精品解析：山东省济宁市2024—2025学年上学期12月月考九年级数学试题

SWZ二〇二四年十二月九年级学业评测 数学试题 教材版本：人教版命题范围：第21-26章 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页，满分120分，考试用时120分钟．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试题卷和答题卡规定的位置上． 3．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案不能答在试题卷上． 4．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 第Ⅰ卷（选择题共24分） 一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，满分24分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值是（ ） A. 0 B. 2 C. D. 2或 3. 如图，将（其中，）绕点按顺时针方向旋转到的位置，使得点、、在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）度 A. 35 B. 55 C. 125 D. 65 4. 如图，是的直径，弦交于点，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 一个半径为的圆内接正六边形的面积等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正方形是一块绿化带，其中阴影部分都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为 A. B. C. D. 7. 若关于的一元二次方程有实数根，则的值是（　　） A. B. C. 且 D. 且 8. 如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点．有以下四个结论：①；②；③；④（是任意实数）．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题共96分） 二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，满分24分． 9. 把配方成的形式为__________． 10. 某商品原价元，经过连续两次降价后，售价为元．设平均每次降价的百分率为，则的值为________． 11. 如图，已知反比例函数过A，B两点，A点坐标，直线经过原点，将线段绕点B顺时针旋转90°得到线段，则C点坐标为________． 12. 在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm，那么油面宽度AB是___cm． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形，连结，则对角线的最小值为_______． 14. 若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为__________． 15. 如图，在中，，点是它的内心，则__________． 16. 如图，六边形是正六边形，点，点，将线段绕点按顺时针方向旋转至，将线段绕点按顺时针方向旋转至；将线段绕点按顺时针方向旋转至，依此类推，…，则点的坐标为__________． 三、解答题：本大题共8个小题，满分72分．解答时请写出必要的演推过程． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的三个顶点都在格点上． （1）以O为原点建立平面直角坐标系，点B的坐标为，则点A的坐标为______； （2）画出绕点O顺时针旋转后的，并求线段扫过的面积． 19. 某校九年级举行毕业典礼，需要从九（1）班的2名男生1名女生、九（2）的1名男生1名女生共5人中选出2名主持人． （1）用树形图或列表法列出所有可能情形； （2）求2名主持人来自不同班级的概率； （3）求2名主持人恰好1男1女的概率． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点． （1）求对应的函数表达式； （2）过点作轴交轴于点，求的面积； （3）根据函数图象，直接写出关于的不等式的解集． 21. 如图，为的直径，E为上一点，点C为的中点，过点C作，交的延长线于点D，延长交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径长． 22. 第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在成都举行，大熊猫是成都最具特色的对外传播标识物，此次成都大运会吉祥物“蓉宝”便是以熊猫基地真实的大熊猫“芝麻”为原型创作的．某商店销售“蓉宝”毛绒玩具，进价为25元．经市场调查发现，销售这种毛绒玩具，每天的销售量（件）是每件的售价（元）（且为正整数）的一次函数，其部分对应数据如表所示： 每件的售价（元） … 36 37 38 … 每天的销量（件） … 78 76 74 … （1）直接写出与之间的函数关系式； （2）求出每天销售的总利润（元）与之间的函数关系式； （3）请你分析该商店销售这种毛绒玩具，能否实现投入总成本最少且获利最大． 23. 先阅读下面的内容，再解决问题． 例题：若，求m和n的值． 解：∵， ∴． ∴． ∴，． ∴． 问题：已知为正整数且是的三边长，c是的最短边长，满足，求c的值． 24. 如图1，抛物线与x轴的两个交点中的左边的一个交点为，将该抛物线沿y轴翻折，得到抛物线，点A的对应点为点，将抛物线沿轴分别向右、左平移1个单位后，恰好重合（如图2），重合后的抛物线的顶点为. （1）求平移前的抛物线对应的二次函数的表达式； （2）小明发现：将抛物线沿x轴分别向右、左平移个单位，平移后得到的两条抛物线与轴的交点的位置在发生变化. ①试求出与之间的函数表达式； ②在平移过程中，点A移动到点B的位置，点移动到点的位置，求当为何值时，△是等边三角形. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ SWZ二〇二四年十二月九年级学业评测 数学试题 教材版本：人教版命题范围：第21-26章 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页，满分120分，考试用时120分钟．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试题卷和答题卡规定的位置上． 3．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案不能答在试题卷上． 4．