4.3 指数函数与对数函数的关系&专题2 与指数函数、对数函数有关的复合函数问题-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测（人教B版2019）

高中数学·必修第二册(RJB) 4.3 指数函数与对数函数的关系 [学习任务] 1,了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为反函数，弄清它们 的图象间的对称关系. 2.会求简单函数的反函数， 3.利用指数、对数函数的图象与性质解决一些简单问题. 自主学习探新知 保前预习双基藻实 知识点指数函数与对数函数的关系 数y=f厂'(x)一定存在，此时，如果y=f(x) 1.反函数 是增函数，则y=1(x)也是增函数：如果y (1)反函数的概念 =f(x)是减函数，则y=f厂1(x)也是减函数. 一般地，如果在函数y=f(x)中，给定值 :2.指数函数与对数函数的关系 域中 y的值，只有 (1)指数函数y=a与对数函数y=logx(a 与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为 >0且a≠1) y=f(x)的反函数.此时，称y=f(x)存在反 (2)指数函数y=a'与对数函数y=logx(a 函数. >0且a≠1)的图象关于 对称. (2)反函数的记法：函数y=f(x)的反函数记 这微判断 作 判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）. (3)反函数的性质 (1)函数y=(2)的反函数是y=1og, 1 ①y=f(x)的定义域与y=f(x)的值域相 同，y=f(x)的值域与y=广1(x)的定义域 ) 相同，y=f(x)与y=f(x)的图象关于直： (2)函数y=logx的反函数的值域为R( 线y=x对称. (3)函数y=e的图象与y=lgx的图象关于 ②如果y=f(x)是单调函数，那么它的反函 直线y=x对称. () 互动探究解疑难 要点归纳重难哭碳 探究一反函数的概念 [例1]判定下列函数的反函数是否存在： A-1,1) 2 3,1) (1) -3-2-101234x =T1-10 -2 -3 g(x) 0 (2)函数y=f(x)的图象是如图所示的三点 A,B,C. 20 第四章指数函数，对数函数与幂函数 川规律方法川 规律方法川 判定存在反函数的方法 求反函数的一般步骤 (1)用定义：者密数y=f(x)值域中任意一个y的 使，在定义城中有唯一的x与之对应，则此西数的反 由函数yx,求y的范 函数存在，否则，反函数不存在， (2)用单调性：若函数y=f(x)在定义域上单调· 解出 由y)解出x().若求出的x不驻一， 则它的反函数存在， 要根据条件中x的范因决定取名，贝取一个 口跟踪训练 得反 函数 将y万换得一f,注奶定义城得反函数 1.判定下列函数是否存在反函数： (1) ☑跟踪训练 x 4 5 2.(2022·上海高一月考)函数f(x)=1一 f(x) 0 1 3 5 √x-1(x≥1)的反函数是 (2)函数y=f(x)的图象是如图所示的三点 A.y=(x-1)2+1,x∈R A,B.C. B.y=(x-1)2-1,x∈R C.y=(.x-1)2+1,x≤1 D.y=(x-1)2-1,x≤1 2 3.若函数f(x)=2的反函数是g(x),则g(2)的 1-B1,10 值为 () -2-1 01 234 A.1 B.2 C.3 D.4 C2,-2 4.函数y=-1(.x≤0)的反函数是() A.y=√x+1)(x≥-1) B.y=-√/(x+1)(x≥-1) C.y=W(x+1)3(x≥0) D.y=-√V(x+1)3(x>≥0) 探究三互为反函数的函数图象间的关系及性质 例3](1)已知函数f(x)=a十b的图象过 点(1,7)，其反函数f(x)的图象过点 探究二求简单函数的反函数 (4,0),则f(x)的解析式为 [例2]求下列函数的反函数： A.f(x)=4+3 B.f(x)=3+4 (1)f(x)=-x+4x-2,x≤2： C.f(x)=5+2 D.fx)=2+5 (2x)=.x∈[-2，-1U-1,21 (2)若函数y=的图象关于直线y=x对 称，则a的值为 x+1(x≥0)， (3)f(x)= 川规律方法川 -x2-1(x<0). 互为反函数的函数图巢关于直线y=x对称是凤 函数的重要性质，由此可得互为反函数的函数图象上 任一成对的相应点也关于直线y=x对称，所以若点 (a,b)在酒数y=f(x)的图象上，则点(，a)必在其风 函数y=f'(x)的图象上， 跟踪训练 5.若点(2，号)既在f(x)=2的图象上，又在 其反函数的图象上，则a十b= 21 高中数学·必修第二册(RJB) 随堂巩固促应用 验证反馈迁移运用 1.函数y=√x+1(x≥一1)的反函数为( ):3.设函数y=f(x)与y=3的图象关于直线 A.y=x2-1(x≥0) y=x对称，则f(3)= B.y=x-1(x≥1) A.4 B.√2 C.y=x2+1(.x≥0) C.1 n D.y=x2+1(x≥1) 2.若函数y=f(x)的图象位于第一、二象限，则 4.函数y=2(x≥0)的反函数的定义域为 它的反函数y=厂1(x)的图象位于( A第一、二象限 B.第三、四象限 C.第二、三象限 D.第一、四象限 提示请完成《素能提升训练》训练九 专题2与指数函数、对数函数有关的复合函数问题 与指数函数、对数函数有关的复合函数，主： (2)若函数f(x)=log(ax-x2)在(2,3)上 要是指指数函数、对数函数与一次函数、二次函 单调递增，则实数a的取值范围为 数复合成的新函数，求新函数的单调性、奇偶 川规律方法川 性、最值、值域等问题，一般采用换元思想，把复 根据复合函数单调性求参数的问题转化为二次 函数单调性问题后，注意真数大于0 杂的复合函数化成简单的常见函数 题型一求复合函数的单调区间 题型三复合函数的值域和最值 [例1](1)已知函数f(x)=1og2(x2-6.x十8) [例3](1)函数y=log(x2-6x+11)的值域 的单调递增区间为 为 (2)已知函数f(x)=(号》 ,则函数 (2)函数f(x)=9 在[-1，+o) f(x)的单调递增区间是 上的值域为 川规律方法川 川规律方法川 形如y=logf(x)的函数单调性的判所：首先要 求复合函数的值城或最值要转化为基本初等西 求定义城D,当a>1时，y=logf(x)的单调性与y= 数的值城或最值问题，注意函数的单调性的应用， f(x)的单调性（在定义城D内）保持一致：当0<a1 时，y=logf(x)的单调性与y=∫(x)的单调性（在定 题型四复合函数的奇偶性 义域D内)相反， [例4」(1)（多选）下列函数在定义域内既是 题型二已知复合函数的单调性求参数的取值 奇函数又是减函数的有 () 范围 A.f.x)=1 [例2](1)已知函数f(x)=(号 在 B.f(.x)=e-e" (a,十co)上单调递减，则实数a的取值范围 C.f(r)=In(x++1) 是 D.f(x)=-xx 22 第四章指数函数，对数函数与幂函数 (2)已知函数f代r)=2二a是奇函数，则a= m)·4一2<0恒成立，求实数m的取值 2十a 范围。 川规律方法川 (1)判断函数的奇偶性首先要判断函数的定义域 是否关于原点对称，(2)根据函数的奇偶性求参数值 的方法有定义法和特殊值法， 川规律方法川 题型五与复合函数有关的不等式 不等式恒成立问题一般通过分离参数法转化为 函数的最值何题，要注意自变量的范围， [例5]已知x∈（一o∞，一1]时，不等式(m2 4.4 幂函数 [学习任务] 1.了解幂函数的概念 2.掌握y=ra=-1,21,23)的图象与性质， 3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法 处理幂函数的有关问题。 自主学习探新知 深前顺习双基落实 知识点一幂函数的概念 知识点二幂函数的图象和性质 般地，函数y=x“称为幂函数，其中x:L,幂函数的图象 是自变量，a是常数. 在同一平面直角坐标系中，幂函数 [提醒]幂函数中底数是自变量，而指数函 y=x,y=x,y=x,y=x,y=x1的图象 数中指数为自变量 如图所示， 己微思考 [思考]y=x°是幂函数吗？它的图象与常 值函数y=1的图象有什么区别？ ￥三x 23fa)=os=ioe.1+马）， 跟踪训练 1.解(1)f(x)=0时，x=1或x=2,即对应的x不唯 画数u=1+弓在区间(-0，-1D布区间(1，十∞)上 一，因此f(x)的反函数不存在 (2)由图可知函数y=f(x)的定义城为{一1,1,2}，值城 单调递减。 为{一1,1，一2}，且对值战中的任一个值，在定义减中都 所以自a>1时，fx)=1g告在(-0，-1， 有唯一的x值与之对应，所以y=f(x)存在反函数 探究二 (1,十o∞)上单调递减： [例2][解](1)f(x)=-x2+4x-2=-(x-2)2+2, 当0<a<1时，f(x)=10g号在(-0，-1 x≤2，x-2≤0， (1,十∞)上单调递增. .f(x)=-(x-2)2+2≤2， 跟踪训练 由y=-(x-2)2+2,得(x-2)=2-y, 5.解(1)由题设，3一ax>0对x∈[0,2]幢成立，且 解得x=2-/2一y, a>0,a≠1. 所以f1(x)=2-√2-x(x≤2) 设g(x)=3-ax,则g(x)在[0,2]上为减函数， ∴g）-g2)=3-2a>0∴a<是 @)-1- x∈[-2，-1)U(-1,2], a的取值范国是(0,1DU(1,2)- .x+1∈[-1,0)U(0,3], (2)假设存在这样的实数a,则由题设知f(1)=1, ÷是∈-o,-U,+o. 即1og.(3-a）=1,a=2 .3 六fx)=1-xe(-∞，0]U[4,+∞)， 此时f)=log+(3-是)】 品将品=1 由y=1-3 但x=2时，f(x)=log+0无意义. 故这样的实数a不存在. 1号 解得x1一y 【随堂巩固促应用】 1.D由于b=log3<a=log4<1<log,5=c,枚b<a 所以厂6=号rE(-,0U+o c. (3)由x≥0，得x+1≥1， 2.D已知函数定义域为（一∞，0）U(0,十∞)，关于坐标 由y=x十1，得x=y一1， 原点对称，且f(-x)=log|一x=logx|=f(x),所 由x<0,得-x2-1<-1, 以它是偶函数.当x>0时，f(x)=log2x在区间 由y=-x2-1,得x2=-y-1,解得x=-√y-I, (0,十∞)上是增函数，又因为f(x)为偶函数，所以f(x) =log|x|在区间（一∞，0）上是减函数. 所以厂'(x)=-1≥1)， -√一x-I(x<-1). 5+x>0, 跟踪训练 3.(x|-2<x<1)由1一x>0,解得-2<x<1. 5+x>1-x, 2.C因为f(x)=1-√x-I(x≥1)，所以f(x)∈ 4.4a>1,fx)=logx在[a,2a]上递增， (-∞，1]，由y=1-√x-1得x=(y-1)+1(y≤1)， '.log.(2a)-loga log.2 1 交换x与y得y=(x一1)2+1(x≤1)，故选C 3.A由于函数f(x)=2的反函数是g(x),则g(x) a=2,a=4. 1ogx,因此，g(2)=1og2=1. 4,By=T-1(x≤0)，其值城为[-1，十0)，且x= 4.3指数函数与对数函数的关系 -√y+1; .其反函数为y=一√(z十1)(x≥一1)，故选B. 【自主学习探新知】 探究三 知识点 1.(1)任意一个唯一的(2)y=f厂(x) [例3][解析](1)f(x)的反函数图象过点(4,0)， .f(x)的图象过点(0,4). 2.(1)互为反函数(2)y=x 又f(x)=a+b的图象过点(1,7)， 微判断 (1)×(2)×(3)× 联立方程如口十b=4, a+b=7, 【互动探究解疑难】 .a=4且b=3,故f(x)=4'+3. 探究一 [例1][解](1)因为对g(x)的值域{-1,0,1，-2,5) (2)南y年可得x之 中任意一个值，都只有唯一的x与之对应，因此g(x)的 a-j 反画数g(x)存在. 到原函能的反西数是y。二之 (2)由y=f(x)的图象知当y=1时，与之对应的x= 一1或x=3,即与y=1对应的x的值不唯一，所以此函 得a=-1 数的反函数不存在， [答案](1)A(2)-1 9 跟踪训练 :[例3][解析](1)因为x-6x+11=(x-3)+2≥2， 5.3 由题意知(2，)（合2）均在通数f(x)=2 所以y=log+(x2-6x+11)≤1og+2=一1.所以函数的 值域为(-∞，一1]. r2a+b=-1,a=-3 的图象上，故有1 2)=9+(侵)+ 2a+b-1, b= 5 3 =()+3(合)广+是 a+6-+号- 151 :x[-1,+o),则令=（合）∈0,3]y=+3+ 【随堂巩固促应用】 1.Ax≥-1，y=+1≥0，y2=x+1,x=y2-1, 子在03上选增ye(得，] x,y互换得反函数y=x-1(x≥0). 2.D由题意，函数y=f(x)的图象位于第一、二象限，因 [答案](-，-1(2(] 为函数y=f(x)和反函数y=f'(x)的图象关于y=x 对称，可得反函数y=f(x)的图象位于第一、四象限. [例4][解析](1)√+1+x≥|x+x≥0，f(x)= 3.C:函数y=f(x)与y=3的图象关于直线y=x对 ln(x+√+I)定义城是R,BCD三个选项中函数定 称，∴y=f(x)与y=3互为反函数，则f(x)=logx, 义战都是R,A中函数是奇函数：函数在定义域内不是 f(3)=log3=1. 减函数.B中函数f(-x)=e-e=一f(x),是奇函 4.[1,十∞)根据反函数的性质知，y=厂(x)的定义城 数：由于y=e是诚函数，y=e是增函效，因此f(x)= 为y=2(x≥0)的值城， e-e是减函数.C中函数f(一x)=ln(一x十 :当x≥0时，2∈[1，+o∞). √x+1)=ln 1 .所求定义域为[1，十∞) =-ln(x+√x+1)= x+1+x 专题2与指数函数、 一f(x),是奇函数；x≥0时，y=x递增，y=√+1递 对数函数有关的复合函数问题 增，y=x十√x十1递增，所以f(x)递增，不是减函数 D中函数，f(-x)=一(-x)一x|=xx=一f(x),是 [例1][解析](1)x2-6x+8=(x一2)(x-4)>0, 奇函数：x≥>0时，f(x)=一x2是诚函数，由于其为奇函 解得x<2或x>4,所以f(x)的定义城为（一∞，2）U 数，因此在（一∞，0]上也递减，从而在定义域内递减，故 (4,十o). 选BD. 函数y=x一6x十8开口向上，对称粕为x=3,y=10g1x 在(0，十∞)上递增，根据复合函数的单调性同增异减可 (2)因为fr)=二d是奇画数， 2+a 知，f(x)的单调递增区间为(4，十∞). (2)令-x+2x≥0，得函数f(x)的定义拔为[0,2]， 所以f（-x)=-fx),即2=a=2-a 2-*+a2+a 则y=√一x十2z在[0,1门上递增，在[1,2]上递诚. 又因为函数y=(行)广为减函数，所以函数f(x)= 器 即(1+a·2)(-2+a)=(2+a)(1-a2·2), 的单调递增区间是[1,2]. 即-2-a·2·2十a2+a2·2=2十a-a°·2·2 -a3·2°， [答案](1)(4，十∞)(2)[1,2] [例2][解析](1)令g(x)-x-2x十5，可得抛物线的 即-a·2+a2+(a-10·2=a-a2.2+(1-a)·2, 开口向上，且对称轴为x=1,所以函数g(x)在(-∞，1门 fa3-1=1-a2, 上单调递减，在[1，十∞)上单调递增. 所以一a=一a2,解得a=1,经检验，符合题意. 又由通餐)-（侵）》广 a=a', ,根据复合函数的单调性 [答案](1)BD(2)1 的判定方法，可得函数f(x)在（一∞，1]上单调递增，在 [1,十∞)上单训递减. [例5][解]原不等式变形为m-m<(合)月。 因为函数f(x)在(a,十oo)上单调递减，则a≥1，可得实 数a的取值范围是[1十∞). 因为函数y=(合)广在（一©，-1门上是减函数， (2)令t=ax一x,则y=log+k.因为y=log+1为减函 所以（合）≥（合）'=2 数，所以f(x)在(2,3)上单调递增等价于1=ax一x2在 (2,3)上单调递减，且ax-x2>0, 当x(-o,-1]时，m-m<(2）恒成立等价于m 即受<，解得3< -m<2, 3a-9≥0， 结合f八m)=m一m一2的图象，解得一1<m<2. [答案](1)[1+∞)(2)[3,4] 故实数m的取值范围为（一1,2）. 10