4.1.2 指数函数的性质与图象(一)-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测（人教B版2019）

高中数学·必修 第二册(R]B 4.1.2 指数函数的性质与图象(一) [学习任务] 1.理解指数函数的概念,了解底数的限制条件的合理性 2.堂挥指数函数图象与性质 3. 会应用指数函数的性质求复合函数的定义域,值域 D自主学习探新知 谦前抗习 双基善实 知识点一 指数函数的定义 1 0<1 函数 称为指数函数,其中a是常 。. / _r 数, 图象 0.1 微思考 1.--)1 [思考1] 为什么规定指数函数的底数a>0 且a-1? 定义域 B 值域 (0.十) 桓过点 在R上是单调 在R上是单调 函数 函数 性质 [思考2]函数y一a(其中a,b为常数 当0时,; 当0时, a0且a关1,b字0)是指数函数吗? 当0时,y后 当0时,后 微判断 判断正误(正确的画“”,错误的画“×”). (1)指数函数v一中,a可以为负数. 知识点二 指数函数的图象与性质 ) (2)指数函数的图象一定在工轴的上方,( _ 函数y三a(a>0且a去1)的图象和 (3)函数y-()在R上是减函数.( ) 性质 互动探究解疑难 要点归纳 难突破 A.-8 探究一 指数函数的概念 B.f(0)--3 ,_ [例1](1)下列是指数函数的是 C./()-22 D.a-4 A.-(-4) B.-21 C.- D.-3 Ill规律方法l (1)指数函数的解析式必须具有三个特征: (2)(多选)若函数f(x)-(a-3)a(a>0 ①底数a为大干0且不等于1的常数; ②指数位置是自变量x1 且a关1)是指数函数,则下列说法正确的是 ③的系数是1. (2)求指数函数的关键是求底数a.井注意a的限 ,_ ) 制条件。 4 第四章 指数函数、对数函数与寡函数 C跟踪训练 4.函数f(x)一a*的图象如图所示,其中a,b ( 为常数,则下列结论正确的是 1.若指数函数/(x)的图象经过点(2,9),则 ) /(-1)= ( ): # B.- C.2 D.-2 2.已知f(x)=(m{}一m-5)n是指数函数,则 A.a>1,b0 B.a>1,b0 实数的值是 C.0a 1.6>0 D.0<a<1,b<0 探究二 指数函数的图象 5.已知。-3-1 [例2](1)已知函数f(x)-4十a的图象经 2 ,函数f(x)一a,若实数n,7 过定点P,则点P的坐标是 ( ) 满足f(n)>f(n),则n,”的大小关系为 A.(-1,5) B.(-1,4) C.(0,4) D.(4,0) 探究三 指数型函数的定义域和值域 (2)下列几个函数的图象如图所示:①y一a; [例3] 求下列函数的定义域和值域: ②y=b;③y=^;④y=d.则a,b,c,d与。 (1)y-v1-3: 和1的关系是 ## (2)y-2; (3)y一({)-. A.0<a<b<1<c<d B.0<b a1<d<c C.0b<a1<c<d D. 1<a<b<c<d (3)若函数y=a+b-1(a>0且a去1)的图 象经过第二、三、四象限,则一定有 A.0<a1且6>0 B.a>1且b0 C.0a<1且b0 D.a>1且6<0 II规律方法II 处理指数型函数图象问题的策略 (1)抓住特殊点:指数函数的图象过定点(0.1),求 指数型函数图象所过的定点时,只要令指数为0,求出 对应的y的值,即可得函数图象所过的定点. I|I规律方法II (2)巧用图象变换;函数图象的平移变换(左右平 移、上下平移). 指数型函数的定义域、值域的求法 (1)求与指数函数有关的函数的定义域时,首先 (3)利用涵数的性质:奇偶性与单调性, 观察函数是y一a”型还是y-a型,前者的定义域是 B,后者的定义域与f(r)的定义域一致,而求y D跟踪训练 Vf(a)型函数的定义域时,往往转化为解指数不等 3.函数y-2的图象是 式(组). ### (2)求与指数函数有关的函数的值域时,在运用 前面介绍的求函数值域的方法的前提下,要注意指数 函数的值域为(0,十),切记准确运用指数函数的单 调性.。 B C D 1D 高中数学·必修 第二册(RJB) D跟踪训练 (3)y-a -1(a>0且a去1). 6.求下列函数的定义域和值域 (1)y_()一 (2)y= 随堂巩固促应用 验证反馈 迁移运用 ( 1.函数y-15的图象是 过 )2.当x[-2,2)时,y-3-1的值域是( $A.(-{88 ##_#→ B.-88] C.(9) .[。 3.函数f(x)-2·a+1的图象恒过定点 4.函数y=(+2)a +2-b(a>0且a去1)是指 数函数,则一 ,一 C 提示请完成《素能提升训练》训练二 4.1.2 指数函数的性质与图象(二) [学习任务] 1.能借助指数函数的性质比较大小 2.会解简单的指数方程、不等式. D互动探究解疑难 要点归络 重难突 探究一 解指数方程 II规律方法|I [例1] 解下列关于;的方程: (1)a一b型方程通常化为同底来解。 (2)解指数方程时常用换元法,用换元法时要特 (1)3-2-81; 别注意“元”的范围,转化为二次方程求解时,要注意 (2)5-/25; 根的取舍。 (3)5^-6×5+5-0. C跟踪训练 1.解下列关于x的方程; (1)81×3{-()*}; (2)2++3×2-1-0.探究三 [提示2]y=a=(a)',,a>0且a≠1，b≠0， [例3][解](1)将a+a+=3两边平方得a十a1+2 a>0且a≠1，故此函数是指数函数 =9,所以a十a1=7. 知识点二 (2)将a十a1=7两边平方得a+a1+2=49, (0,1)递增递减(0,1)(1，十∞)(1，+∞) 所以a十a=47. (0,1) (3)南Q(2)可得士a±14+=6. 微判断 a十a+17+1 (1)×(2)√(3)W 跟踪训练 【互动探究解疑难】 3.解(1)：a++a+=4, 探究一 [例1][解析](1)选项A中，y=(-4),因为一4<0 ∴(a+a+）=a+a'+2=16, 不满足底数a>0且a≠1，故y=(一4)不是指数函效， .a+al=14. 故A错误：选项B中，y=2+1=2×2不满足指数函数 ra*-at-(a*)'-(a+) 前系数等于1，故y=2不是指数函教，故B错误：选 项C中，y=a没有指出a的范围，当a>0且a≠1时才 (a-at）(a+a'+aat 是指数函数，故C错误：选项D中，y=3是指数函数， 故D正确，故选D a-a 4-4 =a+a1+1=15. (2)因为画数f(x)是指数画数，所以24一3=1，所以 (2)由r-↓=1x>0)可知x2=x+1, a=8,所以fx)=8,所以f(0)=1,f(号）=8* x+x)(x-x*)） 22,故B,D错误，A,C正确 原式= [答案](1)D(2)AC +1 跟踪训练 =(+）-- l.A设指数函数f(x)=a(a>0且a≠1)，因为f(x)的 图象经过，点(2,9)，所以a=9,解得a=3,即f(x)=3, 因此f(-1)=3= 3” 【随堂巩固促应用】 2.3f(x)是指数函数，∴.m一m一5=1，解得n=3或 1 1 2 1 1.Cf-)+f)=1+2+1+2=1+2+1+2 一2，m■一2不满足题意故含去，，m=3. 探究二 1,故A错谈，C正确：f(-x)-f(x)=1+2一1+2 1 [例2][解析](1)当x+1=0,即x=-1时，a1=a =2中2多品1异不是参数，故即 =1,为常数，此时f(x)=4十1=5.即点P的坐标为 2 (-1,5). 错误.故选C (2)由指数函数图象得，当底数大于1时为增品数，并且 底数越大增加得越快，因此得到c>>1,反之，1>a>b 2.CD对于选项A,(一1)和（一1）均符合分数指数暴 >0,所以0<ba<1<dc. 的定义，但(-1)*=/一1=-1，(-1)=/-1) (3)函数y=a'十b一1(a>0且a≠1)的图象是由函数 =1,即A不符合题意：对于选项B.0的负分数指数幂 y=的图象经过向上或向下平移而得到的，因其图象 没有意义，即B不符合题意：对于选项C,4广=√②= 不经过第一象限，所以a∈(0,1).若经过第二、三、四象 2”,即C符合短意：时于选项D,十-，即D拼合 限，别需将函数y=a(0<a<1)的图象向下平移大于1 个单位长度，即b一1<一1，所以<0. 题意 [答案](1)A(2)B(3)C 3D原式= -a-a". 跟踪训练 aaa 2,x≥0， 4.4 原=(5)+(8)-1+（贸） 4,D从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数 [()]+3-1+[(2)]=品+2+=4. 从而有0<a<1:从曲线位置看，是由函数y=a(0<d <1)的图象向左平移一b个单位长度得到，所以一b>0, 4.1.2 指数函数的性质与图象（一） 即h<0. 5.m<1 0<31<1扇数f(x=4在R上为减 【自主学习探新知】 2 知识点一 函数，又f(n)>f(n),.mn, 3y=a3 a>0且a≠1 探究三 微思考 [例3][解](1)要使函数式有意义，则1一3≥0， [提示1门规定y=a中，a>0且a≠1的理由：①当 即3≤1=3. a≤0时，a可能无意义②当a>0时，x可以取任何实 因为函数y=3在R上是增函数，所以x0, 数：③当a=1时，a=1(x∈R),无研究价值，因此规定 故函数y=/1一3的定义战为（一0∞，0]. y=a'中，a>0且a≠1. 因为x≤0，所以0<3≤1，所以0≤1-3<1， 2 所以√/1-3∈[0,1)， 跟踪训练 即函数y=√/1一3的值城为[0,1). (2)要使函数式有意义，则x一4≠0，解得x≠4， 上解D网为81×-（兮）。 所以3+=3+” 所以盛数y=2”的定义城为{z∈Rx≠4， 所以2x十4=一2(x十2)，所以x=一2. 因为0，所以2产≠1， (2)周为22++3X2-1=0, 所以4×(2)2+3×2一1=0. 即函数y=2的值战为{yly>0且y≠1}. 令1=2'(t>0),则方程可化为41+31一1=0， (3)要使函数式有意义，则一x≥0，解得x=0, 所以画散少一（号） 解得1=子或1=-1（合去 的定义域为{0). 所以2=1 ,解得x=一2. =(号)=1 探究二 则品数y=(号) [例2][解析](1)y=4=2,y=8=2“, 的值域为{1. =2 跟踪训练 :y=2在R上是增函数，1,8>1.5>1,44， 6.解(1)对于任意的x∈R,函教y=(）都有意 y>y>为，故速C 5 义，故函数y=() 的定义城是R.由2x一x (2)①国为0<号<1，所以函数y=(号）在其定义域 (红-1)+1<1，且函数y=(2）在R上是减函数， R上单调递减.又周为-1.8>一2.5，所以（号） 可知画数y=() () (2)要使画教解析式有意义，需31-号≥0，解得≥ ②在同一平面直角坐标系中画出指数西数y=(号) 一子故函教的定又城是[一子十四）小，函数的值践是 与y=()广的图泉如图所示， [0,十∞). (3)函数y=a(a>0且a≠1)的定义城是R,值域是 (0,十oo),故函数y=a一1(a>0且a≠1)的定义战 是R,值城是（一1，十o∞）. 【随堂巩固促应用】 1.B因为指数函数y=15的底数15>1，所以函数 y=15是R上的增函数，排除A,C,又因为当x=0时， y=1,即图象过定点(0,1). 当r一05时，由图象观繁可得（号）“>() ③因为0<0.2<0.3<1，所以指数函数y=0.2与y= 2.Λy=3-1=(号)广-1[-22)是减画数， 0.3在定义城R上均是减函数，且在区间(0，+∞)上 3-13-1,即-8<8 函数y=0.2的图象在函数y=0.3的图象的下方，所 以0.22<0.3.又根据指数函数y=0.2的性质可得 3.(1,3)令x-1=0,得x=1,f(1)=2×1+1=3,所以 0.23<0.2,所以0.21<0.3. f(x)的图象恒过定点(1,3). [答案](1)C(2)见解析 跟踪训练 4.一12由题意可知 k+2=1:k=-1,6=2. 12-b=0, 2.解(1)因为3>1，所以函数y=3在定义域R上单调 4.1.2指数函数的性质与图象（二） 递增.又因为-1.8>一2.5，所以31>3， (2)依据指数函数中底数a对函数图象的影响，画出 【互动探究解疑难】 数y=7与y=8的图象（图略），可得7>8 探究一 (3)图为1<6<7，所以指数函数y=6与函数y=7在 [例1][解](1)因为81=3，所以3=3， 定义城R上是增虽数，且60<1,7”>1，所以6 所以3x-2=4.解得x=2. <7. （②因为厅=西，所以5矿=5，所以号-号 探究三 [例3][解析]1：2<=2， 解得=青 .x2-3x十1<-1，即x一3x十20，解得1<x2, (3)令1=5'，则t>0,原方程可化为1一61十5=0， 故不等式的解集为(1,2) 解得1=5或1=1，即5=5或5=1， (2)当0a<1时，2x十1≥x-5,解得x≥一6： 所以x=1或x=0. 当a>1时，2x十1≤x-5,解得r≤一6， 3