4.5 增长速度的比较-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测（人教B版2019）

(2)设0<x,<x:,则x-x<0,所以f(x1)-f(m)= 探究二 兽+普=-++提)<0， [例习[解制]国为会是-二三。 T:-J 即f(工，)<f(x,),所以f(x)在(0，十0)上是增函数. 所以y=l0gx在区间[1,2]上的平均变化率为 选②：由4015得4-16≤5,4°≤16，所以m≤2 log,2-log:1-log.2; 2-1 最大正整数为2，所以m=2,f(x)=x-1 ,以下同 在医间2,31上的平均支化率为bg日2-1og,多， 3 3-2 选①. .西数y=0gx在区间[1,2与[2,3]上均是增盛数. 选③：由f(-1)≥-15得(-1)"一16≥-15，(-1)"≥ 1,当m是整数时，m是偶数，其中最小的正整数是2，故 又log,2>1og,号，“画数值y增加的建度越来越授， m=2,即fx)=x-16. ,以下同选①. 跟踪训练 2.解图为义-3二3，所以函教y=3在区间1,2]上 【随堂巩固促应用】 △rr-x L.A设fx)=r,则2=2，a=2fx)=E 的华均发化率为器-6： f(log:16)=f(4)=√4=2. 2.D在直线x=】的左侧，系函数的指数越大越接近于 在[2上的手均交化净为号号=18。 可以看出，当自变量每增加1个单位时，区间左端点值 y轴：-号>-1y=在=1的左侧且位于 越大，函数值增加越快， y=x左侧，故经过⑤：在直线x=1的右侧，器函数的 探究三 指数越小越接近于x轴，y=x在x=1的右侧且位 [例3]解](1)C对应的函数为g(x)=x,C:对应的 于y=x上方和y=1的下方，故经过①. 函数为f(x)=2, 3.②④由奇偶性的定义知y=x为偶函数，y=x=√元 (2)f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)g(9),f(10)≥ 既不是奇函数也不是偶函数，由幂函数的单调性知y g(10). x'在(0，十∞)上单调递减，易知②④满足题意. .1<x<2,9<<10..x<6<,2017>x, 4.0由m-m十1=1.得m=0或n=1,再把m=0和 从图象上可以看出，当x<r<工，时，f八x)<g(x), m=1分别代入m十2m一3<0检验，得m=0. .f(6)<g(6): 当x>x:时，f(x)>g(x),∴f(2017)>g(2017). 4.5增长速度的比较 又g(2017)>g(6), 【自主学习探新知】 ∴.f(2017)>g(2017)>g(6)>f(6). 跟踪训练 知识点一 1.f)-fx) 3.解(1)C对应的西数为g(x)=0.3x一1， C对应的函数为f(x)=lgx, x-t 2.函数值自变量 (2)当x<x时，g(x)>f(x）: 3.快慢 当x<r<xg时，f(x)>g(x): 4.斜率 当x>时，g(x)>f(x): 微思考 当x=x或x=x时，f(x)=g(x). [提示]由于对数函数在x>1后的增长速度小于指数 【随堂巩固促应用】 画数的增长速度，所以△y<△y: 1.C 依题意，所求平均变化率为+△)-1=2+△ 知识点二 △r 增函数增函数增函数快于快于a>kx>logx 2.B△y=f(x+△x)-f(x)=f(2+0.1)-f(2) 微判断 (2.1)十1-(22十1)=0.41. (1√(2)√(3)× 3.a>x>-log.r 'a>1,n>0,.函数y=a,y=x", 【互动探究解疑难】 y=1og工都是增函致，由指数函数、对数函数、幂函数 探究一 的变化规律可知，当x足够大时，a>x>ogx, [例1门[解]周为Ay-工=工，十，所以y=x在 4.y=x当r变大时，x比nx增长要快，x比xlnx 增长要快. 区间[1,2]上的平均变化率为3，在区间[2,3]上的平均 4.6函数的应用（二） 变化率为5，不难看出，当自变量大于零时，自变量每增 加1个单位，区间的左瑞点值越大，函数值增加越快。 【互动探究解疑难】 跟踪训练 探究一 [例1]解](1)1小时后驾胶员血液中的酒精含量为 1.D= fx+△0）-fx）=2x+△x,k:= △x 0.3×(1一50%)mg/ml., x)-x。一△-2x,一△x,因为△r可正可负且 2小时后驾驶员血液中的酒新含量为 △r 0.3×(1一50%)(1-50%)mg'ml 不为零，所以k,k的大小关系不确定 即0.3×(1-50%)mgmL· 12第四章指数函数，对数函数与幂函数 4.5 增长速度的比较 [学习任务] 1.能利用函数的平均变化率，说明函数的增长速度， 2.比较对数函数、一元一次函数、指数函数的增长速度，理解“对数增 长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义 自主学习探新知 课前预寻双基落实 知识点一 函数的平均变化率 知识点二 三种常见函数模型的增长差异 函数y=f(x)从x1到x的平均变化率 函数 y=a" y=log,r y=长x 1.