6.2.3 平面向量的坐标及其运算-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测（人教B版2019）

(2)证明：因为E,M,F三点共线，所以存在实数A,使得： 【随堂巩固促应用】 OM=aOE+(1-A)OF=Apa+(1-A)gb.结合(1)，易 1.AAB的坐标为一1一0=一1. 1 p=7, 1+3=1. 2,B由题意，向量AB的坐标为终点B的坐标减去起点A 得出 3 的坐标，即一a一3=4，解得a=一7. 1(1-1)4=7: 消去入得，7p9 3.A因为a=3e,所以a在数轴上对应的坐标为3.又由 b=一2e,所以b在数轴上对应的坐标为一2. 6.2.2直线上向量的坐标及其运算 4.3因为向量OA的始点在原点，周此终点A的坐标就是 【自主学习探新知】 向量的坐标，故向量OA的坐标为3. 知识点 2.坐标相等坐标的和 6.2.3平面向量的坐标及其运算 微判断 (1)(2)×(3)×(4) 【自主学习探新知】 【互动探究解疑难】 知识点 探究一 1,垂直 [例1][解](1)点A,B,C的坐标分别为1,7，一3， 3.(x.y) 微判断 ,,OA的坐标为1，OB的坐标为7，OC的坐标为一3. (1)√(2)×(3)X 又BA=OA-OB. 知识点二 ∴BΛ的坐标为1-7=一6. (x十2y十y2)(,-王y1-y)(x,y) 知识点四 同理，AC的坐标为一4，CB的坐标为10， ny:=r:y (2)设D点的坐标为x,别CD=x一（一3）=x十3=4. 微思考 解得x=1,即D点的坐标为1. [提示]不是充要条件，是充分不必要条件， 跟踪训练 【互动探究解疑难】 1.C向量a的始，点在原，点，则a的坐标为4，把向量b的 探究一 始点平移到原点，则b的坐标为一2.故选C [例1][解]由题知，B,D分别是30°，120°角的终边与 探究二 单位圆的交点 [例2][解](1)a+b的坐标为-2+5=3. 设B(xy),D(xy),由三角函数的定义，得 (2)号b的垒标为号×5=1. x,=cos30°=8 y=m30=7B(停，2） (3)-2a-3b的坐标为(-2)×(-2)-3×5=-11. x=c03120°=- y=sin120=3 1 跟踪训练 2 2.解(1)：a=3e,b=-6e, ∴.a的坐标为3，b的坐标为一6. D(-2)月 (2)a的坐标为一子，b的坐标为2. 探究三 ∴=（停名）D=(←) 跟踪训练 [例3][解](1)：x1=2,=-5.3,.AB的坐标为 1,解(1)设点A(x,y),则x=OAlcos60°=45cos60 -5.3-2=-7.3,BA的坐标为2-(-5.3)=7.3.由 A,B两点的坐标分别为2，一5.3，得点C的坐标为 =2/5,y=0Asim60°=45sin60°=6， 2+(-5.3》=-1.65,故AC的坐标为-1.65-2=-3.65， 即A(2√3,6).所以OA=(23,6) 2 A,B两点间的距离为x一x1=|-5.3-2=7.3 (2)BA=(2√3,6)-(W3,-1)=(3,7) 探究二 (2)x,=10,x2=20.5,AB的坐标为20.5-10= [例2][解](1)周为A(-3,4),B(4,2),C(-1,-2), 10.5,BA的坐标为10-20.5=-10.5.由A,B两点的 所以AB=(7,-2),BC=(-5,-4),CA=(一2,6)， 坐标分别为10,20.5，得点C的坐标为10+20.5=16.25， 2 所以2AB+3BC-CA=(14,-4)+(-15,-12) (-2.6)=(14-15+2,-4-12-6)=(1.-22). 故AC的坐标为15.25-10=5.25，A,B两点间的距离 为x-x,=20.5-101=10.5. (2)设OB=AOA+4OC, 跟踪训练 因为A(-3,4),B(4,2),C(-1,-2), 3.解(1)A,B的坐标分别为一1,3， 即0A=(-3,4),0B=(4,2),0C=(-1,-2),于是得 ∴AB的坐标为3-(-1)=4，AB=|AB=4, (4,2)=x(-3.4)+(-1.-2)=(-31一，4以-2). 即A,B两点之间的距离为4. (2)设线段AB中点的坐标为x,则x=一1，十3=1. 从而有经””解得X=一号=号 2=4-2, 2 即线段AB中点的坐标为1， 所以0i-号0i- 5 33 跟踪训练 AB11 2.解(1)根据题意，a=(3,2),b=(一1,2)，c=(4,1), 又tan∠ACB= 则3a十b-c=(9,6)十(-1,2)一(4,1)=(4,7). IAC]3 (2)根据题意，若a=mb十nc, .∠ACB=30°.