专项8 分类讨论思想在三角形中的应用&真题检测训练-【勤径学升】2024-2025学年八年级上册数学同步练测（华东师大版）

八年级数学·华师版（上册） 专项8分类讨论思想在三角形中的应用 [答案36] 类型⑧)全等三角形问题中的分类讨论 类型【③线段垂直平分线与角平分线问题中的分 ①在△ABC中，AD、CE为高，两条高所在的直线相 类讨论 交于点H.若CH=AB,求∠ACB的度数 5在△ABC中，AB=AC.若OB=OC,点A到BC的 距离是6，点0到BC的距离是4，则A0= A.2 B.8或10 C.2或10 D.8 6在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线与边AC 所在的直线相交所得的锐角为50°，求∠C的 度数 2两个三角形的两边及其中一边上的高对应相 等，这两个三角形是否全等？若全等，请给出证 明；若不全等，请说明理由. 在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=-70°.若点O 到△ABC三边的距离相等，求∠BOC的度数. 类型②等腰三角形问题中的分类讨论 3若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 36°，则它的顶角为 A.36° B.54 C.72或36 D.54或126° ④（浙江宁波鄞州区期来）等腰三角形一腰上的高 与另一腰的夹角为25°，则该等腰三角形顶角的 度数为 70 见此图标酮抖音/微信扫码领取配套资稳步提升成绩 第13章全等三角形 真题检测训练 [答案38] 考点⑧全等三角形的判定与性质 6(四川内江中考)如图，AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂 (重庆中考A卷)如图，点B、F、C、E共线，∠B= 足为点D,DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形. ∠E,BF=EC,添加一个条件，不能判断△ABC≌ △DEF的是 ( A.AB=DE B.∠A=∠D C.AC=DF D.AC∥FD 6题图 1题图 2题图 2(湖北麻城中考)如图，∠BAC=∠DAM,AB=AN, AD=AM,且∠ANM=60°，则∠B= 3(吉林中考)如图，点D在AB上，点E在AC上， AB=AC,∠B=∠C,求证：AD=AE. 考点③尺规作图 (四川广元中考)观察下列作图痕迹，所作线段 CD为△ABC的角平分线的是 3题图 D 考点②)等腰三角形的性质与判定 8(广东深圳中考)如图，在△ABC中，AB=AC,在 4(湖南益阳中考)如图，AB∥CD,△ACE为等边 AB、AC上分别截取AP、AQ,使AP=AQ,再分别 三角形，∠DCE=40°，则∠EAB等于() 以点P,Q为圆心，以大于之PQ的长为半径作 A.40° B.30° C.20° D.15° 弧，两弧在∠BAC内交于点R,作射线AR,交BC D 于点D.若BC=6,则BD的长为 () 4题图 5题图 ⑤（山东滨州中专）如图，在△ABC中，点D是边 BC上的一点若AB=AD=DC,∠BAD=44°，则 8题图 ∠C的大小为 A.2 B.3 C.4 D.5 见此图标服科音/微信扫码领取配套资源稳步提升成绩八年级数学·华师版（上册） 4.6cm[解析]如答图，过点P作PN⊥BC,PQ⊥AB, 在Rt△BDE和R△CDF中， [BD CD. 垂足分别为点N、Q.BP、CP分别是∠HBC与 BE CF, ∠BCM的平分线，，PQ=PN,PN=PM,PQ= ∴.Rt△BDE≌RI△CDF(HL),,DE=DF PM.PW=6cm,.PQ=6cm,即，点P到AB的距 又DE⊥AB,DF⊥AC, 离为6cm.故答案为6cm. ∴.AD是△ABC的角平分线 6.(1)解：作PQ⊥BE于Q,如答图. :BP平分∠ABC,.PQ=PH=8cm, 即点P到直线BC的距离为8em. (2)证明：CP平分∠ACE,PQ⊥BE,PD⊥AC, .PD=PQ. 4题答图 而PH=PQ,,PD=PH. 5.证明：，BD为∠ABC的平分线， PD⊥AC,PH⊥BA, ∴，∠ABD=∠CBD. ∴.点P在∠HAC的角平分线上 在△ABD和△CBD中， H rAB =CB, ∠ABD=∠CBD, BDBD. ,.△ABD≌△CBD(S.A.S.). 0 ∴∠ADB=∠CDB,即DB平分∠ADC 6题答图 点P在BD上，PM⊥AD,PN⊥CD, 题型变式 .PM PN. 6.A7.B 1.(I)证明：DE⊥AB交AB延长线于E,DF⊥AC于F, 【能力捉升练】 .∴∠E=∠DFC=90 [BD CD. 1.A[解析]：∠B=90°，.DB⊥AB.又AD平分 .△BDE与△CDF均为直角三角形. ∠BAC,DE⊥AC,.DE=BD=3.故选A. BE CF, 2.6cm[解析]AD平分∠CAB,∠C=90°，DE⊥ ∴.Rt△BDE≌Rt△CDF(H.L),DE=DF AB,.CD=DE.在R△ACD和RI△AED中， DE⊥AB交AB延长线于E,DF⊥AC于F, 六.AD平分∠BAC D=D.:.R△ACD≌R△AED(H.L.),AC= CD =ED,' (2)解：AB+AC=2AE.BE=CF,AD平分∠BAC, AE,∴.△DEB的周长=BD+DE+BE=BD+CD+ .∠EAD=∠CAD.:∠E=∠AFD=90°， BE =BC BE AC BE =AE BE=AB..AB .∴.∠ADE=∠ADF. 6cm,∴△DEB的周长为6cm r∠EAD=∠CAD, 3.150°[解析]：BD⊥AE,DC⊥AF,且DB=DC,∴.AD 在△AED与△AFD中，， AD=AD I∠ADE=∠ADF, 是∠BAC的平分线∠BAC=40,∴.∠CMD= 3∠R4C=20∠DGP=LCD+ZAG=20+ ∴.△AED≌△AFD(A.S.A.),,AE=AF, ∴，AB+AC=AE-BE+AF+CF=AE+AE=2AE 130°=150°.故答案为150°. 专项8分类讨论思想在三角形中的应用 4.解：：AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于 1.解：AD,CE为△ABC的高 点E,DF⊥AC于点F, ∴.∠ADB=∠CEB=90°. ∴.DE=DF=2cm. ∴.∠BAD+∠B=90°，∠DCH+∠B=90°， Sc=7B:DE+号4C,0P, .∠DCH=∠DAB. 在△ABD和△CHD中， 2x4x2+70x2=7, ∠DAB=∠DCH,∠ADB=∠CDH=90°，AB=CH, ∴△ABD≌△CHD(A.A.S.）,∴.AD=CD. ∴AC=3cm. 又∠ADC=90°， 5.证明：：DE⊥AB,DF⊥AG. ∴.△ACD是等腰直角三角形，∴∠ACD=45°. .△BDE和△CDF是直角三角形. 如答图①，当△ABC是锐角三角形时，∠ACB=45°： ·36· 参考答案及解析 如答图②，当△ABC是钝角三角形时， 3.D[解析]①如答图①，等腰三角形ABC为锐角三 ∠ACB=180°-∠ACD=180°-45°=135. 角形，AB=AC,BD⊥AC,∠ABD=36°，∴∠A=54°， 综上，∠ACB的大小为45或135. 即顶角的度数为54°，②如答图②，等腰三角形ABC 为钝角三角形，AB=AC,BD⊥AC,∠DBA=36°， ∴.∠BAD=54,∴.∠BAC=126 1题容图① 1题容图② 易错分析 3题答图① 3题答图2 本题中，如果审题不清，易忽视“两条高所 4.65°或115°[解析]①如答图①，当等腰三角形的 在直线相交”，只考虑到“两条高相交”而产生 顶角是钝角时，腰上的高在等腰三角形外部.由题 漏解. 意得∠ABD=25,∠D=90°.根据三角形的一个外 2.解：不一定全等.理由如下： 角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角 当两个三角形均为锐角三角形或均为钝角三角形 ∠BAC=90°+25°=115°：②如答图②，当等腰三角 或均为直角三角形时全等，以两个三角形均为锐角 形的顶角是锐角时，腰上的高在等腰三角形内部， 三角形为例进行证明.（另外两种情况同理可证）， 此时有∠ABD=25°，∠BDA=90°，故顶角∠A=90° 已知：如答图①，锐角三角形ABC和锐角三角形 -25°=65°，故答案为65°或115 EFG中，AB=EF,BC=G,AD⊥BC于点D,EH⊥ FG于点H,且AD=EH. 求证：△ABC≌△EFG 证明：因为AD⊥BC,EH⊥FG, 所以∠ADB=∠EHF=90°. 4题答图① 4题答图2 在Rt△ABD和Rt△EFH中， 5.C[解析]AB=AC,OB=OC,A、0都在线段 因为AB=EF,AD=EH, BC的垂直平分线上，设该垂直平分线与BC交于点 所以Rt△ABD≌Rt△EFH(H.L.), M,则AM⊥BC.,点A到BC的距离为6，点O到BC 所以∠B=∠F, 的距离为4，∴.AM=6,OM=4.分两种情况讨论：① 在△ABC和△EFG中. 点0在△ABC内，此时A0=A1M-OM=2:②.点O 因为AB=EF,∠B=∠F,BC=FG 在△ABC外，此时AO=AM+OM=10. 所以△ABC≌△EFG(S.A.S.). 6.解：①如答图①，当AB的垂直平分线MN与AC相 交于点D时，∠ADM=50 ∠AMD=90°，∴.∠A=90°-50°=40°， :AB=AC∠B=∠C=2（180-∠A)=70e 2题答图① 当两个三角形不都是锐角三角形时不全等，反例如 答图②. 6题答图① 6题答图2 ②如答图②，当AB的垂直平分线MN与CA的延长 2题答图② 线相交于点D时，∠ADN=50°，∠DAB=90°-50 区易错分析 =40° 本题的易错之处是认为题中三角形都是锐 角三角形，从而得到两个三角形全等的结论.而 AB=ACLB=∠C=7∠DB=20 事实上题目中的两个三角形并没有指明都是锐 综上所述，∠C的度数为20°或70 角三角形：因此容易犯特殊代替一般的错误 7.解：①如答图①， ·37. 八年级数学·华师版（上册） 点O到△ABC三边的距离相等， ≌△DEF(A,S.A.),选项D不符合题意，故选C ∴，点O是△ABC三个内角平分线的交点 2.60°[解析]∠BAC=∠DAM,∴，∠BAC-∠CAD ,∠ABC=60°，∠ACB=70°， =∠DAM-∠CAD,即∠BAD=∠NAM. LOnCLACLOCBLACB" AB =AN, 在△ABD与△ANM中 ∠BAD=∠NAM, ∴.∠B0C=180°-∠OBC-∠OCB=115. LAD =AM, ②如答图②，·∠ABC=60°，∠ACB=70°， .∴.△ABD≌△ANM(S.A.S.), .∠EBC=180°-∠ABC=120°，∠FCB=180°- ∴∠B=∠ANM=60 ∠ACB=110. r∠A=∠A, :点O到△ABC三边的距离相等， 3.证明：在△ABE与△ACD中，{AB=AC, .O是∠EBC和∠FCB的平分线的交点， I∠B=∠C, ∠0C=3∠BC=60,L0CB=7∠PCB=55 ∴.△ABE≌△ACD(A.S.A.),∴.AD=AE. 4.C[解析]AB∥CD, ∴.∠B0C=180°-∠OBC-∠OCB=65° ·.∠DCA+∠CAB=180°， ③如答图③，∠ABC=60°，∠ACB=70°， 即∠DCE+∠ECA+∠EAC+∠EAB=I8OP .∠A=180°-∠ABC-∠ACB=50° △ACE为等边三角形， :点O到△ABC三边的距离相等， ∴∠ECA=∠EAC=60 ,O是∠EBA和∠ACB的平分线的交点， .∠E4B=180°-40°-60°-60°=20°. ∠01=7∠EB1=号×(180°-60)=60， 故选C 5.34°[解析]AB=AD.∴.∠B=∠ADB. ∠0B=7LA0B=350 ∠B4D=40∠ADB=180°，44°=68， 2 .∠BOC=180°-（∠OBA+∠ABC+∠OCB)= 180°-(60°+60°+35°)=25° ,AD=DC,∴.∠DAC=∠C ④如答图④，同③可得∠B0C=25. :∠ADB=∠C+∠DAC, 综上可得，∠B0C的度数为115或65或25 LC=∠DAC=∠A0B=34 6.证明：如答图，DE∥AC,∴，∠1=∠3. :AD平分∠BAC,∴.∠1=∠2，∴.∠2=∠3. AD⊥BD,∴.∠2+∠B=90°，∠3+∠BDE=90 ∴∠B=∠BDE.∴BE=DE, ∴.△BDE是等腰三角形 7题容图① 7题答图② E B 7题答图3③ 7题答图④ 真题检测训练 1.C[解析]，BF=EC,∴，BF+FC=EC+FC, 6题答图 .BC=EF. 7.C[解析]A、D选项中的线段CD为△ABC的高，B 当添加条件AB=DE时，△ABC≌△DEF(S.A.S), 选项中的线段CD为△ABC的中线，C选项中的线 选项A不符合题意； 段CD为△ABC的角平分线，故选C 当添加条件∠A=∠D时，△MBC≌△DEF(A.A.S), 8.B[解析]：AB=AC,△ABC是等腰三角形， 选项B不符合题意； 由作图可得，AR平分∠BAC, 当添加条件AC=DF时，无法判断△ABC≌△DEF, 故选项C符合题意； m=c=7×6=3. 当添加条件AC∥FD时，∠ACB=∠DFE,故△ABC 故选B. ·38·