4.1.2 指数函数的性质与图象(二)-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测（人教B版2019）

高中数学·必修第二册(RJB) 跟踪训练 (3)y=a-1(a>0且a≠1). 6.求下列函数的定义域和值域： -()产 (2)y= 321 随堂巩固促应用 验证反情迁移运用 1.函数y=15的图象是 ( ):2.当x∈[-2,2)时，y=3-1的值域是() A(-88 B[-88 c.() D.[.o] 3.函数f(.x)=2·a十1的图象恒过定点 4.函数y=(k+2)a+2一b(a>0且a≠1)是指 数函数，则k= ,b= 提示请完成《素能提升训练》训练二 4.1.2 指数函数的性质与图象（二） [学习任务] 1.能借助指数函数的性质比较大小. 2.会解简单的指数方程、不等式 互动探究解疑难 要点归纳重难突玻 探究一 解指数方程 川规律方法川 [例1门解下列关于x的方程： (1)a心-b型方程通常化为同底来解. (2)解指数方程时常用换元法，用换元法时要特 (1)3-2=81: 别注意“元”的范围，转化为二次方程求解时，要注意 根的取舍. (2)√5=325： (3)5-6×5+5=0. 跟踪训练 1.解下列关于x的方程： 1)81×3=(号)： (2)22+2+3×2-1=0. 6 第四章指数函数，对数函数与幂函数 探究二比较大小 (3)608,77 [例21 设=%=8=(分)》“，则 A.ys>y>y: B.y2>y1> C.y>y>y: D.y>y:>y (2)比较下列各题中两个值的大小： ①()“.()： ②（号）.()， ③0.23,0.32， 探究三解指数不等式 [例3] 1)不等式2-+<号的解集是 (2)解关于x的不等式：a2+'≤a一5(a>0且 a≠1). 川规律方法川 三类指数式的大小比较问题 (1)底数相同、指数不同：利用指数西数的单调性 解块 (2)底数不间，指数相间：利用指数函数的图象解决。 川规律方法川 在同一平面直角坐标系中画出各个函数的图象，依据底 解指数不等式应注意的问题 数对指数面数图象的彩响，按照逆时针方向观察，底数 (1)形如a>a的不等式，借助于函致y=a'的 在逐新增大，然后观黎指数所取值对应的函数值即可。 单调性求解，如果a的取值不确定，需分4>1与0<d (3)底数不同，指数也不同：采用介值法（中可量 <1两种情况讨论： 法).取中间登1，中一个大于1，另一个小于1：或者 (2)形如>b的不等式，注意将b转化为以a为 以其中一个指数式的底数为底数，以另一个指数式的 底数的指数暴的形式，再借助于酒数y=:的单调性 指数为指数。比如，要比较a与b的大小，可取a“(成 求解. b)为中同量，a与a”利用函数的单阔性比较大小， 与：“利用指数西数的图象解决. 口跟踪训练 ☑跟踪训练 3.设0<a<1,则关于x的不等式a2+> 2.比较下列各题中两个值的大小： a2+28的解集为 (1)318,35; 4.不等式(2a2一1)'<1的解集为（一∞，0），则 (2)705,85: 实数a的取值范围是 7 高中数学·必修第二册(RJB) 随堂巩固促应用 验证反馈迁移运用 1.方程4-1=16的解是 ）:3.已知三个数a=607,b=0.70.8,c=0.8.7,则 A=-是 B=是 这三个数的大小关系是 A.a>b>c B.bc>a C.x=1 D.x=2 C.c>b>a D.a>c>b 2.若2+1<1，则x的取值范围是 )4.不等式2<2-“的解集是 A.(-1,1) B.(-1,十c∞) C.(0,1)U(1,+∞)D.(-oo,-1) 提示请完成《素能提升训练》训练三 4.1.2 指数函数的性质与图象（三） [学习任务] 1.掌握指数型函数的单调区间的求法及单调性的判断. 2.掌握指数函数在现实生活中的应用， 3.掌握指数函数的综合性问题. 互动探究解疑难 要点归纳重难突碳 探究一指数型复合函数的单调性 跟踪训练 [例1门 (1)函数f(x)=5-+的单调递增区1.函数y=2+2一的单调递增区间为 间为 ）2.函数f(x)=√32-1的单调递减区间 A.[-2,+o∞) B[-2,+o∞ 是 探究二指数函数的实际应用 c(,-] D.(-o∞，-2] [例2](2022·惠州高一期未)在某个时期， (2)(2022·上饶高一期末)函数f(x)= 某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈 () 的单调递增区间为 指数增长，已知经过30天以后，该湖泊的蓝 藻数大约为原来的6倍，那么经过60天后该 B. 湖泊的蓝藻数大约为原来的 () A.18倍 B.24倍 c[2 n[+ C.36倍 D.48倍 川规律方法川 川规律方法川 解决指数函数应用题的流程 复合函数单调性问题归根结底是由工，<工：到 (门)审题：理解题竞，弄清楚关健字词和字每的魔 f(x,)与f(r)的大小，再到g(f())与g((r))的 义，从题意中提取信息 大小关系柯题，即当两个函数单调性相同时，复合后 (2)建模：据已知条件，列出指数通数的关系式， 西数为增函数：当两个函数单调性相反时，复合后面 (3)解模：运用数学知识解决问题. 数为城面数，简记为“同增异减”， (4)回归：还原为实际问题，归纳得出结论， 8所以1-3[0,1 跟踪训练 1.解(1)因为81×3*-()”, 即函数y- 1-3的值域为[0,1). (2)要使函数式有意义,则x一40,解得x-4 所以3-+4-3-2-+》, 所以函数y-2的定义域为(xERx4). 所以2x+4--2(x+2),所以x--2. (2)因为2*++3×2-1-0, 所以4×(2)+3×2-1-0. 即函数y-2的值域为(yly>0且y1). 令t-2(t>0),则方程可化为4t{十3t-1-0 (3)要使函数式有意义,则一xl二0,解得x=0 解得1-或t--1(含去). 所以画数y)一() -r 的定义域为(0). 所以2-1解得x--2. -()-()-一1. 探究二 () [例2][解析](1)y,=4^=2*,y=8"*-2, 的值域为(1). x-() -*-2. 跟踪训练 :y-2在R上是增函数,1.8>1.5>1.44, .y>y>y,故选C. (2)①因为0<<1,所以画数y-()在其定义域 R上单调递减,又因为-1.8-2.5,所以(5)< -(x-1){+1<1,且函数y-()在R上是减画数, ()”. 可知画数y-()的值域是[#,+). (2)要使画数解析式有意义,需3--1→0,解得x→> ②在同一平面直角坐标系中画出指数函数y-() 与y-()”的图象,如图所示. #-#,故画数的定义域是[一,+),画数的值域是 (_ [o.十o). (3)函数y=a(a>0且a1)的定义域是R,值域是 (0,+co),故函数y=a-1(a>0且a1)的定义域 是R,值域是(-1,十oo). -0.5 0 【随堂巩固促应用】 1.B 因为指数函数y-15*的底数15 1,所以函数 y-15是R上的增函数,排除A,C;又因为当x一0时, 当x=-0.5时,由图象观察可得()>(3). y-1,即图象过定点(0,1). 2.A y=3”-1-() -1,x[-2,2)是减画数, ③因为0<0.2<0.3<1,所以指数函数y-0.2与y 0.3*在定义域R上均是减函数,且在区间(0,十o)上 8_<8. .3-1<<3--1,即- 函数y-0.2*的图象在函数y-0.3的图象的下方,所 以0.2*<0.3,又根据指数函数y-0.2的性质可得 3. $1,3)令x-1-0,得x-1,f(1)-2×1+1-3,所以 0.2*<0.2**,所以0.2<0.3。 [答案] f(x)的图象恒过定点(1,3). (1)C(2)见解析 {^+2-1,:k--1,6-2. 4.-1 2 由题意可知 跟踪训练 12-b-0. 2.解 (1)因为3 1,所以函数y-3在定义域R上单调 递增,又因为-1.8-2.5,所以3-13--5. 4.1.2 指数函数的性质与图象(二) (2)依据指数函数中底数a对函数图象的影响,画出函 【互动探究解疑难】 数y-7”与y-8的图象(图略),可得7*8. 探究一 (3)因为1<6{ 7,所以指数函数y-6与函数y-7*在$ [例1][解](1)因为81-3*,所以3-3, 定义域R上是增函数,且6-0*<1,7*1,所以6-} 所以3x-2-4,解得x-2. <7. (2)因为 5-v25,所以5+-5 ,所以-3. 探究三 [例3] [解析] 1(1)·2--2, 解得-.# '.-3x+1<-1,即x”-3x+2<0,解得1<<2 (3)令t-5*,则t0,原方程可化为*-6t十5-0. 故不等式的解集为(1,2). 解得1-5或1-1,即5-5或5-1, (2)当0<a<1时,2x十1>x-5,解得x-6; 所以x-1或x-0. 当a>1时,2x+1<x-5,解得x<-6; 所以当0~a 1时,不等式的解集为[-6,十); 2.(-,-1] 1 由3---1>0,知x ---2>0,求得x 当a1时,不等式的解集为(一,一6]. <一1或x2,可得函数的定义域为(-,-1] [答案](1)(1,2)(2)见解析 [2,+oo),y=x-x-2,开口向上,(-,-1]时, 跟踪训练 函数是减函数,即y-3---1单调递减,由复合函数 3.(1,+oo)因为0{a<1,所以y=a}在R上是减函 数,又因为a-?>t-1,所以2x”-3x+2<2r 的单调性,可知函数f(x)=V3--:-1的单调递减 区间是(-,-1]. +2x-3,解得x>1. 探究二 4.(一,一1)U(1,十o)由指数函数单调性易知,不等 式(2a*-1)<1的解集为(-o,0),即2a-1>1,2a [例2] [解析] 某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长 >2,a{1,解得a1或a<-1,实数a的取值范围是 率呈指数增长,经过30天以后,该湖泊的蓝藻数大约为 (-,-1)U(1,+o). 原来的6倍,设湖泊中原来蓝藻数量为a,则a(1十 【随堂巩固促应用】 6.25%)”一6a,',经过60天后该湖泊的蓝藻数量为 y-a(1+6.25%)*-a[(1+6.25%)”]-36a.'.经过 60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的36倍. 2.D不等式2<1-2,.y-2是增函数 [答案]C .x十1<0,即x-1. 跟踪训练 3. Da=66-1c=0.8”' 0.7*' 0.7*'=6$$ 3.A 设北冰洋冬季冰盖面积的年平均变化率为力,则力^{*} 且c-0.8<0.8-1,所以a>c>b. 一0.95,.为-0.95 .因此,设2022年的冬季冰盖面积 4.(-~,) 由2<2*-*得x<2-3x,即x<,故不 为m,从2022年起,经过工年后冬季冰盖面积y与工的 函数关系是y-0.95*·m. 等式的解集为(-o,). 4.C 由题意可得Ne“二 4.1.2 指数函数的性质与图象(三) N *-0. 64N。-()N。,可得e*-(e")“- ", 【互动探究解疑难】 解得:一8.因此,污染物消除至最初的64%还需要 探究一 4小时. [例1] [解析](1)由题意,函数f(x)的定义域为R. 探究三 (-2x-3,x>-2. 设u-g(x)-1-12x+4= [例3] [解] (1)证明:函数f(x)的定义域为R,关于原 12x十5,x<-2. 点对称. 则g(x)在(一2,十o)上单调递减,在(一oo,-2]上 单调递增,又因为y一5*在R上单调递增,根据复合 函数的单调性,可得函数f(x)的单调递增区间为 (-,-2]. __ 12 =一f(x),所以函数f(x)为奇函数. (2)由-*+x+1→0得1-1+5 (2)证明:设,x。是(一0,十o0)上任意两个实数,且 2 #的义#. 2 --+x十1在(-]上单调增 2-2 (2+1)(2+1) 在[+)上单调递减, 因为xx,所以2-2<0, 所以f(x.)一f(x.)<0,即f(x.)<f(x.). _十在-]#单调增, 所以函数f(x)在(一oo,十oo)上是增函数. (3)因为函数f(x)在(一o0,十co)上是增函数, #在#上减## 所以函数f(x)在[1,2]上也是增函数, 3 又y-()在R上单调减, 所以画数(2)在[1,2]上的值域为[1]. .f()-() _7 的单调递增区间为 跟踪训练 #.# 5.解(1)由2-1-0,得x-0 &函数f(x)的定义域为(-o,0)U(0,十oo). [答案](1)D(2)C (2)由于函数f(x)的定义域关于原点对称, 且(-)-(+)(-) 跟踪训练 1.(-o,1)因为y=-x+2x-3在(-o,1)上单调递 -(2”)-(+)·一(), 增,在(1,十o)上单调递减,又因为y-2*在R上单调 递增,所以y-2-+2-”的单调递增区间为(-oo,1). '.f(x)为偶函数. 施