十一平面向量的坐标及其运算 7.已知三点A(1,2),B(2,4),C(3,m)共线， 基储练了学考圆评 则m的值为 1.若a=(2,1),b=(1,0),则3a一2b的坐8.若A,B,C三点的坐标分别为(2，一4)， 标是 () 0.6).(-8.10),求AB+2BC,BC-2AC A.(5,3) B.(4,3) C.(8,3) D.(0,-1) 的坐标. 2.已知向量a,b满足a+b=(1,3),a-b= (3,一3)，则a,b的坐标分别为 ( A.(4,0),(-2,6) B.(-2,6),(4,0) C.(2,0),(-1,3) D.(-1,3),(2,0) 3.已知a=(2m,2),b=(3,m),若a∥b,则m 等于 A.3 B.-√3 C.±3 D.3 9.如图，在平面直角坐标系 4.已知点A(0,1),B(1,2),向量AC=(2,3), xOy中，已知OA=4,AB 105 则向量BC等于 =3,∠AOx=45°，∠OAB 459 A.(1,2) B.(-1,-2) =105°，OA=a,AB=b, 0 C.(3,6) D.(-3,-5) 四边形OABC为平行四边形. 5.(多选)下列各组向量中，可以作为基底的是 (1)求向量a,b的坐标： (2)求向量BA的坐标： A.e1=(0,0),e2=(1,-2) (3)求点B的坐标. B.e1=(-1,2),e2=(5,7) C.e1=(3,5),e2=(6,10) D6=(2,3).6=(-2》 6.如图，向量a,b,c的坐标分别是 70 能力练了进移运用 创新练了素能验优 10.(多选)在平面直角坐标系xOy内，O为坐：14.已知点O(0,0),A(1,2). 标原点，已知OA=(一1,4)，OB= (1)若点B(31,3),OP=OA+OB,则t为 (8,一5)，若P是线段AB的三等分点，则 何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？ 点P的坐标是 () 点P在第二象限？ A.(2,1) B.(3,0) (2)若B(4,5),P(1+3t,2+3t),则四边形 C.(4,-1) D.(5,-2) OABP能为平行四边形吗？若能，求t值； 11.(多选)以A(0,1),B(1,0),C(3,2)三个点 若不能，请说明理由， 为顶点作平行四边形，则第四个顶点D的 坐标是 A.(2,3) B.(2,-1) C.(4,1) D.(-2,-1) 12.(2022·滁州高一期中) 如图，在长方形ABCD 中，AB=2AD,点M在 线段BD上运动，若AM=xAB+yAC 则x十2y= A.1 B号 C.2 D 13.已知向量a=(1,1),b=(-1,3),c (5,-3) (1)求6a+b-2c: (2)若a=mb十nc,求实数m,n的值； (3)若(a十kb)∥(c-2a),求实数k的值. 71C中结论不正确：向量BC的坐标为5-1=4，向量2AB :8.解因为AB=(-210).BC=(-8,4.AC=(-10.140 =2X2=4,所以BC=2AB,所以D正确. 所以AB+2BC=(-2,10)+2(-8,4)=(-2.10)+ 12.一4或0或6或10由题意，设A,C的坐标分别为 (-16,8)=(-18.18),0-2AC=(-8,40 E,则AB|=3-x=5, 0=-2成x=8, -10,140=(-8,0-（-5,70=(-3,-3. .|AC=x-xa|=xc-(-2)川=2， 9.解(1)如图，作AMLx轴于点M 或AC1=|xr一xa={x-8=2, 则0M=0Ac0s45°=4X 2 解得xe=0或e=10或xe=一4或xe=6. 2V2,AM=OAsn45°=4x2 105A 13.解AB的坐标为(-1)-(-4)=-1十4=3， .AB=3,CB=|-1-61=7, 22,所以A(22,22),故a= 1450 0 1BD1=110-(-1)1=11. (2w2,22). 创新练 因为∠A0C=180°-105°=75°，∠A0y=45 14.解(1)：x=2,x=-5.3,∴AB的坐标为-5.3-2 所以∠COy=30. =一7.3，BA的坐标为2-(-5.3)=7.3.由A,B两点 天0c=AB=3.所以C(-兰3) 的坐标分别为2，-5.3，得点C的坐标为2+（一5.3】 所以店-0心-（是，3）即6(-是39）月 =-1.65,故AC的坐标为-1.65-2=-3.65，A,B两 点间的距离为x-x1=|-5.3一2=7.3. (2BA=-店=（侵，-3）】 (2):,1=10,x:=20.5,AB的坐标为20.5-10 (3)周为0i=0i+店=(2区.22)+(-是，3） 10.5,BA的坐标为10一20.5=一10.5.由A,B两点的 坐标分别为10,20.5，得点C的坐标为10+20.5 =(2-2E+3）月 2 15.25,故AC的坐标为15.25一10=5.25，A,B两点间 所以点B的坐标为(2厄-是，2区+3）) 的距离为x,-x|=|10-20.5=10.5. 能力练 训练三十一平面向量的坐标及其运算 10.AD周为OA=(-1,4),OB=(8,-5),所以AB=OB 基础练 OA=(9,-9).设P(xy),则AP=(x+1,y-4).又 L.B3a-2b=3(2,1)-2(1,0)=(4,3). 