精品解析：山东省菏泽市牡丹区第二十二初级中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试卷

九年级数学月考试题 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数中，①；②；③；④；⑤．是二次函数的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 【详解】解：①，不是二次函数； ②，是二次函数； ③，不是二次函数； ④，不是二次函数； ⑤，是二次函数； 共有2个二次函数， 故选：B． 2. 在中，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，锐角三角函数的定义，解题关键是利用三角函数值推出角的度数．根据，，，可以求出的正弦值，利用的正弦值求出的度数． 【详解】解：如下图所示， ，，， ， ． 故选：B． 3. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，反比例函数的增减性，根据解析式可得反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，再由，即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数解析式为， ∴反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大， ∵点，，都在反比例函数的图象上，且， ∴， 故选：C． 4. 如图，△的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了网络作图．熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理，正弦定义，是解题的关键 ．取点D，连接，根据，得，得是直角三角形，，即得． 【详解】解：取点D连接， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 故选：B． 5. 二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数与x轴的交点问题．二次函数与x轴有交点等价于判别式，且二次项系数，据此求解即可． 【详解】解：∵ 二次函数的图象与x轴有交点， ∴且， ∴且， 解得且， 故选：A． 6. 对于二次函数y=﹣2（x﹣1）（x+3），下列说法正确的是（　　） A. 图象的开口向上 B. 图象与y轴交点坐标是（0，6） C. 当x＞﹣1时，y随x的增大而增大 D. 图象的对称轴是直线x=1 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质对四个选项一一判断即得出答案． 【详解】A.∵a=﹣2＜0， ∴函数图象的开口向下，故本选项错误； B.y=﹣2（x﹣1）（x+3）=﹣2x2﹣4x+6， 当x=0时，y=6， 即函数图象与y轴的交点坐标是（0，6），故本选项正确； C.y=﹣2（x﹣1）（x+3）=﹣2（x+1）2+8， 即当x＞﹣1，y随x的增大而减少，故本选项错误； D.y=﹣2（x﹣1）（x+3）=﹣2（x+1）2+8， 即函数图象的对称轴是直线x=﹣1，故本选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质.将二次函数解析式化为顶点式，并结合二次函数性质进行判断是解题的关键． 7. 如图，滑雪场有一坡角 的滑雪道，滑雪道长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（ ）米． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据正弦的定义进行解答即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 故选：D． 8. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．过A作轴于C，过B作轴于D，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：过A作轴于C，过B作轴于D， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， 故选：A． 9. 已知的图象如图，则和的图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可以得到a＜0，b＞0，c＜0，由此可以判定y=ax+b经过一、二、四象限，双曲线在二、四象限． 【详解】根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象， 可得a＜0，b＞0，c＜0， ∴y=ax+b过一、二、四象限， 双曲线在二、四象限， ∴C是正确的． 故选C． 【点睛】此题考查一次函数，二次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系． 10. 二次函数的图像如图所示，则下列结论中：①；②；③当时，；④当时，随的增大而减小，正确的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系，二次函数的性质．根据开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，确定、、的符号，根据对称轴和图像确定时，的范围，根据二次函数的性质确定增减性．掌握二次函数的图像和性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：①∵二次函数的图像开口向上， ∴， ∵二次函数图像的对称轴在轴的右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故结论①不正确； ②∵，， ∴，故结论②不正确； ③∵二次函数的图像开口向上，对称轴为：，该图像与轴的位于对称轴左边的交点的坐标为， ∴该图像与轴的位于对称轴右边的交点的坐标为， ∴当时，， ∴当时，，故结论③正确； ④∵二次函数的图像开口向上，对称轴为：， ∴当时，随的增大而增大，故结论④不正确， ∴正确的个数是个． 故选：A． 二、填空题：本题共6必题，每小题4分，共24分． 11. 在中，若，则是_______三角形． 【答案】等边 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，等边三角形的判定， 根据绝对值和完全平方数非负性可得，再根据特殊角的三角函数值可得，即可得出答案． 【详解】∵， ∴， ∴， 解得， ∴是等边三角形． 故答案为：等边． 12. 已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，，试比较和的大小：_____．（填“”，“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．由于二次函数的图象的开口向上，对称轴为直线，然后根据点，离对称轴的远近可判断和的大小关系． 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴为直线， 又∵， ∴该函数图象的开口向上， ∵抛物线经过点，，且， ∴点离对称轴的距离比点要远， ∴． 故答案为：． 13. 如图，一次函数和二次函数的图象交于点和点，则的解集是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题主要考查函数与不等式之间的关系，待定系数法求函数解析式．先求得a和b的值，联立求得点B的坐标，然后观察函数图象即可求解． 【详解】解：由题意可得和， 解得和， ∴一次函数和二次函数的解析式分别为和， 联立得，解得或， 当时，， ∴， 观察图象可得，当时，一次函数的图象位于二次函数图象的上方， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 14. 如图，点A是反比例函数图象上的一点，过A作轴于点B，点D为x轴正半轴上一点且，连接交y轴于点C，连接．若的面积为8，则k的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，根据题意得到关于k的方程是解题的关键． 设，则，由，的面积为8，得出，的面积为4，即可得出，求出k的值即可． 【详解】解：设，则， ∵，的面积为8， ∴，的面积为4， ∴的面积为， ∴的面积为， ∴， 解得， 故答案为：． 15. 如图，抛物线与轴只有一个公共点，与轴交于点，虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线，则图中两个阴影部分的面积和为______________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意可推出OB＝2，OA＝1，AD＝OC＝2，根据平移的性质及抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形OCDA的面积，利用矩形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：如图所示， 过抛物线L2的顶点D作CDx轴，与y轴交于点C， 则四边形OCDA是矩形， ∵抛物线L1：y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B（0，2）， ∴OB＝2，OA＝1， 将抛物线L1向下平移两个单位长度得抛物线L2，则AD＝OC＝2， 根据平移的性质及抛物线的对称性得到阴影部分的面积等于矩形OCDA的面积， ∴S阴影部分＝S矩形OCDA＝OA•AD＝1×2＝2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质及二次函数图象与几何变换，解题的关键是根据平移的性质及抛物线的对称性得到阴影部分的面积等于矩形OCDA的面积． 16. 如图，抛物线：（）交轴于点和点，顶点为点；将抛物线绕点旋转后得到抛物线，与轴的另一交点为点，顶点为，将抛物线绕点旋转后得到抛物线，与轴的另一交点为点，顶点为点…，如此进行下去，直至得到抛物线，则抛物线的顶点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出抛物线与x轴的交点，及顶点坐标，接着求出抛物线与x轴的交点，及顶点坐标，依据规律求出答案即可． 【详解】由题意，得抛物线与x轴的交点，顶点坐标为， 抛物线与x轴的交点，顶点坐标为； 抛物线与x轴的交点，顶点坐标为； ∴抛物线与x轴的交点，即， ∴的横坐标为，点的纵坐标与的纵坐标相同， ∴抛物线的顶点． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数与x轴的交点问题，求抛物线的顶点坐标，平面直角坐标系内坐标的变化，弄清抛物线与x轴交点的变化规律是解题的关键． 三、解答题：本题共5小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2）0 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，特殊角的三角函数值， 对于（1），根据，再合并二次根式计算即可； 对于（2），根据，再合并二次根式计算即可． 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 18. 如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于A、两点，二次函数的图象经过点A，． （1）求二次函数的表达式； （2）直线与二次函数图象的对称轴交于点，求点坐标． 【答案】（1） （2）点的坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意易得，，然后根据待定系数法可进行求解函数解析式； （2）由（1）可得抛物线的对称轴为直线，然后代入一次函数解析式可求解． 【小问1详解】 解：令的，则，令，则． ，． 把，代入得： ，解方程组得， 二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由 二次函数的对称轴为直线， 把代入得， 点的坐标为． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． （1）求反比例函数的解析式； （2）点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标； （3）直接写出不等式的解集． 【答案】（1） （2）点的坐标为或 （3）或 【解析】 【分析】（1）先利用点B在直线上求出点B的横坐标m，再将点B坐标代入反比例函数求k，进而得到解析式； （2）先联立直线与反比例函数解析式求点A坐标，再根据三角形面积关系求出点P的纵坐标，最后代入反比例函数求横坐标； （3）通过观察函数图象，确定直线在反比例函数下方时x的取值范围． 【小问1详解】 解：点在直线上，将代入直线解析式得：， 解得， 点B的坐标为， 点在反比例函数的图象上，将点B坐标代入反比例函数解析式得：， 解得， 反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 联立直线与反比例函数的解析式，得方程组， 解得或，当时，， 点A的坐标为； 又，即， 所以， 故点纵坐标为4或． 将代入得，． 将代入得，． 所以点的坐标为或． 【小问3详解】 结合函数图象可知：当或时，直线在反比例函数下方， 不等式的解集为或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的图象和性质及其交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，利用图象解不等式．利用已知条件通过代数运算求解未知参数是解题的关键． 20. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图2，小丽坐在秋千的最低点F处，O，F，A共线.妈妈先将小丽拉到B处，然后用力一推，爸爸在C处接住她.若秋千的长度为3米，，．（参考数据：，，，） （1）求B处到的距离的长度； （2）若秋千最低点F到地面的距离为0.3米，则C处距地面的高度为多少? 【答案】（1）1.26m （2）1.59m 【解析】 【分析】（1）在中，利用余弦函数的定义即可求解； （2）过C作，垂足为M ，在中，先求出，从而得的长，过C作于点N，得四边形为矩形，进而即可求解 【小问1详解】 解：在中， ∴， 答：的长度是是1.26m 【小问2详解】 由题， 过C作，垂足为M 在中， ∴. ∴ ∵过C作于点N ∵平行线间的距离处处相等或四边形为矩形 ∴C到地面的高度= 答：C到地面的高度为1.59m 21. 【问题呈现】 如图1，和都是等边三角形，连接，．易知_______． 【类比探究】 如图2，和都是等腰直角三角形，．连接，．则_______． 【拓展提升】 如图3，和都是直角三角形，，且，连接，． （1）求的值； （2）延长交于点，交于点．求的值． 【答案】[问题呈现]1；[类比探究]；[拓展提升]（1），（2） 【解析】 【分析】[问题呈现]利用等边三角形的性质及证明，从而得出结论； [类比探究]根据等腰直角三角形的性质，证明，进而得出结果； [拓展提升]（1）先证明，再证得，根据相似三角形的性质进而得出结果； （2）在（1）的基础上得出，进而，再根据勾股定理及正弦的定义进一步得出结果． 【详解】[问题呈现]解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1； [类比探究]解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； [拓展提升]解：（1）， ， ， ， ，， ， ， ； （2）由（1）得：， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了求正弦函数，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学月考试题 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数中，①；②；③；④；⑤．是二次函数的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 在中，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，△的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 6. 对于二次函数y=﹣2（x﹣1）（x+3），下列说法正确的是（　　） A. 图象的开口向上 B. 图象与y轴交点坐标是（0，6） C. 当x＞﹣1时，y随x的增大而增大 D. 图象的对称轴是直线x=1 7. 如图，滑雪场有一坡角 的滑雪道，滑雪道长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（ ）米． A. B. C. D. 8. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知的图象如图，则和的图象为（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图像如图所示，则下列结论中：①；②；③当时，；④当时，随的增大而减小，正确的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6必题，每小题4分，共24分． 11. 在中，若，则是_______三角形． 12. 已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，，试比较和的大小：_____．（填“”，“”或“”） 13. 如图，一次函数和二次函数的图象交于点和点，则的解集是_______． 14. 如图，点A是反比例函数图象上的一点，过A作轴于点B，点D为x轴正半轴上一点且，连接交y轴于点C，连接．若的面积为8，则k的值为_______． 15. 如图，抛物线与轴只有一个公共点，与轴交于点，虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线，则图中两个阴影部分的面积和为______________． 16. 如图，抛物线：（）交轴于点和点，顶点为点；将抛物线绕点旋转后得到抛物线，与轴的另一交点为点，顶点为，将抛物线绕点旋转后得到抛物线，与轴的另一交点为点，顶点为点…，如此进行下去，直至得到抛物线，则抛物线的顶点的坐标为_______． 三、解答题：本题共5小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算 （1） （2） 18. 如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于A、两点，二次函数的图象经过点A，． （1）求二次函数的表达式； （2）直线与二次函数图象的对称轴交于点，求点坐标． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． （1）求反比例函数的解析式； （2）点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标； （3）直接写出不等式的解集． 20. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图2，小丽坐在秋千的最低点F处，O，F，A共线.妈妈先将小丽拉到B处，然后用力一推，爸爸在C处接住她.若秋千的长度为3米，，．（参考数据：，，，） （1）求B处到的距离的长度； （2）若秋千最低点F到地面的距离为0.3米，则C处距地面的高度为多少? 21. 【问题呈现】 如图1，和都是等边三角形，连接，．易知_______． 【类比探究】 如图2，和都是等腰直角三角形，．连接，．则_______． 【拓展提升】 如图3，和都是直角三角形，，且，连接，． （1）求的值； （2）延长交于点，交于点．求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $