6.3 平面向量线性运算的应用-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测（人教B版2019）

跟踪训练 AB11 2.解(1)根据题意，a=(3,2),b=(一1,2)，c=(4,1), 又tan∠ACB= 则3a十b-c=(9,6)十(-1,2)一(4,1)=(4,7). IAC]3 (2)根据题意，若a=mb十nc, .∠ACB=30°.故B,C两村间的距离为2km,B村在 即(3,2)=m(-1.2)+n(4.1). C村的南偏东60的方向上. 5 m= 【互动探究解疑难】 到有3释 故m= 5 8 探究一 8 9 n= 9· [例1门[解](1)因为H,F是边AD,BC的中点，所以 探究三 DH=-AH,FC=-FB. [例3][解](1)a-b=k(-1,0)-(-2,-1)= 又因为DC-DH+HF+FC,AB=AH+HF+FB, (2-k,1),a+2b=(-1,0)+2(-2,一1)=(-5，-2) 图为a-b与a十2b共线， 所以AB+DC=DH+HF+FC+AH+HF+FB= 所以-22-)-（-5)X1=0,解得k=-安 AB+DCI 12 HFI 2HF,所以 =2 (2)因为A,B,C三点共线， HF HFI (2)证明：连接DB,因为E,F,G,H分别是平面四边形 所以AB=ABC(A∈R),即2a+3b=a(a+mb). ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点，所以在△ABD和 又国为a与b不共线，a与b可作为平面内所有向量的 一组基底，所以尽二.解得m=是 △BCD中，由中位线定理，得H=Di.G示-D成。 13=m入 跟踪训练 所以-示-专D成因为H,E.G,F不共线，所以 3.解(1)设D(x,y),则CD=(x-4,y-1). HE∥GF,HE=GF,所以四边形EFGH为平行四 边形， 又，AB=OB-OA=(-4,0), 当店-D时o.解得：D0. y-1=0, (2)AB=(-4,0),BC=(5.-1D, ∴kAB-BC=(-4k-51),AB+2BC=(6.-2. 若kAB-BC与AB+2BC平行，则(-4k-5)×(-2) 1X6=0,解得=一之 跟踪训练 【随堂巩固促应用】 1.D向量a=(-1,2),b=(1,0),则3b-a=3(1,0)- 1,证明由题意，DG⊥BE,AE⊥BE,:GD∥AE (-1,2)=(3,0)(-1,2)=(4,-2),所以向量3b一a 授OA=AOD(A≠0)，期AE=ADG,同理AF=ADH 的坐标是(4，一2). 于是FE=AE-AF=A(DG-DH)=AHG. 2.Ca+b=(1,2)+(-3,5)=(-2,7),c=(4a,xa),又 FE∥HG,∴HG∥EF 1一2=4·解得 a+b=c,故7=x, =一合尉+= 探究二 2 x=14. [例2][证明]建立如图所示的平面直角坐标系，设正 3.Aa∥b,.2y-3×4=0,即y=6. 方形的边长为a,则A(0,a). y 4.4AC=AB+BC=(10,k+1),CD=(2,1),周为A,C, D三，点共线，所以AC∥CD,即10×1一2(k+1)=0,解 得k=4. 6.3 平面向量线性运算的应用 【自主学习探新知】 知识点 设DP1=A(>0). 微判断 则F(竖.0小P(.号E(.)月 (1)×(2)√(3) 知识点二 所以E=(停-，-号)Pi=(a-) 微思考 [提示]画出平面向量AB,AC,则有 周为E-(停-a)+(-号)=-a以+a, AB1=1,AC1=3,∠CAB=90°.则 BC1=2. pi=(+(a-号)=-a+a 所以EF=|PA,即PA=EF 34 跟踪训练 所以DA=BC1=450m 2.证明如图，建立平面直角坐标系，设D(0,0),C(a,0), 又周为∠CDA=∠ABC=180°-60°=120°， B(b.c).A(d.c). 