6.2.3平面向量的坐标及其运算-2021-2022学年高一数学同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019必修第二册)

第六章 平面向量初步 6.2向量基本定理与向量的坐标 6.2.3平面向量的坐标及其运算 知识梳理 一．平面向量的坐标 如果平面向量的基底中，，就称这组基底为正交基底；在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解。 一般地，给定平面内两个互相垂直的单位向量，对于平面内的向量，如果，则称 为向量的坐标，记作 二．平面上向量的运算与坐标的关系 假设平面上两个向量，满足，则 （1）； （2）； （3），； （4），； 三．平面直角坐标系内两点间距离公式与中点坐标公式 设为平面直角坐标系中的两点，其中点为M,则 （1） （2） 四．平面平行的坐标表示 ； 常见考点 考点一 用坐标表示平面向量 典例1．如图，向量，，的坐标分别是________，___________，_____________． 【答案】 【分析】 将向量，，分别向基底，所在的直线分解，由平面向量的坐标表示即可求解. 【详解】 将向量，，分别向基底，所在的直线分解， 则，，， 所以，，， 故答案为：；；. 变式1-1．在平面直角坐标系中，若，，则________． 【答案】 【分析】 根据向量坐标和点坐标的关系，即得解 【详解】 由题意，根据向量坐标和点坐标的关系 故答案为： 变式1-2．设，点的坐标为，则点的坐标为________. 【答案】 【分析】 向量的坐标等于点的坐标减去点的坐标． 【详解】 解：设点的坐标为，则， ，，点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】 本题考查平面向量的坐标表示，一个向量的坐标等于终点坐标减去起点的坐标，属于基础题． 变式1-3．已知点(－3，3)，(－5，－1)，那么等于（ ） A．(－2，－4) B．(－4，－2) C．(2，4) D．(4，2) 【答案】A 【分析】 向量等于终点坐标减起点坐标. 【详解】 (－3，3)，(－5，－1)，. 故选：A 【点睛】 本题考查平面向量的坐标表示，属于基础题. 考点二 平面向量线性运算的坐标表示 典例2．已知＝(2，1)，＝(－3，4)，求的坐标． 【答案】． 【分析】 根据向量线性运算的坐标表示即可直接求出答案. 【详解】 因为＝(2，1)，＝(－3，4)， 所以＝(2，1)＋(－3，4)＝(－1，5)，＝(2，1)－(－3，4)＝(5，－3)， ＝3(2，1)＋4(－3，4)＝(6，3)＋(－12，16)＝(－6，19)． 变式2-1．已知向量，，则（ ） A． B．5 C．7 D．25 【答案】B 【分析】 根据向量的坐标运算求解模长即可. 【详解】 根据题意，向量，， 则，故. 故选：B． 变式2-2．设，向量，.若，则m，n的值分别是（ ） A．1，-1 B．1，-3 C．1，-2 D．1，2 【答案】A 【分析】 根据平面向量的坐标运算以及向量相等即可求出． 【详解】 因为，所以，解得． 故选：A． 变式2-3．设，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据向量减法求出即可得出. 【详解】 因为，， 所以，则. 故选：D. 考点三 直角坐标系内两点间距离公式和中点坐标公式 典例3．求线段的中点坐标： （1）；（2）；（3）． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】 根据中点坐标公式，若、，则的中点坐标为，计算可得 【详解】 解：（1） ，，∴的中点坐标为； （2） ，，∴的中点坐标为； （3） ，，∴的中点坐标为． 【点睛】 本题考查中点坐标公式的应用，属于基础题. 变式3-1．在平面直角坐标系内，已知三点，，，求： （1），的坐标； （2）的值； 【答案】（1），；（2）；（3）. 【分析】 （1）根据向量的终点坐标和起点坐标可求向量的坐标. （2）根据（1）的结果可求的坐标，从而可求. 【详解】 解：（1），． （2）因为， 所以． 变式3-2．已知，，且C与A关于点B对称，求C的坐标. 【答案】 【分析】 利用中点坐标公式计算可得. 【详解】 解：∵C与A关于点、B对称， ∴点B是线段的中点. 设C点坐标为， 则，， 解得，.即点的坐标为. 【点睛】 本题考查中点坐标公式的应用，属于基础题. 变式3-3．已知点，． （1）若C是线段AB的中点，求C点坐标； （2）若直线AB上的点D满足，求D点坐标． 【答案】 （1） （2） 【分析】 （1）是线段的中点可得，设出点的坐标，计算出和的坐标，从而求出点的坐标； （2）设出点的坐标，计算出和的坐标，根据列方程，求出点的坐标. （1） 解：设，又， 则， 是线段的中点， ，即，解得， （2） （2）设，又， ， ， ，解得， . 考点四 由向量平行（共线）求参数 典例4．已知向量，，且，则（ ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【分析】 利用向量平行的