精品解析：山东省淄博市周村区第二中学（五四制）2024-2025学年九年级上学期第二次月考数学试题

2024年12月数学适应性训练（一）解析 一．选择题（共11小题） 1. 如图，线段是的直径，如果，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，从而求出的度数，最后利用同弧所对的圆周角相等即可解答． 【详解】解：如图：连接， 是的直径， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键． 2. 如图，，是的切线，，为切点，点为上一点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，多边形内角和定理，掌握切线的性质，圆周角定理是解题的关键．如图所示，连接，根据切线的性质可得，根据圆周角定理可得，根据多边形的内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的切线，为切点， ∴，即， ∵点为上一点，， ∴， 在四边形中，， 故选：C． 3. 如图，P为外一点，分别切于点A、B，切于点E，分别交于点C、D，若，则的周长为（　　） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】根据切线长定理得到 ， ， ，再根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解： 分别切 于点 ， 切 于点 ，， ， ， ， 的周长 ， 故选：C ． 【点睛】本题考查了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，关键是把的周长转化为已知切线相关的线段计算． 4. 如图，两个同心圆的半径分别为和，大圆的弦与小圆相切，则劣弧的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了切线的性质，弧长公式，三角函数，熟练掌握切线的性质是解答本题的关键． 设大圆的一条弦与小圆相切于点，连接，，由切线的性质，可得，根据已知条件可得：，进而求出的度数，则圆心角可求，根据弧长公式即可求出劣弧的长． 【详解】解：如图，设大圆的一条弦与小圆相切于点，连接，， ， ， 在中，， ， ， ， 劣弧的长， 故选：B． 5. 如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，⊙A与x轴交于B(2，0)、C(8，0)两点，与y轴相切于点D，则点A的坐标是( ) A. (5，3) B. (4，5) C. (5，4) D. (3，5) 【答案】C 【解析】 【分析】因为点在第一象限，与轴交于、两点，与轴相切于点，所以，，，连接，则，过点作于，则是矩形，由垂径定理可知，所以，再连接，则，利用勾股定理可求出，从而就求出了的坐标. 【详解】连接、、，再过点作于，则是矩形， 点第一象限，与轴交于、两点，与轴相切于点， ，，， 与轴相切于点， ， 由垂径定理可知：， ， ， 利用勾股定理知， . 故选. 【点睛】本题需综合利用垂径定理、勾股定理来解决问题. 6. 如图，四边形内接于，E为BC延长线上一点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据邻补角互补求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补求出的度数，最后根据圆周角定理即可求出的度数． 详解】解：∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握这些定理和性质是解题的关键． 7. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线，与边BC交于点E，若AD=， AC=3．则DE长为（　　） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接OD，CD．由切线长定理得CD=DE，可证明△ADC∽△ACB，则可求得BD，再由勾股定理求得BC，可证明BE=DE，从而求得DE的长． 【详解】连接OD，CD． ∵AC为⊙O的直径， ∴∠ADC=90°， ∵AD=，AC=3． ∴CD=， ∵OD=OC=OA， ∴∠OCD=∠ODC， ∵DE是切线， ∴∠CDE+∠ODC=90°． ∵∠OCD+∠DCB=90°， ∴∠BCD=∠CDE， ∴DE=CE． ∴△ADC∽△ACB， ∴∠B=∠ACD， ∴， ∴BC==4， ∵∠ACD+∠DCB=90°， ∴∠B+∠DCB=90°，∠B+∠CDE=90°，∠CDE+∠BDE=90°， ∴∠B=∠BDE， ∴BE=DE， ∴BE=CE=DE． ∴DE=BC=×4=2． 故选B． 【点睛】本题考查了切线长定理、圆周角定理、相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握这些性质. 8. 如图，是半径为2的外的一点，，切于点，弦，连接，则图中阴影部分的面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用切线的性质，再利用特殊角的三角函数值可求出，则，接着利用平行线的性质得到，利用三角形面积公式可得到，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积进行计算． 【详解】解：∵切于点， ∴， ∴， 在中，∵，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，图中阴影部分的面积， ∴图中阴影部分的面积． 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的性质和扇形的面积计算公式，特殊角的三角函数，平行线的性质等知识，根据面积相等进行转化是解题的关键． 9. 如图，是的直径，C在上，I 为的内心，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形内心的性质，解直角三角形，熟练掌握相关性质是解题的关键．延长交于点，连接，利用圆周角定理和三角形内心的性质，得到，，，又，得到，，由此可求得． 【详解】解：延长交于点，连接， 是的直径， ， ， ， 为的内心， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又为中点， ， ． 故选：B． 10. 如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、动点轨迹、与圆有关的位置关系等知识，根据矩形的性质以及直角三角形斜边中线的性质确定G的轨迹是本题解题的关键． 连接，交于点，取中点，连接，根据直角三角形斜边中线的性质，可以得出的轨迹，从而求出的最大值． 【详解】解：连接，交于点，取中点，连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴在中，， ∴， ∵， ， 在与中， ， ， ，，共线， ，是中点， ∴在中，， 轨迹为以为圆心，为半径即为直径的圆弧． ∴的最大值为的长，即． 故选：D． 11. 如图，中，弦AB，CD相交于点E，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，连接，根据邻补角定义求出，根据圆周角定理推出，根据三角形内角和定理求出，根据圆周角定理及圆心角、弧的关系求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴ 的度数为． 故选：B． 二．填空题（共4小题） 12. 若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是_________°． 【答案】120 【解析】 【详解】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×2=4π（cm）， 设圆心角的度数是n度． 则=4π， 解得：n=120． 故答案为120． 13. 如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在上，两边分别交于A，B两点，若的半径为2，则弦AB的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，根据圆周角定理得出∠D=∠P=30°，∠ABD=90°，再由直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD， ∵∠P=30°， ∴∠D=∠P=30°． ∵AD是⊙O的直径，AD=， ∴∠ABD=90°， ∴AB=AD=2． 故答案为2． 【点睛】本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 14. 如图，是的直径， ，，则________． 【答案】##0.8 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，以及勾股定理等知识．掌握圆周角两个定理：①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．②半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 连接，根据直径所对的圆周角是直角，构建两个直角三角形，再利用等弧所对的圆周角相等得：，最后利用等角的三角函数得出结论． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴， ∴． ∴． ∴． 故答案为： 15. 如图，是的直径，点C在上，，垂足为D，，点E是上的动点（不与C重合），点F为的中点，若在E运动过程中的最大值为4，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是点与圆的位置关系、勾股定理等问题．解题关键是确定点、、三点共线时，有最大值，并利用了数形结合的思想．方法一：取中点，连接和，设的半径为，根据点的运动轨迹，确定点的运动轨迹，根据，可确定当点、、三点共线时，有最大值，此时，求出，再根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，则，联立即可求出半径的值，然后求出的长，利用勾股定理即可求出的长；方法二：连接，，根据题意得到当为直径时，有最大值，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：方法一：如图所示、取中点，连接和，设的半径为， ∵点为的中点， ∴， ∵点是上的动点（不与重合），点为顶点， ∴点的运动轨迹是以点圆心，以的长为半径的圆上， 则， ∴当点、、三点共线时，有最大值，此时， ∴， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴，解得：， ∴， 在中， ； 方法二：如图，连接，， ∵，是直径， ∴， 又∵点是的中点， ∴， 当为直径时，有最大值， ∴ ， ∴， ∴， 在中， ； 故答案为：． 三．解答题（共7小题） 16. 已知，如图，在△ABC 中，AB＝AC，以腰 AB 为直径作半圆 O，分别交 BC，AC 于点 D、E． （1）求证：BD＝DC； （2）若∠BAC＝40°，AB＝AC＝8，求弧����的长． 【答案】（1）证明过程见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）连接BE，AD，利用AB是圆的直径，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可； （2）连接OE，根据外角定理得出，再根据AB＝AC＝8，得到半径，利用弧长公式计算即可； 【详解】（1）连接BE，AD， ∵AB 为直径， ∴， ∴， 又∵AB＝AC， ∴AD是BC边上的中线， ∴BD＝DC； （2）连接OE， ∵∠BAC＝40°，， ∴， ∴， 又∵AB＝AC＝8， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了弧长计算，圆周角定理，等腰三角形的性质，三线合一的性质，准确计算是解题的关键． 17. 如图，已知为的直径，是弦，且于点E．连接． （1）求证：； （2）若，求的直径． 