所以DA的方向为南偏东30°， A(d,e) Bib.c) 综上可知，DA的方向是南偏东30°，|DA|=450m. Q 【随堂巩固促应用】 1.A∫=∫+∫：+∫=(3,4)+(2，-5)+(3,1)= D(O Ca,0) (8,0),设合力∫的终点为P(r,y),则OP=OA十∫= (1,1)+(8,0)=(9,1). 由中点标公式，得P(,）Q(台)： 2.A设此人实际感到的风连为v,由已知条件可得a十 即PQ=(g,0）AB=b-d.0, y=v,故v=-a 3.B因为AD=(8,0),BC=(8,0),所以AD=BC.因为 .PQ∥AB.即PQ∥AB. BA=(4,一3)，所以BA|=5,而|BC1=8,故四边形 探究三 ABCD为邻边不相等的平行四边形. [例3][解](1)如图1，设人游泳的速度为OB,水流的 4.5F,+F,=(0,5), 追度为OA,以OA,OB为邻边作□OACB,则此人的实 ∴.1F,+F,=√0+5=5. 际速度为OA十OB=(OC 章末优化提升 ----7C 【考点聚焦】 考点一 [例1][解析] 如图所示，因为2DE=EC,所以EC 图1 图2 D 在R△AOC中，an∠AOC=2=3,所以∠AOC 2 子，实际前选的地度0d=V2+(23=4(km/h, 在平行四边形ABCD中，AB∥CD, 故此人沿与水流方向成牙的方向前进，实际前遗速度为 4 km/h. 所以器是-号州以亦 (2)如图2，设此人的实际速度为OD,水流速度为OA,则 所以D-+CF-D元+CA 游速为AD=OD-OA. -D心+号Di-Dd=号Di+d 在R△AOD中，1AD1=25,OA=2, [答案]C 所以1OD1=1(2√3)-2=22(km/h), 跟踪训练 co5∠DAO=2=3 253 1.A由0是△ABC的重心，可知O店=-专(BA+B). 故光人应活与河岸夹角的余孩值为气的方向递着水流 又0成-0成+成前-号C.成-A花-店， 方向前进，实际前进速度为2√2km/h. 成-成+成-赋+脑+号成-专威 跟踪训练 3.解由题意作出图示如下图： 15 2 G 200m.D +1b,故选A 后a+ 考点二 [例][解析]如图，结合题意绘出图象： 450m B+200m 由题意可知，AB引=CD,AB∥CD, 所以四边形ABCD是平行四边形， 35高中数学·必修第二册(RJB) 随堂巩固促应用 验证反馈迁移运用 1.已知向量a=(一1,2)，b-(1,0),则向量3b:3.已知a=(2,3),b=(4,y),且a∥b,则y的 一a的坐标是 ( 值为 () A.(-4,2) B.(-4,-2) A.6 B.-6 C.(4,2) D.(4,-2) 2.设向量a=(1,2),b=(-3,5),c=(4,x),若 C. n-8 a十b=Ac(入∈R),则入+x的值是 )4.已知AB=(6,1),BC=(4,k),CD=(2,1),若 A-号 B号 A,C,D三点共线，则k= c号 n号 提示请完成《素能提升训练》训练三十一 6.3 平面向量线性运算的应用 [学习任务] 1.能用平面向量线性运算解决平面几何中的问题， 2.熟悉平面向量的线性运算在物理中的应用. 自主学习探新知 课前预习双基落实 知识点一向量在平面几何中的应用 知识点二向量在物理中的应用 1.在学习向量及其运算时，我们已经看到向量 我们在物理中已经学习过，利用向量可以 在三角形、平行四边形等平面几何中的应用. 描述物理学中的位移、力、速度、加速度等，因 此，在涉及这些量的运算时，我们都可以借助向 实际上，利用平面向量可以很好地描述有关 量来完成. 全等、相似、平行等关系，从而可以求解和证 1.力、速度、位移的合成就是向量的加法，符合 明平面儿何问题， 向量加法的三角形法则和平行四边形法则. 2.证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平：2.