6.2.2 直线上向量的坐标及其运算-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教B版）

本高中数学讲义聚焦“直线上向量的坐标及其运算”核心知识点，以共线向量基本定理为起点，构建从向量坐标定义（含直观解释）到运算规律（相等、和的坐标）再到距离与中点公式应用的学习支架，逻辑连贯。 资料采用“逐点理清式”教学设计，通过“多维理解+微点助解+微点练明”环节，以单位向量与数轴建立联系培养数学眼光，以运算公式推导发展数学思维，以符号与文字语言结合强化数学语言。课中助力教师分点突破重难点，课后通过梯度练习帮助学生查漏补缺。

6.2.2　直线上向量的坐标及其运算 [教学方式：基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.本节课的重点是理解直线上向量坐标的含义及运算. 2.本节课的难点是能运用直线上向量的坐标公式进行相关的计算. 逐点清(一)　直线上向量的坐标 [多维理解] 1.直线上向量的坐标 给定一条直线l以及这条直线上一个单位向量e，由共线向量基本定理可知，对于直线l上的任意一个向量a，一定存在唯一的实数x，使得a=xe，此时，x称为向量a的坐标. 2.直线上向量坐标的直观解释 名称 定义 数轴 在直线l上指定一点O作为原点，以e的方向为正方向，e的模为单位长度建立数轴 向量a 的坐标 对于l上的任意一个向量a，如果我们把它的始点平移到原点O，那么a的终点对应的数就是向量a的坐标 |微|点|助|解| (1)x既能刻画a的模，也能刻画向量a的方向.(2)|a|=|xe|=|x||e|=|x|.①当x>0时，a的方向与e的方向相同；②当x=0时，a是零向量；③当x<0时，a的方向与e的方向相反.特别地，零向量的坐标是0.(3)向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相同，当且仅当向量的起点是原点时，向量的坐标和这个向量的终点坐标才相同. [微点练明] 1.若e是直线l上的一个单位向量，这条直线上的向量a=-e，则 (　　) A.向量a的坐标为 　B.向量a的坐标为e C.向量a的坐标为- 　D.向量a的坐标为-e 解析：选C　根据直线上向量坐标的定义知，向量a的坐标为-. 2.如图所示，向量的坐标分别是 (　　) A.-3，2 B.-3，4 C.2，-2 D.2，2 解析：选C　由数轴上向量坐标的定义可知=2e，=-2e，所以向量的坐标分别是2，-2. 3.已知e是直线l上的一个单位向量，向量a与b都是直线l上的向量，分别在下列条件下写出a与b的坐标： (1)a=3e，b=-6e； (2)a=-e，b=2e. 解：(1)∵a=3e，b=-6e，∴a的坐标为3，b的坐标为-6. (2)∵a=-e，b=2e，∴a的坐标为-，b的坐标为2. 逐点清(二)　直线上向量的运算与坐标的关系　 [多维理解] 文字语言 符号语言 直线上两个向量相等 直线上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等 设a=x1e，b=x2e， 则a=b⇔x1=x2 直线上两个向量和的坐标 直线上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和 设a=x1e，b=x2e， 则a+b=(x1+x2)e [微点练明] 1.已知直线上向量a，b的坐标分别为-2，2，则向量a+b的坐标为 (　　) A.1 B.-1 C.0 D.4 解析：选B　因为向量a，b的坐标分别为-2，2，所以向量a+b的坐标为-2+2×=-1. 2.已知A，B都是数轴上的点，O为原点，A(3)，B(-2)，则3+4的坐标为 (　　) A.17 B.1 C.-1 D.-17 解析：选B　3+4的坐标为3×3+4×(-2)=1.故选B. 3.已知直线上的向量a与向量b，向量a的坐标为-10，向量a与向量b满足关系2a-3b=4，求： (1)向量b的坐标； (2)a+2b的坐标. 解：(1)设直线上向量b的坐标为x，由题意可得2×(-10)-3x=4， 解得x=-8，即向量b的坐标为-8. (2)由(1)知a+2b=-10+2×(-8)=-26，所以a+2b的坐标为-26. 逐点清(三)　数轴上两点间的距离、中点坐标　 [多维理解] 数轴上两点之间的距离公式 设A(x1)，B(x2)是数轴上两点，则AB=||=|x2-x1| 数轴上的中点坐标公式 设A(x1)，B(x2)，M(x)是线段AB的中点，则x= |微|点|助|解| 　　求数轴上两点间距离的方法：要先求数轴上向量的坐标，再根据距离公式求解. [微点练明] 1.已知数轴上两点A，B，A(1)，且A，B的中点坐标为-3，则点B的坐标是　　　　，||=　　　　.  解析：设B(x)，由线段AB的中点坐标为=-3，得x=-7，即点B的坐标为-7.故||=|-7-1|=8. 答案：-7　8 2.已知a，b是直线l上的向量，向量a-3(b+a)，b-a的坐标分别为-16，2，求|a-3b|的值. 解：设a的坐标为x，b的坐标为y. 因为向量a-3(b+a)，b-a的坐标分别为-16，2， 所以解得 所以|a-3b|=10. 3.已知a，b，c是直线l上的向量，向量4a-3b，3a+c的坐标分别为1，-3，且|a+c|=1，求a，b，c的坐标. 解：设a，b，c的坐标分别是x，y，z. 因为向量4a-3b，3a+c的坐标分别为1，-3， 且|a+c|=1，所以 解得或 所以a，b，c的坐标分别是-2，-3，3或-1，-，0. 学科网（北京）股份有限公司 $