【答案】（1）见解析 （2）的直径为 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． （1）根据垂径定理和圆的性质，等弧的圆周角相等，即可求证． （2）根据垂径定理求出，设的半径为R，则，根据勾股定理及圆的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：∵为的直径，是弦，且于点E， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：设的半径为R，则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴， 解得， ∴的直径为． 18. 如图，已知直线l与相离，于点A，，与相交于点P，与相切于点B，的延长线交直线l于点C． （1）试判断线段与的数量关系，并说明理由； （2）若，求的半径． 【答案】（1），理由见解析 （2）3 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，等角对等边，勾股定理，综合运用相关知识，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质和垂直得出，推出，，证得，根据等腰三角形的判定即可得证； （2）延长交于D，连接，设圆半径为r，则，，，根据得到，求解即可． 【小问1详解】 解：，理由如下： 连接， ∵切于点B，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：延长交于D，连接， 设圆半径为r，则，， ∴在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得：． ∴的半径为3． 19. 如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是的中点，连接AE交BC于点F，∠ACB=2∠EAB． （1）求证：AC是⊙O切线； （2）若cosC=，AC=6，求BF的长． 【答案】(1)证明：连结AD，如图， ∵E是的中点， ∴， ∴∠EAB=∠EAD， ∵∠ACB=2∠EAB， ∴∠ACB=∠DAB， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠DAC+∠ACB=90°， ∴∠DAC+∠DAB=90°，即∠BAC=90°， ∴AC⊥AB， ∴AC是⊙O的切线； （2）BF的长为3． 【解析】 【详解】（1）略； （2）解：作FH⊥AB于H，如图， 在Rt△ACD中，∵cosC=， ∴CD=×6=4， 在Rt△ACB中，∵cosC=， ∴BC=×6=9， ∴BD=BC﹣CD=9﹣4=5， ∵∠EAB=∠EAD，即AF平分∠BAD，而FD⊥AD，FH⊥AB， ∴FD=FH， 设BF=x，则DF=FH=5﹣x， ∵FH∥AC， ∴∠HFB=∠C， 在Rt△BFH中，∵cos∠BFH=cosC=， ∴， 解得x=3，即BF的长为3． 20. 如图1，在中，，是的外接圆，过点C作交于点D，连接交于点E，延长至点F，使，连接． （1）求证：； （2）求证：是的切线； （3）如图2，若点G是的内心，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）5 【解析】 【分析】（1）利用等角对等边证明． （2）连接，证明即可得证． （3）先证明，再利用内心，等角对等边解答即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：连接，如图1， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图2，连接， ∴， ∵点G为内心， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理的推论，切线的判定，三角形相似的判定和性质，等角对等边，等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，垂径定理，切线的判定是解题的关键． 21. 已知△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC的平分线与⊙O相交于点D，连接DB． （1）如图1，设∠ABC的平分线与AD相交于点I，求证：BD=DI； 　　　图1 （2）如图2，过点D作直线DEBC，求证：DE是⊙O的切线； 　　　图2 （3）如图3，设弦BD，AC延长后交⊙O外一点F，过F作AD的平行线交BC的延长线于点G，过G作⊙O的切线GH（切点为H），求证：GF=GH． 　　　图3 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）由角平分线的定义以及圆周角定理得到∠BAD=∠DAC=∠CBD，∠ABI=∠IBC，再根据三角形的外角性质可推出∠BID=∠DBI，利用等角对等边即可证明BD=DI； （2）由垂径定理推出OD⊥BC，由平行线的性质推出OD⊥DE，即可证明DE是⊙O的切线； （3）设法证明△HBG∽△CHG，推出，再证明△GFC∽△GBF，推出，据此即可证明GF=GH． 【小问1详解】 证明：∵AD是∠BAC的平分线，BI是∠ABC的平分线， ∴∠BAD=∠DAC=∠CBD，∠ABI=∠IBC， ∵∠BID=∠ABI+∠BAD，∠DBI=∠IBC +∠CBD， ∴∠BID=∠DBI， ∴BD=DI； 【小问2详解】 证明：连接OD， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴， ∴OD⊥BC， ∵DEBC， ∴OD⊥DE， ∵OD是⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线； 【小问3详解】 证明：过点H作⊙O的直径HI，连接BH，HC，IC， ∵HI是⊙O的直径，GH是⊙O的切线， ∴∠HCI=∠IHG=90°， ∴∠IHC+∠I=90°=∠IHC+∠GHC， ∴∠I=∠GHC， ∵∠HBG=∠I， ∴∠HBG=∠GHC， ∴△HBG∽△CHG， ∴， ∴， ∵ADFG， ∴∠DAF=∠GFC， ∵∠DAF=∠DBC， ∴∠GFC=∠DBC， ∴△GFC∽△GBF， ∴， ∴， ∴， ∴GF=GH． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题． 22. 如图，四边形的外接圆是以为直径的，P是的劣弧上的任意一点．连接PA，PC，PD，延长BC至E，使． （1）若，的半径等于，求的值； （2）求证：直线与相切； （3）若四边形是正方形，是否存在常数，使？