定义式： 性质 (a>1) (a>1) (k>0) 2.实质： 的改变量与 的改变 在(0，+∞) 量之比 上的增减性 3.意义：刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的 4.平均变化率的几何意义 图象的 随x的增大 随x的增大逐随x的增大 变化 逐渐变“陡” 渐趋于“平缓” 匀速上升 设A(x1,f(x1)), B(x2,f(x2)是曲线y= f(x)上任意不同的两点， 增长速度 y=a'的增长速度 y=kx.y=kx 函数y=f(x)的平均变 的增长速度 y=log 化率Ay=fx)-f(x) △. T:-TI 必存在一个上，当x>x时，有 =x十△)-fx)为割线AB的 增长后果 △x 如图所示. 岂微判断 [提醒]△x是变量x:在x1处的改变量，且 判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）. x2是x1附近的任意一点，即△x=x2一x1 ≠0，但△x可以为正，也可以为负， (1)当x每增加一个单位时，y增加或减少的 赵微思考 量为定值（不等于零），则y是x的一次函数. [思考]对于函数y1=logx与函数y, () 3,当x从1增加到m时，函数的增量分别是 (2)函数y=logx增长的速度越来越慢. △y1与△y,则根据两类函数的增长差异， △”与△y2的大小关系如何？ () (3)不存在一个实数m,使得当x>m时， 1.1>x20 () 27 高中数学·必修第二册(RJB) 互动探究解疑难 要点归纳重滩突骇 探究一幂函数的增长速度 川规律方法川 (1)指数函数y=a(a>1)不但是增函数，而且函 [例1门已知函数y=x2,分别计算函数在区间 数值增加的越来越快（即增加逸度越来越大），称为指 [1,2]与[2,3]上的平均变化率，并说明当自 数爆炸」 (2)对数函数y=1ogx(a>1)是增函数，但增加的 变量每增加1个单位时，函数值变化的规律. 速度越来越慢 口跟踪训练 2.分别计算函数y=3在区间[1,2]与[2,3]上 的平均变化率，并说明函数值变化的规律 川规律方法川 (1)可以利用函数的平均变化率的符号说明幂函 数的单调性。 (2)可以利用函数平均变化率的大小说明冢函数 增加的快慢。 跟踪训练 探究三不同函数增长差异的比较 1.函数f(x)=x2在x到x。十△x之间的平均 [例3]函数f(x)=2和g(x)=x3的图象如 变化率为k1,在x一△x到x。之间的平均变 图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1), 化率为k,则k,k2的大小关系是 ( B(x2,y2),且x1<x2 A.k<k B.k>k C:V/C C.k=kz D.无法确定 探究二指数、对数函数的增长速度 [例2]计算函数y=1ogx在区间[1,2]与 [2,3]上的平均变化率，并以此说明函数值变 化的规律。 (1)请指出图中曲线C,C2分别对应的函数： (2)结合函数图象，判断f(6),g(6),f(2017), g(2017)之间的大小关系. 28 第四章指数函数，对数函数与幂函数 川规律方法川 (2)比较两函数的增长差异，（以两图象交点 (1)不同函数在同一区问上平均变化率的大小可 为分界点，对f(x),g(x)的大小进行比较) 以反映面数变化的大致规律。 (2)若一个函数单调增加且增知的速度越来越 大，则其反面数也单调增加，但增加的速度越来戴小， 口跟踪训练 3.函数f(x)=lgx,g(x)=0.3x一1的图象如 图所示。 (1)试根据函数的增长差异指出曲线C,C 分别对应的函数： : 随堂巩固促应用 验证发情迁移运用 1.函数y=x2+1在[1,1+△x]上的平均变化：3.如果a>1,n>0,那么当x足够大时，a,x", 率是 ( logx的大小关系是 A.2 B.2.x 6 4.函数y=x2与函数y=xnx在区间(1，十o∞) C.2+△x D.2+(△x)2 上增长较快的一个函数是 2.已知函数y=f(x)=x2+1,则在x=2,△x= 0.1时，△y的值为 ( 提示请完成《素能提升训练》训练十一 A.0.40B.0.41 C.0.43 D.0.44 4.6 函数的应用（二） [学习任务] 1.掌握幂函数、指数函数、对数函数模型的应用. 2.能够选择合适的数学模型分析解决实际问题. 互动探究解疑难 要点归纳重难突玻 探究一指数型函数模型 为酒驾，大于0.08mgmL的为辞驾.某驾驶 [例1门酒驾醉驾处罚标准：醉驾根据《刑法》 员喝了少量酒后，血液中酒精含量上升到 第一百三十三条规定，处拘役，一到六个月. 0.3mg‘mL,在停止喝酒后，血液中的酒精含 饮酒后驾驶机动车的，处暂扣六个月机动车 量以每小时50%的速度减少.以y(单位： 驾驶证，记12分并处一千元以上二千元以下 mg/mL)表示该驾驶员在停止喝酒x小时后 罚款.根据血液酒精含量定性，大于（等于） 血液中的酒精含量. 0.02mg/mL且小于（等于）0.08mg/mL的 (1)将y表示为x的函数： 29