4.1.2 指数函数的性质与图象(三)-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测（人教B版2019）

高中数学·必修 第二册(RJB) D随堂巩固促应用 验证反馈 证移运用 1.方程42--1-16的解是 _ )3.已知三个数a=6,-07,c-0.8.则 #。 B._ #{~} 这三个数的大小关系是 A.-- ) A.ab>c B.b>c>a C.x-1 D.-2 C.c>>a D.a>c>b 2.若2<1,则x的取值范围是 →_ 4.不等式2<2“的解集是 A.(-1,1) B.(-1.十) C.(0.1)U(1,+o)D.(-.-1) 提示 请完成《素能提升训练》训练三 4.1.2 指数函数的性质与图象(三) [学习任务 1.掌握指数型函数的单调区间的求法及单调性的判断 2.掌握指数函数在现实生活中的应用 3.掌握指数函数的综合性问题 互动探究解疑难 要归络。 重难突破 探究一 指数型复合函数的单调性 D跟踪训练 [例1](1)函数f(x)-51-2的单调递增区 1.函数y-2+2-的单调递增区间为 间为 _ ) 2.函数/(c)-3-2-1的单调递减区间 B._) A.[-2,十oo) C.(-- 探究二 指数函数的实际应用 D.(-o.-2] [例2](2022·惠州高一期末)在某个时期, (2)(2022·上饶高一期末)函数f(x)= 某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率吴 一_ 指数增长,已知经过30天以后,该湖泊的蓝 的单调递增区间为 藻数大约为原来的6倍,那么经过60天后该 A.(-。~] B. _~1] ( 湖泊的蓝藻数大约为原来的 A.18倍 B.24倍 C.,5 D.,) C.36倍 D.48倍 Il规律方法II -I|I规律方法lI. 解决指数函数应用题的流程 复合函数单调性问题归根结底是由x<x。到 (1)审题:理解题意,弄清楚关键字词和字母的意 f(r)与f(x.)的大小,再到g(f(x.))与g(f(x))的 义,从题意中提取信息. 大小关系问题,即当两个函数单调性相同时,复合后 (2)建模:据已知条件,列出指数涵数的关系式, 函数为增函数;当两个函数单调性相反时,复合后子 (3)解模:运用数学知识解决问题。 数为减函数,简记为“同增异减”。 (4)回归:还原为实际问题,归纳得出结论 20 第四章 指数函数,对数函数与霉函数 C跟踪训练 (3)求函数((x)在1.2上的值域 3.全球变暖使北冰洋冬季冰盖面积在最近50 年内减少了5%,按此规律,设2022年的冬 季冰盖面积为n,从2022年起,经过x年后 冬季冰盖面积y与x的函数关系是( A.-0.95*·m B.y-(1-0.05*)·m C.-0.9550-r.m D.y-(1-0.05{-)·m II规律方法lI 4.国家速滑馆又称“冰丝带”,是北京2022年冬 解决指数函数的综合问题的注意点 奥会的标志性场馆,拥有亚洲最大的全冰面 (1)注意代数式的变形,如分式通分、因式分解、配 设计,但整个系统的碳排放接近于零,做到了 方法、分母(或分子)有理化等变形枝巧。 (2)解答函数问题注意应在函数定义域内进行. 真正的智慧场馆、绿色场馆,并且为了倡导绿 (3)由于指数函数单调性与底数有关,因此要注 色可循环的理念,场馆还配备了先进的污水 意是否需要讨论. 雨水过滤系统,已知过滤过程中废水的污染 C跟踪训练 物数量N(mg/L)与时间1的关系为N= N.e“(N。为最初污染物数量).如果前4小 时消除了20%的污染物,那么污染物消除至 (1)求/(x)的定义域; 最初的64%还需要 (2)判断/(x)的奇偶性; (③)求证:/(x)0 A.3.6小时 B.3.8小时 C.4小时 D.4.2小时 探究三 指数函数的综合应用 [例3 22+1 (1)证明:函数f(x)是奇函数; (2)证明:函数f(x)在(一,十)上是增 函数; 随堂巩固促应用 验证反 迁移运用 1.下列函数中,在区间(0,十o)上单调递减 ,则f(x)的单调 的是 。 递增区间为 B.- A.-* _ A.(-oo,1] D.y一() B.(-oo,0] C.y-2 C.[1,十。) D.[2,十o) 。 高中数学·必修 第二册(RJB) 航,已知海面上的大气压强是760mmHg,大 2*十1 气压强P(单位:mmHg)和高度h(单位;m) 十)上 ,_ 之间的关系为P一760e*(e是自然对数 A.单调递减且无最小值 的底数,^是常数),根据实验知500m高 B.单调递减月有最小值 C.