4.1.2 指数函数的性质与图像-2021-2022学年高一数学同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019必修第二册)

4.1.2指数函数的性质与图像 知识梳理 1.指数函数的定义 一般地，函数y＝ax称为指数函数，其中a是常数，a>0且a≠1. 2.指数函数y＝ax(a>0且a≠1)具有下列性质： （1）定义域是. （2）值域是，即对任何实数x，都有ax>0，也就是说函数图像一定在x轴的上方. （3）函数图像一定过点. （4）当a>1时，y＝ax是增函数；当0<a<1时，y＝ax是减函数. （5）指数函数的图像. 注意： 底数a与1的大小关系决定了指数函数图像的“升”与“降”.当a＞1时，指数函数的图像是“上升”的；当0＜a＜1时，指数函数的图像是“下降”的. 常见考点 考点一 指数函数的图像 典例1． 如图，①②③④中不属于函数，，的一个是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】 利用指数函数的图象与性质即可得出结果. 【详解】 根据函数与关于对称，可知①④正确， 函数为单调递增函数，故③正确. 所以②不是已知函数图象. 故选：B 变式1-1．（2020·广东·茂名市华英学校高一月考）函数的图象是（ ） A． B． C．D． 【答案】B 【分析】 根据指数函数的性质知：单调减，且函数值恒大于0，即可知正确选项. 【详解】 由知：函数在定义域内单调递减，且恒成立， ∴只有B所表示的函数图象符合要求. 故选：B. 变式1-2．（2020·河北·武邑武罗学校高一期中）当时，函数和的图象只可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由分析函数的单调性以及二次函数图象的开口方向与对称轴，由此可得出合适的选项. 【详解】 当时，指数函数为增函数，二次函数的图象开口向上，且函数图象的对称轴为轴， 因此，函数和的图象只可能是A选项中的图象. 故选：A. 变式1-3． 函数的图像大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由的解析式判断其奇偶性，并确定图象的渐近线，即可确定函数的大致图象. 【详解】 由知：为的一条渐近线，可排除A、B； 且定义域为，则为奇函数，可排除C. 故选：D. 考点二 由指数函数的图像求参数的范围 典例2． 如果函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据指数函数恒过，只需，解不等式即可. 【详解】 函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 则，解得. 故选：B 变式2-1．（2021·北京市十一学校高一期中）已知函数、、、的大致图象如下图所示，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 如图，作出直线得到，即得解. 【详解】 如图，作出直线得到， 所以. 故选：B 变式2-2． 若函数（ 且 ) 的图象经过第一、三、四象限，则一定有（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用指数函数的性质判断的取值范围即可． 【详解】 因为函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 则根据指数函数的图象可知，，即， 又当时，， 即，解得． 故选：A． 【点睛】 本题考查指数函数的图象和性质，要求熟练掌握指数函数的图象与性质，此类问题属于容易题． 变式2-3．（2020·重庆八中高一期末）已知函数，且函数图像不经过第一象限，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用指数函数的图像即可求解． 【详解】 函数为减函数，且图像不经过第一象限, ,即,故选 C. 【点睛】 本题考查指数函数图像的应用，需熟记指数函数的大致图像． 考点三 指数复合型函数的定义域 典例3．（2018·湖北·高一期中）函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用偶次根式被开方数非负得出，然后利用指数函数的单调性可解出该不等式，即可得出函数的定义域. 【详解】 由题意可得，即，. 因此，函数的定义域为. 故选：B. 【点睛】 本题考查函数定义域的求解，同时也考查了指数不等式的计算，考查计算能力，属于基础题. 变式3-1．（2020·江苏南京·高一月考）函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据题意只需解不等式即可得答案. 【详解】 解：要使函数有意义，则，即，所以 所以函数的定义域为 故选：D 变式3-2． 函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据函数的定义域列不等式组求解. 【详解】 由题意，，得，所以. 故选：A 变式3-3． 函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据二次根式的性质求出函数的定义域即可． 【详解】 解：由题意得：， 故，故， 解得：， 故函数的定义域是， 故选：B． 考点四 指