力、速度、位移的分解就是向量的减法，符合 行（共线）的等价条件：a∥b(b≠0)台a=入b台 向量减法的三角形法则和平行四边形法则. 3.动量Ψ就是数乘向量，符合数乘向量的运 x:y4=x2y1,其中a=(x1,y1),b=(x2y). 算律 包微判断 赵微思考 判断正误（正确的画“√”，错误的画“X”) [思考]如图，两人分别从A村 (1)若AB∥CD,则直线AB与CD平行. 出发，其中一人沿北偏东60°方向 行走了1km到达B村，另一人沿 ( 北偏西30°方向行走了3km到 (2)若AB-3e,CD=5e,则四边形ABCD是 达C村.问：B,C两村相距多远，B村在C村的 梯形 什么方向上？ (3)a表示向东走1km,b表示向南走1km, 则a十b表示向东南走√/2km. 96 第六章平面向量初步。 互动探究解疑难 要点归纳重难突骇 探究一用向量解决平面几何问题 探究二用向量的坐标解决平面几何问题 [例1]若E,F,G,H分别是平面四边形 :[例2]如图所示，在正方形 ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点 ABCD中，P为对角线BD上 的一点，PECF是矩形，用向量 方法证明PA=EF AB+DC (1)求 的值： HF (2)证明：四边形EFGH为平行四边形. 川规律方法川 用坐标表示平面向量可将儿何问题转化为代数 问题，通过向量的坐标运算使问则得到解灰，这是数 形结合思想的重要体现，利用向量坐标法选取适当的 位置建立坐标系是关健 川规律方法川 利用向量线性运算解决几何问题的思路 口跟踪训练 (1)把几何元素化为向量： 2.在梯形ABCD中，AB∥DC,P,Q分别是 (2)进行向量的钱性运算： (3)把结果韶译成几何何题. AC,BD的中点，用平面向量证明PQ∥AB. ☑跟踪训练 1.如图，已知AD,BE,CF 是△ABC的三条高，且 交于点O,DG⊥BE于 点G,DH⊥CF于点 H,求证：HG∥EF 探究三向量在物理中的应用 [例3]一个人在静水中游泳时，速度的大小 为2、3km/h.当他在水流速度的大小为 2kmh的河中游泳时， (1)如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什 么方向前进？实际前进速度的大小为多少？ 97 高中数学·必修第二册(RJB) (2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直：跟踪训练 的方向前进？实际前进速度的大小为多少？：3.某人从A点出发向西走了200m到达B点， 然后改变方向向西偏北60°走了450m到达 C点，最后又改变方向向东走了200m到达 D点，求DA的方向和模的大小. 川规律方法 由于力、位移，速度都是向量，对于解决力、位移 速度的大小、方向问题狗可利用向量知识解决 随堂巩固促应用 验证反馈迁移运用 1.已知作用在点A的三个力∫，=(3,4)，f2=:3.已知点A(2,3),B(一2,6)，C(6,6), (2,-5),f3=(3,1),且A(1,1),则合力f= D(10,3),则以A,B,C,D为顶点的四边 ∫1十∫2十∫的终点坐标为 形是 () A.(9,1) B.(1,9) A.梯形 C.(9,0) D.(0,9) B.邻边不相等的平行四边形 2.某人顺风匀速行走速度大小为a,方向与风 C.菱形 D.两组对边均不平行的四边形 向相同，此时风速大小为，此人实际感到的 风速为 ( 4.若OF=(2,2),OF2=(一2,3)分别表示力 A.v-a B.a-v F,F2,则|F+F2|为 C.v+a D.v 提示请完成《素能提升训练》训练三十二 章末优化提升 巴网络构建 多向甘、单位向甘 儿何表示 向量及其 基本摄念 回量的表示 字#表示 一坐标表示 共线向录、相梦向量 加法 向量的 几何意义 运算 线性运算 减法 坐标运算 数乘向量 共找向量基本定理 平血向量基本定理向量的坐标表尔 平面几何成州 向量的 应用 物理应用力、位移、速度的合成分解 98