2.C由题可得，把两个坐标相加得到2a=(4,0),所以 P是线段AB的三等分点，所以AP-吉A店我A护 a=(2,0),同理把两个坐标相减可得到b=(一1,3)，故 选C, 3.Ca=(2m,2),b=(3,m),a∥b,.2m×m-2×3 -4=×(-9 =0,解得m=士√3，故选C, 4.A设点C(x,y),所以AC=(x,y一1)=(2,3)，即 或 一解胜：于是得点C2,4两此，C的 -4=号×(-9， 释子52. y-1=3, (1,2),所以向量BC=(1,2). 即点P的坐标是(2,1)或(5，一2) 5,BDA.由于e,=0,因为零向量与任意向量共线，因此 1l.ACD设D(x,y),若AB=CD, e,e,共线，不能作基底；B.图为一1X7≠2×5，所以两 则(1，-1)=(x-3,y-2), 向量不共线，可以作基底：C.因为e=2e,所以两向量 即3=，解得=4即D4,1D: 共线，不能作基底：D.国为2X子≠3×（一），所以两 y-2=-1. 3y=1, 向量不共线，可以作基底，故选BD. 若AB=DC,则(1，-1)=(3-x,2-y), 6.(一4.0)(0,6)（一2一5）将各向量向基底所在直 中二3解得2即D02,3: 线分解.a=-4i+0j,∴a=(一4.0)，b=0i十6j, y-2=1, y=3. ,.b=(0,6),c=-2i-5j,.c=(-2,-5). 若AD=CB,则(-2，-2)=(x,y-1), 7.6AB=(2,4)-(1,2)=(1,2),AC=(3,m)-(1,2)= (2,m一2). 中仁之2.解将仁甲0以-2-以 y=-1,1 I2.A由题可得，设AB=2AD=2,因为ABCD是长方 :A,B,C三点共线，即向量AB,AC共线， 形，所以以，点A为坐标原点，AB方向为x轴正方向，AD .1×(m一2)一2×2=0，.m=6. 方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，则B(2,0), 68 D(0,1),C(2.1),则AB=(2.0).AC=(2,1),BD= 3.C由BC=16,得1BC=4,AB+AC1=1AB- (-2,1).周为AM=xAB+yAC,所以AM=(2.x+ AC=|BC1=4,而|AB+AC1=21AM1,故1AM1=2, 2y,y),所以BM=BA+AM=(-2,0)+(2x+2y,y) 故选C. =(2x+2y一2，y).因为点M在BD上运动，所以有 4D周为号oi+o丽+0d=0元，所以0元+G+0元 BM∥BD,所以1×(2x+2y-2)=-2y,整理得x+ 2y=1,故选A. +GB+O元+GC=3OG.化简得GA+GB+GC=0,故 点G为△ABC的重心. 5.C AD=AB+BC+CD=-8a-6b,:.AD=2 BC. AD∥BC.由题知AB≠CD,∴.四边形ABCD是梯形 6.1505飞机以300km.h的速度斜向上飞行，方向与 水平面成30°角，如下图： 13.解(1)6a+b一2c=6(1,1)+(-1,3)一2(5，-3)= (6,6)+(-1,3)-(10,-6)=(-5,15). (2)mb+c=m(-1,3)+n(5,-3)=(5-m,3n-3), 又a=(1,1)且a=mb十c, 设"=300，所以飞机在水平方向的分速度 2 m= 则有年 3 g,=300c0s30°=300×5-=1505. 1 2 t=3 7,5√29由题意，船垂直于对岸方向的速度为5km/h, (3)a+kb=(1-k,1+3k),c-2a=(3,-5), 而(a+kb)∥(e-2a), 江面宽25km,则船航行所需时间1=25=5h又江水 5 于是得3(1+3k)+5(1一k)=0,解得k=-2. 的遮度为2km/h,所以该船航行的合速度为√5+2 创新练 14.解（1)0P-0A+0B=1,2+(3,3)=1+30,2+3. =√29kmh,所以轮波实际航行的距离为5√29km. 8.解依据物理知识，有三个相对速度：汽车对地的速度 若点P在x轴上，则2+31=0,1=- 3 为，风对车的速度为g,风对地的速度为，风 若点P在y轴上.则1+31=01=一 对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度， 3 即g=V4十·如图，根据向量加法的平行四边形 若点P在第二象限，则2十3>0， 法则，可知表示向量g的有向线段AD是□ACDB的 1+31<0. -2 1 对角线.因为AC1=4m,∠ACD=30°，AD1=2,所以 <K-3 ∠ADC=90°在RL△ADC中，IDC1=AClcos30°= (2):0A=(1,2),PB=(4,5)-(1+31,2+31)=(3 23(ms). 31,3-31). B 东浓 A 若四边形OABP为平行四边形，则PB=OA. 30- 思车 六信一方根组无标 B--------c 故四边形OABP不能成为平行四边形， 所以风的实际方向是吹向正南方向：汽车速度的大小为 训练三十二平面向量线性运算的应用 23m/s. 基础练 证阴设A=m0=:佛-带- 1.D因为F=(一2，-1)，F=(一3,2)，F,=(7,-3), 知E,F分别是CD,AB的三等分点， 所以F+F,+F=(-2.一1)+（一3,2）+(7，一3)= (2,一2)，要想使孩物体保持平衡，只需F,=一(2，一2) F-Fi+Ad=号Bi+AC=-m+(m+m =(一2,2)，故选D 2.D根据向量加法的平行四边形法则可得，以AB,AC 为邻边做平行四边形ABCD,如图，可得AC=AB十 OE-OC+CE-2AC+3CD-(m+)- AD,所以四边形ABCD是平行四边形. 1 D 6m十2n. ∴.FO=OE.∴.FO∥OE 又O为FO和OE的公共点，故，点E,O,F在同一直线上. 69