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）见解析 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由直径所对的圆周角等于90度可得出，再由勾股定理求出，最后根据正切的定义求解即可． （2）证明， 由相似三角形的性质可得出，进一步即可证明． （3）连接正方形的对角线，设正方形的边长为，分两种情况求解，当与重合时，或当与重合时，利用正方形的性质求解即可． 当既不与重合也不与重合时，延长至，使，连接．根据同弧所求的圆周角相等，结合正方形的性质与相似三角形的判定以及性质可得出结论． 【小问1详解】 解：是的直径，在上， ． 又的半径等于， ． ， ． ． 【小问2详解】 证明：由（1）知， ， ． 又， ． ． ． ． 又是的半径， 直线与相切，切点为点． 【小问3详解】 解：若四边形是正方形，存在常数，使． 理由如下： 连接正方形的对角线，设正方形的边长为． 当与重合时，，； 当与重合时，，． 若四边形是正方形，当与重合时，或当与重合时，存在常数，使，且． 当既不与重合也不与重合时，延长至，使，连接． 四边形是正方形， ，对角线是的直径． 根据已知得，是的弧所对的圆周角， ．同理可证． 是的直径，在上， ，． ， ． ． ． ． 当既不与重合也不与重合时，． 综上所述，若四边形是正方形，存在常数，使，且． 【点睛】本题主要考查了圆与正方形的综合题，涉及到的知识有直径所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定以及性质，切线的证明，正方形的性质，正切的定义，勾股定理等知识，掌握这些性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年12月数学适应性训练（一）解析 一．选择题（共11小题） 1. 如图，线段是的直径，如果，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，，是的切线，，为切点，点为上一点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，P为外一点，分别切于点A、B，切于点E，分别交于点C、D，若，则的周长为（　　） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 4. 如图，两个同心圆的半径分别为和，大圆的弦与小圆相切，则劣弧的长为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，⊙A与x轴交于B(2，0)、C(8，0)两点，与y轴相切于点D，则点A的坐标是( ) A. (5，3) B. (4，5) C. (5，4) D. (3，5) 6. 如图，四边形内接于，E为BC延长线上一点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线，与边BC交于点E，若AD=， AC=3．则DE长为（　　） A. B. 2 C. D. 8. 如图，是半径为2的外的一点，，切于点，弦，连接，则图中阴影部分的面积等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的直径，C在上，I 为的内心，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 11. 如图，中，弦AB，CD相交于点E，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共4小题） 12. 若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是_________°． 13. 如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在上，两边分别交于A，B两点，若的半径为2，则弦AB的长为______． 14. 如图，是的直径， ，，则________． 15. 如图，是的直径，点C在上，，垂足为D，，点E是上的动点（不与C重合），点F为的中点，若在E运动过程中的最大值为4，则的值为_______． 三．解答题（共7小题） 16. 已知，如图，在△ABC 中，AB＝AC，以腰 AB 为直径作半圆 O，分别交 BC，AC 于点 D、E． （1）求证：BD＝DC； （2）若∠BAC＝40°，AB＝AC＝8，求弧����的长． 17. 如图，已知为的直径，是弦，且于点E．连接． （1）求证：； （2）若，求的直径． 18. 如图，已知直线l与相离，于点A，，与相交于点P，与相切于点B，的延长线交直线l于点C． （1）试判断线段与的数量关系，并说明理由； （2）若，求的半径． 19. 如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是的中点，连接AE交BC于点F，∠ACB=2∠EAB． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若cosC=，AC=6，求BF的长． 20. 如图1，在中，，是的外接圆，过点C作交于点D，连接交于点E，延长至点F，使，连接． （1）求证：； （2）求证：是的切线； （3）如图2，若点G是的内心，，求的长． 21. 已知△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC的平分线与⊙O相交于点D，连接DB． （1）如图1，设∠ABC的平分线与AD相交于点I，求证：BD=DI； 　　　图1 （2）如图2，过点D作直线DEBC，求证：DE是⊙O的切线； 　　　图2 （3）如图3，设弦BD，AC延长后交⊙O外一点F，过F作AD的平行线交BC的延长线于点G，过G作⊙O的切线GH（切点为H），求证：GF=GH． 　　　图3 22. 如图，四边形的外接圆是以为直径的，P是的劣弧上的任意一点．连接PA，PC，PD，延长BC至E，使． （1）若，的半径等于，求的值； （2）求证：直线与相切； （3）若四边形是正方形，是否存在常数，使？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $