4.2.2 对数运算法则&专题1 换底公式及其应用-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测（人教B版2019）

第四章指数函数，对数函数与幂函数 4.2.2对数运算法则 [学习任务] 1.掌握对数的运算法则，理解其推导过程和成立条件. 2.掌握换底公式及其推论. 3.会运用对数运算法则进行一些简单的化简与证明. 自主学习探新知 谋前预习双悲落实 知识点一对数运算法则 :2.对数换底公式的重要推论： 如果a>0且a≠1，M>0,N>0,a∈R,那么：： (1)log.N-jloga (N0且N≠1，a>0且a≠1)： 1.log,(MN)= 2.logM°= (2)log,b"=m1ogb(a>0且u≠1.b>0,n≠0)： xa版g (3)logb×logc Xlogd= (a>0 且a≠1，b>0且b≠1，c>0且c≠1，d>0). 微判断 赵微思考 判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”） [思考] 换底公式中底数c是特定数还是任 (1)积、商的对数可以化为对数的和、差.( 意数？ (2)log.(ry)=log X log.y. (3)log2(-5)2=21og2(-5). 知识点二换底公式 logb 1.log.b= (a>0且a≠1，b>0,c>0且c≠1). log a 互动探究解疑难 要点归纳重难突贼 探究一 对数式的运算 川规律方法川 [例1门求下列各式的值： 解决对数运算的常用方法 解决对数的运算问题，主要旅据是对数的运算性 (1)lg5+1g2×1g50+(lg2)2: 质，常用方法有： +1og12-2log:2: (2)log2Λ48 (1)将真数化为“底数”“已知对数的数”的展的积， 再展开： (2)将司底数的对数的和，、倍合并： (3) lg5lg8000+(lg2) (3)利用常用对数中的1g2十1g5=1. 1g600- 1lg0.036-21lg0.1 跟踪训练 (4)1g(√3+√5+√3-5). 1.计算下列各式的值： 哈e器gv8+gv2霜： (21g25+号1g8+g5×1g20+0g2只. 13 高中数学·必修第二册(RJB) 探究二对数换底公式的应用 探究三换底公式的综合应用 [例2]计算： [例3](1)已知1og19=a,18=5,用a,b表 (1)(log23+1og:3)(1og35+1og5)lg2. 示log645. (2)(1og2125+log,25+10g5)(1og2+1og2s4 十1og12s8). (②若公=5=10.则2+6 A.-1 B.Ig 7 C.1 D.log:10 川规律方法川 利用换底公式计算，化简的常用方法 (1)先依照运算性质：利用对数的运算法则及性 川规律方法川 质进行部分运算，最后再换成同一底. 换底公式的应用技巧 (2)一次性地换为常用对数，再化简，通分，求值. (1)换底公式的作用是将不同底数的对数式转化 (3)将式子中的对数的底数及真数改为暴的形 成同底数的对数式，将一般对数式转化成自然对数式 式，然后利用变形10g-产1ogb. 或常用对数式来运算，要注意换底公式的正用、逆用 及变形应用。 (2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数 ☑跟踪训练 式与对数式进行互化，统一成一种形式 4.已知log23=a,log27=b,则log56=(） 跟踪训练 3+b A.]+a+b B3+6 atb 2.计算：log36-log4+2og3×log8= 3+b 3.若实数x满足log2x=log,(2x)十log(4x), C.1+2a+b 3-b D.1十a+b 则x= 随堂巩固促应用 验证反馈迁移运用 1.21og.10+1og,0.25的值是 A.a-2 A.0 B.1 B.5a-2 C.2 D.4 C.3a-(1+a) 2.(2022·浙江卷)已知2=5,1og3=b,则 D.3a-2 4“-6 4.已知=3=m,且上+2=2，则m=() A.25 B.5 A.2 B.4 c曾 n号 C.6 D.9 3.已知a=log32,那么log8-2log6用a表 提宗请完成《素能提升训练》训练六 示是 14 第四章指数函数，对数函数与幂函数 专题1换底公式及其应用 换底公式的作用是将不同底数的对数式转 川规律方法川 化成同底数的对数式，常将一般对数式转化成 利用换底公式解对数方程时，要对求得的根进行 自然对数式或常用对数式来运算.要注意换底 登证，保证对数式有意义， 公式的正用、逆用及变形应用. 题型五 证明对数恒等式 题目中有指数式和对数式时，要注意将指 L例5]已知在△ABC中，C=90°，角A,B,C 数式与对数式进行互化，统一成一种形式， 所对应的三条边长分别为a,b,c.求证： 题型一正用换底公式 logo+oa+logca=2logo+a.loga. [例1](1)已知logx=2.logx=3,logx=5, 则logx= (2)1og9·log225·log34= -川规律方法川 在对数式的化简或求值的间题中，如果对数式的 底数不一致就不能进行对数运算，此时可利用换底公 式换为同底的对数式再运算 题型二 逆用换底公式 1 log,3Xlog,4 [例2] 计算：1og,2X1og,27 川规律方法川 如果对数式为商的形式，且其中对数式的底数相 同，则要逆用换底公式进行转化， 题型三变用换底公式 [例3] 1)已知2=5=10，则。+方 (2)已知1og1a27=a,则1og16= 川规律方法川 常见的换底公式的麦形如下：(1)lo取6=oa (2)log6"=log.b. 川规律方法川 题型四解对数方程 本则的解答过程中，不但利用了换底公式进行对 数式的运算，还应用了直角三角形的勾殷定理进行字 [例4]若log blog.clog.3=2,则a的值为 : 母消元 15logx=3,x=2=8, 方法二：原式=g4-g4+g(7,5)=g42X75 7×4 “x*=1=1=2 v84 -lg/T0- (2)方法一：原式=2lg5+21g2+lg5×(2lg2+lg5)+ 'log;[log (log+x)]=0. (g2) .log,(log)=1, =21g10+(lg5+lg2)=2+(lg10)=2+1=3. .log+r=3. 方法二：原式=2lg5+2g2+1g5(lg2十1)+lg2 =(》= =2+1g5lg2+1g5+lg2 =2+lg2(1g5+lg2)+lg5 =2+1g2+lg5 4.2.2对数运算法则 =2+1g10=2+1=3. 探究二 【自主学习探新知】 [例2][解](1)(1og:3+log3)(og5+log5)lg2 知识点一 1.log M+log.N -(货2+是)（货号+》2 2.alog M _lg3g2+lg52×g5(lg3+g921g2 3.log M-log.N 1g21g5 1g31g9 微判断 g3+21g3_3 (1)√(2)×(3)X 2lg 3 知识点二 2.(3)logd @方责-：原式-(+绿要+深(og2叶 log 1 微思考 log,8) 1og.25 1og125 [提示]是大于0且不等于1的任意数. 【互动探究解疑难】 =(3g.5+2Dg5+g5)(1pg.2+2g2+3g3 2log,2 3log.2 2log 5 3log:5 探究一 [例1][解](1)原式=2g5+1g2×1g(5×10)+(lg2) og2=13. -(3+1+号）lg5·3og2-=13og5·ioe5 =2lg5+1g2×lg5+lg2+(lg2) =2lg5+lg2×(0g5+1g2)+lg2=21g5+lg2+lg2 方法二：原式-（罗+长要+提）（条号+提器 =2(1g5+1g2)=2. 1g8 （2)方法-：原式=之(og7-log48)+log3+210g2 g125/ -2（og:2+l6g3+1og7)=合1og,7-71og3 -(++)修号+张号+恶) 2log,16+2og3+2--log7=- (器》（张）- 跟踪训练 方法二原式=吧（发X12X号 7X6 2.8log36-log4+2log,3×1og8=lbg30+2og3× 3bg2=lg9+6×02×提号-2+6=8 (3):分子=lg5(3+3g2)+3(1g2)=3g5+3g2(lg5 3.128由条件知logx=log:2+log1x+log4+logx= +lg2)=3lg5+3lg2=3(lg5+lg2)=3; 名+之g十号+吉g,解得6g=7,故=128 分号-0g6+2》-g×品-g6+2-g品- 探究三 原式=是 [例3][解析](1)，18=5，.b=10ga5,利用对数运 算的运算法则及换底公式可得 (4)原式=2g(3+5+√3-5)=之g(3+后+ log.45-log45-log(5x9)log5+log9 log6 18 1og03 1og,18-10g.3 3-5+295)=2g10=7 =a+b=2(a+b) 跟踪训练 1 1-2“ 2-a 1.