2025届四川省仁寿第一中学校南校区高三适应性测试（模拟）数学试题

2025届高考综合改革适应性测试模拟 数学试题 本卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意，集合，或，所以，故选：B. 2. 设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，则， 故选：B. 3. 已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】由题在上的投影向量为， 又，，即，. 故选：A. 4．已知，，则sin（α＋β）=（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 因为，所以，所以， 两式相加可得：， 所以所以，解得，故选：D 5. 设，，则下列结论错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，且，则 【答案】B 【解析】对于A，若，则，则，正确； 对于B，若，则，则，不正确； 对于C，若，则，正确； 对于D，因为函数在上单调递增， ，，正确故选：B. 6. 已知双曲线：的右焦点为F，过点F作垂直于x轴的直线，M，N分别是与双曲线C及其渐近线在第一象限内的交点.若M是线段的中点，则C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设双曲线的右焦点，过第一象限的渐近线方程为， 当时，，即，又， 因为M是线段的中点，所以，得， 所以，即， 所以C的渐近线方程为. 故选：C. 7.黄地绿彩云龙纹盘是收藏于中国国家博物馆的一件明代国宝级瓷器．该龙纹盘敞口，弧壁，广底，圈足．器内施白釉，外壁以黄釉为地，刻云龙纹并填绿彩，美不胜收．黄地绿彩云龙纹盘可近似看作是圆台和圆柱的组合体，其口径，足径，高，其中底部圆柱高，则黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为（ ）（附：的值取3，） A B. C. D. 【答案】B 【解析】设该圆台的母线长为，两底面圆半径分别为，（其中）， 则，，， 所以， 故圆台部分的侧面积为， 圆柱部分的侧面积为， 故该黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为. 故选：B. 8.已知函数的定义域为，且，，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】令，则，所以， 令，则，所以， 令，则， 所以，即， 设，则， 所以，即， 所以， ，故选C. 二、选择题：本大题共2小题，每小题6分，共计12分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分. 9. 给出下列四个命题，其中不正确命题为（ ） A. 是的充分不必要条件 B. 是的必要不充分条件 C. 是函数为奇函数的充要条件 D. 是函数在上单调递增的既不充分也不必要条件 【答案】ABD 【解析】对于A 项，设函数，因为在上单调递增， 则， 因为在上单调递增，当时，即，所以充分性成立； 若，即，又因为在上单调递增，所以，必要性成立； 所以“”是“”的充要条件，A不正确． 对于B项，取满足，但是不满足， 则“”不是“”的必要条件，B不正确． 对于C 项，时，的定义域为关于原点对称， 又因为， 所以是定义在奇函数，所以充分性成立； 若为奇函数，则 并且，又因为，则，所以必要性成立. 故是函数为奇函数的充要条件，所以C正确. 对于D项，因为函数在上单调递增，所以，故必要性成立，所以D项不正确. 故选：ABD． 10.已知函数，，是的两个零点，且，则（ ） A. B.为的极小值点 C.的极大值为4 D.满足的解集是 【答案】BCD（全部选对得6分，选对1个得2分，选对2个得4分，有选错的得0分） 【解析】是的两个零点，与轴相切，且. 所以，所以，A选项错误； 为的极小值点，B选项正确； ，所以为的极大值点，.C选项正确； 因为，D选项正确；故选BCD. 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分. 11.二项式的展开式中的常数项为__________. 【答案】 【解析】二项式的通项为， 由可得，即得二项展开式中的常数项为.故答案为： 12. 已知函数，若为偶函数；且在区间内仅有两个零点，则的值是__________. 【答案】2 【解析】，为偶函数， 所以，，，， 当，，因为在区间内仅有两个零点， 所以，得，则. 13.已知抛物线：，：的焦点分别为，，一条平行于x轴的直线与，分别交于点A，B，若，则四边形的面积为 . 【分】 【详解析】设，，根据题意可知，故，即，    又由抛物线的定义可知，， 当时，，故，，， 所以，四边形是平行四边形， 故四边形的面积为.故答案为：. 14. 某警察学院体育比赛包括“射击”、“游泳”、“折返跑”、“百米接力”、“伤员搬运”、“400米障碍”六个项目，规定：每个项目前三名得分依次为，，，其中，选手的最终得分为各场得分之和.