4.2.3 对数函数的性质与图象(二)-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测（人教B版2019）

高中数学·必修第二册(RB) 3.函数y=1g(x十1)的大致图象是 ( ):4.函数f(x)=a一+log(x-1)十1(a>0,a≠1) 的图象必经过点 提示，请完成《素能提升训练》训练七 4.2.3对数函数的性质与图象（二） [学习任务] 1.掌握对数函数的单调性，会进行同底对数和不同底对数大小的比较， 2.会解简单的对数不等式. 3.会解决对数函数的综合性问题。 互动探究解疑难 要点归纳重滩突玻 探究一 比较大小 A.a<b B.b<c [例1](1)(2022·聊城高一期末)设a= : C.a<d D.b>d log 2,6=l0g;2,c=log23, )探究二 解对数不等式 A.a>c>b B.bc>a C.c>b>a D.c>a>b [例2] 1)已知1og。号>1，则a的取值范围 (2)(2022·大同高-月考)若a>b>0,0<c 为 <1,则 (2)已知1og.7(2x)<1oga.7(x-1),则x的取 A.log c<logc B.log a<logb 值范围为 C.a< D.c">c 川规律方法 川规律方法川 常见对数不等式的解法 比较对数值大小的方法 常见的对数不等式有两种类型： 比较对数值的大小，主要依据对数面数的单调性 (1)形如logr>logb的不等式，借助y=logr的 (1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调 单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与 性直接进行比较。 0<a<1两种情况讨论. (2)若底数为同一字母，则根据底数对对数面数 (2)形如logx>b的不等式，应将b化为以a为底 单调性的影响，对底数进行分英讨论. 数的对数式的形式，再借助y=ogx的单调性求解， (3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式 化为同底数后，再进行比较，也可以利用顺时针方向 跟踪训练 底数增大画出函数的图象，再进行比较， (4)若底数与真数部不同，则常借助1,0等中间量 3.若1og号<1(a>0且a≠1)，求实数a的取 进行比较。 值范围. ☑跟踪训练 1.设a=log0.3,b=log10.4,c=0.4°.4，则a, b,c的大小关系为 A.a<b<c B.c<a<b C.K<c<a D.a<c<b 2.(多选)(2022·邯郸高一期末)已知a= log2,b=n2,c=log42.d=7则（) 18 第四章指数函数，对数函数与幂函数 探究三复合函数的单调性及值域 (2)判断函数的奇偶性和单调性. [例3]已知f(x)=1og:(4r-1). (1)求f(x)的定义域： (2)讨论f(x)的单调性： (3)求f)在区间[2,2]上的值域。 川规律方法川 (1)判断函数的奇偶性，首先应求出定义城，看是 否关于原点对称，再利用f(一x)=一f(x)成f(一x) =「《x)判断函数是奇函数还是偶函数， (2)通数的单调区回有两种思路：①易得到单 调区间的，可用定义法来求证：②利用复合西数的单 调性求得单调区间. 口跟踪训练 川规律方法川 5.已知函数f(x)=log(3-a.x)(a>0且a≠1). (1)解决对数型复合菌数的单调性问愿的类健： 一是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对 (1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求 惊数是否大于1进行讨论：二是运用复合密数的单调 实数a的取值范围： 性法则来判断其单调性：三是要注意其定义城。 (2)是否存在实数a,使得函数f(x)在区间 (2)利用换元法以及复合函数的单调性求解最值. [1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存 ☑跟踪训练 在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由. 4.函数y=log(一x2十4x)的增区间是 值域是 探究四对数函数的综合应用 [例4] x+1 已知函数f(x)=log.x- (a>0且 a≠1). (1)求f(x)的定义域： 随堂巩固促应用 验证反情迁移兹用 1.设a=1og4,b=1og3,c=1og,5,则 ) D.偶函数，在区间（一∞，0）上是减函数 A.u<c<b B.<c<a 3.不等式log(5十x)<log(1一x)的解集为 C.a<b<c D.b<a<c 2.函数f(x)=log2x为 )4.设a>1,函数f(x)=logx在区间[a,2a]上的最 A奇函数，在区间(0，十%)上是减函数 大值与最小值之差为？，则a B.奇函数，在区间(0，十∞)上是增函数 提示、请完成（素能提升训练》训练八 C.偶函数，在区间（一∞，0）上是增函数 1916-4.x>0, (2)要使函数有意义，需满足x+1>0. =2,即a>d,又c=log+2<log+1=0,c<d<a<h x十1≠1， 探究二 解得一1<r0或0<r4. ∴.函数的定义拔为(-1,0)U(0,4). [例2】[解析]()由1og号>1得1og>loga. 探究三 ①当a>1时，有a<分此时无解。 例3】[解析门(1)国为函数y=logx(a>0且a≠1)的 图象恒过点(1,0)，剩令x十1=1得x=0,此时y= ②当0<a<1时，有<a,从而<a<1. l0g.(x十1)一2=一2，所以函数y=log(x十1)-2 (a>0且a≠1)的图象量过点(0，一2). ∴a的取值范周是（号）： (2)由图可知函数y=ogx,y=logx的底数4>1， (2):函数y=log.x在(0，十0∞)上为减函数， b>1,函数y=logx,y=logx的底数0<c<1.0<d 2x>0, <1,过点(0,1)作平行于x轴的直线，则直线与四条曲 .由log,(2x)<log.,(x-1)得x-1>0, 线交，点的横坐标从左向右依次为c,d,a,b,显然b>a> 2x>x-1. 1>d>. [答案](1)(0，-2)(2)b>4>1>d>c 解得x>1,即x的取值范国是(1，十∞). 跟踪训练 [答案] (2, (2)(1,+co) 4.D令r十2=1，即x=一1，得y=10g1十1=1，故函数 跟踪训练 y=l0g(x+2)+1的图象过定点(-1,1). 2 5.B作直线y=1(图略)，则直线y=1与C,C的交点 8.解1og号<1，即1og号<oga 的横坐标分别为a,b,易知0<h<a<1. 当4>1时，函数y=l0gx在(0，十o)上是增函数， 【随堂巩固促应用】 1.BD远项A,C中的函数都不具有“y=logx(a>0且 所以1og号<1oga证成立： a≠1)”的形式. 当0<a<1时，函数y=l0gx在(0，十)上是减函数， 2.D由函数的解析式得1og+(2-1)≥0=log+1, .0<2-1≤1，解得1<2≤2,0<x≤1. 由log。5 l6限a,得a<号中0a<号 2 3.C由底数大于1可撸除A.B.y=lg(x十1)可看作是 y=gx的图象向左平移1个单位长度.（或令x=0得 所以实数a的取值范国为(0，号)U(1,十∞). y=0,而且西数为增函数) 探究三 4.(2,2)当x=2时，f(2)=a°十1og1十1=2，所以图象 [例3][解](1)由4'-1>0，解得x>0,国此f(x)的 必经过点(2,2) 定义城为(0，十0). (2)设任意0<x1<x2,则0<4“-1<4“-1， 4.2.3对数函数的性质与图象（二） 因此log,(45一1)<log(4'一1)，即f(x1)<f(.x), 【互动探究解疑难】 故f(x)在(0，十o∞)上递增. 探究一 (3)由2)知在区网[合2]上递培。 [例1门[解析](1)5<2<3.1<2<5,3>2， .log,V3<log 2<log 3,log I<log 2<log 5,log,3 又f(2）=0j2)=1og,15. >log.2, 1 2<a<1,0<hK2>1.c>a>h 国此f)在[22]小上的值城为[0.log,15. 跟踪训练 (2)方法一：因为0<c<1,所以y=l0gx在(0，十©)上 4,(2,4)[一2，十o∞)函数y=log+(一x十4x)由函数 单测递减.又0<b<a,所以loga<logb. y=log+t和t=-x2+4x复合而成，而y=log+t在 方法二：取a=4:6=2.e=名：则10g,号=-号> 1 (0,十∞)上是减函数，又因为一x十4x在真数位置，故 需大于0，t=一x十4.x>0的单调递减区间为(2,4). 1og立持徐A:4=2>2,#除C(合)广<（合） 1=一x2十4.x的值城为(0,4]，y=1og+1,1∈(0,4]的值 排除D, 城为[一2，十oe), [答案](1)D(2)B 探究四 跟踪训练 1.D:log0.3<log1=0,∴a<0.log+0.4 [例4幻[解](1)要使此函数有意义，则有 ->0, 5 即(x+1)(x-1)>0,解得x>1或x<-1, -log:0.4=log2>og2=1.b>1.0<0.4< 故此函数的定义域为（一0∞，一1）U(1,十co) 0.4"=1,.0c<1.∴.a<c<b 1 2-)=gg帚-lg胄 2.AD a-log,2-log.3h-In 2-log.e'log.3> =-f(r). o限e>0,epaa又a=lg2>lag万 又由(1)知f(x)的定义域关于原，点对称， 所以f(x)为奇数. 8 f)=osio1+马） 跟踪训练 1.解(1)f(x)=0时，x=1或x=2,即对应的x不唯 品线=1十名在区同(-0，-D系区间1，十)上 一，因此f(x)的反函数不存在 (2)由图可知函数y=f(x)的定义城为{一1,1,2}，值城 单训递减」 为{一1,1，一2)，且对值拔中的任一个值，在定义域中都 所以多a>I时f)=g岩在(-，-1 有唯一的x值与之对应，所以y=f(x)存在反函数。 探究二 (1,十)上单调递减： 当0<a<1时0=g岩在(-，-1 [例2][解](1)f(x)=-x2+4x-2=-(x-2)+2. x≤2，x-2≤0， (1,十∞)上单调递增 .f(x=-(.x-2)+2≤2. 跟踪训练 由y=-(x-2)+2,得(x-2)=2-y, 5.解(1)由题设.3-ax>0对x∈[0,2]恒成立，且 解得x=2-√2一y, a>0,a≠1. 所以f1(x)=2-V√2-x(x≤2) 设g(x)=3-a.r,则g(x)在[0,2]上为减函数， gx)a=g2)=3-2a>0.a<号 0-1-品 x∈[-2，-1)U(-1,2], e的取值范国是(0，U(1,） ∴.x+1∈[-1.0)U(0,3], (2)假设存在这样的实数，则由题设知f(1)=1, 3 7e(-∞，-3]U[1,+o. 南bg8-a=1a=是 u)-1-e(-0iU+o. 此时)=log,(3-) 得品=1- 由y=1-3 但x=2时，f(x)=log+0无意义. 故这样的实数不存在. 己，号 解得x一广y 【随堂巩固促应用】 1.D由于b=log3<a=log4<1<log5=c,故b<a 所以厂()=号re(-0U,+m <C. (3)由x≥0，得x+1≥1， 2.D已知函数定义域为（一o∞，0）U(0,+),关于坐标 由y=x十1，得x=y一1， 原点对称，且f(一x)=log一x=1ogx=f(x）,所 由x<0,得-x-1<-1, 以它是偶函数.当x>0时，f(x)=logx在区间 由y=-x-1,得x=一y-1,解得x=-√一y-I, (0,十∞)上是增函数，又因为f(x)为偶函数，所以f(x) Jx-1(x≥1). =logx在区间（一∞，0）上是减函数. 所以f(x)= -√-x-I(x<-1). (5+x>0, 跟踪训练 3.(x|-2<x<1}由1-x>0,解得-2<x<1. 2.C因为f(x)=1--I(x≥1)，所以f(x)∈ 5+x>1-x, 4.4a>lf(r)=logr在[a,2a]上递增. (-o,1],由y=1-√/x-I得x=(y-1)°+1(y≤1)、 lo,2a)-loga=号即16g2=之 交换x与y得y=(x一1)+1(x≤1)，故选C 3.A由于函数f(x)=2的反函数是g(x),则g(x)= ∴a=2,∴a=4. 1ogx,因此，g(2)=log2=1. 4,By=T-1(x≤0)，其值城为[-1，十0)，且x= 4.3指数函数与对数函数的关系 -√y+1): .其反函数为y=一/(x+1)(x≥一1)，故途B. 【自主学习探新知】 探究三 知识点 [例3]解析](1)f(x)的反函数图象过点(4,0)， 1.(1)任意一个唯一的(2)y=∫'(x) .f(x)的图象过，点(0,4). 2.(1)互为反函数(2)y=x 又f(x)=a'十b的图象过点(1,7)， 微判断 (1》×(2)×(3)× 一联立方程组口十6=4， 1a+b=7, 【互动探究解疑难】 .a=4且b=3,故f(x)=4'+3. 探究一 [例1][解](1)因为对g(x)的值域{一1,0,1，一2,5 (2)由y-平可得x。号 中任意一个值，都只有唯一的x与之对应，因此g(x)的 反函数g'(x)存在. 时原品能的反函数是y。一一 (2)由y=f(x)的图象知当y=1时，与之对应的x 一1或x=3,即与y=1对应的x的值不唯一，所以此函 产千得a=-1 数的反函数不存在， [答案](1)A(2)-1 9