4.1.1 实数指数幂及其运算-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测（人教B版2019）

第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.1 指数与指数函数 4.1.1实数指数幂及其运算 [学习任务] 1.理解n次方根及根式的概念. 2.正确运用根式的运算性质进行根式运算. 3.掌握根式与分数指数幂的互化 4.掌握有理数指数幂的运算性质. 自主学习探新知 课前预习双基灌实 知识点一根式 知识点二 分数指数幂 1.a的n次方根的概念：一般地，给定大于1的：1.分数指数幂的意义 正整数n和实数a,如果存在实数x,使得 ①a=a: x”=a,则x称为 正分数 ②a=(a)"=a(m,n∈N,且 指数幂 2.根式的意义：当a有意义的时候，a称为根 数 ”为既约分数 式， 称为根指数，a称为被开方数. 指 数 负分数 3.根式的性质 (n,m∈N.》 幂 指数幂 (1)(a)= 0的分数 0的正分数指数幂等于 .0 (n为奇数)， 指数幂 的负分数指数幂 (2)Va (n为偶数). 赵微思考 赵微判断 [思考] 分数指数幂a可以理解为”个a相 判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）. 乘吗？ (1)实数a的n次方根有且只有一个.( (2)a"=(a)" 2.有理数指数幂的运算法则 (3)当n∈N,且n>1时，（一16）"都有 (1)a'a'= (s,t∈Q): 意义 (2)(a) (s,t∈Q): (4)√(3-π)=π-3. (3)(ab)'= (a,b>0,s∈Q) 高中数学·必修第二册(RJB) 知识点三实数指数幂 理数指数幂同样适用.因此，当a>0,l为任意实数 无理数指数幂a(a>0,t是无理数)是一个确 时，实数指数幂d都有意义，对任意实数s和t,类 定的 ,有理数指数幂的运算性质对于无： 似有理数指数幂的运算法则仍然成立. 互动探究解疑难 要点归纳单难突皱 探究一 根式与分数指数幂的互化 跟踪训练 [例1](1)（多选）下列根式与分数指数幂的 :1,用分数指数幂表示下列各式： 互化正确的是 ( (1) √a√ (a>0,b>0): A.-√元=(-x)(x>0) B.=y(y<0) (2)V√a6a6(a>0,b>0). C.x= g>0) n-ao (2)用分数指数幂的形式表示下列各式： ①aa(a>0): ②Vawa(a>0): ③(6于)T(b>0): 探究二根式、分数指数幂的化简与求值 (x>0,y>0). [例2]化简下列各式： (1)￥a·a·a (a) (2)0.064-(-8)”+[(2-)]+16: 624.1-2语)x (3) a8ab 川规律方法川 根式与分数指数幂互化的规律及技巧 (1)规律4根指数北克分发指数器的分导. 被开方数（式）的指数您克分数指数幂的分子。 (2)技巧：当表达式中的根号较多时，由里向外用 分数指数暴的形式写出来，然后再利用相关的运算性 质进行化简。 2 第四章指数函数，对数函数与幂函数 川规律方法 (3)4+a2+1 利用指数幂的运算法则化简求值的方法 a十a1+1 (1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指 数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顿运 算的顺序. (2)在明确根指数的奇偶数（或具体次数）时，若能 明确被开方数的符号，则可以对根式进行化第运算。 (3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分 数指数鬈的形式表示. ☑跟踪训练 2.(1)化简：a(a-2b)÷(af-2迈)× 川规律方法川 条件求值问题的常用方法 vaia (1)整体代入：从已知条件中解出所含字母的 值，然后再代入求值，这种方法一般是不可取的，应 设法从整体寻求结果与条件的联系，进而整体代入 (2)计算：2×，)-4(8)-2× 求值. (2)求值后代入：所求结果涉及的某些部分，可以 (-2.015)°. 作为一个整体先求出其值，然后再代入求最终结果， ☑跟踪训练 3.1)已知a十。+=4，求-“的值： af-a (2)已知x一 1,其中>0，求二- 千的值， 探究三数式的条件求值问题 例3](2022·徐州高一期未)已知a+a =3,求下列各式的值： (1)a+a: (2)a2+a2: 随堂巩固促应用 验证反情迁移运用 1.(2022·北京卷)已知函数f(x)= 1 1+2,则 C.2和4 D有 对任意实数x,有 3. (a>0)的化简结果是 A.f(-x)+f(x)=0 a B.f(-x)-f(x)=0 A.1 B.a C.a D. C.f(-x)+f(x)=1 4.计算：0.0625+[(-3)]-（√5-3）°+ D-)-)=号 3.3 2.(多选)下列各组数中，既符合分数指数幂的 V38 定义，值又相等的是 )提示请完成《素能提升训练》训练一 A.(-1)和(-1)B.02和0 3同步课堂讲义 第四章指数函数、 对数函数与幂函数 [答案](1)CD(2)见解析 跟踪训练 4.1指数与指数函数 4.1.1实数指数幂及其运算 (2)√a'6aB=√a6(ab)=√a'6a万 【自主学习探新知】 知识点一 =√a+bF=ab 1.a的n次方根 探究二 2.n 3.(1)a(2)alal [例2)[解])由题知a>0,原式=。，a:。 (a) 微判断 +++++ (1)×(2)×(3)×(4)V =a+=a* 知识点二 1.0没有意义 微思考 (20.064-(-名）°+[(2-]*+16 [提示]不可以，事实上，它是根式的一种新写法， =(100)-1+(x-2+2) a=a" 2.(1)a+t(2)a°(3)ab -[()门+-3+2-号+-3+-器 知识点三 实数 6*+24a(1-2招)xa (3) a+-8a+b 【互动探究解疑难】 探究一 a+(a-8b) [例1][解析](1)-√元=-x*(x>0): (2)+2a*6+( at-2b"xat a 万=(y)*=-y*(y<0): a+(a-8b) (2b)+2a*b*+(a+)】 +-()》广-2*o. -。++a-的-aa-的=a a-86 (2)①aa=a2a=a2+=a+ (a*)-(2b*) @√aa-√aaF=√aF=(at)t=a+ 跟踪训练 @愿我=[(6+)门广=+小()-6 2解1)原式=。（口-2公）÷(。+-2)× ①方法一：从外向里化为分数指数暴。 晨ew()×= 居厚-任居) -atXaXatxt-+xt=atXaXat=at+u+-d'. -[)灯-[)] (2原式=(2*×3*)-4×[（号）门-2*×(2) -1 =()() 芳 =2×3-4×(号)'-(2)*-1 方法二：从里向外化为分数指数幕。 =4×27-4X7-2-1 x =98. 探究三 [提示2]y=a=(a)产，：a>0且a≠1，b≠0， [例3][解](1)将a++a+=3两边平方得a十a1+2 .a>0且a°≠1，故此函数是指数函数 =9,所以a十a3=7. 知识点二 (2)将a十a1=7两边平方得a2+a2+2=49, (0,1)递增递减(0,1)(1，十o)(1,十∞) 所以a+a2=47. (0,1) (3)南D(2)可得十a告-+=6. 微判断 a+a1+17+1 (1)×(2)√(3) 跟踪训练 【互动探究解疑难】 3.解(1)a++a+=4, 探究一 ÷(a+a+)'=a+a+2=16, [例1][解析](1)选项A中，y=(-4),因为-4<0 不满足底数a>0且a≠1，故y=(一4)不是指数函数， .a+a1=14. 故A错误；选项B中，y=2+1=2×2不满足指数函数 "at-a-+=(at)'-(a-+), 前系数等于1，故y=2不是指数函数，故B错误：选 项C中，y=a没有指出a的范围，当a>0且a≠1时才 t-at_(a-at(e+a+a。+） 是指数函数，故C错误：选项D中，y=3”是指数函数， 故D正确，故选D. af-a+ at-a+ =a+a1+1=15. (2)周为函数f(x是指数晶数，所以2a-3-1,所以 (2)由x-1=1(x>0)可知工=x+1, a=8,所以f(x)=8,所以f(0)=1,f(号）=8* 原-（+)-) 2√2，故B,D错误，A,C正确 x+l [答案](1)D(2)AC t-x 跟踪训练 =(x+x)-x- 1.A设指数函数f(x)=a(a>0且a≠1)，因为f(x)的 x+1 图象经过点(2,9)，所以a=9,解得a=3,即f(x)=3, x =xx+x+1. 因此f(-1)=3=号 【随堂巩固促应用】 2.3,f(x)是指数函数，，.m一m一5=1，解得m=3或 1 1 2 1.Cf(-x)+f(x)= 1 1+2+1+2计2+1+2 一2，m=一2不满足题意故含去，m=3. 探究二 1,故A赣误，C正确：(-x)-(x)=1十2一1+2 1 [例2][解析](1)当x十1=0，即x=-1时，a+1=a 千2中2罗品1-品不是常数，故即 =1,为常数，此时f(x)=4十1=5.即点P的坐标为 (-1,5). 错误.故选C, (2)由指数函数图象得，当底数大于1时为增西数，并且 底数越大增加得越快，因此得到c>d>1,反之，1>a>b 2.CD对于选项A,(-1)+和(-1)十均符合分数指数幂 >0,所以0<b<a<1<d<c, 的定义，但(-1)+=-1=-1，(-1)+=/(-1) (3)函数y=a十b一1(a>0且a≠1)的图象是由函数 一1，即A不符合题意：对于选项B,0的负分数指数罪 y=的图象经过向上或向下平移而得到的，周其图象 没有意义，即B不符合题意；对于选项C,4中=√2 不经过第一象限，所以a∈(0,1).若经过第二、三、四象 2,中C特合题意：时于选项D,=3计，即D将合 限，剥需将函数y=a(0<a<1)的图象向下平移大于1 个单位长度，即b-1<-1,所以b<0. 题意 [答案](1)A(2)B(3)C a 跟踪训练 3.D原式= afat-at-a 2,x≥0， 44原式-(2)广+)*-1+( 故选B, 4,D从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数， [(0)]+3-1+[()门=+2+号=4 从而有0<a<1;从曲线位置看，是由函数y=a'(0<a <1)的图象向左平移一6个单位长度得到，所以一b>0, 4.1.2 指数函数的性质与图象（一） 即b<0. 5.m<0<5,-1<1,函数f(x)=a在R上为减 【自主学习探新知】 2 知识点一 函数.叉f(m)>f(n),∴m<n. y=aa>0且a≠1 探究三 微思考 [例3][解](1)要使函数式有意义，则1一3≥0， [提示1]规定y=a中，a>0且a≠1的理由：①当 即3≤1=3. a≤0时，a可能无意义：②当a>0时，x可以取任何实 因为函数y=3在R上是增函数，所以x≤0， 数：③当a=1时，a“=1(x∈R),无研究价值.因此规定 故函数y=√1一3的定义城为（一∞，0们. y=a中，a>0且a≠1， 因为x≤0，所以0<3≤1，所以0≤1-3<1， 2