最终甲、乙、丙三人包揽了每个项目的前三名，在六个项目中，已知甲最终得分为26分，乙最终得分为12分，丙最终得分为10分，且丙在“射击”这个项目中获得了第一名，那么______，“游泳”这个项目的第二名是______. 【答案】 ①. ②. 乙 【解析】因为甲乙丙包揽了每个项目的前三名，故它们的得分总和为，故，若，则，此时，与矛盾； 故，故，故或， 若，则丙在除射击外的5个项目共拿6分， 但其余5个项目丙拿5分或7分以上，矛盾； 故，所以丙在除射击外的5个项目中每个项目均拿1分，共计5分； 甲共计分，则甲在除射击外的5个项目中拿分或分， 若甲在除“射击”外的5个项目中拿分，则甲在射击项目中拿1分， 其余5个项目中每个项目都拿5分， 此时乙在6个项目中的分数为，符合题意； 若甲在除“射击”外的5个项目中拿分，故甲在射击中拿2分，乙拿1分， 则其余5个项目中，甲在4个项目中每个项目拿5分，1个项目中拿2分， 此时甲的总分达不到分， 故，游泳的第二名为乙，故答案为：，乙. 四、解答题：本题共6小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分） 已知在中，内角，，所对的边分别为，，，. （1）求角； （2）已知直线为的平分线，且与交于点，若，，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）在中，由正弦定理可知可转化为，即，即，，由在中，，则； （2）在中，由， 即， 又直线为的平分线， 则，所以， 即， 又由余弦定理可得，即， 可知， 解得或（舍），所以的周长为. 16. （13分）已知数列的前项和为，，数列是以1为公差的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)若对于任意正整数，都有，求实数的最小值. 【详解】（1）数列是以1为公差的等差数列，且， ，， 当时，． 当时，上式也成立． （2）由 则 而 所以，即的最小值为 17. （14分）某同学进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5. (1)若该同学共投篮4次，求在投中2次的条件下，第二次没有投中的概率； (2)设随机变量服从二项分布，记 则当时，可认为η服从标准正态分布.若保证投中的频率在区间的概率不低于，求该同学至少要投多少次. 附: 若，则，. 【分析】(1)(2)68 【详解】（1）该同学投篮了四次，设分别表示“第二次没有投中”和“恰投中两次”. 则有. （2）随机变量代表次投篮后命中的次数，则服从二项分布， 然后令随机变量，并近似视为其服从正态分布. 题目条件即为，即的概率至少为. 由于我们有， 故命题等价于，解得. 综上，该同学至少要投次. 18.（14分）如图，在四棱锥中，底面，若四边形为菱形，，且分别为的中点. （1）试判断直线与是否垂直，并说明理由； （2）若四棱锥体积为，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1）直线与不垂直，理由见解析； （2）. 【解析】（1）直线与不垂直，证明如下：假设，连接，连接，由分别为的中点，得， 由平面，得平面，而平面，则， 又，平面，于是平面，又平面， 则，由四边形是菱形，得，因此，与矛盾，所以直线与不垂直. （2）菱形中，，则， 菱形的面积，而平面， 于是四棱锥的体积为，解得， 由平面，得， ，， 由，得或其补角即为异面直线与所成的角， 在中，，由余弦定理得， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 19.（16分） 如图，已知椭圆上、下焦点分别为，，焦距为2，离心率为，称圆心在椭圆上运动，且半径为的圆是椭圆的“环绕圆”. （1）求椭圆的标准方程； （2）记直线与椭圆的另一个交点为点，“环绕圆”的面积为，三角形的面积为，试判断，是否存在点，使，若存在，求满足条件的直线的条数，若不存在，请说明理由； （3）若过原点可作“环绕圆”的两条切线，分别交椭圆于、两点，直线，的斜率存在，记为，，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）存，2条； （3）. 【解析】（1）由题意，，得，故椭圆的标准方程为； （2）由（1）知：，显然直线不与轴重合， 设直线为，， 联立，得，显然， 所以，， 则， 圆半径为1，则，故， 所以（负值舍），即满足条件的直线有2条； （3）设切线方程为，切线方程为，且， 圆与相切，则，化简得， 同理， 所以是的两个不相等实根，则， 又在椭圆上，故，则， 由存在，则，即，所以. 20.（16分） 已知函数. （1）若，是定义在上的函数，，.证明：当时，为周期函数. （2）若曲线在处的切线方程为，设（），为的导函数，且有两个极值点，（）.证明：. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】（1）时，， ，则 ，为偶函数. ①，，②，； ③，. ，为偶函数. ，， ，，即为周期函数. （2）由题意得，由已知，，， ，， ，设 . 由已知，为在上的两个不等实根，且， ，. ， ， 要证:， 只需证，即证. 设，则， 在上单调递减，又.. ，原不等式成立. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高考综合改革适应性测试模拟 数学试题 本卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则（    ） A． B． C． D． 3. 已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 2 D. 4．已知，，则sin（α＋β）=（     ） A． B． C． D． 5. 设，，则下列结论错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，且，则 6. 已知双曲线：的右焦点为F，过点F作垂直于x轴的直线，M，N分别是与双曲线C及其渐近线在第一象限内的交点.若M是线段的中点，则C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 7.黄地绿彩云龙纹盘是收藏于中国国家博物馆的一件明代国宝级瓷器．该龙纹盘敞口，弧壁，广底，圈足．器内施白釉，外壁以黄釉为地，刻云龙纹并填绿彩，美不胜收．黄地绿彩云龙纹盘可近似看作是圆台和圆柱的组合体，其口径，足径，高，其中底部圆柱高，则黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为（ ）（附：的值取3，） A B. C. D. 8.已知函数的定义域为，且，，设，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共2小题，每小题6分，共计12分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分. 9. 给出下列四个命题，其中不正确命题为（ ） A. 是的充分不必要条件 B. 是的必要不充分条件 C. 是函数为奇函数的充要条件 D. 是函数在上单调递增的既不充分也不必要条件 10.已知函数，，是的两个零点，且，则（ ） A. B.为的极小值点 C.的极大值为4 D.满足的解集是 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分. 11.二项式的展开式中的常数项为__________. 12. 已知函数，若为偶函数；且在区间内仅有两个零点，则的值是__________. 13.已知抛物线：，：的焦点分别为，，一条平行于x轴的直线与，分别交于点A，B，若，则四边形的面积为 . 14. 某警察学院体育比赛包括“射击”、“游泳”、“折返跑”、“百米接力”、“伤员搬运”、“400米障碍”六个项目，规定：每个项目前三名得分依次为，，，其中，选手的最终得分为各场得分之和.最终甲、乙、丙三人包揽了每个项目的前三名，在六个项目中，已知甲最终得分为26分，乙最终得分为12分，丙最终得分为10分，且丙在“射击”这个项目中获得了第一名，那么______，“游泳”这个项目的第二名是______. 四、解答题：本题共6小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分） 已知在中，内角，，所对的边分别为，，，. （1）求角； （2）已知直线为的平分线，且与交于点，若，，求的周长. 16. （13分）已知数列的前项和为，，数列是以1为公差的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)若对 于任意正整数，都有，求实数的最小值. 17. （14分）某同学进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5. (1)若该同学共投篮4次，求在投中2次的条件下，第二次没有投中的概率； (2)设随机变量服从二项分布，记 则当时，可认为η服从标准正态分布.若保证投中的频率在区间的概率不低于，求该同学至少要投多少次. 附: 若，则，. 18.（14分）如图，在四棱锥中，底面，若四边形为菱形，，且分别为的中点. （1）试判断直线与是否垂直，并说明理由； （2）若四棱锥体积为，求异面直线与所成角的余弦值. 19.（16分） 如图，已知椭圆上、下焦点分别为，，焦距为2，离心率为，称圆心在椭圆上运动，且半径为的圆是椭圆的“环绕圆”. （1）求椭圆的标准方程； （2）记直线与椭圆的另一个交点为点，“环绕圆”的面积为，三角形的面积为，试判断，是否存在点，使，若存在，求满足条件的直线的条数，若不存在，请说明理由； （3）若过原点可作“环绕圆”的两条切线，分别交椭圆于、两点，直线，的斜率存在，记为，，求的取值范围. 20.（16分） 已知函数. （1）若，是定义在上的函数，，.证明：当时，为周期函数. （2）若曲线在处的切线方程为，设（），为的导函数，且有两个极值点，（）.证明：. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$