4.2.3 对数函数的性质与图象(一)-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测（人教B版2019）

高中数学·必修第二册(RJB) 4.2.3对数函数的性质与图象（一） [学习任务] 1.理解对数函数的概念，会求简单对数函数的定义域. 2.能画出具体对数函数的图象，并能根据对数函数的图象说明对数函 数的性质 自主学习探新知 课前预习双基落实 知识点一对数函数的概念 续表 定义域 一般地，函数y=logx称为对数函数，其 值域 R 中a是常数，a>0且a≠1. 单调性 在(0，十∞)上是增函数 在(0，十∞)上是减函数 赵微思考 共点性 图象过定点 ,即当x=1时，y=0 [思考]对数函数的解析式中的底数能否等 当x∈(0,1)时， 当x∈(0,1)时， 于0或小于0？ 函数值 y∈ y∈ 特点 当x∈[1，十0o)时 当x∈[1，十o)时 v∈ ∈ 对称性 函数y=lDgx与y=log+x的图象关于 对称 知识点二对数函数的图象与性质 微判断 y=logx(a>0且a≠1D 判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）. 底数 a>1 0G<1 (1)函数y=1og.(x-1)(a>0且a≠1)的定 y y 义域为(0，十∞). () y=logt (1,0 (2)对数函数的图象一定在y轴右侧.() 图象 (1,0 0 (3)当0<a<1时，若x>1,则y=1ogx的函 y=log a 数值都大于零。 ( 互动探究解疑难 要点归纳重摊突孩 探究一对数函数的概念及应用 ①系数为1： [例1](1)（多选）下列函数解析式中，是对数 ②底数为大于0且不等于1的常数： 函数的有 ③对数的真数仅有自变量工， A.y=logsr B.y=In C.y=log,(r+2) D.y=logr 跟踪训练 (2)已知对数函数f(x)的图象过点(8，一3)， 1.已知对数函数的图象过点M(9,2),则此对数 则f(22)= 函数的解析式为 r 川规律方法川 A.y=logzx B.y=logx 判断一个函数是否为对数函数的方法 C.y=logx D.y=logir 判断一个面数是对数西数，其必须是形如y= 2.函数f(x)=(a2一a十1)loga+)x是对数函 logr(a>0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件： 数，则实数a= 16 第四章指数函数，对数函数与幂函数 探究二与对数函数有关的定义域问题 探究三对数函数的图象 [例2]求下列函数的定义域： [例3](1)(2022·南京高一期中)函数y= (1)y=log(3-x)+log.(3+x): log.(x十1)-2(a>0且a≠1)的图象恒过 (2)y=√1g(2-x): 点 (3)y=lg(2+x-x) (2)如图所示的曲线是对数函数y=logx, -x y=logx,y=logx,y=logx的图象，则a,b,c, d与1的大小关系为 yogx y-logx y-lugz 川规律方法川 1.对数函数图象过定点问题 求面数y=m十logf(x)(a>0且a≠1)的图象过 的定点时，只需令f(x)=1求出x,即得定点为(x,m). 川规律方法川 2.对数函数图象的判断 求对数型函数定义域的原则 根据对数函数图象判新底数大小的方法： (1)分母不能为0. 作直线y=1与所给图象相交，交点的横坐标即 (2)根指数为偶数时，被开方数華负 为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应 (3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1. 的对数面数的底数逐浙变大，可比较底数的大小。 口跟踪训练 ☑跟踪训练 3.求下列函数的定义域： 4.(2022·临沂高一月考)函数y=log.(x十2) +1的图象过定点 () (1)f(.x)=lg(x-2)+ x-3 A.(1,2) B.(2,1) (2)f(x)=log+n(16-4x). C.(-2,1) D.(-1,1) 5.如图，若C1,C2分别为函数y=logx和y= logx的图象，则 A.0<a<b<1 B.0<b<a<1 C.a>6>1 D.b>a>1 随堂巩固促应用 验证反馈迁移运用 1,（多选)下列函数是对数函数的是 ）2.函数y=√0g4(2-1)的定义域是() A.y=log,(2r) A.[1,+∞) B.y=-log(a>2且a≠1) B.(0,+o∞) C.y=logzr+1 C.[0,1] D.y=lgx ! D.(0,1] 17 高中数学·必修第二册(RB) 3.函数y=1g(x十1)的大致图象是 ( ):4.函数f(x)=a一+log(x-1)十1(a>0,a≠1) 的图象必经过点 提示，请完成《素能提升训练》训练七 4.2.3对数函数的性质与图象（二） [学习任务] 1.掌握对数函数的单调性，会进行同底对数和不同底对数大小的比较， 2.会解简单的对数不等式. 3.会解决对数函数的综合性问题。 互动探究解疑难 要点归纳重滩突玻 探究一 比较大小 A.a<b B.b<c [例1](1)(2022·聊城高一期末)设a= : C.a<d D.b>d log 2,6=l0g;2,c=log23, )探究二 解对数不等式 A.a>c>b B.bc>a C.c>b>a D.c>a>b [例2] 1)已知1og。号>1，则a的取值范围 (2)(2022·大同高-月考)若a>b>0,0<c 为 <1,则 (2)已知1og.7(2x)<1oga.7(x-1),则x的取 A.log c<logc B.log a<logb 值范围为 C.a< D.c">c 川规律方法 川规律方法川 常见对数不等式的解法 比较对数值大小的方法 常见的对数不等式有两种类型： 比较对数值的大小，主要依据对数面数的单调性 (1)形如logr>logb的不等式，借助y=logr的 (1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调 单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与 性直接进行比较。 0<a<1两种情况讨论. (2)若底数为同一字母，则根据底数对对数面数 (2)形如logx>b的不等式，应将b化为以a为底 单调性的影响，对底数进行分英讨论. 数的对数式的形式，再借助y=ogx的单调性求解， (3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式 化为同底数后，再进行比较，也可以利用顺时针方向 跟踪训练 底数增大画出函数的图象，再进行比较， (4)若底数与真数部不同，则常借助1,0等中间量 3.若1og号<1(a>0且a≠1)，求实数a的取 进行比较。 值范围. ☑跟踪训练 1.设a=log0.3,b=log10.4,c=0.4°.4，则a, b,c的大小关系为 A.a<b<c B.c<a<b C.K<c<a D.a<c<b 2.(多选)(2022·邯郸高一期末)已知a= log2,b=n2,c=log42.d=7则（) 18跟踪训练 [例5][证明]在△ABC中，因为C=90°，所以c2-b log:56 log:7+log:8 4.A loga56-jog:42-log.7+log,6 =a2. 1+ 1 1og,7+3 =1og,7+1og2+1oge3' 国为图8成。R =log.(c-b)+log.(c+b)=log,[(c-b)(c+b)] 将已知代入得loga56=十a干b 3+b =log.(c-6')=loga'=2, 【随堂巩固促应用】 所以loga+da十log-a=2 logutoa·logc-a. 1.C21ogs10+1og0.25=1og,100+1og0.25=1og25 4.2.3对数函数的性质与图象（一） =2. 310g:3,即2*=3，所以4-0 【自主学习探新知】 2.C因为2=5，b=1og3= 知识点一 =4=(2y-5325 微思考 4m-(2“y379 [提示]因为y=logx台x=a',而在指数函数中底数 3.A原式=log,23-21og2-21og3=1og,2-2=a-2. a需要满足a>0且a≠1，故在对数函数解析式中a的 4.C由题知，x=logm,y=1og,m,剥上+名= 1一+ r y log m 取值范围不能等于0且不能小于0. 1og,m=1og.4+210g3=1og.36=2,则m=6. 2 知识点二 (0,十∞)(1,0)(-o∞，0)[0，十∞)(0，十∞) (-0∞，0]x轴 专题1换底公式及其应用 微判断 [例1][解析](1)由logx=2,logx=3,logx=5得 (1)×(2)√(3)× log.ogog.og.abe -log+log. 1 【互动探究解疑难】 探究一 1 1 131 -30 +log,c=2+3+5=30,所以1ogx=3引 [例1][解析](1)根据对数函数的定义，只有选项A, B中的函数是对数函数. (2)log9·1og25·l1og,4=logs32×1og:5×1og2 =2×1og,3×2×1og,5×2×log,2 (2)设f(x)=logx(a>0且a≠1)，因为函数f(x)的图 =8×logs3×1og,2×log25 象过点(8，一3)，则-3=log8, =8×g3×g2×g5=8. 1g51g3◆1g2 0=8a=2 [答案]a盟 (2)8 .f(x)=log+x,f(2W2)=log+22=-log(22)= 1 [例2][解析]原式= log:3 2 1og,2 oe27-og.× 1og.4 [答案](IAB(2)-是 1 跟踪训练 2 3 1.B设函数f(x)=logx(x>0,a>0且a≠1)，：'对数 [答案]-号 函数的图象过点M(9,2),.2=log.9,∴a2=9,a>0,解 得a=3..此对数函数的解析式为y=log1x.故选B. [例3][解析](1)2=10，a=log10, 2.1a2-a+1=1,解得a=0或1.又a+1>0,且a十1≠1， ÷是-o 12, .a=1. 探究二 5°=10，∴.b=10g510, 方-60=lg5.∴2+方=g2+lg5=1 1 [例2】[解]1)由题意得3二之0解得-3<<3. 13+x>0, (2)log27=a.log:alog.3a, .函数的定义城是（一3,3）. (2)由题意得g2)≥0·即？