故B,C两村间的距离为2km,B村在 即(3,2)=m(-1.2)+n(4.1). C村的南偏东60的方向上. 5 m= 【互动探究解疑难】 到有3释 故m= 5 8 探究一 8 9 n= 9· [例1门[解](1)因为H,F是边AD,BC的中点，所以 探究三 DH=-AH,FC=-FB. [例3][解](1)a-b=k(-1,0)-(-2,-1)= 又因为DC-DH+HF+FC,AB=AH+HF+FB, (2-k,1),a+2b=(-1,0)+2(-2,一1)=(-5，-2) 图为a-b与a十2b共线， 所以AB+DC=DH+HF+FC+AH+HF+FB= 所以-22-)-（-5)X1=0,解得k=-安 AB+DCI 12 HFI 2HF,所以 =2 (2)因为A,B,C三点共线， HF HFI (2)证明：连接DB,因为E,F,G,H分别是平面四边形 所以AB=ABC(A∈R),即2a+3b=a(a+mb). ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点，所以在△ABD和 又国为a与b不共线，a与b可作为平面内所有向量的 一组基底，所以尽二.解得m=是 △BCD中，由中位线定理，得H=Di.G示-D成。 13=m入 跟踪训练 所以-示-专D成因为H,E.G,F不共线，所以 3.解(1)设D(x,y),则CD=(x-4,y-1). HE∥GF,HE=GF,所以四边形EFGH为平行四 边形， 又，AB=OB-OA=(-4,0), 当店-D时o.解得：D0. y-1=0, (2)AB=(-4,0),BC=(5.-1D, ∴kAB-BC=(-4k-51),AB+2BC=(6.-2. 若kAB-BC与AB+2BC平行，则(-4k-5)×(-2) 1X6=0,解得=一之 跟踪训练 【随堂巩固促应用】 1.D向量a=(-1,2),b=(1,0),则3b-a=3(1,0)- 1,证明由题意，DG⊥BE,AE⊥BE,:GD∥AE (-1,2)=(3,0)(-1,2)=(4,-2),所以向量3b一a 授OA=AOD(A≠0)，期AE=ADG,同理AF=ADH 的坐标是(4，一2). 于是FE=AE-AF=A(DG-DH)=AHG. 2.Ca+b=(1,2)+(-3,5)=(-2,7),c=(4a,xa),又 FE∥HG,∴HG∥EF 1一2=4·解得 a+b=c,故7=x, =一合尉+= 探究二 2 x=14. [例2][证明]建立如图所示的平面直角坐标系，设正 3.Aa∥b,.2y-3×4=0,即y=6. 方形的边长为a,则A(0,a). y 4.4AC=AB+BC=(10,k+1),CD=(2,1),周为A,C, D三，点共线，所以AC∥CD,即10×1一2(k+1)=0,解 得k=4. 6.3 平面向量线性运算的应用 【自主学习探新知】 知识点 设DP1=A(>0). 微判断 则F(竖.0小P(.号E(.)月 (1)×(2)√(3) 知识点二 所以E=(停-，-号)Pi=(a-) 微思考 [提示]画出平面向量AB,AC,则有 周为E-(停-a)+(-号)=-a以+a, AB1=1,AC1=3,∠CAB=90°.则 BC1=2. pi=(+(a-号)=-a+a 所以EF=|PA,即PA=EF 34第六章 平面向量初步4 D随堂巩固促应用 验证反馈 征移运用 1.已知数轴上两点A,B的坐标分别是0,一1,:3.已知e为直线/上的一个单位向量,向量a与 , b都是直线/上的向量,且a一3e,b一-2e,则 则AB的坐标是 a.b的坐标分别为 A.一1 B.1 ) A.3,-2 B.3.2 C.2 D.-2 C.-3,2 D.-3,-2 2.已知A,B都是数轴上的点,A(3),B(一); 4.如图,向量OA的坐标为 且AB的坐标为4,则a一 _ ) A.-1 B.-7 提示&请完成《素能提升训练》训练三士 C.4 D.-4 6.2.3 平面向量的坐标及其运篇 [学习任务 1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 2.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算 3.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 自主学习探新知 课前习 双落实 知识点一 平面向量的坐标 (2)若点A的坐标为(2,-1),则以A为终点 的向量的坐标为(2,-1). 1.向量垂直 ) 平面上的两个非零向量a与b,如果它 (3)两个向量的终点不同,则这两个向量的坐 标一定不同. ( 们所在的直线互相 ,就称向量a与 ) b垂直:记作a |b.规定零向量与任意向量都 知识点二 向量的直角坐标运算 垂直. 2.正交基底 若a-(x,y),b-(x..y),则a十b- 向量的加。 ,a-b= 如果平面向量的基底e,e。)中,ee. 减法 即两个向量和与差的坐标等于两个向量相 就称这组基底为正交基底;在正交基底下向 应坐标的和与差 量的分解称为向量的正交分解。 若a-(r,y),ER.则a- 3.向量的坐标 实数与向 ,即数 量的积 乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐 给定平面内两个相互垂直的单位向量e, 标的积 e,对于平面内的向量a,如果a一x十,则称 (x,y)为向量a的坐标,记作a一 向量的数 微判断 乘、加,减 若a-(r.y).b-(r.y).a.vR,则aa 混合运算 士vb-(ar.士ur.,a士vy.) 判断正误(正确的画“”,错误的画“×”) (1)平面内的一个向量a,其坐标是唯一的 向量的模 若a-(x.y),则al- 十y ( 93 高中数学·必修 第二册(RJB) 知识点三 平面上两点之间的距离公式与中 微思考 点坐标公式 设A(x,v),B(x,v)为平面直角坐标系 中的两点,则 AB =|AB -是a/b的充要条件吗? y (r-)}+(y一){},线段AB的中点坐标 为 {x+x:+y{ 知识点四 向量平行的坐标表示 设a=(x·y),b=(x,y),则a/b D互动探究解疑难 要点归结 重难突站 探究一 平面向量的坐标表示 (1)求向量OA的坐标; [例1] 已知边长为1的正 (2)若B(/3,-1),求BA的坐标。 方形ABCD中,AB与:轴 正半轴成30{*}角,求点B和 点D的坐标和AB与AD的 0(4) 坐标. 探究二 向量坐标形式的线性运算 [例2 在平面直角坐标系aOy中,A(-3,4). B(4.2).C(-1.-2). (1)求2AB+3BC-CA的坐标 (2)试用OA,OC表示OB I|I规律方法lI (1)求一个点的坐标,可以转化为求该点相对干 坐标原点的位置向量的坐标。 (2)在求一个向量时,可以首先求出这个向量的 起点坐标和终点坐标,再运用终点坐标减去起点坐标 得到该向量的坐标, D跟踪训练 1.已知O是坐标原点,点A在第一象限:QA -4/③,xOA-60 94 第六章 平面向量初步4 II规律方法lI II规律方法lI 平面向量坐标的线性运算的方法 向量共线的判定方法 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、 (1)利用向量共线定理,由a-ab(b)推出a/b. 差及向量数乘的运算法则进行, (2)利用向量共线的坐标表达式x。y一X:》:直接 (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出 求解。 向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算, (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行。 C跟踪训练 C跟踪训练 3.设A,B,C,D为平面直角坐标系中的四点,C 2.已知a-(3,2),b-(-1,2),c-(4,1) 为原点坐标,且OA-(3,2),0B=(-1,2) (1)求3a十b一c的坐标; OC-(4.1). (2)求满足条件a=mb十nc的实数m,n. (1)若AB-CD,求点D的坐标; __, _ _ _ (2)若AB-BC与AB十2BC平行,求实数k 的值. 探究三 向量共线,三点共线的判定 [例3]已知a=(-1,0),b=(-2,-1). (1)当 为何值时,ka-b与a十2b平行; (2)若AB=2a+3b,BC=a+mb且 A.B.C 三点共线,求的值 95 D高中数学·必修 第二册(RJB) 随堂巩固促应用 验证反 证移运用 1.已知向量a=(-1.2),b=(1,0),则向量3b:3.已知a=(2,3),b-(4,y),且a/b.则y的 一a的坐标是 值为 ( ( - B(-4,-2) A.6 A.(-4.2) B.一6 D.(4,-2) C.(4,2) 2.设向量a-(1,2),b-(-3,5),c=(4.x),若 a十b-ic(R),则a十x的值是 )4.已知AB-(6,1),BC-(4,).CD=(2.1),若 A.C,D三点共线,则一 C.一 提示请完成《素能提升训练》训练三十一 6.3 平面向量线性运算的应用 [学习任务 1.能用平面向量线性运算解决平面几何中的问题 2.熟悉平面向量的线性运算在物理中的应用 自主学习探新知 课前预习 双实 知识点一 向量在平面几何中的应用 知识点二 向量在物理中的应用 1.在学习向量及其运算时,我们已经看到向量 我们在物理中已经学习过,利用向量可以 在三角形、平行四边形等平面几何中的应用 描述物理学中的位移、力、速度、加速度等,因 此,在涉及这些量的运算时,我们都可以借助向 实际上,利用平面向量可以很好地描述有关 量来完成. 全等、相似、平行等关系,从而可以求解和证 1.力、速度、位移的合成就是向量的加法,符合 明平面几何问题. 向量加法的三角形法则和平行四边形法则. 2.证明线段平行问题,包括相似问题,常用向量平 2.力、速度、位移的分解就是向量的减法,符合 行(共线)的等价条件:a/b(b关0)一a-xb一 向量减法的三角形法则和平行四边形法则. r.y.一xy,其中a=(r,y),b-(x,y). 3.动量n就是数乘向量,符合数乘向量的运 算律. 微判断 微思考 判断正误(正确的画“”,错误的画“×”). [思考] 如图,两人分别从A村 北 (1)若AB//CD,则直线AB与CD平行. 出发,其中一人沿北偏东60方向 行走了1m到达B村,另一人沿 -__) 北偏西30方向行走了3m到 (2)若AB-3e.CD-5e,则四边形ABCD是 达C村.问:B,C两村相距多远,B村在C村的 梯形. ( ) 什么方向上? (3)a表示向东走1km,b表示向南走1km, 则a+b表示向东南走/2km ) 96