单调递增且无最大值 空处的大气压强是700mmHg,则我军战 机在1000m高空处的大气压强约是(结果 D.单调递增且有最大值 保留整数) ( 4.国防部新闻发言人在2020年9月24日举行 ) A.644 mmHg 的例行记者会上指出:“台湾是中国不可分割 B. 645 mmHg C. 646 mmHg 的一部分,解放军在台海地区组织实兵演练 D. 647 mmHg 展现的是捍卫国家主权和领土完整的决心和 提示请完成《素能提升训练》训练四 能力,”我空军战机在海面上空进行绕台巡 4.2 对数与对数函数 4.2.1 对数运算 [学习任务] 1.理解对数的概念 2.知道自然对数和常用对数 3.通过阅读材料,了解对数的发现历史以及对简化运算的作用 自主学习探新知 课前习 双基落实 知识点一 对数的概念 微思考 1.对数的概念 [思考] 任何一个指数式都可以化为对数式吗 在表达式a*=N(a>0且a去1,N6 (0,十oo))中,当a与N确定之后,只有唯 一的能满足这个式子,此时,霉指数5称 为以a为底N的对数,记作b一 其中a称为对数的 ,N称为对数 知识点二 对数与指数的关系 的 一般地,有对数与指数的关系: 2.常用对数 若a0且a1,则a-N-logN= 以10为底的对数称为 指数 对数 logN可简写为 善: 真数 3.自然对数 底数 痴数 以无理数e(e-2.71828...)为底的对数 对数恒等式:a{^N一 ; log一 称为 ,log.N可简写为 (a0且a去1). 10所以当0<a<1时，不等式的解集为[-6，十o∞)： 2.(-c0,-1]由3-1-1≥0，知x-x-2≥0，求得x 当4>1时，不等式的解集为（一0，一6]. ≤一1或x≥2，可得函数的定义战为（一o∞，一1门U [答案](1)(1,2)(2)见解析 [2,十∞)，y=x2-x-2,开口向上，r∈（一∞，-1]时， 跟踪训练 函数是诚函数，即y=3一一1单调递减.由复合函数 3.(1,十o）因为0<a<1,所以y=在R上是减画 数.又因为a-1>a2+-1,所以2x2-3.x+2<2x 的单调性，可知函数f(x)=√3一1的单调递诚 +2.x-3,解得x>1. 区间是（一∞，一1门. 4.(一0∞，一1)U(1,十0∞)由指数函数单调性易知，不等 探究二 式(2a°-1)'<1的解集为(-o,0),即2a-1>1,2a [例2][解析]某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长 >2,a>1,解得a>1或a<-1,实数a的取值范国是 率呈指数增长，经过30天以后，该湖泊的蓝藻数大釣为 (-9,-1)U(1,+oo). 原来的6倍，设湖泊中原来蓝藻数量为a,则a(1十 【随堂巩固促应用】 6,25%)”=6,.经过60天后滚湖泊的蓝藻数量为 y=a(1+6.25%)"=a[(1+6.25%)"]=36a.,经过 1B4=,所以2红-1=2=是 60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的36倍， 2.D不等式21<1=2°，：y=2是增函数， [答案]C ∴x+1<0,即x<-1. 跟踪训练 3.Da=67>6=1,c=0.8.1>0.7>0.7=h, 3.A设北冰洋冬季冰盖面积的年平均变化率为p,则p 且c=0.87<0.8"=1,所以a>c>i. =0.95,∴.p=0.95.因此，设2022年的冬季冰益面积 4(-0,)由2<2“得x<2-3x,即x<,故不 为m,从2022年起，经过x年后冬季冰益面积y与x的 函数关系是y=0.95·m. 等式的解条为(-©，》 4.C 由题意可得N,e“=音N,可得e"=青，设 4.1.2指数函数的性质与图象（三） Ne=0.6N=(告)N,可得e*=(e“)=e" 【互动探究解疑难】 解得1=8.因此，污染物消除至最初的64%还需要 探究一 4小时： [例1门[解析](1)由题意，函数f(x)的定义域为R, 探究三 [例3][解](1)证明：函数f(x)的定义城为R,关于原 设w=g(x)=1-12.x+4= 1-2x-3,x>-2, 12x+5,x≤一2， 点对称. 则g(x)在（一2，十∞）上单调递减，在（一∞，一2]上 1 因为f(一x)= 1= 121-2 单调递增.又因为y=5”在R上单调递增，根据复合 +122中122 21 函数的单调性，可得函数∫(x)的单调递增区间为 (-0,-2] =一 1 十2中=一fx,所以函教fx)为寺画数. ②-++1≥0得15<5， (2)证明：设x1·x是（一∞，十∞）上任意两个实数，且 2 111 的定义为[，1 x<,则fx)-fx)=立2+12+2+ 2-2 :y=-++1在(©，]上单调递增。 (2+1)(2+1) 因为x,<x,所以25-25<0 在[2十)上单调地减， 所以f(x,)一f(x,)0,即f(x,)<f(x,), 所以函数f(x)在（一∞，十0）上是增函数. 1=7+x中在[5，]上单调递增。 (3)因为函数f(x)在（一∞，十∞）上是增函数， 所以函数(x)在[1,2]上也是增函数， 在[·]上单递 所以f)=f)=君)=/2)= 3 又y一()在R上单洞递减， 所以品最)在.2止的维找为[合高] f(x)=() 的单调递增区间为 跟踪训练 5.解(1)由2一1≠0，得x≠0 [] .函数f(x)的定义城为（一o∞，0）U(0,+0∞). (2)由于函数f(x)的定义城关于原点对称， [答案](1)D(2)C 跟踪训练 且-)=(2+2)- 1.(-∞，1)因为y=-x+2x-3在(-o,1)上单调透 增，在(1，十∞)上单调递减.又因为y=2在R上单训 递增，所以y=2一1的单调递增区间为（一o∞，1）. ∴f(.x)为偶函数. 3)证明：当>0时2->0x>0小fx)>0, 跟踪训练 又f(x)为偶函数，x<0时，f(x)>0 1.解1)1og28-7. 综上所述，对于定义拔内的任意x都有f(x)>0 (2)log,27=a. 【随堂巩固促应用】 (3)g0.1=-1. 1.D函数y=x,y=√E,y=2在(0，十o∞)上均为增函 4() =32. 数，画数y=(日)厂在0，十∞)上为减画数。 (5)10=0.001. 2.A该通数定义为R)=(） 探究二 可以看作是 [例2][解析](1)①设1og,81=x,所以9=81=9，故 由y=(合）)4=-2x+2复合而成.“y=(分)在 x=2,即10g81=2:②设lDg.,1=x,所以0.4=1=0. 4",故x=0,即log1=0:③设lne=x,所以e=e2,故 R上单调递减，1=x2-2.x十2=(x一1)十1的单调递减 x=2,即lne2=2. 区间为（一，1门，∴由复合函数的单调性判定知，函数 (2)①由log4x=- ,得r=64*=(4)+=4 2 f(x)的单调递增区间为（一∞，1门. 1 3.A画数f)=2+中为诚函数，2+1>1，故fr)= 2+中∈(0,1)，无最值 ②由og8=6,得x=8.又x>0,即x=8*=(2) 4B由已如可得70e=70,可得e-需 =2: ③由1g100=x,得10=100=10，脚x=2: 所以，我军战机在1000m高空处的大气压强为 ④由-lne=x,将lne=-x, 760e1=760X(e)2=760X( 7001 490000 所以e=e,-x=2,x=-2. 760 760 [答案](1)①2②0③2(2)见解析 645(mmHg). 跟踪训练 4.2 对数与对数函数 2.解(1)设x=1og27,则9=27,3=3， 4.2.1 对数运算 2x=3x=21 3 【自主学习探新知】 设x=l0g行81，则(3)=81,3=3千=4x=16. 知识点一 L.logN底数真数 (2)①：1log知x=-3 2.常用对数gV 3.自然对数lnN x=27=(3)+=31= 3 微思考 「提示] 不是，如（一3）=9，不能写成10g9=2. ②log16=-4rt=16,pd=-(分）月 知识点二 x N 又x>0且x≠1，心x=2 微练习 探究三 1.1若1og(2x一1)=0，则2x一1=1，即x=1. [例3][解](1)og,(logx)=0, 2.2由指对互化知x=8,所以x=2. logx=2°=1..x-5=5. 知识点三 (2)1og(lgx)=1,.lgx=3=3, 1.零 .x=103=1000. 2.1 loga=1 (3).x=7-=7 7 3.没有对数 0T=5 微判断 跟踪训练 (1)√(2)V(3)×(4)X 3.解(1)设t=logx,则logt=0, 【互动探究解疑难】 .t=1,即logx=1,∴.x=3. 探究一 (2).log (In x)=1,..In x=2,..=e. [例1][解](1)2=16. (3)In[log,(Ig )]=0,..log (1g r)=1, 2(3)=27, .lgx=2.x=10=100. (3)(5)'=x. 【随堂巩固促应用】 (4)l0g,64=3. 1.A改写为指数式x=16,但x作为对数的底数，必须 (6lbgg=-2. 取正值，x=4. 2.B万=x,y=(x)=x,把对数式转化为指数式， (6)log-16=-2. 并选行运算. 5