14.2 勾股定理的应用&专项10 勾股定理与最短路径问题-【勤径学升】2024-2025学年八年级上册数学同步练测（华东师大版）

八年级数学·华师版（上册） 14.2勾股定理的应用 《基础玥固练 [答案P42] 细恩点①利用勾股定理解决实际问题 ⑤（江苏南京栖霞区调研）如图，圆柱的底面周长 ①（北京海淀区期中）如图，某公园的一块草坪旁 是10cm,圆柱高为12cm,一只蜜蜂如果要从圆 边有一条直角小路，公园管理处为了方便群众， 柱内部点A飞到与之相对的点B,那么它飞行的 沿AC修了一条近路，已知AB=40米，BC= 最短路程为 () 30米，则走这条近路AC可以少走路 5题图 A.10m cm B.13 em C.13m cm D.15 em 1题图 6(广西河地期中)如图，两树的高分别为10米和 A.20米 B.30米 C.40米 D.50米 4米，相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另 2校园内有两棵树，相距8米，一棵树高13米，另 棵树的树梢，则这只鸟至少飞行 米 棵树高7米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另 棵树的顶端，则小鸟至少要飞 ( A.10米B.11米 C.12米 D.13米 10米 3(教村P121例2变式)一个门框的尺寸如图，下 。一8米 6题图 列长×宽型号（单位：m)的长方形薄木板能从门 框内通过的是 如跟点②利用勾股定理解决数学问题 7(山西期州月考)如图，在数轴上找出表示3的 点A,过点A作直线I⊥OA,在I上取点B,使AB =2,以点0为圆心，OB为半径作弧，弧与数轴 A B 交点为C,则点C表示的数是 ←1m 3题图 A.2.6×2.5 B.2.7×2.4 4 C.2.8×2.3 D.3×2.2 00123 ④如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜 7题图 靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7 A./13 B.-/13C.-10D.-3 米，梯子顶端距离地面2.4米若梯子底端的位置 8(四川庐州龙马潭区月考)如图，每个小正方形 保持不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端距离 的边长都为1，则四边形ABCD的周长为 地面1.5米，则小巷的宽度为 :面积为 米 0.7米 4题图 8题图 A.2.7米B.2.5米C.2米 D.1.8米 786 见此图标服抖音/疑信扫码领取配套资源稳步提升成绩 第14章勾股定理 《能力提升练 [鉴案P43] 1.如图是一扇高为2m,宽为1.5m的门框，童师傅2（题型2·典例2变式）如图，一一个牧童在离小河 有3块薄木板，尺寸如下：①长3m,宽2.7m:② 4km的正南方向的A处牧马，此时他正位于他 长2.8m,宽2.8m:③长4m,宽2.4m.可以通过 家B的西8km、北7km处，他想把他的马牵到 的木板是 小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所 A.② B.③ 走的最短路程是多少？ C.②③ D.都不能通过 小河 2题图 +-15m 1题图 2题图 2如图，要制作底边BC的长为44cm,顶点A到 BC的距离与BC长的比为1：4的等腰三角形木 衣架，则腰AB的长为 cm.(结果保留 根号) 3如图，在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在 被开发，现有一C处需要爆破.已知点C与公路 3(题型2·典倒3变式)如图，透明的圆柱形玻璃 上的停靠站A的距离为300m,与公路上的另一 容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm,在容器 停靠站B的距离为400m,且CA⊥CB,为了安全 内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此 起见，爆破点C周围半径250m范围内不得进 时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿 人，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险？ 