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 第Ⅰ卷（选择题共24分） 一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，满分24分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形定义：把图形沿某点旋转得到的新图形与原图形重合的图形叫中心对称图形，轴对称图形定义：把一个图形沿某条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形，逐个判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， A选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意， B选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意， C选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意， D选项图形是中心对称图形但不是轴对称图形，符合题意， 故选：D； 【点睛】本题考查中心对称图形定义：把图形沿某点旋转得到的新图形与原图形重合的图形叫中心对称图形，轴对称图形定义：把一个图形沿某条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形． 2. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值是（ ） A. 0 B. 2 C. D. 2或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义即使得方程左右两边相等的未知数的值．根据一元二次方程的根的定义代入计算即可． 【详解】解：因为一元二次方程有一个根是0， 所以， 解得． 故选：C． 3. 如图，将（其中，）绕点按顺时针方向旋转到的位置，使得点、、在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）度 A. 35 B. 55 C. 125 D. 65 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质，三角形外角性质，将（其中，）绕点按顺时针方向旋转到的位置，且点、、在同一条直线上，得出，即可作答． 【详解】解：∵将（其中，）绕点按顺时针方向旋转到的位置，且点、、在同一条直线上， ∴旋转角， 故选：C 4. 如图，是的直径，弦交于点，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先连接，得，，结合同弧所对的圆周角相等，进行作答即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 5. 一个半径为的圆内接正六边形的面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查圆的内接正多边形的性质，等边三角形的判定及性质，掌握圆的内接正多边形的性质是解题的关键．过作于，根据圆内接正多边形的特点，求半径为的圆内接正六边形的面积等于求六个与该圆半径为边长的六个等边三角形的面积，先利用等边三角形的判定及性质得，再利用勾股定理先求出，进而求得三角形的面积从而即可求解． 【详解】解：如图：过作于， 由题意可知，求半径为的圆内接正六边形的面积等于求六个与该圆半径为边长的六个等边三角形的面积，，， ∴是等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴该正六边形的面积为：， 故选：． 6. 如图，正方形是一块绿化带，其中阴影部分都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先证明是等腰直角三角形，得到，则，再证明是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，得到，进而求出，由此求出阴影部分面积，再根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设正方形的的边长为a， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 同理可证是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． ∴阴影部分的面积为． ∴小鸟在花圃上的概率为． 故选C． 【点睛】本题主要考查了几何概率，正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，求出阴影部分的面积是解题的关键． 7. 若关于的一元二次方程有实数根，则的值是（　　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据是关于的一元二次方程，得到，根据方程有实根，得到，解不等式，即可求解，本题考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是：根据根的情况，列出根的判别式的关系式． 【详解】解：根据题意得：且， 解得：且， 故选：． 8. 如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点．有以下四个结论：①；②；③；④（是任意实数）．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线开口方向、对称轴、与y轴交点的位置可分别求出a、b、c的符号，可判断①；当时，，可判断②；当时，，再根据对称轴即可判断③；根据二次函数的最值问题可知时，y有最大值，则（是任意实数），变形得可判断④. 本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线的开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定. 【详解】解：由图象可知开口方向向下，抛物线与y轴的交点在正半轴 ∴，. 对称轴，且在时，有最大值，且为． ∴， ∴， ∴，故①错误； 由图象可知，当时. 如图所示： 即.故②正确； ∵，且当时，， 即，故③正确； ∵当时，的值最大，此时；且当，， ∴（是任意实数）． 即. 故④错误． 故选：B. 第Ⅱ卷（非选择题共96分） 二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，满分24分． 9. 把配方成的形式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了化为顶点式，根据，运用配方法得出，即可作答． 【详解】解： ， 故答案为：． 10. 某商品原价元，经过连续两次降价后，售价为元．设平均每次降价的百分率为，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格(1-降低的百分率)=256，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：或(舍去)， 故答案为：． 【点睛】考查了求平均变化率的方法，解题的关键是若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为． 11. 如图，已知反比例函数过A，B两点，A点坐标，直线经过原点，将线段绕点B顺时针旋转90°得到线段，则C点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用“一线三垂直”，证明从而求得C点坐标． 【详解】设：，反比例： 将点A代入可得： ； 联立可得： 过点B作y轴的平行线l 过点A，点C作l的垂线，分别交于D，E两点 则 ， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合运用、三角形全等，平面内点的坐标，图形的旋转．解题的关键是掌握一次函数与反比例函数的相关性质和数形结合思想． 12. 在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm，那么油面宽度AB是___cm． 【答案】48 【解析】 【分析】连接OC、OA，在直角△OAD中利用勾股定理即可求得AD，然后根据垂径定理即可求得AB的长． 【详解】解：连接OC、OA． 则OC⊥AB于点D，OC=OA=×52=26cm，OD=OC-CD=26-16=10cm． 在直角△OAD中，AD=（cm）， 则AB=2AD=48cm． 故答案是：48． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形，连结，则对角线的最小值为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（1，1），再根据矩形的性质得BD=AC，由于AC的长等于点A的纵坐标，所以当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，从而得到BD的最小值． 【详解】∵y=x2-2x+2=（x-1）2+1， ∴抛物线的顶点坐标为（1，1）， ∵四边形ABCD为矩形， ∴BD=AC，AC⊥x轴， ∴AC的长等于点A的纵坐标， 当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1， ∴对角线BD的最小值为1． 故答案为：1． 14. 若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出草图，可得OG=2，，因此利用三角函数便可计算的外接圆半径OA. 【详解】 解：如图，连接、，作于； 则， ∵六边形正六边形， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为． 故答案为． 【点睛】本题主要考查多边形的内接圆和外接圆，关键在于根据题意画出草图，再根据三角函数求解，这是多边形问题的解题思路. 15. 如图，在中，，点是它的内心，则__________． 【答案】##115度 【解析】 【分析】根据三角形内心是三条角平分线的交点进行求解即可．本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和，熟知内心是三条角平分线的交点是解题的关键． 【详解】解；∵， ∴， ∵点是的内心， ∴分别是的角平分线， ∴， ∴， 故答案为；． 16. 如图，六边形是正六边形，点，点，将线段绕点按顺时针方向旋转至，将线段绕点按顺时针方向旋转至；将线段绕点按顺时针方向旋转至，依此类推，…，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先画出图形，发现旋转6次为一循环，由此得到点在射线延长线上，然后利用旋转的性质得到，最后利用勾股定理和含30°角直角三角形的性质求解即可．本题考查了坐标与图形变化，旋转，勾股定理，直角三角形的性质，正六边形的性质，正确确定每次旋转后，点与旋转中心的距离是解题的关键． 【详解】解：如图，前6次旋转后点P的位置，连接， ∵，， ∴， ∵六边形是正六边形， ∴是等边三角形， ∴， 由图可知，在延长线上，由旋转的性质得，在延长线上，由旋转的性质得，在延长线上，由旋转的性质得，在延长线上，由旋转的性质得，在延长线上，由旋转的性质得，在延长线上，由旋转的性质得，在延长线上，由旋转的性质得，…… ∴旋转6次为一个循环， ∵ ∴在延长线上，由旋转的性质得， 过点作于G， 在中， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ∴， ∴． 故答案为： 三、解答题：本大题共8个小题，满分72分．解答时请写出必要的演推过程． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）先移项，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∴ ∴或 ∴，． 18. 在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的三个顶点都在格点上． （1）以O为原点建立平面直角坐标系，点B的坐标为，则点A的坐标为______； （2）画出绕点O顺时针旋转后的，并求线段扫过的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，求不规则面积，旋转作图，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据以O为原点建立平面直角坐标系，点B的坐标为，进行作答即可． （2）根据旋转性质分别作出点，然后连接得，运用扇形面积公式以及割补法进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：以O为原点建立平面直角坐标系，如图所示： ∵点B的坐标为， 则点A的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图所示： ， 线段扫过的面积． 19. 某校九年级举行毕业典礼，需要从九（1）班的2名男生1名女生、九（2）的1名男生1名女生共5人中选出2名主持人． （1）用树形图或列表法列出所有可能情形； （2）求2名主持人来自不同班级的概率； （3）求2名主持人恰好1男1女的概率． 【答案】（1）画树状图见解析. （2）2名主持人来自不同班级的概率为． （3）2名主持人恰好1男1女的概率为． 【解析】 【分析】（1）首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果； （2）由选出的是2名主持人来自不同班级的情况，然后由概率公式即可求得； （3）由选出的是2名主持人恰好1男1女的情况，然后由概率公式即可求得. 