4.4 幂函数-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测（人教B版2019）

第四章 指数函数,对数函数与霉函数 (2)已知函数f(x)一 n)·4-2<0恒成立,求实数n的取值 2十a 范围. I|I规律方法|I (1)判断函数的奇偶性首先要判断涵数的定义域 是否关于原点对称,(2)根据函数的奇偶性求参数值 的方法有定义法和特殊值法。 IlI规律方法l 题型五 与复合函数有关的不等式 不等式恒成立问题一般通过分离参数法转化为 函数的最值问题,要注意自变量的范围。 [例5 已知x(-co,-1]时,不等式(m}- 4.4 幕函数 [学习任务] 1.了解寡函数的概念. 2.掌握y=x"(an=-1.,1,2,3)的图象与性质. 3.理解和掌握幕函数在第一象限的分类特征,能运用数形结合的方法 处理幕函数的有关问题 自主学习探新知 课前习 双基落实 知识点一 寡函数的概念 知识点二 寡函数的图象和性质 一般地,函数y一x*称为幕函数,其中x 1.寡函数的图象 是自变量,a是常数 在同一平面直角坐标系中,霉函数 [提醒] 幕函数中底数是自变量,而指数函 y=x,y-r*,y-x”,y-r^{,y=x的图象 数中指数为自变量 如图所示. 微思考 [思考]y一x*是幕函数吗?它的图象与常 值函数一1的图象有什么区别? 23 高中数学·必修 第二册(RJB) 2.五个寡函数的性质 y= -: y= y” - B 定义域 B B [0,十0) 值域 B R 奇偶性 在[0.+00)上是 在B上是 在(0.十oo)上是减函 在R上是 在上是 单调性 ,在(-。o.0] 数,在(-2,0)上是 上是减函数 公共点 (1.1) 微判断 (3)幕函数的图象不过第四象限 C ) 判断正误(正确的画“”,错误的画“×”) (4)当0 x1时,y=x的图象在y=r图象 (1)幕函数y一x是增函数 ( 的下方. ~ (2)寡函数图象都过点(0,0):(1,1). 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 A.2 探究一 寡函数的概念 B.1 .}# [例1](1)(多选)下列函数是幕函数的是( D.0 A.y-(-2) B.y-: 探究二 寡函数的图象 C.y=(2x)} D. y={f{ (2)寡函数f(x)=(m^{-2m-2)”-*在 [例2](1)已知函数:①y=2”;②y=(”; (0.十)上为增函数,则n的值是 ③y-x;④y=x.则下列函数图象(第一 A.-1 B.3 象限部分)从左到右依次与函数序号对应的 C.-1或3 D.1或一3 顺序是 I|I规律方法|II #7#,## 判断一个函数是否为寡函数的方法 判断一个函数是否为幕函数的依据是该函数 是否为y一x”(a为常数)的形式,即函数的解析式为 一个寡的形式,且需满足:(1)指数为常数;(2)底数 A.②①③④ B.②③①④ 为自变量;(3)系数为1.反之,若一个函数为寡函 C.④①③② D.④③①② 数,则该函数应具备这一形式,这是我们解决某些 问题的隐含条件. (2)函数y=a(a>0且a关1)与y=x*的 图象如图,则下列不等式一定成立的是 D跟踪训练 ( 1.若寡函数f(x)经过点(③,3③):且f(a) -8,则a一 ( ) A.2 B.3 C.128 D.512 2.已知f(x)-ax21-b十1是幕函数,则a+b 2-10 123* 等于 ( ) -1 2/ 第四章 指数函数,对数函数与寡函数 A.6*>0 B.a十b>0 (3)#()#与()#。 C. log.2>b D.a>1 I|I规律方法|I 解决寡函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断寡指数大小,相关结论为; 在(0.1)上,指数越大,函数图象越靠近工轴(简记 为指大图低);在(1,十o0)上,指数越大,暴函数图象越 远离r轴(简记为指大图高). (2)依据图象确定寡指数a与0,1的大小关系,即 根据寡函数在第一象限内的图象(类似于y一r或 y-或y-r)来判断。 IlI规律方法| C跟踪训练 比较富值大小的方法 3.(2022·忻州高一期中)寡函数/(x)= (1)若指数相同,底数不同,则考虑寡函数; ”*-2.-(mz乙)的图象如图所示,则n的 (2)若指数不同,底数相同,则考虑指数函数; (3)若指数与底数都不同,则考虑插入中问数,使 值为 ( 这个数的底数与所比较数的一个底数相同,指数与另 一个数的指数相同,那么这个数就介于所比较的两数 之间,进而比较大小。 C跟踪训练 5.设-(),6-一() c一(2)},则a,bc A.-1 B.0 的大小关系是 ( ) C.1 D.2 A.ac>b B.a>b>c C.c>a>b 4.函数y一x的大致图象是 D.b>c>a 探究四 寡函数的性质 [例4]已知幕函数h(x)=(m{}-5m+1)x”* 为奇函数. (1)求实数n的值; (2)求函数g(x)-h(x)+ /1-2h(x)( [0,)的值域. C 探究三 比较寡值的大小 [例3] 比较下列各组数中两个数的大小: (1)(2})与(); (2)(-)#与(-3); 25 高中数学·必修 第二册(RJB II规律方法lI (2)判断/(x)在(0,十)上的单调性,并用 解决寡函数的综合问题,应注意以下两点: 定义证明. (1)充分科用涵数的图象,性质,如图象所过定 点、单调性、奇偶性等: (2)注意运用常见的思想方法,如分类讨论、数形 结合思想. D跟踪训练 6.(2022·南京高一月考)请从下列条件中选取 一个条件补充在横线上,并解决你组成的问 题:①f(2)=0:②m是满足f(4) 15的最 大正整数;③n是满足f(一1)>-15的最小 正整数.问题:已知函数/(c)-”-16. ,且 (1)判定f(x)的奇偶性 随堂巩固促应用 验证反馈 迁移运用 A.③ 1.已知寡函数y一/(x)的图象过点(2,v2),则 B.③⑧ ( /(log16)- ) C.④ D.① D C.2 A.2 3.下列寡函数中是奇函数且在(0,十o)上单调 递增的是 .(填序号) 2.直线=1.=x,x=1及幕函数y=x将直 角坐标系第一象限分为8个部分(如图所 ①y-”;②y=x;③y=r;④y-;y=x 示),那么器函数y三x的图象在第一象限 良 4.函数/(x)-(m-m+1)”+2-是幕函数, 中经过 ( 且在x(0,十x)时是减函数,则实数n 提示请完成《素能提升训练》训练十 26探究三 4.4幂函数 [例3][解](1)：暴离数y=x在(0，十∞)上是单调 【自主学习探新知】 道增的，又号>行 知识点一 微思考 )>() [提示]y=x是幂函数，它的图象是函数y=1的图 (2),幂函数y=x在（一0,0）上是单调递减的， 象去掉点(0,1). 知识点二 又-号<- 2.(xx≠01[0，+⊙∞)[0，十c∞){yy≠0)奇函数 偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数增函数 (-)>(-) 增函数增函数 [0,十∞)增函数减函数 微判断 3:画教-（号）为R上的浅画数， (1)×(2)×(3)√(4) 又>号()>() 【互动探究解疑难】 探究一 [例1][解析](1)根据暴函数的形式y=x,经观察可 又画数为=广在(0，十∞)上是增高数，且子>号 得B,D符合，故选BD ()>()…()>() (2):f(x)为暴函数，m-2m-2=1, 解得m=一1或m=3. 跟踪训练 当m=一1时，f(x)=x,则f(x)在(0，十∞)上为减 5.A由于暴函数y=在0，十e0)上是增画数，且号> 函数，不合题意： 当m=3时，f(x)=x,则f(x)在(0，十∞)上为增函 号所以()>（号），即。>6由于指数西y= 数，符合题意 综上所迷，m=3. (号)在R上是减画数，且号<所以（号）> [答案](1)BD(2)B 跟踪训练 () ,即c>h.综上可知，a>c>h. 1.A设f(x)=x,因为幂函数f(x)经过点(W3,33), 探究四 所以f(5)=(3)=35,解得a=3,所以f(a)=a [例4 [解](1)：函数h(x)=(m一5m十1).x+1为幕 =8,解得a=2,故选A. 2.A因为f(x)=a.r+1一b十1是暴函数，所以a=1, 函数， -b+1=0,即a=1,b=1,则a+b=2. .m”-5m十1=1，解得m=0或5. 探究二 当m=0时，h(r)=x,h(x)为奇函数： [例2][解析](1)①函数y=2是实数桑上的增函数， 当m=5时，h(x)=x°，h(x)为偶西数 且图象过点(0,1)，因此从左到右第三个图象符合：②函 函数h(x)为奇函数，.m=0. 数y=()广是实数桑上的减函数，且国象过点(0,1D, (2)由(1)可知，h(x)=x, 因此从左到右第四个图象符合：③函数y=工在第一 则g)=+-2x∈[0,2）》： 象限内是减函数，因此从左到右第二个图象符合：①函 令个-2=，剩x=-+号4e0.1. 数y=x在第一象限内是增函数，因此从左到右第一个 图象符合，故选D. 则f()=- 2++--10+1eo1. (2)由图可知，y=a单调递增，则a>1:y=x°单调适 函数f(1)为开口向下，对称轴为直线1=1的抛物线， 减，则b<0.b>0不一定成立，如a=3,h=一1：a十b >0不一定成立，如4=2，b=一3：10g2>0>b,成立： 当1=0时，函数f0)=名 a>1不成立，a>1,b0,0<a<1. 当1=1时，函数f()取得最大值，为1， [答案](1)D(2)C 跟踪训练 0)的为（] 3.C由图象可得函数在第一象限为减函数，.m一2m一 3<0,脚-1<m<3.又m∈Z,m=0或1或2，代入 故画址8)的位城为（合] 知，当=1时为偶函数，满足题意，故选C 跟踪训练 4.C首先由分数指数暴运算公式可知(x)=(),则 6.解达①： y=f(x)=(F),f(一r)=f(x),且函数的定义拔 (1)f(2)=2- 16 为R,所以函数是偶函数，美于y轴对称，故排除AD.因 4 =0,解得m=2,即fx=x2-16. 为0<号<1，所以y=广在第一泉限的增加比较线慢， 义线为xx≠01j(-x)=(-x)-,16 (-x=x2-16 故排除B,故选C. =f(x),所以(x)是偶函数 (2)设0<x,<x:,则x-x<0,所以f(x1)-f(m)= 探究二 兽+普=-++提)<0， [例习[解制]国为会是-二三。 T:-J 即f(工，)<f(x,),所以f(x)在(0，十0)上是增函数. 所以y=l0gx在区间[1,2]上的平均变化率为 选②：由4015得4-16≤5,4°≤16，所以m≤2 log,2-log:1-log.2; 2-1 最大正整数为2，所以m=2,f(x)=x-1 ,以下同 在医间2,31上的平均支化率为bg日2-1og,多， 3 3-2 选①. .西数y=0gx在区间[1,2与[2,3]上均是增盛数. 选③：由f(-1)≥-15得(-1)"一16≥-15，(-1)"≥ 1,当m是整数时，m是偶数，其中最小的正整数是2，故 又log,2>1og,号，“画数值y增加的建度越来越授， m=2,即fx)=x-16. ,以下同选①. 跟踪训练 2.解图为义-3二3，所以函教y=3在区间1,2]上 【随堂巩固促应用】 △rr-x L.A设fx)=r,则2=2，a=2fx)=E 的华均发化率为器-6： f(log:16)=f(4)=√4=2. 2.D在直线x=】的左侧，系函数的指数越大越接近于 在[2上的手均交化净为号号=18。 可以看出，当自变量每增加1个单位时，区间左端点值 y轴：-号>-1y=在=1的左侧且位于 越大，函数值增加越快， y=x左侧，故经过⑤：在直线x=1的右侧，器函数的 探究三 指数越小越接近于x轴，y=x在x=1的右侧且位 [例3]解](1)C对应的函数为g(x)=x,C:对应的 于y=x上方和y=1的下方，故经过①. 函数为f(x)=2, 3.②④由奇偶性的定义知y=x为偶函数，y=x=√元 (2)f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)g(9),f(10)≥ 既不是奇函数也不是偶函数，由幂函数的单调性知y g(10). x'在(0，十∞)上单调递减，易知②④满足题意. .1<x<2,9<<10..x<6<,2017>x, 4.0由m-m十1=1.得m=0或n=1,再把m=0和 从图象上可以看出，当x<r<工，时，f八x)<g(x), m=1分别代入m十2m一3<0检验，得m=0. .f(6)<g(6): 当x>x:时，f(x)>g(x),∴f(2017)>g(2017). 4.5增长速度的比较 又g(2017)>g(6), 【自主学习探新知】 ∴.f(2017)>g(2017)>g(6)>f(6). 跟踪训练 知识点一 1.f)-fx) 3.解(1)C对应的西数为g(x)=0.3x一1， C对应的函数为f(x)=lgx, x-t 2.函数值自变量 (2)当x<x时，g(x)>f(x）: 3.快慢 当x<r<xg时，f(x)>g(x): 4.斜率 当x>时，g(x)>f(x): 微思考 当x=x或x=x时，f(x)=g(x). [提示]由于对数函数在x>1后的增长速度小于指数 【随堂巩固促应用】 画数的增长速度，所以△y<△y: 1.C 依题意，所求平均变化率为+△)-1=2+△ 知识点二 △r 增函数增函数增函数快于快于a>kx>logx 2.B△y=f(x+△x)-f(x)=f(2+0.1)-f(2) 微判断 (2.1)十1-(22十1)=0.41. (1√(2)√(3)× 3.a>x>-log.r 'a>1,n>0,.函数y=a,y=x", 【互动探究解疑难】 y=1og工都是增函致，由指数函数、对数函数、幂函数 探究一 的变化规律可知，当x足够大时，a>x>ogx, [例1门[解]周为Ay-工=工，十，所以y=x在 4.y=x当r变大时，x比nx增长要快，x比xlnx 增长要快. 区间[1,2]上的平均变化率为3，在区间[2,3]上的平均 4.6函数的应用（二） 变化率为5，不难看出，当自变量大于零时，自变量每增 加1个单位，区间的左瑞点值越大，函数值增加越快。 【互动探究解疑难】 跟踪训练 探究一 [例1]解](1)1小时后驾胶员血液中的酒精含量为 1.D= fx+△0）-fx）=2x+△x,k:= △x 0.3×(1一50%)mg/ml., x)-x。一△-2x,一△x,因为△r可正可负且 2小时后驾驶员血液中的酒新含量为 △r 0.3×(1一50%)(1-50%)mg'ml 不为零，所以k,k的大小关系不确定 即0.3×(1-50%)mgmL· 12