解1方法-：原式=(6g2-2g7)-号×2g2 (2)2=5*=10. +号(2g7+lg5)-号g2-lg7-21g2+1g7+2g5 ∴.a=log210,b=1og10. 1+1 =2g2+21g5=2g2+lg5)-24g10=7: aT61og10+1og,10=lg2+lg5=lg10=1. 答案(1)见解析(2)C 6 跟踪训练 [例5][证明]在△ABC中，因为C=90°，所以c2-b log,56 log:7+log.8 4.A log.56-jog,42 log.7+log:6 =d. 1 0g:7+3 周经深8成。成 10g:7+log:2+10g3' =log.(c-6)+log.(c+b)=log.[(c-b)(c+b)] 将已知代入得log:56-十a十 3+b =log (c-b')=loga'=2, 【随堂巩固促应用】 所以logo+ea十loga=2log4a·log-a. 1.C21og10+log0.25=l0g100+log0.25=1og25 4.2.3对数函数的性质与图象（一） =2. 1og3.即2=3，所以4“ 【自主学习探新知】 2.C周为2°=5，b=log3= 知识点一 =5=2)525 微思考 4严(2)3=9 [提示]因为y=ogr一x=a',而在指数函数中底数 3.A原式=log2-2og2-2log3=log12-2=a-2. a需要满足a>0且a≠1，故在对数函数解析式中a的 4.C由题知，x=log,m,y=log,m,则上+2 1 x y log m 取值范围不能等于0且不能小于0. 10gm-log.4+21og3=log36=2,剥m=6. 2 知识点二 (0,十o©)(1,0)(-o,0)[0,+oo)(0,+o) (一o∞，0]x轴 专题1换底公式及其应用 微判断 C例1][解析](1)由logx=2,log,x=3,logx=5得 (1)×(2)(3)× 1 41log b=.log-5,log ubc log a+l 【互动探究解疑难】 探究一 1 11131 30 +log,r=2+3+行30，所以1ogkr=3T [例1门[解析](1)根据对数蓝数的定义，只有选项A, (2)log9·1og,25·log,4=1og3×1og,52×1og,2 B中的函数是对数函数. =2×log3×2×1og,5×2×1og2 (2)设f(x)=ogx(a>0且a≠1)，因为函数f(x)的图 =8×log3×log,2×log5 象过点(8，-3)，则-3=l0g8, =8×格号×0号×提-8 1 a1=8,.a=2 [答案]1 (2)8 .f(r)=log+r,f(2v2)=log+22=-log (22)= 3 [例2】[解析]原式= log:3 log.4 log,2 ×1og.27 =log:3 [答案](DAB(2)-是 1 、2 跟踪训练 1g4-1g32lg2 1g4=1g2×g27-1g2X3g3 3 1.B设函数f(x)=logx(r>0,a>0且a≠1)..对数 2 [答案]一3 函数的图象过点M(9,2)2=l0g9,a=9,a>0,解 得a=3.∴.此对数函数的解析式为y=logx,故选B. [例3][解析](1)2=10，.a=log10, 2.1a°一a+1=1,解得a=0或1.又a+1>0,且a十1≠1， ∴是og0g2 .a=1. 探究二 5=10.∴.b=l0g10, 六方0=g5∴}+名-lg2+g5=. [例2)][解]（1)由题意得3-之0解得-3<r<3. 3+x>0, ,函数的定义线是（一3,3）. (2)log27a.og,oa, （2)由题意得g2)≥0 12-x>0, 2-≥1解得<1. log3=号a,log,16=log2t=号og2=2og2= 2-x>0. 故函数y=√1g(2一x)的定义城为（一o0,1] 2·=2x品- (3)要使函数有意义，需满足 [答案]1(2)品 2+x-x>0· x一x≠0， x2-x-2<0·解得-1<x<0. x≠x, C例行[锅折]bbeg3=据会是 因此函教y=g2十二的定义拨为(-1,0. x一x g3_g3=2 跟踪训练 Ig c Ig a .lg3=2lga=lga· 3解(1)要使画数有意义，需满足仁一2>0， x-3≠0. ,.a=3,解得a=3或a=一√3（含去）. 解得x>2且x≠3. [答案]√ .函数的定义城为(2,3)U(3,十). 7