-x之解得≤1 log3=ga,∴log,16=logr2t=含log,2=2log,2= 12-x>0, 12-x>0,1 故函数y=√/1g(2一x)的定义战为（一o∞，1门， 2·=2×是- (3)要使函数有意义，需满足 [答案]1(2)品 2+x一x>0即 x|一x≠0， 2-x-2<0解得-1<x<0, lx≠x, [例[解折】6oel6e3-是名·最 因此画数ylg2十仁)的定义战为(-1,0). x一x lg3_g3=2, 跟踪训练 Ig c Ig a lg3=2lga=lga°， 3.解(1)要使函数有意义，需满足任-？>0， x-3≠0， ∴a2=3,解得a=5或a=-√3（舍去. 解得x>2且x≠3. [答案]3 .函数的定义战为(2,3)U(3,十o∞). 7 16-4x>0, (2)要使函数有意义，需满足x十1>0， =2,即a>d.又c=log+2<lg41=0,dc<dKa<b, x+1≠1， 探究二 解得一1<x<0或0<x<4. ∴.函数的定义城为(-1,0)U(0,4). [例2][解析](1)由1og2>1得1og2>1oga. 探究三 ①当a>1时，有a<号此时无解。 [例3][解析](1)因为函数y=logx(a>0且a≠1)的 图象恒过点(1,0)，剩令x十1=1得x=0,此时y= ②当0<a<1时，有2<a,从而2<a<1. log.(x十1)一2=一2，所以函数y=log.(x十1)-2 (a>0且a≠1)的图象恒过点(0，一2)， a的取位范调是（侵1小， (2)由图可知函数y=logx,y=1ogx的底数a>1, (2)函数y=log.,x在(0，十o∞)上为减函数， b>1,函数y=logx,y=logx的底数0<c<1,0<d 2x>0, <1,过点(0,1)作平行于x轴的直线，则直线与四条曲 .由1og.,(2.x)<log.,(x-1)得x一1>0， 线变，点的横坐标从左向右依次为c,d,a,b,显然b>a 2x>x-1, 1>d>c. 解得x>1,即x的取值范图是(1，十∞). [答案](1)(0，-2)(2)b>a>1>d>c 跟踪训练 [答案] (2) (2)(1,+c∞) 4.D令x十2=1，即x=-1,得y=1og1十1=1，故函数 跟踪训练 y=log(x+2)+1的图象过定点(-1,1). 5.B作直线y=1(图略)，则直线y=1与C,C:的交点 3.解1og号<1，即1og号<1oga 的横坐标分别为a,b,易知0<b<a<1. 当a>1时，函数y=logx在(0，十o∞)上是增函数， 【随堂巩固促应用】 1.BD选项A,C中的函数都不具有“y=logx(a>0且 所以1og号<1oga恒成立 a≠1)”的形式. 当0<a<1时，函数y=logx在(0，十∞)上是减函数， 2.D由函数的解析式得1og+(2-1)≥0=log+1, 0<2-1≤1，解得1<2≤2,0<x≤1. 由log号<loga,得a<号，即0<a<号 3.C由底数大于1可排徐A,B,y=lg(x十1)可看作是 y=gx的图象向左平移1个单位长度.（或令x=0得 所以实数a的取值花国为(0，号)U(1,+∞). y■0，而且函数为增函数) 探究三 4.(2,2)当x=2时，f(2)=a°+1og1十1=2，所以图象 [例3][解](1)由4-1>0，解得x>0,因此f(x)的 必经过点(2,2). 定义城为(0，十∞). (2)设任意0<x1<x,则0<45-1<45-1， 4.2.3对数函数的性质与图象（二） 因此1og,(45-1)<1og,(45-1),即f(x1)<f(x2), 【互动探究解疑难】 故f(x)在(0，十∞)上递增. 探究一 (3)由②知f)在区同[合，2]上递增， [例1][解析](1)√3<2<3,1<2<√5,3>2， .logV3<log,2<log 3,log 1<log 2<log 5,log:3 又f(2）=0,f2)=log,15, >log:2, 1 1 2<a<1,0<b2c>1c>a>b. 国此fx)在[22]上的值线为[0.log,151 跟踪训练 (2)方法一：因为0<c<1,所以y=logx在(0，十∞)上 4.(2,4)[-2,十o∞)函数y=1og+(-x2+4x)由函数 单调递减.又0<b<a,所以loga<logb. y-log+t和t=一x2十4x复合而成，而y=log+t在 方法二：取a=4,b=2,c=号，则10g号=-号> 1 (0,十∞)上是减函数，又因为一x十4x在真数位置，故 需大于0，t=一x十4x>0的单调递减区间为(2,4). 1og是排除A:4*=2>2*,#除C(合)广<（号）八， t=-x2+4x的值城为(0,4]，y=1og+t,t∈(0,4]的值 排除D. 域为[-2，十∞). [答案](1)D(2)B 探究四 跟踪训练 1.Dlog0.3<log1=0,.a<0.log+0.4= [例幻解]美化此画复有意义，则有>0， -10g,0.4=log:号>1og2=1,∴b>1.0<0.4< 即(x+1)(x一1)>0，解得x>1或x<一1， 故此函数的定义城为（一∞，一1）U(1,十o). 0.4°=1，.0<c<1,.a<c<b. 1 1 2f-)=log二l6®帚-lo® 2.AD a-log,2-1og,3'6-In 2-log,e'log.3> =-f(x). oge>0gde单a<a又a=log2>ogv月 又由(1)知f(x)的定义域关于原，点对称， 所以f(x)为奇函数. 8