4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短 是否需要暂时封锁？ 路径为20cm,则该圆柱底面周长为() 3题图 3题图 A.12 cm B.14 cm C.20 cm D.24 cm ④（题型3变式）如图，在由6个大小相同的小正 方形（小正方形的边长为1）组成的方格中，A、 BC是三个格点（即小正方形的顶点），判断AB 与BC的关系，并说明理由. ◇题型变式 井本P40答案P43 4 ①（题型1变式）如图，在数轴上分别以长度1和2 为直角边长作Rt△OBC,然后以点B为圆心，线 B 段BC的长为半径画弧，交数轴于点A,那么点A 4题图 所表示的数为 ( B 1题图 A.5 B.1+5 C.√5+2 D.3.2 见此图标服抖音/微信扫码领取配套资源稳步提开成绩 29 八年级数学·华师版（上册） 专项10 勾股定理与最短路径问题 [警案P43] 类型①)平面图形上的最短路径问题 类型④长方体（或正方体）表面的最短路径问题 ①如图，在等边三角形ABC中，D是BC的中点，E、 5如图，有一个棱长为9cm的正方体，一只蜜蜂要 P分别是线段AC,AD上的一个动点，已知AB= 沿正方体的表面从顶点A爬到点C(点C在一 2,AD=3,则PE+PC的最小值是 条棱上，距离顶点B3cm处)，则这只蜜蜂需爬 行的最短路程是 cm. 1题图 5题图 2(恩施州中考)如图，正方形ABCD的边长为4,6如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别是 点E在AB上且BE=1,F为对角线AC上一动 12 cm,8 cm,30 cm. 点，则△BFE周长的最小值为 (1)在AB的中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从 D处爬到C处去吃，有无数种走法，则路程 最短的是多少？ (2)若此长方体盒子有盖，则能放入木棒的最大 长度是多少？ 2题图 A.5 B.6 C.7 D.8 类型②台阶中的最短路径问题 3如图，一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高 分别是50cm,30cm,10cm,A和B是这个台阶 的两个相对的点，A点处有一只壁虎，它想到B 6题图 点去吃可口的食物，请你算一算，这只壁虎从A 点出发，沿着台阶爬到B点，至少需爬( 30 10f 单位：m 3题图 A.13 cm B.40 cm C.130 cm D.169 cm 类型⑧柱体表面的最短路径问题 4如图，有一个长、宽各为2dm,高为3dm且封闭 的长方体纸盒，一只昆虫要从顶点A爬到顶点 B,那么这只昆虫爬行的最短路程为 十B 4题图 A.3 dm B.4 dm C.5 dm D.6 dm 80 见此图标服抖音/疑信扫码氯取配套资源稳步提升成绩八年级数学·华师版（上册） 以BE=ED.因为AD=9Cm=AE+DE=AE+BE,所 选A 以BE=9-AE.由勾股定理可知AB+AE=BE, 则AB+AE=(9-AE)2,解得AE=4cm.所以 △ABE的面积为3×4÷2=6(cm2),故选C. 4.3cm[解析]由折叠的性质，得△CDG≌△FDG, ∴FD=CD=AB=6Cm,FG=GG,∠DFG=∠C=90°， 在Rt△BCD中，BC=8cm,CD=AB=6cm, 2题答图 根据勾股定理，得BD=、82+6=10(m), 3.D[解析]如答图，连结AC,则△ABC是直角三 .BF=BD-DF=10-6=4(cm), 角形， 在Rt△BGF中，设FG=CG=xcm,则有BG=BC- CG=(8-x)cm, 根据勾股定理，得(8-x)2=x2+42 整理，得-16x+64=16.即16x=48, 解得x=3,则FG=3cm m 5.解：根据折叠的性质得AF=AD=5,DE=FE. 3题答图 设线段AB的垂直平分线PQ分别交AB、DC于点 根据勾股定理，得AC=AB+BC=√个+2= P、Q, 5≈2.236>2.2，.只有3×2.2的薄木板能从门 则PQ=AD=5,AP=DQ=4. 框内通过，故选D. 如答图①，当点E在DC上时， 4.A[解析]由题意，得AD=0.7+2.4°=6.25.在 FP=52-4=3,所以FQ=PQ-FP=2 R△ABC中，∠ABC=90°，BC=1.5米.由勾股定 设DE=x,则FE=x,QE=4-x 理，得AB+BC2=AC2,即AB+1.52=6.25,所以 在R△EQF中，(4-x)2+22=2,所以x= AB=2(米)，所以小巷的宽度为0.7+2=2.7（米） 2 故选A 5.B[解析]如答图，将圆柱侧面展开，则AB长即为 蜜蜂从國柱内部，点A飞到与之相对的点B的最短 路程.，國柱的底面周长是I0cm,圆柱高为12cm, .BC=5cm,AC=12cm,根据勾股定理得AB= √/AC+BC=13(cm),∴.蜜蜂飞行的最短路程为 5题答图T 5题答图② 13cm,故选B. 如答图②，当点E在DC的延长线上时，FP 5-4=3. 所以FQ=FP+PQ=8. 设DE=x,则FE=x,QE=x-4. 在R△EQF中，(x-4)2+82=x2,所以x=10. 综上所述，E=号或10 5题答图 6.10[解析]如答图，AB=10米，CD=4米，过C点 14.2勾股定理的而用 作CE⊥AB于E,则四边形EBDC是长方形，连结 【基础巩固练】 AC,则EB=4米，EC=8米，AE=AB-EB=10-4= 1.A[解析]在R△ABC中，：AB=40米，BC=30米 6(米)，在Rt△AEC中，AC=√AE+EC= ,4AC=√/30+40=50（米），.可以少走30+40 6+8=10(米).故答案为10. 50=20(米)的路. 2.A[解析]如答图，AB、CD为树，且AB=13米，CD 10米 =7米，BD=8米，过C作CE⊥AB于E,则CE=BD =8米，BE=CD=7米，.AE=AB-BE=6(米)， 4米 ∴，在直角三角形AEC中，由勾股定理，得AC= 8米 √AE+CE=10(米)，故小鸟至少要飞10米.故 6题答图 ·42· 参考答案及解析 7.B[解析]在△OAB中，OB=O+AB= Rt△A'DB中，A'D=4+4+7=15(km).BD=8km. √3+2=√13,0C=3点C表示的数是-3 由勾股定理，得AB=/15+8=17(km).故他要 8.55+/13+2√1026[解析]根据勾股定理， 完成这件事情所走的最短路程是17km. 得AB=4+2=25,BC=、6+3=35,CD =3+2=3,4D=6+2=2√10，故四边 形ABCD的周长为25+35+√13+2√0=5,5 A +厅+2,10：回边形40CD的面积为6x8-号 2题答图 ×2x4-号x6x3-7x3x2-7×2x6=26 3.D 4.解：AB和BC相等且垂直，理由如下： 【能力提升练】 如答图，连结AC,由勾股定理可得 1.B[解析]因为、2+1.5=2.5(m),所以木板的 AB=12+22=5,BC2=12+22=5,AC2=12+32= 长和宽中必须有一个数据小于或等于2.5m,所以 I0,所以AB+BC=AC,且AB=BC,所以△ABC 可以通过的木板是③号木板 是以∠B为直角的直角三角形，即AB⊥BC,且AB= 2.115[解析]如答图，作AD⊥BC于点D, BC.所以AB和BC的关系是相等且垂直. AD:BC=1:4,且BC=44cm. 又，AB=AC, 六在m△ABD中，AD=1em,BD=2BC=2m AB=√AD+BD=√112+22=115(cm). 4题答图 ,腰AB的长为115cm 专项10勾股定理与最短路径问磁 1,3[解析]如答图，过，点B作BE⊥AC于点E,与 B AD交于，点P,此时PE+PC的值最小.△ABC是等 D 边三角形，且D是BC的中点，∴AD⊥BC,∴PC= 2题答图 PB,∴PE+PC=PB+PE=BE,即BE的长就是PE 3.解：如答图.过点C作CD⊥AB于点D. +PC的最小值.：△ABC是一个边长为2的等边三 BC=400m,AC=300m,∠ACB=90°， 角形，∴.CE=1,∴在Rt△BCE中，由勾股定理，得BE 根据勾股定理，得AB=500m =√2-1=3，.PE+PC的最小值是3 ACD-TRGAC. .CD=240m 240m<250m. “公路AB段有危险，需要暂时封锁， B D A 1题答图 2.B[解析]如答图，连结ED交AC于点F,连结BF D 3题答图 题型变式 1.B[解析]Rt△OBC中，OC=2,OB=1,.BC= √OB+OC=5.以点B为圆心，线段BC的长 2题答图 为半径画孤，交数轴于点A,BA=BC=5,OA 四边形ABCD是正方形， =1+5,.点A所表示的数为1+5，故选B. ∴点B与点D关于AC对称 2.解：如答图，设河岸为MN,作点A关于MN的对称 ∴.BF=DF 点A',连结A'B交MN于点P,连结AP,此时AP+ ∴.△BF'E的周长=BF'+EF'+BE=DE+BE,此时 PB最短.由作图可得最短路线长为A'B的长在 △BEF的周长最小. ·43. 八年级数学·华师版（上册） 由勾股定理，得DE=5,则△BF'E的周长=DE+ 当△ABC为锐角三角形时，如答图①， BE=5+1=6. 由题意可得△ABC的周长=AB+AC+BC=15+13 3.C +14=42. 4.C 当△ABC为钝角三角形时，如答图②， 5.15[解析]如答图，AC的长即为这只蜜蜂需爬行的 在RL△ACD和RL△ABD中， 最短路程，由题意，得CD=9cm,AD=3+9=12(cm), 由勾股定理，得 .AC=√AD+CD=√+12=15(cm). CD=√AC-AD=√132-12=5. BD=√AB-AD=152-12=9 ∴.BC=BD-CD=9-5=4. ∴△ABC的周长=AB+AC+BC=15+13+4=32 5题答图 综上所述，△ABC的周长为42或32 6.解：(1)将长方体的前侧面和右侧面展开在同一平 面，连结CD,如答图①，沿DC爬行路程最短， 长方体盒子的长、宽，高分别是12cm,8cm, 30cm, .AD=DE+AE=20 cm.AC-A=15 cm. D 2题答图①D 2题答图②2 在Rt△ACD中，根据勾股定理，得CD 信易错分析 /AD+AC=√/20+152=25(cm). 本题易只考虑到三角形是锐角三角形的情 故最短路程是25cm 形，忽略了三角形是纯角三角形的情形，因此导 致漏解。 3.6或25或45 [解析]分以下三种情况进行讨论： (1)如答图①，当AB=AC=5,AD=4时，BD=CD= 5-4=3. 6题答图① 6题答图2 .BC=6,即此时底边长为6 (2)如答图②.连结AG、BG. (2)如答图②，当AB=AC=5,CD=4时，AD= 在Rt△BFG中，GF=I2cm,BF=8cm, 5-4=3, 由勾股定理，得GB=√GF+BF=√12+8= .BD=2. 413(em). .BC=￥2+4=25，即此时底边长为25. 在Rt△AGB中，GB=413cm,AB=30cm, (3)如答图③，当AB=AC=5,CD=4时，AD=3 ∴BD=8. 由勾股定理，得AG=√AB+GB .BC=√82+4=45，即此时底边长为45， /302+(413)2-2√/277(cm). 故能放入木棒的最大长度是2277cm. 易错疑难集训四 1.解：当第三边为斜边时6和8分别是两直角边的长 由勾股定理，得第三边的长为6+8=10.当第三 3题答图① 3题答图② 3题答图③ 边为直角边时，斜边长为8，由勾股定理，得第三边的 综上，腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为6 长为√8-6=27..第三边的长为10或27. 或25或45 易错分析 :易错分析 在直角三角形中，已知两边求第三边，且没 本题有两个易错点，一是没有说明“高为 有说明哪条边是斜边时，应分两种情况讨论：① 4”是指腰上的高还是底边上的高：二是等腰三 已知两边为直角边：②两边中的较长边为斜热 角形的顶角可以是锐角也可以是钝角，从而高 2.解：分两种情况求解： 可以在三角形内，也可以在三角形外： ·44·