【详解】解：（1）画树状图得： 共有20种等可能的结果. （2）∵2名主持人来自不同班级的情况有12种， ∴2名主持人来自不同班级的概率为：； （3）∵2名主持人恰好1男1女的情况有12种， ∴2名主持人恰好1男1女的概率为：=． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比. 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点． （1）求对应的函数表达式； （2）过点作轴交轴于点，求的面积； （3）根据函数图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1），；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）由题意先求出，然后得到点B的坐标，进而问题可求解； （2）由（1）可得以PB为底，点A到PB的距离为高，即为点A、B之间的纵坐标之差的绝对值，进而问题可求解； （3）根据函数图象可直接进行求解． 【详解】解：（1）把点代入反比例函数解析式得：， ∴， ∵点B在反比例函数图象上， ∴，解得：， ∴， 把点A、B作代入直线解析式得：，解得：， ∴； （2）由（1）可得：，， ∵轴， ∴， ∴点A到PB的距离为， ∴； （3）由（1）及图象可得：当时，x的取值范围为或． 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解题的关键． 21. 如图，为的直径，E为上一点，点C为的中点，过点C作，交的延长线于点D，延长交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵点C为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴， ∴， ∵为半径， ∴为切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据弦、弧、圆周角的关系可证，根据圆的性质得，证明，得到，根据切线的判定定理证明； （2）连接，，根据勾股定理得到的长，根据等弧对等弦得到，根据圆内接四边形对角互补得，推出，证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径长为． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 22. 第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在成都举行，大熊猫是成都最具特色的对外传播标识物，此次成都大运会吉祥物“蓉宝”便是以熊猫基地真实的大熊猫“芝麻”为原型创作的．某商店销售“蓉宝”毛绒玩具，进价为25元．经市场调查发现，销售这种毛绒玩具，每天的销售量（件）是每件的售价（元）（且为正整数）的一次函数，其部分对应数据如表所示： 每件的售价（元） … 36 37 38 … 每天的销量（件） … 78 76 74 … （1）直接写出与之间的函数关系式； （2）求出每天销售的总利润（元）与之间的函数关系式； （3）请你分析该商店销售这种毛绒玩具，能否实现投入总成本最少且获利最大． 【答案】（1）； （2）； （3）能实现． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，求一次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法进行求一次函数的解析式，即可作答． （2）根据总利润等于单价利润乘上销售量进行列式，即可作答． （3）先化为顶点式，再结合二次函数的图象性质进行作答． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为， 把和代入得， 解得， ∴与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：根据题意得， 即每天销售的总利润（元）与之间的函数关系式为； 【小问3详解】 解：由（2）知， ∵， ∴开口向下，在时，则有最大值， ∵， ∴当时，该商店销售这种毛绒玩具获利最大为1200元，此时销售量最小，即投入总成本最少． 答：能实现投入总成本最少且获利最大． 23. 先阅读下面的内容，再解决问题． 例题：若，求m和n的值． 解：∵， ∴． ∴． ∴，． ∴． 问题：已知为正整数且是的三边长，c是的最短边长，满足，求c的值． 【答案】3或4 【解析】 【分析】先把原式变形为，根据完全平方公式可得，从而得到，再由三角形的三边关系以及c是的最短边长，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵是的三边长， ∴，即， ∵c是的最短边长， ∴， ∵为正整数， ∴或4． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，三角形的三边关系，熟练掌握完全平方公式，三角形的三边关系是解题的关键． 24. 如图1，抛物线与x轴的两个交点中的左边的一个交点为，将该抛物线沿y轴翻折，得到抛物线，点A的对应点为点，将抛物线沿轴分别向右、左平移1个单位后，恰好重合（如图2），重合后的抛物线的顶点为. （1）求平移前的抛物线对应的二次函数的表达式； （2）小明发现：将抛物线沿x轴分别向右、左平移个单位，平移后得到的两条抛物线与轴的交点的位置在发生变化. ①试求出与之间的函数表达式； ②在平移过程中，点A移动到点B的位置，点移动到点的位置，求当为何值时，△是等边三角形. 【答案】（1）抛物线对应的函数表达式为： （2）①t与m之间的函数表达式是：；② 【解析】 【分析】（1）先找出平移前的抛物线C1的顶点为，设平移前的抛物线的解析式为，再将点A代入函数解析式求抛物线的解析式即可； （2）①设抛物线右移m个单位长度后，得到的抛物线对应的函数表达式为：，因为抛物线与y轴的交点，则令得：，t与m之间的函数表达式是：即可求解； ②根据等边三角形的性质，得到方程，求出m的值即可． 【小问1详解】 解：∵将抛物线沿轴分别向右、左平移1个单位后，恰好重合，重合后的抛物线的顶点为 ∴由平移得：平移前的抛物线的顶点为. 可设抛物线对应的函数表达式为：. 把点A坐标代入，求得. 所以抛物线对应的函数表达式为：； 【小问2详解】 解：①设抛物线右移m个单位长度后， 得到的抛物线对应的函数表达式为：. 令得：. ∴t与m之间的函数表达式是：； ②若△是等边三角形，则 ∴，. 即. ∴. 显然，当时，P、B、重合. ∴，即. ∴ . ∴ 或. ∵， ∴. 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，函数图象对称的性质，等边三角形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $